teoria da estimação
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al
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al Teoria da EstimaçãoTeoria da Estimação
Prof. Dr. Rogério de Melo Costa PintoProf. Dr. Rogério de Melo Costa Pinto
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Facu
ldade d
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alizaçã
o e
Curs
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eci
alizaçã
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Curso de PósCurso de Pós--GraduaçãoGraduação
Especialização em Estatística EmpresarialEspecialização em Estatística Empresarial
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al
Estimação: É o processo que consisteno uso de dados amostrais paraestimar valores de parâmetrospopulacionais desconhecidos, taiscomo média, desvio padrão,proporções, etc.
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Curs
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p p ç
Estimação por pontoEstimação por pontovsvs
Estimação por intervaloEstimação por intervalo
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Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
PopulaçãoPopulação AmostraAmostra
Distribuição de Probabilidade (ou FDP)Distribuição de Probabilidade (ou FDP)
ParâmetrosParâmetros
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
EstatísticasEstatísticas(valor fixo)(valor fixo)
estimarestimar(variável aleatória)(variável aleatória)
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pontual (pontual (estatísticasestatísticas))
por intervalo (por intervalo (intervalos de confiançaintervalos de confiança))EstimaçãoEstimação
OBS:OBS: estatísticaestatística:: é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional)é a v.a. que estima (pontualmente) um parâmetro (populacional)as vezes é chamada simplesmente de as vezes é chamada simplesmente de estimadorestimador
estimativaestimativa: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica: é o valor do estimador obtido para uma amostra específica
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Estimação por ponto: neste caso obtém-se um únicovalor amostral que serve como uma aproximaçãodo parâmetro estimado.
Ex: o resultado da média amostral é uma estimativapor ponto da média populacional μ
Estimação por intervalo: fazemos uma estimativa de umintervalo de possíveis valores, no qual se admite
x
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intervalo de possíveis valores, no qual se admiteque o parâmetro populacional, com umadeterminada confiança.
Ex: = 50 (40 < μ < 60) = 0,95 ou sejaa verdadeira média populacional está dentro dointervalo de 40 a 60 com uma certeza de 95%.
x estimar
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InferênciaInferênciaConceitosConceitos BásicosBásicos
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−
xμ
e −−
x e +−
x
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e −−
x e +−
x
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INTERVALO DE CONFIANÇAINTERVALO DE CONFIANÇA
E: margem de erroE: margem de erro
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Como estimar osparâmetros deuma grandezacom base numasimples amostra?
Questões Comuns.....Questões Comuns.....
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Qual a confiançaneste resultado?
Como seamostrar?
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Propriedades dos estimadoresPropriedades dos estimadoresAcurácia vs precisão.
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al Não TendenciosidadeNão Tendenciosidade
θθ =)ˆ(E
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al ConsistênciaConsistência
0)ˆ()
)ˆ()
limlim
=
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∞→
∞→
θ
θθ
Vii
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n
n
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é consistente.X
)( =XE μ
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0)()( lim2
==∞→
XVn
XVn
σ
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al Eficiência relativaEficiência relativa
é mais eficiente que se: 1̂θ 2θ̂
)ˆ()ˆ( 21 θθ VV <
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)ˆ()ˆ(
1
2
ˆˆ
2
1 θθ
θθ V
VEf =
)()( 21 θθ VV <
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(0,1)N
Intervalo de Confiança para μ
~ ?X
~ ?X μσ− (0,1)N ((Normal Padrão)Padrão)
2~ ( , )X N μ σ μ desconhecido, mas σ2 conhecido
2
~ ( , )X Nnσμ
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--∞∞ ++∞∞00
n
zz--zz
(| | )P Z z α> =
2α
2α 1 α−
( ) 1P z Z z α− < < = −
( ) 1XP z z
n
μ ασ−
− < < = −
( ) 1P z X zn nσ σμ α− < − < = −
( ) 1P X z X zn nσ σμ α− < < + = −
IC para μ
nível de significância
nível de confiança
Z
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Intervalo de Confiança para μ
1O Caso - Amostras grandes (n>30)
(i) O IC IC x e( ) :μ α1− ±
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(ii) erro da estimativa nsze
nze .;.
22αα
σ==
z depende da confiança que se queira do intervalo
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1 6490%
Zα/2GRAU DE
CONFIANÇA
Valores tValores tíípicos de zpicos de z
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2,5799%
1,9695%
1,6490%
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Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para μμExemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média μ também
desconhecida e variância σ2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para μ supondo que 12,7.X =
( ) 0,95P X z X zn nσ σμ− < < + =
(0,1)N
4 4(12 7 1 96 12 7 1 96 ) 0 95P μ− < < + =
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-∞ +∞00
95%95%
z-z
2,5%2,5%
??1,96
(12,7 1,96 12,7 1,96 ) 0,9525 25
P μ− < < + =
(12,7 1,568 12,7 1,568) 0,95P μ− < < + =
(11,132 14,268) 0,95P μ< < =
Como poderia obter intervalos de confiança mais estreitos,ou seja, com limites mais próximos a média verdadeira?
-- diminuindo-se o nível de confiança- aumentando-se o tamanho da amostra
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Como Interpretar o IC para Como Interpretar o IC para μμ??
Sorteiam-se 50 valores aleatoriamente e calcula-se . Em seguida determina-se o IC para μ com 95% de confiança, ou seja
X
2 2( 1,96 1,96 ) 95%50 50
P X Xμ− < < + =
I t t ã 95% d í i IC btid ti d t d
~ (10,4)X N→Suponha uma v.a. X normalmente distribuída com μ = 10 e σ2 = 4
( 0,5544 0,5544) 95%P X Xμ− < < + =
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o e Interpretação: 95% dos possíveis ICs obtidos a partir de uma amostra de
tamanho 50, conterão de fato a verdadeira média μ
μμ
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al Dimensionamento da Amostra
nz s
eo =α 22 2
2
.
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Nnnn 11 0
0
−+
=
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Uma pesquisa nos bancos de dados deum call-center mostrou que, em 121chamadas amostradas, a venda média
ExemploExemplo
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o e chamadas amostradas, a venda média
foi de R$ 700, com desvio padrão de R$100. Como estimar a venda média destenegócio?
Resp: intervalo de confiança da média
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al
12110096,1700:venda ±
SoluSoluçção do exemploão do exemplo
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%)95:confiança(8,17$R700$R:venda ±
Repetir para confiança de 90% e 99%Repetir para confiança de 90% e 99%
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Volta ao exemplo do call-center (média R$700, desvio-padrão R$100, 95% confiança)e: R$ 10 tamanho do intervalo desejado (semi-amplitude);
(690) (700) (710)
Tamanho da Amostra (n) para Tamanho da Amostra (n) para Estimativa da MEstimativa da Méédiadia
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o e (690)__________(700)__________(710)
ne 10096,1= 2)
1010096,1(n =
385n =
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Intervalo de Confiança para μ
2O Caso - Amostras pequenas (n 30)
(i) O IC IC x e( ) :μ α1− ±
≤
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(ii) erro da estimativa
GL= nGL= n--11
nste .
2α=
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1nt −
Intervalo de Confiança para μ
~ ?Xsn
μ−1nt −
2~ ( , )X N μ σ μ e σ2 desconhecidos
TT
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Curs
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eci
alizaçã
o e
--∞∞ ++∞∞00 tt--tt
2α
2α 1 α−
( ) 1XP t tsn
μ α−− < < = −
( ) 1s sP t X tn n
μ α− < − < = −
( ) 1s sP X t X tn n
μ α− < < + = −
IC para μ
TT
( ) 1P t T t α− < < = −
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Intervalo de Confiança para μExemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média μ e variância σ2
também desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para μ supondo quee s2 = 16.
12,7X =
( ) 0,95s sP X t X tn n
μ− < < + =
24t
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-∞ ++∞∞00
95%
tt--tt
2,5%2,5%
??2,064
4 4(12,7 2,064 12,7 2,064 ) 0,9525 25
P μ− < < + =
(12,7 1,6512 12,7 1,6512) 0,95P μ− < < + =
(11,0488 14,3512) 0,95P μ< < =
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al Dimensionamento da Amostra
nt s
eo =α 22 2
2
.
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Nnn
n1
1 0
0
−+
=
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Est
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al
Intervalo de Confiança para μ1 - μ2
1 ~ ?X
1 2 1 22 2
( ) ( ) ~ ?X X μ μ− − −(0,1)N
(0,1)N
21 1 1~ ( , )X N μ σ
21
1 11
~ ( , )X Nnσμ
22 2 2~ ( , )X N μ σ desconhecidas, mas conhecidasiμ
2iσ
22
2 22
~ ( , )X Nnσμ 1 2 ~ ?X X−
2 21 2
1 2 1 21 2
~ ( , )X X Nn nσ σμ μ− − +
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
2 21 2
1 2n nσ σ
+
-∞ +∞00 z--zz
2α
2α 1 α−
( ) 1P z Z z α− < < = −
1 2 1 22 21 2
1 2
( ) ( )( ) 1X XP z z
n n
μ μ ασ σ
− − −− < < = −
+
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2 1 21 2 1 2
( ) 1P X X z X X zn n n nσ σ σ σμ μ α− − + < − < − + + = −
IC para μ1 - μ2
ZZ
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
lândia
e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Intervalo de Confiança para μ1 - μ2
1O Caso - Amostras Grandes (n > 30)
(i) O IC IC x x e( ) :( )μ μ α1 2 1 1 2− − ±−
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
(ii) erro da estimativa
;.;.2
22
1
21
22
22
1
21
2 ns
ns
zenn
ze +=+= αασσ
10
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
lândia
e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Estão sendo estudados dois processos (A e B) paraconservar alimentos, cuja principal variável deinteresse é o tempo de duração dos mesmos.Sorteiam-se duas amostras independentes. Admita
â
Exemplo
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e que as populações apresentam variâncias iguais.
Para uma amostra nA=nB=100 latas que apresentoutempo médio de duração de 50 e 60 dias e variância de100 e 75 dias2 para A e B, respectivamente. Construaum IC de 98% para a diferença entre médias. O que seconclui com este IC?
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
lândia
e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Intervalo de Confiança para μ1 - μ2
2O Caso - Amostras pequenas (n 30),independentes e variâncias populacionaisestatisticamente iguais
(i) O ICIC x x e( ) :( )μ μ 1 2− − ±
≤
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
(ii) erro da estimativa
IC x x e( ) :( )μ μ α1 2 1 1 2 ±−
211.. 21212
−+=∴+= nnGLnn
ste pα
sn s n s
n np =− + −
+ −( ) . ( ) .1 1
22 2
2
1 2
1 12
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
lândia
e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Intervalo de Confiança para μ1 - μ2
3O Caso - Amostras pequenas (n 30), independentese variâncias populacionais estatisticamentedesiguais
(i) O IC IC x x e( ) :( )μ μ α1 2 1 1 2− − ±−
≤
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
(ii) erro da estimativa
( ) ( )11
.
2
22
22
1
21
21
2
2
22
1
21
2
22
1
21
2
−+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∴+=
nns
nns
ns
ns
gns
nste α
11
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
lândia
e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Os dados a seguir referem-se aos pesos médios de latas dealumínio (gr) produzidas por 2 empresas.
A: 34 30 31 33 34 34 33 32
B: 25 20 34 28 32 30 27 3120 29
ExemploExemplo
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
a) Encontre o IC para a diferença entre médias das 2 empresascom uma confiança de 95% (considere que as populaçõesapresentam variâncias diferentes);
b) Encontre o IC para a diferença entre médias das 2 empresascom uma confiança de 99% (considere que as populaçõesapresentam variâncias iguais);
interprete os resultados dos itens (a) e (b).
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
lândia
e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Intervalo de Confiança para amostras relacionadas
4O Caso - Amostras dependentes, dados aparecem empares (Ex.: antes e depois)
(i) O IC IC D e Dd
nd X XD
ii i i( ) :μ α1 1 2− ± ∴ = ∴ = −
∑
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
(ii) erro da estimativa
1
)(
.
22
2 −
−=∴=
∑ ∑
nnd
ds
nste
ii
DD
α
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
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e M
ate
máti
ca
e M
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máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
A seguir são mostradas as perdas semanais médias de horas-homem devido a acidentes em 10 indústrias, antes e depois daadoção de um programa de segurança.
Antes: 45 73 46 124 33 57 83 3426 17
ExemploExemplo
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e 26 17
Depois: 36 60 44 119 35 51 77 2924 11
a) Encontre um IC de 90% para o efeito da intervenção;
b) Quantas indústrias você recomendaria usar numa próximapesquisa para estimar a eficiência do programa com 90% deconfiança e um erro de 0,5 horas-homem.
12
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
lândia
e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
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stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
ˆ ~ ( , )pqp N pn
Intervalo de Confiança para proporção p
ˆ~ ?p p
pqn
−(0,1)N
ZZ
(0,1)N
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e ˆ
( ) 1p pP z zpqn
α−− < < = −
IC para p
ZZ
-∞ +∞00 z-z
2α
2α 1 α−
( ) 1P z Z z α− < < = −
ˆ ˆ( ) 1pq pqP p z p p zn n
α− < < + = −
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) 1pq pqP p z p p zn n
α− < < + = −
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
lândia
e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
σσ
Intervalo de Confiança para proporção p
IC p p e( ) : $1− ±α
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
n)p̂1(p̂zp̂p 2/
−±= α
era
l de
Uber
lândia
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l de
Uber
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e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
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stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Dimensionamento da Amostra
nz p q
e= α 2
2
2
$ $
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Nnn
n1
1 0
0
−+
=
13
era
l de
Uber
lândia
era
l de
Uber
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e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Uma pesquisa de mercado com 90
consumidores mostrou que o market-
ExemploExemplo
Univ
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idade F
ede
Univ
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idade F
ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
share de sua empresa é de 25%. Como
estimar o market-share do mercado,
com 95% de confiança?
era
l de
Uber
lândia
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Uber
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ate
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e M
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máti
ca
em
Est
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stic
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sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
)25,01(25,0961250 −±=p
Solução do exemplo
Univ
ers
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ede
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Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
09,025,090
96,125,0
±=
±=
p
p
Repetir p/outros níveis de confiança
era
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Uber
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e M
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ca
em
Est
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stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Volta ao exemplo do market-share ( =0,25, 95% confiança)e: 2% tamanho do intervalo desejado (semi-amplitude);
Tamanho da Amostra (n) para Tamanho da Amostra (n) para Estimativa da ProporEstimativa da Proporççãoão
p̂
Univ
ers
idade F
ede
Univ
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ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
p );(23%)___________(25%)________(27%)
1801n =2
2
02,075,0.25,0.96,1
=n
14
era
l de
Uber
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Uber
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Est
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sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Intervalo de Confiança para p1 – p2
IC p p p p e( ) : ( )1 2 1 1 2− − ±−α
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
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ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
e zp qn
p qn
= +α 21 1
1
2 2
2
$ $ $ $
era
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Uber
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l de
Uber
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e M
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ca
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Em uma pesquisa de proprietários de carrosem uma universidade, entre alunos e alunas,foram obtidos: 24 de 100 alunos possuem
ExemploExemplo
Univ
ers
idade F
ede
Univ
ers
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ede
Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e automóveis e 19 de 100 alunas possuem
automóveis. Encontre um IC de 98% e 90%para a diferença entre proporções.
Interprete os resultados.
era
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em
Est
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sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para σσ22
2α
2α
22
12( 1) ~ nn s χσ −−
21nχ −
1 α−
2
2
( 1)( ) 1a bn sP x x ασ−
< < = −
Univ
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Univ
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Facu
ldade d
eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
IC para IC para σσ22
00 ++∞∞ax bx
21( ) 1a n bP x xχ α−< < = −
2
2
1 1 1( 1)b a
Px n s x
σ α⎛ ⎞
< < = −⎜ ⎟−⎝ ⎠
2 22( 1) ( 1) 1
b a
n s n sPx x
σ α⎛ ⎞− −
< < = −⎜ ⎟⎝ ⎠
15
era
l de
Uber
lândia
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l de
Uber
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e M
ate
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ate
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Est
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a E
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sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para σσ22
Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média μ evariância σ2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se avariância amostral. Construa um IC de 95% para σ2 supondo que s2 = 2,34.
2 22( 1) ( 1) 0,95n s n sP
x xσ
⎛ ⎞− −< < =⎜ ⎟
⎝ ⎠
224χ
Univ
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eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
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o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e b ax x⎝ ⎠
??12,40
224 2,34 24 2,34 0,9539,36 12,40
P σ⎛ ⎞< < =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )21,43 4,53 0,95P σ< < =
2,5%2,5%
00 ++∞∞ax bx
95%
??39,36
era
l de
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e M
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mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
CASE1) Se a proporção de pessoas que pretendem votar no
Partido Verde deve ser estimada com um nível deconfiança de 95%, que tamanho de amostra deveráser definido:
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eFacu
ldade d
eC
urs
o d
e Esp
eci
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o e
Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
a) Se o erro for no máximo 0,01?
b) Se o erro for no máximo 0,03?
c) Se o erro for no máximo 0,06?
d) Repita os itens acima com um nível de confiança de90%.
era
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Est
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mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
2) A gerência de um restaurante local pretende determinar ogasto mensal médio das famílias em restaurantes de luxo.Algumas famílias nada gastam, enquanto outras gastam atéR$300,00 por mês, sendo o desvio-padrão de R$40,00. Agerência pretende ter 95% de confiança nos resultados e nãoquer que o erro exceda mais ou menos R$5,00.
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eFacu
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o e
Curs
o d
e Esp
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alizaçã
o e
a) Qual o tamanho amostral que deve ser usado paradeterminar a despesa mensal média por família?
b) Após feita a pesquisa, obteve-se uma despesa média deR$90,30, com desvio padrão de R$45,00. Construa umintervalo de 95% de confiança. Que se pode dizer quanto aonível de precisão?
16
era
l de
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l de
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e M
ate
máti
ca
e M
ate
máti
ca
em
Est
atí
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a E
mpre
sari
al
em
Est
atí
stic
a E
mpre
sari
al
3) Para determinar a efetividade da campanha depropaganda para um novo vídeo cassete, a gerência estáinteressada em saber que porcentagem das residênciasconhece realmente a nova marca. A agência depropaganda acha que essa cifra chega aos 70%. Agerência deseja um intervalo de confiança de 95% e uma
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Curs
o d
e Esp
eci
alizaçã
o e
margem de erro não superior a mais ou menos 2%.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra para esse estudo?
b) Suponha que a gerência deseja 99% de confiança, masesteja disposta a tolerar um erro de mais ou menos 3%.Como se modificaria o tamanho da amostra?