TEORA GENERAL DE VIBRACIONES

El anlisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado

estudios completos, esta introduccin expone de forma resumida algunos

aspectos tericos de las vibraciones de los sistemas elsticos, que

ayudarn a comprender los mtodos de clculo de la accin de los sismos

sobre las estructuras basados en sus efectos dinmicos.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y

a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y

elasticidad, son capaces de vibrar. Una vibracin mecnica es el

movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de una posicin

de equilibrio.

La mayora de las mquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta

cierto grado por lo que su diseo requiere la consideracin de este efecto

dinmico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.

La mayora de las mquinas y estructuras experimentan vibraciones hasta

cierto grado por lo que su diseo requiere la consideracin de este efecto

dinmico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones.

Una vibracin se produce cuando el sistema en cuestin es desplazado

desde una posicin de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a

dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de restitucin elstica o

gravitacional, movindose de un lado a otro hasta alcanzar su posicin de

equilibrio.

El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efecte un ciclo

completo de movimiento se llama periodo de vibracin, el nmero de ciclos

por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento mximo del

sistema desde su posicin de equilibrio se denomina amplitud de vibracin.

Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales.

Para los sistemas lineales rige el principio de superposicin y las tcnicas

matemticas para su tratamiento estn bien desarrolladas (Ley de Hooke).

Por el contrario las tcnicas para el anlisis de sistemas no lineales son

ms complicadas y no muy conocidas.

Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier

sistema elstico puede tener una vibracin libre a consecuencia de un

impulso inicial, donde el movimiento es mantenido nicamente por las

fuerzas de restitucin inherentes al mismo. El sistema bajo vibracin libre

vibrar en una o ms de sus frecuencias naturales, dependientes de la

distribucin de su masa y rigidez.

Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el

movimiento resultante es una vibracin forzada. Cuando la excitacin es

oscilatoria, ya sea peridica o no, como la de un sismo, el sistema es

obligado a vibrar a la frecuencia de excitacin, si sta coincide con una de

las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este

estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; as la falla por

resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramtica

posibilidad que debe tenerse muy en cuenta.

Por este motivo el clculo de las frecuencias naturales de vibracin es de

gran importancia en el diseo ssmico de estructuras.

VIBRACION LIBRE

Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que

oscila alrededor de una posicin de equilibrio.

La mayora de las vibraciones en maquinas y estructuras don indeseables

debido al aumento de los esfuerzos y a las partculas de energa que las

acompaan.

UNA VIBRACION MECANICA Se produce por lo general cuando un sistema se

desplaza de una posicin de equilibrio estable. El sistema tiende a retornar a su

posicin bajo la accin de fuerzas restauradoras.

EXISTEN DOS CLASES DE VIBRACIONES LAS LIBRES Y LAS FORZADAS.

Las vibraciones libres:

Una vibracin libre es consecuencia de un impulso inicial, donde el

movimiento es mantenido nicamente por las fuerzas de restitucin

inherentes al mismo.

Este sistema vibra en una o mas de sus frecuencias naturales,

dependientes de la distribucin de su masa y rigidez.

Vibracin libre no amortiguada

En la figura anterior se ilustra el movimiento de una masa durante un

ciclo de vibracin libre del sistema. A partir de esa figura se observa que el

tiempo requerido de un sistema amortiguado para completar un ciclo de

vibracin libre es denominado periodo natural Tn:

La frecuencia cclica natural de vibracin, fn es definida como el numero

de ciclos que se repiten en 1 s. de tiempo y su valor es

Las propiedades de vibracin natural wn; Tn; fn, dependen de la masa y

rigidez de la estructura y el termino natural es utilizado para enfatizar el

T n = 2 n

Amplitud u 0

u (0)

u

u (0)

a

b

c

d

e t

u 0

b a c d

u 0

e

(a)

(b)

n

nnT

2

nn

Tf

1

hecho de que estas son propiedades naturales del sistema cuando este esta

en estado de vibracin libre.

TIPOS DE MOVIMIENTO:

VIBRACION LIBRE DE UN SISTEMA CRITICAMENTE AMORTIGUADO,

SOBREAMORTIGUADO Y SUBAMORTIGUADO.

Si c=ccr =1 El sistema retorna a su posicin inicial de equilibrio sin

oscilar, por tal razn es llamado sistema crticamente amortiguado o

sistema con amortiguamiento crtico.

Si c>ccr >1 El sistema no oscila pero retorna a su posicin de

equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema

sobreamortiguado.

Si c

Ejercicio 1:

El sistema de la figura consta de una masa, dos muelles y un

amortiguador con los siguientes datos:

Determinar:

a) Ecuacin diferencial del movimiento.

b) Coeficiente de amortiguamiento critico, indicando el tipo de

amortiguamiento del sistema.

c) Frecuencia de la vibracin libre y frecuencia de la vibracin libre

amortiguada

d) Valor del seudoperiodo justificando su existencia

e) Si inicialmente, la masa se desplaza de su posicin de equilibrio

estable a= 5cm, calcular la energa mecnica comunicada

inicialmente al sistema indicando si se conserva en el transcurso del

movimiento o no.

a)

b)

Es un subamortiguamiento o amortiguamiento dbil.

c)

d)

e)

Vibraciones Forzadas

Cuando un cuerpo que est vibrando se pone en contacto con otro, el

segundo cuerpo se ve forzado a vibrar con la misma frecuencia que el

original.

Hemos visto que los cuerpos elsticos tienen ciertas frecuencias naturales

de vibracin que son caractersticas del material y de las condiciones lmite

(de frontera). Una cuerda tensa de una longitud definida puede producir

sonidos de frecuencias caractersticas. Un tubo abierto o cerrado tambin

tiene frecuencias naturales de vibracin

El modelo mecnico ms simple de un solo grado de libertad con

excitacin externa, es el masa-resorte-amortiguador, el cual se ilustra en

la siguiente figura:

Para los sistemas de un grado de libertad, cuando la frecuencia de

excitacin coincide con la frecuencia natural ocurre resonancia, es decir,

cuando 1 = r . Para este caso se tendrn como consecuencia oscilaciones

de grandes magnitudes, ms all de los lmites tolerables.

Con respecto a la excitacin, los sistemas desbalanceados representan una

excitacin de tipo oscilatorio, la cual depende del momento de desbalance

(me) y de la frecuencia de la excitacin ().

Adems de las definiciones efectuadas para los sistemas vibrantes sin

excitacin externa (libres), en los sistemas forzados se hace necesario

definir otras variables para el anlisis de los mismos.

La relacin de frecuencias asocia la frecuencia natural del sistema con la

frecuencia de excitacin. Se designa con el smbolo r , es a dimensional y

se expresa segn la ecuacin:

El factor de amplificacin dinmico se designa con el smbolo y es

adimensional. Se expresa por:

Ejercicio 1:

Un motor de 350 lb se sostiene mediante cuatro resortes, cada uno con

una constante de 750 lb/in. El desbalanceo del rotor es equivalente a un

peso de 1 oz ubicado 6 in. Del eje de rotacin si el motor esta restringido a

moverse verticalmente.

Determine:

a).-La velocidad en rpm a la cual ocurrir la resonancia

b).-La amplitud de la vibracin del motor a la velocidad de 1200 rpm

Solucin

a. Velocidad de resonancia

La velocidad de resonancia es igual a la frecuencia circular natural n (en

rpm) de la vibracin libre del motor. La masa del motor y la constante

equivalente de los resortes de soporte son

b. Amplitud de la vibracin a 1200 rpm

La velocidad angular del motor y la masa del peso equivalente de 1 oz son

La magnitud de la fuerza centrifuga debida al desbalanceo del rotor es

15.33 lb

La deflexin esttica que provocara una carga constante Pm es

La frecuencia circular forzada y del movimiento es la velocidad angular

del motor

Al sustituir los valores de Pm/k, wf y wn de la ecuacin siguiente

Ejercicio 2:

Del siguiente sistema mecnico hallar la ecuacin caracterstica donde:

K=1250 N/m

D=2000 N-s/m

m=10 Kg

F(t)=1N

Con la ecuacin:

Sustituyendo:

Ecuacin general de una ecuacin diferencial de segundo orden.

Sustituyendo:

Por la ecuacin:

Para determinar el amortiguamiento que tiene el sistema se obtiene:

Obtenemos los polos con la formula general