teoría de grafos

Tecnicatura Superior en Desarrollo de Software Prof. Cesar Garau

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Matemática

Apunte Teórico:

Teoría de Grafos

Docente: César Adrián Garau


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Teoría de Grafos A. Relaciones en un conjunto. Dígrafos Par Ordenado Un par ordenado es una par de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es “x” y cuyo segundo elemento es “y” se denota como (x, y).

Dos pares ordenados son iguales si: “Dos pares ordenados yx, y zw, son iguales si y solo si

coinciden su primer y segundo elemento respectivamente: zywxzwyx ,,

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto Cartesiano El producto cartesiano A x B, siendo A y B conjuntos, se forma con todos los pares ordenados conformados por elementos del conjunto A, como primer componente del par ordenado y elementos del conjunto B, como segunda componente del par ordenado Ejemplo:

Dado un conjunto baA , y un conjunto 2,1B

2,;1,;2,;1, bbaaBxA

Relación Binaria de un conjunto A en otro conjunto B

Se llama relación al subconjunto R definido: AxBRBAR : . A este subconjunto R incluido en

AxB se llama relación. Por ejemplo:

Sean 8,4,1;4,3,2 BA

)8,4(),4,4(),1,4(),1,3(),8,2(),4,2(),1,2(AxB

babaRBAR /),(/:

(4,8) (4,4), (3,8), (3,4), (2,8), (2,4),R

Se puede observar que: (2,4)R ; (2,1) R… Relación Inversa de R es el subconjunto de BxA definido por:

RyxxyR ),/(),(1

En el ejemplo anterior: (8,4) (4,4), (8,3), (4,3), (8,2), (4,2),1 R

Representación de Relaciones:

Sea R una relación entre A y B, es decir R AxB. En el caso de conjuntos finitos se utilizan los siguientes

tipos de representación: 1) Mediante diagramas de Venn 2) Mediante un gráfico cartesiano. 3) Mediante una matriz, llamada también matriz de adyacencia (Ma): Es una matriz de clase n x n dada por:

R 1 4 8

2 0 1 1

3 0 1 1

4 0 1 1


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En nuestro ejemplo, se tiene: Se ubican en columnas los elementos de A y en la primera fila los elementos de B. Se asigna a cada elemento del producto cartesiano AxB un 1, si el par ordenado pertenece a la relación y un 0 si no pertenece.

B. Grafos y Multigrafos En 1736 Leonhard Euler, Matemático y Físico Suizo (1707-1783), resolvió el problema de los puentes königsberg, que consiste en recorrer 7 puentes que conectan 4 porciones de tierra, bajo la condición de pasar por cada puente una sola vez.

Vértices: 1,2,3,4. Lados: 12,21,23,32,14,24,34. Definición: Se llama GRAFO a un par G = (V, A), donde V es un conjunto no vacío de puntos, llamados VERTICES, y A es un conjunto de pares de vértices (no necesariamente, pares ordenados), llamados LADOS. Llamaremos grado o valencia de un vértice al número de lados o aristas que incidan en él. En cualquier grafo se verifica:


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La suma de todos sus grados es igual al doble del número de sus aristas.

El número de vértices de grado impar es par. Grafo Dirigido

Si G = (V, A) y A V2, entonces, G es un DIGRAFO o GRAFO DIRIGIDO. En este caso, los elementos de A son pares ordenados de elementos de V.

Si G es un dígrafo, sus lados se denominan ARCOS.

Si G no es un dígrafo, sus lados se denominan ARISTAS.

Elementos de un grafo

Sean a y b dos vértices. Se llaman EXTREMOS si {a,b} A (a,b) A.

Si G contiene un arco ó arista cuyos extremos son el mismo vértice se denomina BUCLE o LAZO. Por ej: el par {a,a} ó (a,a).

Dos lados que tienen los mismos extremos se llaman MULTILADOS O LADOS PARALELOS.

Tipos de Grafos

G=(V,A) es un GRAFO SIMPLE, si G no posee lados paralelos ni bucles.

G=(V,A) es un MULTIGRAFO, si G posee lados paralelos.

Grafo Bipartido

Es decir, cada vértice de un conjunto V está unido con todos los vértices de un conjunto U, pero entre los vértices de un mismo conjunto no existe arista que los una.


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Grafo Completo

Un grafo simple de n vértices es completo y de orden n, si cada vértice es adyacente a los n – 1 restantes.

Notación: Kn

El número de lados es: n.(n – 1)/2

Kn puede representarse mediante un n–ágono y sus diagonales.

Grafo Vacío: Un grafo es vacío si no posee aristas. Grafos Regulares Un grafo G = (V, A) es regular de grado k o k-regular si cada vértice tiene grado k; es decir, un grafo es regular si todos los vértices tienen el mismo grado. Por ejemplo: Los siguientes son grafos regulares de grado 2. (2-regulares)

Camino: Es una sucesión de lados que van de un vértice u a otro v. Dicha sucesión puede incluir lados repetidos. Longitud de un camino: es el nº de lados de un camino. Circuito: Es un camino que comienza y termina en el mismo vértice. Grafo Conexo Un grafo es conexo si para dos vértices distintos, u y v, existe un trayecto para ir de u a v. Lado puente es aquel que si se lo elimina, el grafo al que pertenece deja de ser conexo.


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Camino Euleriano: Es un camino que recorre todos los vértices de G, pasando por todos los lados una

única vez. TEOREMA:

Si un grafo G es conexo y tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces existe camino de Euler.

Si un grafo G tiene más de dos vértices de grado impar, entonces no existe camino de Euler. Circuito Euleriano: Es el circuito que recorre todos los vértices, pasando por todos los lados una única vez. TEOREMA:

Un grafo G tiene circuito de Euler si y sólo si es conexo y todos sus vértices tienen grado par.

Si un grafo G tiene un vértice de grado impar, entonces no existe circuito de Euler. Representación Matricial Matriz de adyacencia (Ma): Es una matriz de clase n x n dada por:

Donde se escribe un 1 si la ubicación en la matriz coincide con el par ordenado y 0 cuando no coincide.

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