teoría de líneas de espera otoño 2015
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Asignatura : : OPTIMIZACIONOPTIMIZACIONProfesor : Carlos Correa Núñez: Carlos Correa NúñezSemestre : Otoño 2015: Otoño 2015
Las filas o colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:
En un banco En un restaurante de comidas rápidas Al matricular en la universidad Los autos en un lavacar
Líneas de Espera
Los Componentes
Fila o Cola
Servicio
Sistemas de colas: modelo básico
Llegadas
Sistema de colas
ColaInstalación
del servicio
Disciplinade la cola
Salidas
Estructura de una línea y un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Estructura de una línea y múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Estructura de varias líneas y múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
Estructura de una línea y servidores secuenciales
LlegadasSistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
Teoría de ColasIntroducción
Teoría de ColasIntroducción
Teoría de ColasProblemas típicos
Teoría de ColasDefinición
La teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares.
Teoría de Colas Conceptos básicos
Teoría de Colas Costos asociados
Teoría de Colas Objetivos
Teoría de Colas Tipos de colas
Teoría de Colas Tipos de colas
Supuestos del ModeloUn sistema con una cola de espera y un
servidor:
Llegadas entran al sistema de manera aleatoria
Las llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez
No se permiten llegadas simultáneas Distribución de llegada: Poisson
Las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea
Las llegadas no pueden dejar la cola antes de ser servidas
Las llegadas no pueden cambiar lugares en la línea
Se supone que un solo servidor proporciona el servicio que varía aleatoriamente
No se permite que las unidades que salen del sistema vuelvan a entrar de inmediato.
Supuestos del Modelo
El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas
El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable
El número esperado de llegadas por unidad de
tiempo se llama tasa media de llegadas ()
Supuestos: las Llegadas
El tiempo esperado entre llegadas es 1/Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es = 20 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado entre llegadas es
1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
Supuestos: las Llegadas
Distribución de Poisson. Su forma algebraica es:
Donde:
P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo
: tasa media de llegadas
e = 2,7182818…
!)(
k
ekP
k
Supuestos: las Llegadas
El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio
El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio.
La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola
Generalmente se supone que la cola es infinitaAunque también la cola puede ser finita
Supuestos: la Cola
La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio
La más común es FIFO o PEPS: primero en llegar, primero en recibir servicio
Según la situación también pueden darse otros
casos: selección aleatoria, prioridades, UEPS.
Supuestos: la Cola
El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples
El tiempo de servicio varía de cliente a clienteEl tiempo esperado de servicio depende de la
tasa media de servicio ()
Supuestos: el Servicio
El tiempo esperado de servicio equivale a 1/Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de
25 clientes por horaEntonces el tiempo esperado de servicio es 1/
= 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
Supuestos: el Servicio
Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio
Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos:La distribución exponencial (=media)Tiempos de servicio constantes (=0)
La distribución más utilizada es la exponencial
Supuestos: el Servicio
1. Número esperado de clientes en la cola Lq
2. Número esperado de clientes en el sistema Ls
3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq
4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws
Medidas de desempeño
Teoría de Colas Distribución de probabilidad de llegadas
Teoría de Colas Distribución de probabilidad del servicio
Tiempo Tiempo Tiempo del Tiempo de
Cliente llegada salida servidor espera
1 0.4 2.4 2 0 2 1.6 3.1 0.7 0.8 3 2.1 3.3 0.2 1 4 3.8 4.9 1.1 0 5 4.0 5.2 0.3 0.9 6 5.6 8.6 3 0
Teoría de Colas Curiosidades
1. Un servidor, tiempo de servicio exponencial (M/M/1)
2. Un servidor, tiempo de servicio general (M/G/1)
3. Servidores multiples, tiempo de servicio exponencial (M/M/s)Nomenclatur
a A / B / s
Distribución Distribución Numero deDe llegada de servicio Servidores
Modelos principalesTeoría de Colas
Datos conocidos
= Tasa de llegada del cliente
= tasa de servicio (1/ = tiempo de servicio promedio)
s = numero de servidores
Se calcula
Lq = numero promedio de clientes en la linea o cola
Ls = numero promedio de clientes en el sistema
Wq = tiempo promedio de espera en la linea o cola
Ws = Tiempo promedio de espera (incluyendo tiempo de
servicio)
Pn = Probabilidad de tener n clientes en el sistema
= Factor de utilización del sistema
El Modelo M/M/1
El Modelo M/M/1
μ ( μ - )
Formulas
Probabilidad que el sistema este vacío:
Probabilidad de N clientes en el sistema:
Numero promedio clientes en la línea:
P0 1
Pn P0
n
Lq 2
El Modelo M/M/1
a) Análisis de la Cola
Longitud Promedio de la Cola
Lq =
μ ( μ - )
2
Tiempo de EsperaPromedio en la Cola
Wq =Lq
En donde:
es la tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo
μ es la tasa promedio de servicio de las llegadas por unidad de tiempo
El Modelo M/M/1
b) Análisis del Sistema
Longitud Promedio del Sistema
Ls =
μ -
Tiempo de EsperaPromedio en el Sistema
Ws =1
μ -
Regla general: la tasa de llegada debe ser menorque la tasa de servicio
El Modelo M/M/1
Dada la tasa media de llegadas y la tasa
media de servicio , se define el factor de
utilización del sistema . Generalmente se requiere que < 1Su fórmula con un servidor es:
El Modelo M/M/1Factor de utilización del sistema:
Probabilidad de que el sistema esté vacío:
Tiempo de actividad esperado en el sistema:
Probabilidad de tener n unidades en el sistema:
Probabilidad de que la línea exceda a n:
Po = 1 - μ
1 - PoU =
Pn =μ
n
Po
P(n>L)= μ
L+1
El Modelo M/M/1Otras medidas de desempeño:
Un servicio de lavado de autos puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1
Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema
El Modelo M/M/1 Ejercicio 1:
El Modelo M/M/1Resultados:
Factor de utilización:
Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1
El Modelo M/M/1 Ejercicio 2:
La tasa media de llegadas es 45 clientes por hora
La tasa media de servicio es 60 clientes por hora
El Modelo M/M/1 Ejercicio 2:
Datos conocidos
= 45 clientes por hora
= 60 clientes por hora
s = 1
Datos conocidos
= 45 clientes por hora
= 60 clientes por hora
s = 1
Datos conocidos
= 45
= 60
s = 1
clientesWL
clientesWL
hWW
hW
ss
qs
q
25.2375.0
3475.0
min4066,01
13
1
min3005,0
El Modelo M/M/1 Solución de Ejercicio 2 (en base a horas):
El Modelo M/M/1 Ejercicio 2 (en base a minutos):
La tasa media de llegadas es 45 clientes por hora o bien, 45/60 = 0.75 clientes por minuto
La tasa media de servicio es 60 clientes por
hora o bien 60/60 = 1 cliente por minuto
= ¾ clientes por minuto
= 1 cliente por minuto
= 1 Servidor
El Modelo M/M/1 Solución de Ejercicio 2 (en base a minutos):
clientesLq 25.275,011
75,0 2
clientesLs 375,01
75,0
min425,0
1
75,01
1
sW
min375,011
75,0
qW
Con base en los datos del ejemplo anterior, = 0.75, = 1
El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es = / = 0.75/1 = 0.75 = 75%
Factor de utilización del sistema Ejercicio 2:
A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1
Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola.
El Modelo M/M/1 Ejercicio 3:
Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola
Calcule las medidas de desempeño del sistema
El Modelo M/M/1 Ejercicio 4: