conceptos fundamentales teoría de grafos

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TEORA GRAFOS, material de estudio

complementario

TEORA DE GRAFOS

Material de estudio complementario

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1. TEORA DE GRAFOS

1.1. INTRODUCCIN

La teora de grafos se encuentra enmarcada dentro de la rama de las matemticas

denominada matemticas discretas, encargada del estudio de objetos discretos, podemos

definir como discreto aquello que es finito, o en caso de que no lo sea son elementos bien

separados entre s.

La matemtica discreta engloba:

- Combinatoria (el arte de contar)

- Geometra discreta (poliedros, etc.)

- Teora de Grafos

- Algebra Discreta (grupos y cuerpos finitos, cdigos algebraicos)

- Etc.

La matemtica discreta es la parte de las matemticas ms cercana a los ordenadores, tiene

una relacin bidireccional con ellos: los ordenadores son discretos.

La teora de grafos surge en 1736, cuando Leonhard Euler, considerado el padre de esta

teora publica un artculo, resolviendo un caso conocido como los puentes de Kningsberg,

donde se discute si es posible o no dar un paseo por Kninsberg cruzando exactamente una

vez cada uno de los siete puentes que unen a sus dos islas.

Los modelos de grafos se usan para representar problemas que impliquen un arreglo

discreto de objetos, donde no interesan las propiedades internas sino su interrelacin

(VEERARAJAN, 2008)

Algunas aplicaciones comunes de la teora de grafos son:

- Rutas entre ciudades

- Determinar tiempos mximos y mnimos de un proceso

- Flujo y control en un programa

Aun cuando se presentarn grafos como sistemas matemticos abstractos, gran parte de su

atractivo procede de las intuiciones que pueden obtenerse a partir de una representacin

grfica.

Sin embargo, todo aquello que parezca evidente a partir de las imgenes de los grafos

deber de verificarse matemticamente, para as evitar conclusiones errneas.

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La teora de grafos desempea un papel importante en varios campos de las ciencias de la

conmutacin, tales como la teora de la conmutacin y el diseo lgico, inteligencia

artificial, lenguajes formales, grficos por computadora, sistemas operativos, escritura de

compiladores y organizacin y recuperacin de informacin.

1.2. CAPTULO UNO: NOCIONES BSICAS

Un grafo es un objeto combinatorio formado por un conjunto finito de vrtices, unidos entre

s por aristas. Sus nominaciones ms comunes con las siguientes:

- = {, , }, donde || y || son dos conjuntos finitos, || es el conjunto de aristas, ||, el conjunto de vrtices y la relacin de incidencia que asocia a cada elemento de || con un par de elementos de ||.

- = {((), (),())}, donde, () es un conjunto no vacio cuyos elementos se

llaman vrtices. () , es un conjunto cuyos elementos se llaman aristas, y , es

una funcin llamada funcin de incidencia, que asocia a cada arista con un par de

vrtices. Un grafo para el cual () es vaco se llama grafo vaco.

Sea un grafo, una arista de , y , vrtices de , tal que:

() = (, ); Entonces esto equivale a decir que:

- La arista une a los vrtices (, ) - Los vrtices y son extremos de la arista - Los vrtices y son adyacentes

- La arista incide en los vrtices y

- = (, ), donde es un conjunto finito (vrtices, nodos) y es un multiconjunto de pares no ordenados de vrtices, denotados por {, }, que se denominan lados, aristas, etc. En este caso decimos que y son extremos {, }. Denotamos () por el conjunto de vrtices del grafo y por () el conjunto de lados del grafo G. Adems () y () denotan el nmero de vrtices y el nmero

de aristas de respectivamente. Puesto que es un multiconjunto es posible que existan pares repetidos, en este caso tiene lados mltiples. Tambin es posible que algn par no ordenado de tenga el mismo vrtice repetido, en este caso decimos que el lado es un lazo (loop) o bucle. Cuando existen lados mltiples y/o

lazos decimos que es un multigrafo. Si no hay lados mltiples ni lazos decimos que es un grafo simple. Un digrafo es un par = (, ) donde es un conjunto

de vrtices y es un multiconjunto de pares ordenados. Los lados se denotan por

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pares ordenados, (, ) denota el lado dirigido que tiene como vrtice inicial a y como vrtice terminal a .

Si una arista se asocia con un par ordenado (, ) o con un par no ordenado {, },

donde , , entonces se dice que conecta o une los nodos y . La arista que

conecta a los nos y se dice que ser incidente sobre cada uno de los nodos. El par de

nodos que se conectan por medio de una arista se denominan nodos adyacentes.

Definiciones:

- Vrtices: Son los objetos representados por un punto (nodo) dentro de un grafo.

- Aristas: Son lneas que unen dos vrtices.

- Aristas adyacentes: dos aristas son adyacentes si convergen sobre el mismo vrtice

- Lazo: es una arista cuyos extremos inciden sobre el mismo vrtice.

- Arista incidente: una arista es incidente a un vrtice si lo une a otro vrtice.

- Vrtice aislado: es un vrtice de grado cero, es decir, no es adyacente a ningn

otro nodo

- Vrtice pendiente: es aquel grafo que contiene solo una arista, es decir, tiene

grado uno.

- Cruce: Son intersecciones de las aristas en puntos diferentes a los vrtices

- Grafo nulo: aquel que contiene nicamente nodos aislados

- Grafo sencillo o simple: Se dice que un grafo es simple si no tiene aristas cclicas y

existe una sola arista entre dos vrtices. Tambin puede ser aquel que no contiene

lazos, ni aristas paralelas ni dirigidas.

- Grafo Dirigido y Digrafo: Aquel en que cada arista se asocia a un par ordenado de vrtices

- Multigrafo: aquel que contiene aristas paralelas

- Seudografo: Un grafo en el cul las aristas paralelas y los lazos con permitidos

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1.3. GRADO O VALENCIA DE UN VRTICE

El grado de un vrtice en un grafo no dirigido es el nmero de aristas incidentes en l, a

excepcin de que un lazo en un vrtice contribuye dos veces al lado de ese vrtice, el grado

de un vrtice se denota como

(1) . El grado de un vrtice aislado es cero. Si el grado de un vrtice es uno, este se

denomina pendiente o colgante.

TEOREMA (Handshaking)

Si G=(V,E) es una grfica no dirigida con aristas , entonces () = 2 .

Es decir, la suma de los grados de todos los vrtices de un grafo no dirigido es el doble de

nmeros de aristas de la grfica y consecuentemente es par.

TEOREMA

El nmero de vrtices de grado impar en un grafo no dirigido es par.

Demostracin

Sea = (, ) un grafo no dirigido, sean 1 y 2 los conjuntos de vrtices de grado par e

impar respectivamente, entonces por el teorema de handshaking,

2 = ()1

+ ()2

Puesto que cada () es par, ()1 , es par. Como el lado izquierdo de la

ecuacin es par, tenemos que ()2 es par.

Puesto que cada () es impar, el nmero de trminos contenidos en ()2

es par, esto es, el nmero de vrtices de grado impar es par.

Grafo completo: Un grafo es completo si cada vrtice tiene un grado igual a n-1 donde n es

el nmero de vrtices que componen el grafo. Para saber el nmero mximo de aristas que

posee un grafo completo se aplica la siguiente frmula:

A = (n (n 1))/2

Un grafo en el cual toda arista es dirigida se denomina grafo dirigido o dgrafo. Un grafo en

el que todas las aristas son no dirigidas se denominara grafo no dirigido. Si en un grafo hay

aristas dirigidas y no dirigidas, entonces el grafo se denomina mixto.

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La direccin de un bucle no es significativa; por tanto, se puede considerar tanto una arista

dirigida como una arista no dirigida. Algunos autores no admiten bucles en la definicin de

grafo.

En algunos grafos tanto dirigidos como no dirigidos, se pueden tener ciertos pares de nodos

que estn unidos por ms de una arista, estas aristas se denominan paralelas.

Todo grafo que contenga aristas paralelas se denominar multigrafo. En este caso, la

correspondencia entre pares de aristas y nodos es uno a uno. La notacin abreviada G =

(V, E), no basta para representar los multigrafos, y se necesita la notacin completa G =

{(V(G), A(G),f(G))}. Por otra parte si no hay ms de una arista entre pares de nodos (no ms

de una arista dirigida en caso de dgrafos), entonces el grafo se denomina grafo sencillo.

Definicin: En un grafo dirigido para todo nodo el nmero de aristas que tiene a como

nodo inicial se denomina nodo de entrada del nodo . El nmero de aristas que tiene a

como nodo terminal es lo que se denominada grado de salida, y la suma del ndice de

entrada y el ndice de salida es lo que se denomina grado total del nodo

El nodo total de un nodo aislado es 0, y el de un nodo con bucle y sin otras aristas que

incidan en l es 2.

Un resultado sencillo de la nocin de grado de los nodos de un grafo es que la suma de los

grados (o de los grados totales en caso de un digrafo) de todos los nodos de un grafo debe

ser un nmero par, que ser igual al doble del nmero de aristas que haya en el grafo.

Definicin: Sea () el conjunto de nodos de un grafo , y sea () el conjunto de nodos

de un grafo tales que () (). Si adems toda arista es tambin una arista de ,

entonces se dice que el grafo es un subgrafo de , y esto se expresa de la forma .

Naturalmente, el grafo en s y el grafo que se obtiene a partir de borrando todas las

aristas de son tambin subgrafos de .

Se dice que un grafo (, ) es completo si todos sus nodos son adyacentes a todos los nodos

del grafo. Los grafos completos de nodos se denotan de la forma .

Otro tipo de grafo es el grafo bipartito si N se puede descomponer en dos subconjuntos 1

y 2 tales que no haya dos nodos de 1 que sean adyacentes, ni tampoco dos nodos de 2

que sean adyacentes

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ALGUNAS APLICACIONES

En una ciudad, el sistemas de calles de puede modelar como un grafo en el cual los cruces se representan como nodos, y los segmentos de calle

existentes entre cruces son las aristas. Las calles de doble sentido se

representan como grafos ni dirigidos (esto es, bordes sin flecha), mientras

que las calles de direccin nica son aristas dirigidas.

Tome como referencia el plano de un sector de la ciudad y represente mediante un grafo el sistema de calles del sector, (puede tomar para la construccin de 5 a 10 nodos)

Una aplicacin ms reciente de los grafos es el modelado de redes de computadores. Tpicamente una red de computadores consta de toda una

gama de elementos, tales como computadores y lneas de comunicacin. En

la representacin de una red de computadores mediante un grafo, cada

nodo es un dispositivo, tal como un computador o un terminal, y cada arista

o enlace denota un medio de comunicacin, tal como una lnea telefnica o

un cable de comunicacin.

Tomando como punto de referencia la Distribucin de Anillo y la Distribucin de Estrella manejadas en redes de computadores realice un grafo tipo de cada uno de estos casos (use entre 8 y 15 nodos en la representacin)

Hay muchos programas que constan de mdulos que invocan a otros. Los grafos de llamadas representan los mdulos mediante nodos. Una lnea

dirigida que va del nodo al nodo indica que invoca a . Cuando uno de los mdulos invoca a otro, tiene que haber una comunicacin entre estos

dos mdulos a travs de una interfaz. La interfaz suele ser una lista de

parmetros.

Considere el siguiente caso y realice el grafo que representa la situacin: Un programa consta de 7 mdulos (A, B, C, D, E, F, G), el mdulo A invoca los mdulos B, C y D. Los mdulos B y C invocan al mdulo E.

Una de las primeras aplicaciones por computador de los grafos estaba relacionada con la planificacin de proyectos. Un grafo con aristas dirigidas

es una forma natural de describir, representar y analizar proyectos

complejos que consten de muchas actividades relacionadas entre s. Este

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proyecto podra ser, por ejemplo, el diseo y construccin de una presa

hidroelctrica, o el diseo y construccin de una casa.

1.1. APLICACIN: PROGRAMACIN DE PROYECTO CON TIEMPOS DE ACTIVIDAD

1.2. El propietario de Western Hills Shopping Center est planeando

modernizar y expandir el complejo actual del centro comercial de 32

negocios. Se espera que el proyecto d espacio para ocho a diez nuevo

negocios, con financiamiento privado. Se requiere que el propietario del

centro comercial planee, programe y termine el proyecto de expansin.

1.3. El primer paso en el proceso de programacin es desarrollar una lista de

las actividades que conforman el proyecto. La siguiente tabla muestra la

lista de actividades correspondiente al proyecto de expansin de Western

Hills Shopping Center. Se han descrito nueve actividades e identificado

desde la A hasta la I como referencia futura. Se incluye tambin informacin

acerca del predecesor inmediato de cada actividad y la duracin en semanas

para su ejecucin.

TABLA 1. LISTA DE ACTIVIDADES PARA EL PROYECTO DE WESTERN HILLS SHOPING CENTER

Actividad Descripcin de la Actividad Predecesor inmediato

Duracin de la

actividad

A Preparar dibujos arquitectnicos - 5

B Identificar nuevos arrendatarios potenciales - 6

C Desarrollar prospecto para los arrendatarios A 4

D Seleccionar contratista A 3

E Preparar las licencias de construccin A 1

F Obtener aprobacin de las licencias de construccin

E 4

G Llevara a cabo la construccin D, F 14

H Finalizar los contratos con los arrendatarios B, C 12

I Entrada de los arrendatarios G, H 2

Total 51

1.4. Para una actividad dada, la columna del predecesor inmediato identifica

las actividades que deben haberse terminado inmediatamente antes que el

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inicio de esta actividad. Las actividades A y B no tienen predecesores

inmediatos y se pueden iniciar en el momento en que se inicie el proyecto,

por lo que se deja un guin en la columna de predecesor inmediato en el

sitio correspondiente a estas actividades. Los dems renglones en la

columna del predecesor inmediato muestran que las actividades C, D y E no

se pueden iniciar en tanto no se hay terminado la actividad A; la actividad

F no se puede iniciar en tato no se haya terminado la actividad E; la

actividad G no se puede iniciar hasta que se hayan terminado las actividades

D y F; la actividad H de se puede iniciar antes de que se hayan terminado

las actividades B y C, y finalmente, la actividad I no se puede iniciar antes

de que se hayan terminado las actividades tanto G como la H. El proyecto

se concluye al terminarse la actividad I.

1.5. La ltima columna de la tabla muestra el nmero de semanas requerido

para terminar cada una de las actividades.

Dada la situacin anterior, utilizando la informacin del predecesor inmediato represente mediante un grafo la red del proyecto.

TIPOS DE GRAFOS

Existen dos tipos de grafos, los no dirigidos y los dirigidos:

- No dirigidos: Son aquellos en los cuales los lados no estn orientados (no son

flechas). Cada lado se representa entre parntesis separando sus vrtices por

comas, y teniendo en cuenta que (, ) = ( , )

- Dirigidos: Son aquellos en los cuales los lados estn orientados. Cada uno se

representa entre ngulos, separando sus vrtices por comas y teniendo en cuenta

que , ,

1.6. En grafos dirigidos, para cada lado , ,, el cual es vrtice de origen, se conoce como la cola del lado y , el cual es el vrtice de destino, se conoce como la cabeza

del lado.

Definiciones:

- Grado a valencia de un vrtice: es el nmero de aristas que inciden sobre un

vrtice, se denota como ()

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- Grafo Regular: Un grafo G simple, se dice que es , s en todo vrtice

de inciden exactamente aristas, donde es una constante.

1.7. Ejemplo

1.8.

1.9.

ILUSTRACIN 1. GRAFO 3-REGULAR

Ciclo de Euler: Consiste en el recorrido de todas las aristas del grafo sin repetirlas.

Ciclo de Hamilton: Recorrer todos los vrtices del grafo sin repetirlos, excepto el y el

que son el mismo

A continuacin se dan unas definiciones formales que proviene del libro de Matemticas

Discreta y sus aplicaciones de Rosen

Definicin 1 Un grafo simple (, ) consta de , un conjunto no vaco de vrtices, y de , un

conjunto de pares no ordenados de elementos distintos de . A esos pares se les llama aristas o

lados.

Ejercicio 1 Muestre que si es simple, entonces (

2).

En algunos casos lo grafos simples no bastan para modelar ciertas situaciones en las Cuales se

requiere de la existencia de mltiples aristas entre par de vrtices. En este caso no es suficiente

definir las aristas como par de vrtices; la definicin de multigrafo es un poco ms complicada.

Definicin 2 El grado o valencia de un vrtice es el nmero de aristas incidentes en el vrtice

Definicin 3 Un multigrafo (, ) consta de un conjunto de vrtices, un conjunto de aristas y

una funcin de en {{, }|, , }. Se dice que las aristas 1, 2 son aristas mltiples

o paralelas si (1) = (2).

1

2 3

4

b d

e

a

c

f

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Los multigrafos definidos no admiten bucles o lazos (aristas que conectan un vrtice consigo mismo).

Usamos en este caso, pseudografos que son ms generales que los multigrafos.

Definicin 4 Un pseudografo (, ) consta de un conjunto de vrtices, un conjunto de aristas

y una funcin de en {{, }|, }. Se dice que una arista e es un bucle o lazo si () =

{, } = {} para algn .

La diferencia entre grafo y digrafo es que el ltimo tiene los lados dirigidos y se entiende como un

grafo dirigido.

Definicin 5 Un grafo dirigido o digrafo = (, ) consta de un conjunto de vertices, un conjunto

de aristas, que son pares ordenados de elementos de .

Definimos los multigrafos dirigidos de la siguiente manera

Definicin 6 Un multigrafo dirigido (, ) consta de un conjunto de vrtices, un conjunto de

aristas y una funcin de en {(, )|, }.

Se dice que las aristas 1, 2 son aristas mltiples o paralelas si (1) = (2).

Conceptos clave: Grafo, Vrtice, Arista, Relacin de Incidencia, Vrtices y Aristas adyacentes, grafo

trivial, grafo vacio, grafo simple, multgrafo no dirigido, multgrafo dirigido, grafo dirigido con aristas

distintas, grado de un vrtice.

FORMAS DE REPRESENTACIN MATRICIAL

MATRIZ DE ADYACENCIA

Una matriz de adyacencia es aquella que muestra de la forma ms rstica cmo est

compuesto un grafo, esto es que donde se coloque un uno se representa como una arista

que una a los dos nodos y con 0 donde no hay ninguna unin; as, se puede obtener un grafo

a partir de la matriz de adyacencia.

Propiedades:

- Es cuadrada y simtrica

- La suma de cada fila o columna es el grado del vrtice correspondiente

Ejercicio

Realice el grafico que corresponde a la siguiente matriz de adyacencia:

A B C

A 0 1 1

B 1 0 0

C 1 0 0

Donde, = {, , }

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MATRIZ DE INCIDENCIA

Una matriz de incidencia est compuesta por unos y ceros, en la que se representan los

nodos unidos por las aristas. Cada arista une dos y nada ms que dos nodos.

Propiedades:

- No tiene que ser cuadrada ni simtrica

Ejercicio

Realice el grafico que corresponde a la siguiente matriz de incidencia:

a b c d e

1 1 0 1 0 0

2 0 1 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

Donde, = {1, 2, 3,4} y

= {, , , , }

TEOREMA DE EULER

Sea G un grafo finito y conexo

a. La suma de las valencias de todos sus vrtices es par. Es decir, hay un

nmero par de vrtices impares

b. Si el nmero de vrtices impares es mayor que dos, el grafo no se puede

recorrer sin pasar dos veces por la misma arista

c. Si el nmero de vrtices impares, es cero, el grafo se puede recorrer.

Podemos elegir adems por qu vrtice empezar, y el camino siempre ser

cerrado (termina donde empez)

d. Si el nmero de vrtices impares es dos, el grafo se puede recorrer, pero el

camino ha de empezar en uno de los dos vrtices impares y terminar en el

otro

BIBLIOGRAFA

G. Hernandez, Grafos: Teora y Algoritmos. Servicio de Publicaciones, Facultad

de Informtica, UPM, 2003.

G. Chartrand, O.R. Oellermann: Teora de grafos, aplicacin y algoritmos, Ed. Mc.

Graw Hill, 2000.

conceptos fundamentales teoría de grafos

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