teoria control analogo completo

7/24/2019 Teoria Control Analogo Completo

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TTEEOORRAADDEECCOONNTTRROOLL

AANNLLOOGGOO

Didier Giraldo Buitrago

Eduardo Giraldo Surez

Universidad Tecnolgica de Pereira2009


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TTEEOORRAADDEECCOONNTTRROOLLAANNLLOOGGOO

Didier Giraldo BuitragoDocente Ingeniera Elctrica

Universidad Tecnolgica de Pereira

Eduardo Giraldo SurezDocente Ingeniera ElctricaUniversidad Tecnolgica de Pereira

Texto UniversitarioPrograma de Ingeniera ElctricaUniversidad Tecnolgica de PereiraPrimera Edicin, 2010ISBN: 978-958-722-050-6

Impreso en ColombiaEsta obra se termin de imprimir en el Taller de publicaciones de laUniversidad Tecnolgica de PereiraSe imprimieron 100 ejemplares


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ndice general

1. Introduccin a los sistemas de control 11.1. Problema bsico de la ingeniera de control . . . . . . . . . . . 3

1.2. Ejemplos de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Efectos de la realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Efecto de la realimentacin en la ganancia total . . . . 71.3.2. Efecto de la realimentacin en la estabilidad . . . . . . 81.3.3. Efecto de la realimentacin en la sensibilidad . . . . . . 91.3.4. Efecto de la realimentacin en la perturbacin externa

o ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Tipos de sistemas de control con realimentacin . . . . . . . . 13

1.4.1. Sistemas de control lineal y nolineales . . . . . . . . . . 131.4.2. Sistemas invariantes y variantes con el tiempo . . . . . 141.4.3. Sistemas de control de datos continuos . . . . . . . . . 141.4.4. Sistemas de control de datos discretos . . . . . . . . . . 14

1.5. Ejemplo de introduccin a sistemas de control . . . . . . . . . 151.5.1. Construccin del modelo matemtico . . . . . . . . . . 161.5.2. Linealizacin del modelo matemtico . . . . . . . . . . 181.5.3. Seleccin deu (estrategia de control) . . . . . . . . . . 20

2. Anlisis de sistemas lineales dinmicos mediante variables deestado 272.1. Reduccin de las ecuaciones diferenciales a su forma normal . 282.2. Concepto de estado y variables de estado . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Ecuaciones de estado para circuitos elctricos . . . . . . . . . 332.3.1. Mtodo sistemtico para obtener las ecuaciones de estado 342.4. Linealizacin de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . 412.5. Efectos de las perturbaciones en las ecuaciones de estado . . . 462.6. Transformaciones similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

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ii NDICE GENERAL

2.7. Anlisis lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.1. Solucin en trminos de la matriz exponencial . . . . . 482.7.2. Solucin por medio de la trasformada de Laplace . . . 532.7.3. Valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.8. Realizaciones de las ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . 562.8.1. Realizacin tipo Controller . . . . . . . . . . . . . . 572.8.2. Realizacin tipo Observer . . . . . . . . . . . . . . . 592.8.3. Realizacin tipo Controlability . . . . . . . . . . . . 602.8.4. Realizacin tipo Observability . . . . . . . . . . . . . 612.8.5. Realizacin tipo paralelo o diagonal . . . . . . . . . . . 62

2.9. Funcin de transferencia nominal . . . . . . . . . . . . . . . . 632.10. Anlisis matricial de las realizaciones . . . . . . . . . . . . . . 64

2.10.1. Observabilidad de estados . . . . . . . . . . . . . . . . 642.10.2. Controlabilidad de estados . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.11. Realizacin mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.12. Vectores caractersticos generalizados . . . . . . . . . . . . . . 692.13. Forma cannica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.14. Clculo de la matriz de Transformacin para algunas formas

cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.15. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3. Anlisis en el dominio del tiempo de sistemas de control 853.1. Seales de prueba para la respuesta temporal de sistemas de

control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.2. Comportamiento en el dominio del tiempo de sistemas de

control anlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2.1. Error de estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3. Tipos de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4. Error de estado estacionario de sistemas con una entrada escaln 903.5. Error de estado estacionario de sistemas con una entrada rampa 913.6. Error de estado estacionario de sistemas con una entrada

parablica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.7. Respuesta al escaln unitario y especicaciones en el dominio

del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.8. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.9. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.9.1. Caso subamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.9.2. Caso de amortiguamiento crtico . . . . . . . . . . . . . 100


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NDICE GENERAL iii

3.9.3. Caso sobreamortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.9.4. Caso oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.9.5. Especicaciones de la respuesta transitoria parasistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.10. Sistemas de rdenes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.10.1. Sistemas de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.10.2. Respuesta transitoria de sistemas de mayor orden . . . 110

3.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4. Criterios de Estabilidad 1214.1. Estabilidad externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2. Estabilidad interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.3. El criterio de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4. Criterios algebraicos de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 1304.4.1. Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.4.2. Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4.5. Criterios frecuenciales de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . 1344.5.1. Respuesta de un sistema a una entrada senoidal . . . . 1354.5.2. Principio del argumento o del ngulo . . . . . . . . . . 1374.5.3. Criterio de Mikhailov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5.4. Criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.5.5. Regla de las transiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.5.6. Estabilidad segn el diagrama de Bode . . . . . . . . . 1584.5.7. Especicaciones en el dominio frecuencial . . . . . . . . 1594.5.8. Correlacin entre respuestas transitoria y frecuencial

para un sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . 1604.5.9. Estabilidad Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.5.10. Margen de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.5.11. Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.5.12. Margen de amplitud y margen de fase en el lugar de

Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5. Acciones bsicas de control 1755.1. Clasicacin de los controles automticos . . . . . . . . . . . . 1755.2. Controles de dos posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3. Accin de control proporcional (P) . . . . . . . . . . . . . . . 1795.4. Accin de control integral (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183


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iv NDICE GENERAL

5.5. Accin de control proporcional e integral (PI) . . . . . . . . . 186

5.6. Accin de control proporcional y derivativo (PD) . . . . . . . 1885.7. Accin de control proporcional, integral y derivativo (PID) . . 1905.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6. Diseo de sistemas de control en el espacio de estados 2076.1. Regulacin por realimentacin de estados . . . . . . . . . . . . 208

6.1.1. Clculo de la ganancia de realimentacin . . . . . . . . 2096.1.2. Realimentacin de estado y los ceros de la funcin de

transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.2. Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.3. Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.3.1. Observador en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.3.2. Observador completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.3.3. Observador de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . 2196.3.4. Regulacin con un observador completo . . . . . . . . . 2216.3.5. Observador de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . 222

6.4. Sistemas de seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.4.1. Ganancia del sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . 2286.4.2. Realimentacin integral de la salida . . . . . . . . . . . 2336.4.3. Controlador de dos grados de libertad . . . . . . . . . . 235

6.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

A. Representacin en grafos de circuitos elctricos 251

B. Diagramas de Bloques 257B.1. Reduccin de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . 258

C. Computacin analgica 263C.1. Sntesis de funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . 264C.2. Generacin de algunas funciones del tiempo . . . . . . . . . . 266C.3. Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

C.3.1. Escalamiento en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . 269C.3.2. Escalamiento en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 272

D. Transformada de Laplace 273

E. Simulacin de sistemas dinmicos en Matlab 275


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ndice de guras

1.1. Bloque que representa un sistema multivariable . . . . . . . . 21.2. Sistema de control escalar en lazo abierto . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Sistema de control escalar con realimentacin . . . . . . . . . 21.4. Estructura general de un sistema de control . . . . . . . . . . 31.5. Sistema de control en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Sistema de control manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Sistema de control escalar en lazo cerrado . . . . . . . . . . . 51.8. Sistema de control bivariable den lazo cerrado . . . . . . . . . 61.9. Sistema de control en lazo cerrado de un sistema trmico . . . 71.10. Sistema de control en lazo cerrado de un sistema multivariable 81.11. Sistema con realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.12. Sistemas con dos lazos de realimentacin . . . . . . . . . . . . 101.13. Ruido actuando sobre un sistema con realimentacin . . . . . 111.14. Diagrama esquemtico de un sistema controlado por computador 151.15. Pndulo invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.16. Sistema no controlable de 2 barras . . . . . . . . . . . . . . . 171.17. Sistema controlable de 2 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.18. Diagramas de cuerpo libre de la barra y el carro . . . . . . . . 191.19. Estructura de control del sistema de la gura1.15 . . . . . . . 201.20. Respuesta del control proporcional para diferentes ganancias . 231.21. (t)para valores reales del radical en (1.42) . . . . . . . . . . 241.22. Respuesta (t) sobre amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1. Representacin de un sistema lineal invariante con el tiempo . 332.2. Circuitos impropios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Circuito elctrico ejemplo2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Grco del circuito de la gura2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 362.5. Sistema mecnico traslacional2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 38

v


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vi NDICE DE FIGURAS

2.6. Circuito elctrico anlogo al sistema de la gura2.5 . . . . . . 38

2.7. Graco orientado del circuito de la gura2.6 . . . . . . . . . . 392.8. Sistema de nivel de lquido con interaccin . . . . . . . . . . . 402.9. Circuito elctrico anlogo al sistema hidrulico de la gura2.8 402.10. Sistema de suspensin magntico de una bola . . . . . . . . . 432.11. Motor de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.12. Realizacin cannica tipo Controlador . . . . . . . . . . . . . 582.13. Realizacin cannica tipo Observador . . . . . . . . . . . . . . 602.14. Realizacion tipo Controlable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.15. Realizacin tipo Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.16. Descomposicin de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.17. Sistema mecnico traslacional ejercicio2.1 . . . . . . . . . . . 74

2.18. Sistema mecnico de rotacin ejercicio2.2 . . . . . . . . . . . 752.19. Sistema mecnico traslacional ejercicio2.3 . . . . . . . . . . . 752.20. Circuito elctrico del ejercicio2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 762.21. Circuito elctrico ejercicio2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.22. Sistema mecnico ejercicio2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.23. Sistema mecnico rotacional ejercicio2.7 . . . . . . . . . . . . 772.24. Sistema del ejercicio2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.25. Sistema mecnico del ejercicio2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 792.26. Sistema del ejercicio2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.27. Sistema hidrulico del ejercicio2.12 . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.28. Sistema hidrulico ejercicio2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.29. Tanque del ejercicio2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.30. Pndulo ejercicio2.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.31. Sistema del ejercicio2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.32. Sistema fsico ejercicio2.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.33. Pndulo invertido doble ejercicio2.22 . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1. Sistema de control con realimentacin no unitaria . . . . . . . 883.2. Tpico error de estado estacionario debido a una entrada escaln 903.3. Tpico error de estado estacionario debido a una entrada rampa 913.4. Tpico error de estado estacionario debido a una entrada

parablica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.5. Respuesta tpica al escaln unitario de un sistema de control . 943.6. Sistema prototipo de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 953.7. Respuesta al escaln unitario de un sistema de primer orden . 963.8. Sistema de control prototipo de segundo orden . . . . . . . . . 98


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NDICE DE FIGURAS vii

3.9. Ubicacin de los polos para el caso subamortiguado (0< 1 y T1 < T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.15. CasoK T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.16. CasoK >1 y T1 > T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.17. Posibles casos de Nyquist del ejemplo4.10 . . . . . . . . . . . 1514.18. Caso de un solo integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.19.Wla(s)con polos sobre el eje imaginario . . . . . . . . . . . . 1544.20. Diagrama de Nyquist del ejemplo4.11 . . . . . . . . . . . . . 1554.21. Polos sobre el eje imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157


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viii NDICE DE FIGURAS

4.22. Regla de las transiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.23. Regla de transiciones para el diagrama de Bode . . . . . . . . 1594.24. Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1604.25. Sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.26. Respuesta frecuencial de un sistema de segundo orden . . . . . 1624.27. Correlacin entr Mv y Mp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.28. Grados de estabilidad de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . 1634.29. Margen de amplitud y margen de fase . . . . . . . . . . . . . . 1644.30. Lugar de Nyquist para un sistema de segundo orden . . . . . . 1654.31. Lugares de Nyquist de dos sistemas con igual margen de

amplitud pero con distinta estabilidad relativa . . . . . . . . . 1664.32. Lugares de Nyquist con el mismo margen de amplitud pero

con diferente grado de estabilidad relativa . . . . . . . . . . . 1674.33. Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.34. Margen de fase y de amplitud para el diagrama de Bode . . . 1694.35. Ubicacin polos y ceros para el problema4.12 . . . . . . . . .171

5.1. Sistema de control en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.2. Control de dos posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.3. Brecha diferencial o histresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.4. Control de dos posiciones de un sistema de nivel de lquido . . 1775.5. Respuestah (t)del sistema de la gura5.4con control de dos

posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.6. Control de dos posiciones de un sistema de nivel de lquido . . 1785.7. Accin de control proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.8. Control proporcional de una planta con perturbacin . . . . . 1795.9. Sistema de nivel de lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.10. Diagrama de bloques de un sistema de control proporcional . . 1815.11. Respuesta del sistema de la gura5.10al escaln unitario . . . 1825.12. Diagrama de bloques de sistemas de control integral . . . . . . 1835.13. Seales de error y control integrativo . . . . . . . . . . . . . . 1845.14. Seal de error y de control proporcional . . . . . . . . . . . . . 1845.15. Algunas respuestas no aceptables . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.16. Control integral del sistema de nivel de lquido de la gura 5.9 1855.17. Control proporcional e integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . 1865.18. Control PI de un sistema mecnico rotacional con inercia y

amortiguador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.19. Diagrama de bloques para un controlador PD . . . . . . . . . 189


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NDICE DE FIGURAS ix

5.20. Diagrama de bloques de una carga inercial con controlador PD189

5.21. Una posible respuesta para el sistema de la gura5.20 . . . .1905.22. Diagrama de bloques para un sistema de control PID . . . . . 1905.23. PID con derivada de la salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.24. Telescopio del transbordador espacial . . . . . . . . . . . . . . 1925.25. Diagramade cuerpo libre y diagrama de bloques para el

sistema fsico de la gura5.24a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.26. Sistema PID hidromecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.27. PID Neumtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.28. Diagrama de cuerpo libre para puntos de masa cero . . . . . . 1965.29. Diagrama de bloques de un PID neumtico . . . . . . . . . . . 2005.30. Diagrama de bloques simplicado . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.31. Sistema de nivel de lquido del problema5.3 . . . . . . . . . .2025.32. Sistema de control para el sistema del ejercicio5.7 . . . . . . . 2045.33. Diagrama de bloques del ejercicio5.8. . . . . . . . . . . . . . . 2055.34. Diagrama de bloques del ejemplo5.9. . . . . . . . . . . . . . . 2055.35. Diagrama de bloques del ejemplo5.10. . . . . . . . . . . . . . 2065.36. Diagrama de bloques del ejercicio5.11. . . . . . . . . . . . . . 206

6.1. Reubicacin de polos por realimentacin de variables de estado2096.2. Sistema con perturbacin generalizada . . . . . . . . . . . . . 2136.3. Observador en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.4. Observador completo para el sistema (6.7) . . . . . . . . . . .218

6.5. Diagrama de bloques del sistema con observador de ordenreducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6.6. Realimentacin de variables de estado con observador completo2236.7. Diagrama de bloques de un sistema con regulacin, observador

completo y observador de perturbaciones . . . . . . . . . . . . 2256.8. Diagrama de bloques en Simulink para el ejemplo6.1 . . . . .2276.9. (a) Salida del sistema y, (b) estados estimados ~x, (c)

perturbacin estimada~v (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2286.10. Diagrama de bloques simplicado para un modelo simple de

seguimiento con regulacin y observador completo . . . . . . . 229

6.11. Esquema de control con observador completo y observador deperturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.12. Diagrama del ejemplo6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.13. Servo con accin integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.14. Servo con accin integral usando un observador de estados . . 236


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x NDICE DE FIGURAS

6.15. Diagrama de bloques de un sistema de realimentacin con una

estructura de dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . 2376.16. Un controlador con dos grados de libertad basado enrealimentacin del estado y un observador . . . . . . . . . . . 237

6.17. Diagrama de bloques de un controlador general que combinaseguimiento por modelo con realimentacin de los estados yde la perturbacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

6.18. Respuesta del sistema de control de dos grados libertad parauna entrada de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.19. Diagrama de bloques en Simulink para el ejemplo6.3 . . . . .2446.20. Sistema fsico del ejercicio6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

A.1. Ramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252A.2. rboles diferentes de un mismo grco . . . . . . . . . . . . . 252A.3. Graco orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253A.4. Grco conectado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

B.1. Sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257B.2. Diagramas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.3. Diagrama de bloques del ejemploB.1 . . . . . . . . . . . . . . 259B.4. Reduccin parcial del diagrama de la guraB.4 . . . . . . . . 260B.5. Reduccin parcial del diagrama del ejemploB.1 . . . . . . . . 260B.6. Otra manera de reducir el diagrama de bloques de la gura B.3261

C.1. Diagrama de bloques funcin de transferencia 2s+1 . . . . . . . 265

C.2. Diagrama de bloques funcin de transferencia 2s+1s2+3s+4

. . . . .266C.3. Diagrama de clculo analgico de la realizacin observer . . . 267C.4. Diagrama circuital de INT1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267C.5. Diagrama circuital para obtener el inversor INV1 . . . . . . . 268C.6. Generacin de _y (t) = aAeat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268E.1. Grca de los polos y los ceros de un sistema dinmico con

Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278E.2. Respuesta al escaln unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

E.3. Respuesta al impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280E.4. Respuestas del sistema dinmico para diferentes valores de . 281E.5. Diagrama de bode para el sistema dinmico del ejemploE.6 . 282


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Prefacio

Este libro presenta el anlisis y diseo de sistemas de control en tiempocontinuo. Su objetivo es servir como texto gua para un primer curso ensistemas de control. Se espera que el estudiante tenga conocimientos previossobre ecuaciones diferenciales, anlisis vectorial matricial, circuitos elctricos,mecnica, variable compleja y la transformada de Laplace. Al nal del cursoel estudiante debe estar en capacidad de analizar y disear sistemas de controlen tiempo continuo.El libro est organizado como sigue: en el captulo 1 se presenta unaintroduccin a los sistemas de control y su diseo a partir de representacinen ecuaciones de estado y funcin de transferencia. As mismo se desarrollanejemplos de sistemas de control tpicos y un ejemplo introductorio para eldiseo de un sistema de control. En el captulo 2 se hace el modelado yanlisis de sistemas fsicos lineales y no lineales en espacio de estados, as

como diferentes mtodos de representacin y anlisis para las ecuaciones deestado. En los captulos3y4se realiza el anlisis de respuesta en el dominiodel tiempo y de estabilidad en el dominio de la frecuencia para los sistemas decontrol. Y nalmente en los captulos5y6se realiza el diseo de los sistemasde control a partir del error y usando la realimentacin de variables de estado.Se incluyen 4 anexos donde se complementa la representacin en grafos decircuitos elctricos, la simulacin con computacin analgica de los modelosde espacio de estado para sistemas dinmicos lineales, las transformadas deLaplace para algunas funciones tiles en el anlisis de sistemas dinmicos yla simulacin de los sistemas dinmicos usando Matlab R.

xi


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xii Prefacio


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Captulo 1

Introduccin a los sistemas decontrol

Un sistema es un modelo de un dispositivo o de un conjunto de ellosexistentes en el mundo real (sistema fsico). En general, el estudio de sistemasfsicos consta de cuatro partes: modelaje, descripcin matemtica, anlisisy diseo. Para desarrollar el modelo de un sistema fsico es necesario unprofundo conocimiento del mismo y de los rangos de operacin. Una vezobtenido el modelo, el paso siguiente es la descripcin matemtica la cual seobtiene utilizando leyes fsicas.A partir de la anterior descripcin se puede hacer el anlisis cuantitativo queconsiste en hallar las respuestas (salidas) debidas a la aplicacin de ciertasseales de entrada; y el anlisis cualitativo que consiste en analizar ciertaspropiedades tales como estabilidad, controlabilidad y observabilidad.Si la respuesta del sistema no es satisfactoria, el sistema debe ser mejoradou optimizado ya sea ajustando ciertos parmetros o en otros casosintroduciendo compensadores.Un sistema de control es aquel cuyo n es obtener varias respuestas deseadasa partir de ciertas entradas.La gura 1.1 muestra un bloque que representa un sistema multivariableen el que se supone hay una descripcin matemtica entre las salidas (y =

y1 y2 ynT) y las entradas (u = u1 u2 umT). Cuando m =n= 1se dice que el sistema es escalar.Sistema de control escalar en lazo abierto: aquel que utiliza un controlador(un sistema) en cascada con el sistema a ser controlado (planta o proceso)

1


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2 Introduccin a los sistemas de control

Figura 1.1: Bloque que representa un sistema multivariable

para obtener la respuesta deseada como se muestra en la gura1.2.

Figura 1.2: Sistema de control escalar en lazo abierto

Sistema de control escalar en lazo cerrado (con realimentacin): aquel queutiliza una medida de la salida actual para compararla con la respuestadeseada como se muestra en la gura1.3.El transductor es un dispositivo queconvierte una seal a otra, generalmente elctrica. Ejemplos: potencimetros,

tacmetros (tacogeneradores), termocuplas, termistores, presstatos, etc.

Figura 1.3: Sistema de control escalar con realimentacin


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1.1 Problema bsico de la ingeniera de control 3

1.1. Problema bsico de la ingeniera de

control

Figura 1.4: Estructura general de un sistema de control

El problema bsico de la Ingeniera de Control es determinar una entradau =

u1 u2 um

T(vase gura1.4) de modo que imparta sobre la

salida c =

c1 c2 cpT

cierto comportamiento deseado.Cuando la seal de referencia r (t)es constante se dene al sistema de controlcomo un regulador.

1.2. Ejemplos de sistemas de control

Ejemplo 1.1 Una lavadora puede ser el ejemplo de un sistema de control enlazo abierto (ver gura1.5) en donde la salida es el grado de limpieza actual

y la entrada es el grado de limpieza deseado.

Ejemplo 1.2 La gura1.6muestra un sistema de control manual de nivellquido en un tanque (el controlador es un ser humano) ya que una persona


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Figura 1.5: Sistema de control en lazo abierto

sensa la salida (nivel actual), la compara con el nivel deseado (seal dereferencia) y abre o cierra la vlvula de entrada de liquido dependiendo delresultado anterior.

Figura 1.6: Sistema de control manual

Ejemplo 1.3 En el sistema de control de nivel en lazo cerrado de la gura1.7 la seal resultante (error) de la comparacin entre la de referencia yotra que es proporcional al nivel actual del lquido (salida) en el tanque es la

entrada al controlador o cerebro del sistema el cual genera una seal (variablede control) que despus de ser amplicada (y posiblemente transformada)en potencia acta sobre la vlvula que permite variar el caudal de entrada(variable de control) del lquido. Ntese que se pretende que la salida, despuesde cierto tiempo, sea igual al nivel deseado.


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1.2 Ejemplos de sistemas de control 5

Figura 1.7: Sistema de control escalar en lazo cerrado

Ejemplo 1.4 En la gura1.8las seales de salida de la planta (el generadorsncrono ms el motor DC y la carga) son la magnitud del voltaje generadoy la frecuencia (que es proporcional a la velocidad del motor DC). stas,despus son comparadas con seales de referencia, las resultantes sonamplicadas (actuadores) para que acten sobre el campo del generador

sncrono y la armadura del motor DC, respectivamente. Obsrvese que sepretende que las salidas, despus de cierto tiempo, sean iguales a la magnituddel voltaje generado y la frecuencia deseadas.

Ejemplo 1.5 En la gura 1.9 se muestra el esquema de control en lazocerrado de un sistema trmico. La variable que se desea controlar es latemperatura actual del agua a la salida del tanque y la seal de referencia esla salida deseada del tanque. La variable de control (salida del controlador)es la entrada al actuador, cuya salida manipula el ujo de vapor hacia elintercambiador de calor.

Ejemplo 1.6 La gura 1.10 muestra un sistema de control multivariablede una planta de generacin trmica en el que las salidas del sistema son:oxgeno (o) en la caldera, temperatura (t) y presin (p) del vapor, y lamagnitud (v) y frecuencia (f) del voltaje generado. En este caso el controladores un computador digital (el control es efectuado mediante un algoritmo). SO,


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Figura 1.8: Sistema de control bivariable den lazo cerrado

ST, SP, SV y SF representan los sensores de oxgeno, temperatura, presin,

voltaje y frecuencia respectivamente. GV es el gobernador de velocidad dela turbina, A/D es el conversor anlogo digital, D/A es el conversor digitalanlogo y a, c y ai simbolizan el agua el combustible y el aire que le entran ala caldera respectivemnte.

Aunque los requerimientos de un sistema de control dependen lgicamentede los objetivos de diseo, se pueden enunciar en general los siguientes:

1. Debe ser estable.

2. Las respuestas (salidas) deben ser razonablemente rpidas yrazonablemente amortiguadas.

3. Los errores (si los hay) se deben reducir a un mnimo tolerable.


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1.3 Efectos de la realimentacin 7

Figura 1.9: Sistema de control en lazo cerrado de un sistema trmico

1.3. Efectos de la realimentacin

De los ejemplos anteriores se puede notar que uno de los propsitos de larealimentacin es reducir el error entre la entrada de referencia y la salidadel sistema. Se ver que la realimentacin tambin tiene efectos en las

caractersticas del sistema tales como estabilidad, ancho de banda, gananciatotal y sensitividad.Por simplicidad, por ahora se considerar el sistema en condicionesestticas.En la gura1.11considrese que G y Hson ganancias constantes.Por lo tanto,

c = Ge=G (r b) =Gr = Gr GHe (1.1)c=r = M=

G

1 + GH (1.2)

1.3.1. Efecto de la realimentacin en la ganancia totalDe (1.2) se nota que la realimentacin afecta la ganancia Gdel sistema sinrealimentacin por un factor de (1 + GH). La cantidad GH podra incluirun signo menos. As, el efecto general de la realimentacin es que se podra


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Figura 1.10: Sistema de control en lazo cerrado de un sistema multivariable

incrementar o decrementar la ganancia G.En un sistema de control prctico G y H son funciones de la frecuencia

y por lo tanto la magnitud de (1 + GH) podra ser mayor que 1 en unrango de frecuencia y menor que 1 en otro. Por eso, la realimentacinpodra incrementar la ganancia del sistema en un rango de frecuencia, perodecrementarla en otro.

1.3.2. Efecto de la realimentacin en la estabilidad

Se puede decir que un sistema es inestable si la amplitud de su salida seincrementa sin acotamiento cuando la amplitud de la entrada es acotada.Ntese de (1.2) que si GH = 1, la salida del sistema es innita paracualquier entrada nita y se dice que el sistema es inestable. Es decir, larealimentacin podra hacer que un sistema, que era originalmente estable,se vuelva inestable. Recurdese que solo se est tratando el caso estticoy, en general, GH =1 no es la nica condicin para inestabilidad.Unade las ventajas de incorporar realimentacin es que puede estabilizar un


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Figura 1.11: Sistema con realimentacin

sistema inestable. Por ejemplo, supngase que el sistema realimentado dela gura1.11es inestable debido a que GH= 1. Si se introduce otro lazode realimentacin con ganancia F, como se muestra en la gura 1.12, larelacin entrada - salida del sistema total es:

c

r =

G

1 + GH+ GF (1.3)

Ntese que aunque las propiedades deG y Hson tales que el sistema con ellazo de realimentacin interior es inestable debido a que GH= 1, el sistematotal puede ser estable si se selecciona adecuadamente la gananciaFdel lazo

de realimentacin exterior. En la prctica GHes funcin de la frecuencia y lacondicin de estabilidad del sistema en lazo cerrado depende de la magnitud yfase deGH. As, la realimentacin podra mejorar la estabilidad o empeorarlasi no es adecuadamente aplicada.

1.3.3. Efecto de la realimentacin en la sensibilidad

Consideraciones de sensibilidad a menudo son importantes en el diseo desistemas de control. Ya que todos los elementos fsicos tienen propiedadesque cambian con el ambiente y la edad, no siempre se puede considerar que

los parmetros de un sistema de control son completamente estacionariosen toda su vida de operacin. Por ejemplo, la resistencia de los devanadosde un motor elctrico cambia con el aumento de la temperatura del motordurante su operacin. En general, un buen sistema de control debe ser muyinsensitivo a variaciones en los parmetros, pero sensitivo a los comandos de


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Figura 1.12: Sistemas con dos lazos de realimentacin

entrada. Se investigar el efecto que tiene la realimentacin en la sensitividada variaciones de parmetros.Considrese en la gura 1.11 a la ganancia G como un parmetro quepodra variar. La sensitividad de la ganancia total del sistema M debidoa la variacin en G se dene como:

SMG =@M

@G

G

M =

(1 + GH) GH(1 + GH)2

(1 + GH) = 1

1 + GH (1.4)

De (1.4) se ve que siGHes una constante positiva, la magnitud de la funcinsensitividad se puede hacer arbitrariamente pequea incrementando GH,con la condicin de que el sistema permanezca estable. Lgicamente parael sistema en lazo abierto, SMG = 1. Recurdese que en la prctica GH es

funcin de la frecuencia y la magnitud de 1 + GHpodra ser menor que 1sobre algunos rangos de frecuencia de modo que la realimentacin podra serpeligrosa para la sensitividad a variacin de parmentros en ciertos casos. Sedeja como ejercicio derivar la sensitividad del sistema (ganancia total) de lagura1.11debido a la variacin H.


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1.3.4. Efecto de la realimentacin en la perturbacin

externa o ruidoTodos los sistemas fsicos estn sujetos a algunos tipos de seales extraaso ruido durante su operacin. Por ejemplo, voltajes en circuitos electrnicosdebido al ruido trmico, perturbacin externa, tal como el viento actuandosobre una antena, entre otras. Por esto, en el diseo de un sistema de controlse deben hacer consideraciones que permitan que el sistema sea insensitivo alas perturbaciones y ruidos, y sensitivo a los comandos de entrada.No se puenden sacar conclusiones generales, pero en muchas situacionesla realimentacin puede reducir el efecto del ruido y perturbacin en eldesarrollo del sistema.

Figura 1.13: Ruido actuando sobre un sistema con realimentacin

En la gura1.13, nes la seal de ruido. Si no hay realimentacin, H= 0yla salida es

c= G1G2e + G2n (1.5)

en dondee = r.La relacin seal a ruido de la salida se dene como:

salida debido a la sealsalida debido al ruido

,G1G2e

G2n =G1

e

n (1.6)

Para incrementar esta relacin se debe incrementar la magnitud de G1

o e relativo a n. Ntese que G2 no tendra efecto en esta relacin.Con realimentacin, la salida del sistema debido a r y n actuandosimultneamente es:

c= G1G2

1 + G1G2Hr+

G21 + G1G2H

n (1.7)


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Comparando (1.7) con (1.5) se ve que la componente de la salida debido

al ruido se reduce por el factor 1 + G1G2Hsi ste es mayor que 1, pero lacomponente debida a la seal tambin es cambiada por la misma cantidad.La relacin seal a rudio es:

salida debido a la sealsalida debido al ruido

=G1G2

1+G1G2Hr

G21+G1G2H

n=G1

r

n (1.8)

que es la misma que sin realimentacin. En este caso, la realimentacin notiene efecto directo en la relacin seal a rudio del sistema de la gura1.13.Sin embargo, con realimentacin y bajo ciertas condiciones se puede mejorarla relacin seal a ruido de la siguiente manera: supngase que en el sistemade la gura1.13la magnitud de G1 se incrementa a G01yr ar

0 sin cambiarlos otros parmentros, de modo que la salida debido a la seal de entradaactuando sola tiene el mismo nivel que cuando no hay realimentacin. Esdecir,

ejn=0= G01G2r

0

1 + G01G2H =G1G2r (1.9)

ConG1 incrementada aG01, la salida debido al ruido actuando sola es:

ejr=0

= G2n

1 + G01G2H (1.10)

la cual es menor que la salida debida an cuandoG1no es incrementada. Larelacin seal a ruido es ahora:

G1G2rG2n

1+G01G2H

=G1r

n (1 + G01G2H) (1.11)

la cual es mayor que la del sistema sin realimentacin por un factor de(1 + G01G2H).

Existen otras estrucutras cuando se usa realimenacin que permiten reducirlos efectos de las perturbaciones y el ruido.La realimentacin en general tambin tiene efectos en caractersticas delsistema tales como el ancho de banda, respuesta transitoria y respuestafrecuencial.


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1.4 Tipos de sistemas de control con realimentacin 13

1.4. Tipos de sistemas de control con

realimentacinLos sistemas de control con realimentacin se pueden clasicar de variasmaneras segn el propsito de la clasicacin. Por ejemplo, segn el mtodode anlisis y diseo se clasican como lineales o no lineales, variantes oinvariantes con el tiempo. De acuerdo a los tipos de seal encontradas enel sistema, se hace referencia a sistemas continuos y discretos, o sistemasmodulados y no modulados. Hay muchas maneras de identicar sistemas decontrol segn caractersticas especiales del sistema. Es importante conoceralgunas de estas maneras ms comunes de clasicacin para adquirir unaadecuada perspectiva antes de iniciar el anlisis y diseo de estos sistemas.

1.4.1. Sistemas de control lineal y nolineales

Esta clasicacin se hace de acuerdo a los mtodos de anlisis y diseo.Estrictamente hablando, los sistemas lineales no existen en la prctica.Los sistemas de control lineales son modelos idealizados fabricados por lasimplicidad de su anlisis y diseo. Si las magnitudes de las seales en unsistema presentan caractersticas lineales (es decir, se aplica el principio desuperposicin), el sistema es esencialmente lineal. Si aquellos superan el rangode la operacin lineal, dependiendo de la severidad de la no linealidad, elsistema no debe ser considerado lineal. Por ejemplo, los amplicadores usadosen sistemas de control a menudo exhiben un efecto de saturacin cuandosus seales de entrada son muy grandes; el campo magntico de un motorgeneralmente tiene propiedades de saturacin.Otros efectos no lineales son: el juego muerto entre engranajes acoplados,resortes no lineales, torques o fuerzas de friccin no lineales, etc. A menudose introducen intencionalmente caractersticas no lineales en un sistema decontrol para mejorar su desarrollo. Por ejemplo, para lograr un control detiempo mnimo, a veces se usa un controlador tipo on-o.Para sistemas lineales hay varias tcnicas para el anlisis y el diseo. Los

sistemas no lineales son generalmente difciles de tratar matemticamente, yno hay mtodos generales disponibles para resolver una amplia clase de ellos.En el diseo de sistemas de control, es prctico primero disear el controladorbasado en un modelo lineal del sistema despreciando las no linealidades. Elcontrolador diseado es luego aplicado al modelo del sistema no lineal para


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su evaluacin o rediseo por simulacin mediante computador.

1.4.2. Sistemas invariantes y variantes con el tiempo

Cuando los parmetros de un sistema de control son estacionarios conrespecto al tiempo durante su operacin, se dice que el sistema es invariantecon el tiempo. En la prctica muchos sistemas fsicos contienen elementosque varan con el tiempo. Por ejemplo, la resistencia de los devanados de unmotor elctrico variar cuando el motor es excitado y su temperatura esten aumento. Otro ejemplo de un sistema variante es el sistema de control degua de un cohete en el cual la masa de este disminuye en la medida en queel combustible est siendo consumido durante el vuelo. Aunque un sistema

variante con el tiempo y sin no linealidades es todava un sistema lineal, elanlisis y diseo de esta clase de sistemas es generalmente ms complejo queel de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo.

1.4.3. Sistemas de control de datos continuos

Un sistema de datos continuos es aquel en el que las seales del sistema sonfunciones de la variable continua tiempo t. Las seales podran adems serclasicadas como AC o DC. Cuando se hace referencia a un sistema de controlAC, generalmente signica que las seales en el sistema son moduladas poralguna clase de esquema de modulacin. Un sistema de control DC implicaque las seales no son moduladas. Componentes tpicos son: potencimetros,amplicadores DC, motores DC, tacmetros DC, etc.Los sistemas de control AC se usan en aquellos sistemas en los que el ruidoy perturbaciones crean problemas. Usando sistemas de control moduladoscon frecuencias portadoras de 400 Hz o superiores, el sistema ser menossusceptible a ruidos de baja frecuencia. Componentes tpicos de un sistemade control AC son: synchros, amplicadores AC, motores AC, etc.En la prctica no todos los sistemas de control son estrictamente del tipo ACo DC. Un sistema podra incorporar una mezcla de componentes AC y DCusando moduladores y demoduladores en varios puntos en el sistema.

1.4.4. Sistemas de control de datos discretos

Un sistema controlado por computador se puede esquematizar como semuestra en la gura1.14. La salida del proceso y (t) es una seal continua


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1.5 Ejemplo de introduccin a sistemas de control 15

Figura 1.14: Diagrama esquemtico de un sistema controlado por computador

la cual es convertida en forma digital por el convertidor anlogo / digital(A/D). La conversin se hace en los instantes de muestreotk:El computadorinterpreta la seal convertida como una sucesin de nmeros, fy (tk)g,procesa las medidas usando un algoritmo de control y entrega una nuevasucesin de nmeros,fu (tk)g. Esta es convertida a una seal anloga porun convertidor digital - anlogo (D/A). Los eventos son sincronizados porun reloj en tiempo real en el computador. El computador digital operasecuencialmente y cada operacin toma algn tiempo. El convertdor D/Adebe producir una seal continua lo cual se hace normalmente manteniendola seal de control constante entre conversiones. Este sistema contiene sealescontinuas y muestreadas por lo que han sido denominados sistemas de datos

muestreados.La mezcla de diferentes tipos de seales algunas veces causa dicultades. Enla mayora de los casos, sin embargo, basta describir el comportamiento delsistema en los instantes de muestreo. As las seales son de inters nicamenteen tiempos discretos y tales sistemas son llamados sistemas discretos. Comostos tratan con sucesiones de nmeros, una manera natural de representarloses usar ecuaciones en diferencia.

1.5. Ejemplo de introduccin a sistemas de

controlEn la gura 1.15la barra B es restringida a movimientos en el plano delpapel y es balanceada sobre la parte superior del carroC.El objetivo de control consiste en mantener la barra verticalmente tanto


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Figura 1.15: Pndulo invertido

como sea posible. La barra y el carro constituyen la planta o el sistema aser controlado, el cual sera inestable sin la asistencia de la seal de control(fuerza de control)u. La inestabilidad no es una caracterstica general de lossistemas controlados; la razn de este ejemplo es enfatizar que an sistemasinestables pueden ser adecuadamente controlados. Para simplicar el anlisis,se supondr ausencia total de fuerzas perturbadoras predecibles.Para lograr el objetivo de control se instala un motor en el carro y a travsde engranajes se genera una fuerzausobre las ruedas del carro. Ntese que lasolucin planteada se basa en la intuicin y esta podra fallar para sistemasms complejos. Considrese por ejemplo los sistemas de las guras 1.16y1.17El sistema de la gura1.17puede ser balanceado mientras que el sistema dela gura1.16no. Esto se debe a que el sistema de la gura1.17escontrolablemientras que el de la gura 1.16 no. Los conceptos de controlabilidad yobservabilidad, sern vistos posteriormente.

1.5.1. Construccin del modelo matemticoEl modelo debe revelar cmo la salida del sistema, representada en este casopor la desviacin angular , es afectada por la seal de control u. Paraobtener el modelo matemtico, representado por un sistema de ecuaciones


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Figura 1.16: Sistema no controlable de 2 barras

diferenciales, se necesita usar relaciones bsicas de la mecnica clsicaaplicables a este sistema fsico.En la gura1.18las coordenadas de los centros de gravedad con respecto aun origen arbitrariamente escogido son:

1. Para el carro:posicin horizontal :y

2. Para la barra:

posicin horizontal : y+ L sin posicin vertical : L cos

Si se toman momentos alrededor del centro de gravedad de la barra ysumando las fuerzas que actuan sobre el carro y la barra en direccionesverticales y horizontal, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Id2

dt2 = V L sin HL cos (1.12)

V mg = md2

dt2(L cos ) (1.13)H = m

d2

dt2(y+ L sin ) (1.14)

u H = Md2y

dt2 (1.15)


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Figura 1.17: Sistema controlable de 2 barras

El momento de inercia de la barra I se calcula con respecto a su centro degravedad y es I= 13mL

2. El sistema de ecuaciones (1.12) a (1.15) se puedereescribir de la siguiente manera:

I = V L sin HL cos (1.16)V

mg =

mL sin + _2 cos (1.17)H = my+ mL

cos

_2

sin

(1.18)

u H = My (1.19)

Ntese que las ltimas son ecuaciones diferenciales no lineales. Las 4 variablesdesconocidas son,y,V,H, suponiedo queupodra ser especicada. Nteseque este es un problema ms de sntesis que de anlisis puesto que se debeespecicar una funcin adecuada para la seal de control u. Este problemano es simple y no tiene solucin nica.

1.5.2. Linealizacin del modelo matemtico

Aunque las ecuaciones (1.16) a (1.19) podran ser resueltas por simulacin enun computador analgico por ejemplo, se har por linealizacin. Cualquier


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Figura 1.18: Diagramas de cuerpo libre de la barra y el carro

sistema de ecuaciones diferenciales no lineales puede ser linealizado si lasvariables dependientes son limitadas a pequeas variaciones alrededor de

un punto, llamado punto de operacin. Ntese de las ecuaciones, que la nolinealidad aparece fundamentalmente en la variable. Considrese entoncessolamente pequeas desviaciones del ngulo : 1 rad. Utilizando laexpansin en series de Taylor:

f(x) =1Xn=0

f(n) (x0)

n! (x x0)n

las funcionessin y cos se pueden expandir alrededor del punto = 0sinconsiderar las derivadas de orden superior a 1 como:

sin =

3

3!

+

(1.20)

cos = 1 2

2! + 1 (1.21)

Reemplazando (1.20) y (1.21) en las ecuaciones (1.16) a1.19, y considerandoque las potencias de y sus derivadas, y multiplicaciones de son


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aproximadamente cero, se obtiene

I = V L HL (1.22)V mg = 0 (1.23)

H = my+ mL (1.24)

u H = My (1.25)Eliminando V yHdel anterior sistema de ecuaciones se obtiene

I+ mL2

+ mLy mgL = 0 (1.26)mL + (m + M) y = u (1.27)

1.5.3. Seleccin deu (estrategia de control)

Figura 1.19: Estructura de control del sistema de la gura1.15

Para supervisar y controlar el ngulo se escoge la estructura del sistemacomo se muestra en la gura1.19. El sensor da informacin sobre la cuales realimentada al controlador y el cual genera la seal u para corregirla posicin del carro. Ntese que esta estructura es del tipo lazo cerrado.Se deben considerar las limitaciones fsicas del sensor y el controlador, sinembargo, se harn simples suposiciones acerca de sus reacciones. Por lo tantose tiene libertad en escoger la seal u (), es decir como reaccionan el sensory el controlador en respuesta a la seal .

Acciones bsicas de control

Control proporcional: La estrategia ms simple de control se obtienecuando el controlador produce una fuerza proporcional a la desviacin


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angular, es decir:

u=K1 (1.28)(K1en el sistema MKS tiene dimensiones de Newton/radin). Ntese que sehan despreciado los retardos en tiempo debidos al sensor y al controlador,es decir, se ha supuesto que responden instantneamente, lo cual fsicamenteno es posible. Sin embargo, la aproximacin es de naturaleza realstica.Reemplazando (1.28) en1.26y1.27se obtiene:

I+ mL2

+ mLy mgL = 0 (1.29)mL + (m + M) y K1 = 0 (1.30)

Eliminando yen (1.29) y (1.30) se obtiene:

+ K1 g (m + M)

I(m + M) + mML2mL= 0 (1.31)

Para abreviar, defnase:

w2 , K1 g (m + M)I(m + M) + mML2

mL (1.32)

a , K1m + M

(1.33)

b , mL

m + M (1.34)

Utilizando (1.32), (1.33) y (1.34) y reemplazando en (1.31), (1.29) y (1.30)se obtiene:

+ w2= 0 (1.35)

y= a b (1.36)Ntese que es independiente de y , pero lo opuesto no es cierto. Supngaselas siguientes condiciones iniciales:

y (0) = _y (0) = _ (0) = 0

(0) =0

y defnase el siguiente parmetro que se llamar ganancia crtica, Kcr:Kcr , g (m + M) (1.37)

Se pueden considerar los 3 siguientes casos, cuyas respuestas se puedenobtener fcilmente utilizando la transformada de Laplace:


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1. K1 > Kcr(Ganancia supercrtica). La solucin de las ecuaciones (1.35)

y (1.36) es: (t) = 0cos (wt)

y (t) = 0a + bw2

w2 (1 cos(wt))

2. K1 = Kcr(Ganancia crtica). En este caso las ecuaciones (1.35) y (1.36)se convierten en:

= 0

y = a

cuya solucin es:

(t) = 0

y (t) = 0a

2t2

3. K1 < Kcr(Ganancia subcrtica). Reescribiendo las ecuaciones (1.35) y(1.36):

jwj2 = 0y= a b

y resolviendo se obtiene:

(t) = 0cosh (jwj t)

y (t) = 0a b jwj2

jwj2 (cosh (jwj t) 1)

Las respuestas de (t)para cada uno de los casos se muestran en la gura1.20.Ntese que este sistema de control proporcional tiene una respuestainaceptable para valores muy bajos deK1. El motor es demasiado dbil para

corregir las desviaciones angulares, asi que el ngulo crecer indenidamentehasta que la barra cae. Se dice entonces que el sistema es inestable.Para K1 > Kcr la barra y el carro desarrollan oscilaciones armnicas (comolas de un pndulo sin amortiguamiento). Ntese que la barra no cae y sepuede decir que el objetivo de control ha sido pobremente satisfecho.


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Figura 1.20: Respuesta del control proporcional para diferentes ganancias

Control proporcional ms derivativo: Las oscilaciones debidas alcontrol proporcional se pueden amortiguar por medio del control derivativo.La presencia de oscilaciones no amortiguadas se debe al hecho de que el

motor acta solo despus de que la desviacin angular ya ha ocurrido. Tienesentido entonces hacer que el motor acte con su fuerza correctiva cuandolas desviaciones estn a punto de ocurrir. Una posible solucin es hacer lafuerza de control u igual a una combinacin lineal de e y _e:

u= K1e + K2 _e (1.38)

Obviamente se requiere un sensor ms sosticado que mida ey _eo un mediode diferenciar la seal e. La inclusin de la derivada de una seal signicafsicamente que se est hbil para desarrollar un cierto grado de prediccinde los valores futuros de e, ya que _ees una medida de la tasa de cambio de

edando una indicacin de hacia donde va e.Reemplazando (1.38) en1.26y1.27se obtiene:I+ mL2

+ mLy mgL = 0 (1.39)

mL + (m + M) y K1 K2_ = 0 (1.40)


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Eliminando yen las ecuaciones (1.39) y (1.40) se obtiene:

+ 2 _ + w2= 0 (1.41)

en donde:

, 1

2

mLK2I(m + M) + mML2

w2 , K1 g (m + M)I(m + M) + mML2

mL

Suponiendo las mismas condiciones iniciales que antes y usando latransformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial (1.41) se

obtiene:

(t) =0wp

w2 2 et sin

pw2 2t + tan1

pw2 2

(1.42)

que es vlida para valores reales del radical y cuya forma de onda se muestraen la gura1.21

Figura 1.21: (t)para valores reales del radical en (1.42)


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Cuando el trmino derivativo es grande en comparacin con el trmino

proporcional, el radical es imaginario y la respuesta del sistema essobreamortiguada, como se muestra en la ecuacin

(t) = 1

20

1pw2 2 (1.43)n

+p

2 w2

e(+p2w2)t

p2 w2

e(+

p2w2)t

o

Esta solucin que se muestra en la gura 1.22, sucede cuando > jwj.Como se puede apreciar de las guras 1.20,1.21y1.22, no hay duda acerca

Figura 1.22: Respuesta (t)sobre amortiguada

de la superioridad del control derivativo ms proporcional sobre el controlproporcional en este caso.

Posteriormente se analizarn criterios para la escogencia de las gananciasK1 y K2. Las estrategias de control usadas se escogieron con base en laintuicin y luego se conrmaron las respuestas aceptables del sistema. Elanlisis se simplic debido a que el sistema se linealiz. Existe innitonmero de estrategias de control, lineales y no lineales. Una no lineal es


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el control on-o, que se dene como:

u= jjumaxsgn=umaxsgn (1.44)

Ntese que el controlador propuesto en el anterior ejemplo no se garantizapara otras condiciones que las supuestas en el anlisis, es decir, para pequeas(innitesimales en el sentido estricto) perturbaciones.


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Captulo 2

Anlisis de sistemas linealesdinmicos mediante variablesde estado

En contraste con el anlisis y diseo mediante la funcin de transferencia desistemas de control lineales, el mtodo de las variables de estado (tcnica deespacio de estado) es considerado como moderno ya que conduce al controlptimo. La caracterstica bsica de la formulacin con variables de estadoes que sistemas lineales, no lineales, invariantes y variantes con el tiempo,escalares y multivariables se pueden modelar de una manera unicada. Lasfunciones de transferencia, por otro lado, se denen solo para sistemas linealese invariantes con el tiempo.Se considerarn sistemas determinsticos, es decir aquellos en los quesu comportamiento futuro es completamente predecible. En realidad, lossistemas fsicos no son completamente determinsticos debido a la faltade certeza en las observaciones y medidas, y por lo tanto en los modelosmatemticos. Cuando se siente duda acerca de la validez del modelo, lo mejorque se puede esperar es que el comportamiento del sistema estar dentro deciertos lmites.Los modelos dinmicos de la mayora de sistemas fsicos consisten de

conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. Las ordinariasson aquellas en las que el tiempo tes la nica variable independiente y lasparciales cuando adems aparecen derivadas con respecto a las coordenadasespaciales.

27


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28 Anlisis de sistemas lineales dinmicos mediante variables de estado

Si en un caso particular se contruye un modelo con solo ecuaciones ordinarias,

se ha supuesto tcitamente que ninguna de las variables dependientes esdependiente del espacio. En el sentido ms estricto, esto es una aproximacin.Ntese que al establecer el modelo matemtico para un sistema existe uncompromiso entre precisin y complejidad por un lado, y aproximacin ysimplicidad por el otro. Cada caso debe ser juzgado sobre sus propios mritosy sera imposible dar reglas generales. Sin embargo, la experiencia enseaque en la mayora de los casos se puede reducir el modelo a un conjunto deecuaciones diferenciales ordinarias. Este captulo supondr la existencia detal conjunto. Es posible bajo suposiciones muy generales, reducir tal conjuntode ecuaciones a lo que se conoce como su forma normal.De esta manera se tienen las siguientes ventajas:

1. Las ecuaciones por s mismas conducen a discusiones generales.

2. Cuando las ecuaciones representan un sistema de alto orden, es decir,cuando hay involucradas muchas variables dependientes, la formanormal combinada con la notacin compacta de matrices y el algebravectorial, permite usar un lenguaje matemtico conveniente y elegante.

3. Las ecuaciones del sistema expresadas en esta forma son tiles para suprogramacin directa tanto en computadores analgicos como digitales.

4. Las ecuaciones sirven como punto de partida para denir el estado deun sistema.

2.1. Reduccin de las ecuacionesdiferenciales a su forma normal

Se normalizarn las ecuaciones diferenciales 1.26 y 1.27 obtenidas en elejemplo introductorio. Resolviendo para las derivadas de ms alto orden seobtiene en este caso:

= (m + M) mgL

I(m + M) + mML2 mL

I(m + M) + mML2u (2.1)

y = gm2L2

I(m + M) + mML2 (I+ mL

2)

I(m + M) + mML2u (2.2)


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2.1 Reduccin de las ecuaciones diferenciales a su forma normal 29

Estas dos ecuaciones de segundo orden denen juntas un sistema de cuarto

orden. Deniendox1=,x2 = _, x3 = y, x4= _y, y reescribiendo el sistemacomo ecuaciones diferenciales de primer orden a partir de las ecuaciones

(1.26) y (1.27) se obtiene

_x1 = x2 (2.3)

_x2 = (m + M) mgL

I(m + M) + mML2x1 mL

I(m + M) + mML2u (2.4)

_x3 = x4 (2.5)

_x4 = gm2L2

I(m + M) + mML2x1 (I+ mL

2)

I(m + M) + mML2u (2.6)

Las ecuaciones (2.3) a (2.6) se pueden reescribir en forma matricialobteniendo la ecuacin de estado

2664

_x1_x2_x3_x4

3775 =

26664

0 1 0 0(m+M)mgL

I(m+M)+mML2 0 0 0

0 0 0 1gm2L2

I(m+M)+mML2 0 0 0

377752664

x1x2x3x4

3775 +

26664

0 mL

I(m+M)+mML2

0

(I+mL2)

I(m+M)+mML2

37775 u (t) (2.7)

En forma compacta:_xi= ai(x1; x2; x3; x4; u) ; i= 1; 2; 3; 4 (2.8)

donde ai es la i-sima funcin que relaciona las variables de estado y lasentradas.Un sistema de ecuaciones diferenciales transformadas as se dice que esreducido a su forma normal. Ntese que la forma no es nica ya que esposible encontrar diferentes conjuntos de variables x que resultan en unaforma del tipo (2.8).En este ejemplo, que era de cuarto orden, fue necesario introducir 4 variables

x. Generalmente para un sistema de orden n la reduccin a su forma normalnecesitar n variablesx : x1; x2; : : : ; xn.Adems, mientras en el ejemplo solo hay una variable de control u, en un casoms general se tendrn p variables de control u1; u2; : : : ; up. As, el conjuntonormal de ecuaciones diferenciales es de la forma:


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_x1 = a1(x1; x2; : : : ; xn; u1; u2; : : : ; up) (2.9)_x2 = a2(x1; x2; : : : ; xn; u1; u2; : : : ; up)

...

_xn = an(x1; x2; : : : ; xn; u1; u2; : : : ; up)

Integrando (2.9) se obtiene

xi(t) =xi(0)+

Z t0

ai(x1; x2; : : : ; xn; u1; u2; : : : ; up) d; i = 1; 2; : : : ; n (2.10)

Ntese de (2.10) que cada una de las n variablesx se pueden determinar encada momento de tiempot si y solo si:

1. Cada variable es inicialmente conocida (es decir, se deben especicarncondiciones incialesxi(0)).

2. Todas las variables de control son especicadas en el intervalo 0 a t.

2.2. Concepto de estado y variables de estado

De los resultados anteriores, se puede interpretar a las n variablesindependientes x como portadoras de toda la informacin sobre el estadotransitorio del sistema. Inicialmente (t = 0), el estado total del sistema sepuede expresar por lasnvariables evaluadas en cerox1(0) ; x2(0) ; : : : ; xn(0)y bajo la inuencia de las p variables de control y las ecuaciones quelo describen, el estado que se puede obtener de (2.10), cambiar. Sedene entonces el estado del sistema como el vector n-dimensional cuyascomponentes son las variables de estado x1(t) ; x2(t) ;:::;xn(t):

x (t) ,26664

x1(t)x2(t)

...xn(t)

37775 (2.11)En general cada variable de estado tiene su signicado fsico. As en el ejemplodel pndulo invertido las 4 variables de estado representaban las posiciones


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2.2 Concepto de estado y variables de estado 31

angular , lineal y, y las correspondientes velocidades _ y _y. Para muchas

clases de sistemas no es tan simple denirlas. Adems. a veces se corre elriesgo de sobreespecicar un sistema deniendo demasiadas variables, esdecir, las variables de estado escogidas no son todas independientes.La siguiente es una denicin general del estado de un sistema:

Denicin 2.1 El estado de un sistema es un conjunto mnimo decantidadesx1(t) ; x2(t) ;:::;xn(t)llamadas variables de estado, que contienenla informacin suciente sobre la historia pasada del sistema y que permitencalcular todos los estados futuros del sistema, suponiendo que todas lasentradas futuras y las ecuaciones que describen el sistema se conocen. Esdecir, si la variables de estado se conocen en un tiempo t = t0 pueden ser

determinadas parat t0 al especicar las entradas del sistema parat t0.El nmero n de variables de estado dene el orden o la dimensin delsistema. A veces se usa el trmino espacio de estado para designar el espacion-dimensional en el que x (t)vara. El vector de estado x (t)trazar un estadoo trayectoria de fase en el espacio n-dimensional a medida que transcurre eltiempo. En el caso bidimensional el espacio de estado se llama plano de fase.Si se dene el vector de control u (t)p-dimensional

u(t)

,

26664

u1(t)u2(t)

...up(t)

37775

y la funcin vectorial a n-dimensional como

a ,

26664

a1a2...

ap

37775

se puede reescribir el conjunto de ecuaciones (2.9) en forma compacta usandola notacin vectorial:

_x (t) = a (x (t) ; u (t)) (2.12)

En el ejemplo del pndulo invertido los parmetros (g, L, etc.) eraninvariantes con el tiempo. Sin embargo, algunos sistemas de control son


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variantes con el tiempo. Por ejemplo, masas que varan con el consumo de

combustible, la fuerza gravitatoria cambia a medida que un vehculo se alejade la tierra, etc. En estos sistemas la funcin vectorial a ser una funcinexplcita del tiempo t. Entonces (2.12) ser de la forma

_x (t) = a (x (t) ; u (t) ; t) (2.13)

Si la funcin vectorial acorresponde a una funcin lineal, es posible escribirlas ecuaciones (2.12) y (2.13) de la forma

_x (t) = Ax (t) + Bu (t) (2.14)

y_x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) (2.15)

respectivamente. Donde las matrices A y B son matrices de dimensionesn ny n p, con elementos constantes para el caso de la ecuacin (2.14) ycon elementos variantes en el tiempo para el caso de la ecuacin (2.15).Las cantidades fsicas que pueden ser medidas son llamadas salidas delsistema y se denotan como y1(t) ; y2(t) ;:::;yq(t). El vector de salida

y (t) ,26664

y1(t)

y2(t)...yq(t)

37775es generalmente una combinacin de las variables de estado y a veces de lasvariables de control. Es decir

y (t) = Cx (t) + Du (t) (2.16)

donde C y D son matrices de dimensionesqnyqp. Es importante hacernotar que, en general, el nmero de variables de estado de un sistema fsicoes igual al nmero de elementos almacenadores de energa independientes.La representacin esquemtica de un sistema lineal e invariante con el tiempode acuerdo a las ecuaciones (2.14) y2.16se muestra en la gura2.1.


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2.3 Ecuaciones de estado para circuitos elctricos 33

Figura 2.1: Representacin de un sistema lineal invariante con el tiempo

2.3. Ecuaciones de estado para circuitoselctricos

Se ver un procedimiento sistemtico para asignar variables de estado yplantear las ecuaciones de estado para circuitos con parmetros concentradosque pueden contener fuentes independientes de voltaje y corriente.Si en una red elctrica se conocen las corrientes en todas las inductanciasy los voltajes en todos los condensadores, entonces el comportamiento de lared est completamente descrito. Por lo tanto es natural seleccionar comovariables de estado las corrientes en todos los inductores y los voltajes entodos los capacitores en redes propias (que no son impropias).Una red impropia es aquella que contiene por lo menos una trayectoriacerrada (llamada impropia) compuesta nicamente de condensadores y/ofuentes independientes de voltaje y/o un corte (llamado impropio) formadonicamente por inductores (con o sin acoplamiento mutuo) y/o fuentesindependientes de corriente. Ntese que al aplicar la segunda (primera)ley de Kirchho a cada trayectoria impropia (corte impropio) apareceuna dependencia lineal entre los voltajes (corrientes) de los condensadores

(inductancias) que forman parte de ella (el). Por lo tanto, en una redimpropia se deben escoger como variables de estado los voltajes en todos loscondensadores, menos uno por cada trayectoria impropia (el correspondientea cualquiera de los condensadores de la trayectoria impropia) y lascorrientes en todas las inductancias, menos una por cada corte impropio


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(la correspondiente a cualquiera de las inductancias del corte impropio) para

que el nmero de variables de estado sea mnimo (es decir, no haya variablesde estado redundantes).Recurdese que un conjunto de cortes es mnimo si cada uno de ellos tieneuna sola rama.

Figura 2.2: Circuitos impropios

Ntese que si en cualquiera de los circuitos impropios de la gura 2.2 seasignan los voltajes en todos los condensadores y las corrientes en todas lasinductancias como variables de estado se ve que x1(t) =x2(t)para todo t.Obviamente hay una redundancia aqu.

2.3.1. Mtodo sistemtico para obtener las ecuacionesde estado

1. Hacer un grco y seleccionar un rbol que se llamar rbol normal,en donde las ramas de este se escogen en el siguiente orden: fuentes devoltaje, capacitores, resistencias, inductancias y fuentes de corriente.Por lo tanto, un rbol normal consiste de todas las las fuentes devoltaje, el mximo nmero permisible de capacitores (en el caso deuna trayectoria impropia no todos los condensadores pueden formarparte del rbol), las resistencias y nalmente el nmero mnimo deinductancias. Generalmente no contiene fuentes de corriente.

2. Asignar los voltajes en los condensadores que forman parte del rbolnormal y las corrientes en las inductancias que corresponden a enlacescomo variables de estado. Los voltajes en los condensadores quecorresponden a enlaces y las corrientes en las inductancias que forman


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parte del rbol normal no son necesarios escogerlos como variables de

estado.3. Expresar los voltajes y corrientes a travs de todas las resistencias,

todos los condensadores que correspondan a enlaces y todos losinductores que forman parte del rbol normal en funcin de las variablesde estado y las entradas (fuentes independientes) mediante la aplicacinde la segunda y la primera ley de Kirchho a los anillos (un anillo es unatrayectoria cerrada que contiene un slo enlace) y cortes que contienenaquellos elementos.

4. Aplicar la segunda y la primera ley de Kirchho a cada anillo y cadacorte que contiene cada elemento que ha sido asignado como variable

de estado.

Ejemplo 2.1 Plantear las ecuaciones de estado y de salida del circuitomostrado en la gura2.3

Figura 2.3: Circuito elctrico ejemplo2.1

Se obtiene el grco orientado que se muestra en la gura 2.4,en donde elrbol es un rbol normal.Se escogen como variables de estado a

x =24x1x2

x3

35= 24v2v3i7

35Se expresan a v6 (y por tanto i6) e i4 (y por tanto v4) en funcin de lasvariables de estado y de las entradas, usando las leyes de Kirchho. Aplicando


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Figura 2.4: Grco del circuito de la gura2.3

la segunda ley de Kirchho en el anillo formado por los nodos 1-0-2-1 seobtiene:

v6 = u1(t) x1Por lo tanto:

i6 =u1(t) x1

R1(2.17)

Aplicando la primera ley de Kirchho al corte c4 se obtiene:

i4 = x3

Por lo tanto:

v4 = R2x3

Ahora se obtienen las ecuaciones de estado. Aplicando la primera ley deKirchho al corte c2, usando (2.17) y organizando se obtiene la ecuacin(2.18)

_x1=

1

R1C1

x1

1

C1

x3+ 1

R1C1

u1(t) + 1

C1

u2(t) (2.18)

Usando la primera ley de Kirchho en el corte c3 y organizando se obtienela ecuacin (2.19)

_x2= 1

C2x3 (2.19)


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Aplicando la segunda ley de Kirchho en el enlace formado por los nodos

0-2-3-4-0 y organizando se obtiene la ecuacin

_x3= 1

Lx1 1

Lx2 R2

Lx3 (2.20)

Reescribiendo (2.18), (2.19) y (2.20) en forma matricial se obtiene la ecuacinde estado2

4 _x1_x2_x3

35=

24 1R1C1 0 1C10 0 1

C21L

1L

R2L

3524x1x2

x3

35 +

24 1R1C1 1C10 0

0 0

35u1(t)

u2(t)

La ecuacin de salida se puede expresar fcilmente en funcin de las variablesde estado y las entradas como

y = v7 = L _x3 = x1 x2 R2x3La cual escrita en forma matricial es

y (t) =

1 1 R224x1x2

x3

35 (2.21)

Ntese que el mtodo anterior se puede extender a sistemas mecnicos tanto

traslacionales como rotacionales, hidrulicos, neumticos y trmicos si seutilizan las analogas que existen entre estos sistemas y los elctricos. Sinembargo como se vi en el ejemplo al comienzo de este captulo, existen vasnaturales para obtener las ecuaciones de estado a partir de las obtenidasusando leyes fsicas.Otras tcnicas para obtener las ecuaciones de estado a partir de la funcinde transferencia (vlida por lo tanto solo para sistemas lineales y escalares)se vern ms adelante.

Ejemplo 2.2 Plantear un conjunto de ecuaciones de estado para el sistemamecnico traslacional de la gura2.5.

Ntese de la gura2.5que hay dos velocidades cque se suponen positivascon respecto a la referencia. Utilizando la analoga fuerza-torque-corriente seobtiene el circuito elctrico anlogo al sistema mecnico traslacional de lagura2.5.De la analoga ntese que: Ci = Mi, Li = 1Ki , Ri =

1Bi

, ei = _yi,


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Figura 2.5: Sistema mecnico traslacional2.2

u=p,i= 1; 2. Las variables de estado son:x1= v1,x2= v2,x3= i3,x4 = i4,en donde en el sistema mecnico x1 y x2 corresponden a las velocidades _y1,_y2 y x3, x4a las fuerzas sobre los resortes K1,K2, respectivamente.Aplicando sumatoria de corrientes en los nodos 1 y 2 igual a cero se obtiene:

C1_x1+ x1

R1+ x3

(x2 x1)

R2 x4= 0 (2.22)

C2_x2+(x2 x1)

R2+ x4 u= 0 (2.23)

Figura 2.6: Circuito elctrico anlogo al sistema de la gura2.5


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Figura 2.7: Graco orientado del circuito de la gura2.6

y calculando la sumatoria de voltajes igual a cero en los anillos 0-2-0 y 1-2-0-1se obtiene

L1_x3 x1= 0 (2.24)L2_x4+ x1 x2= 0 (2.25)

Reemplazando en las ecuaciones (2.22), (2.23), (2.24) y (2.25) y reescribiendoen forma matricial se obtiene la ecuacin de estado de la forma

2664_x1_x2

_x3_x4

3775=2664 (B1+B2)

M1

B2M1

1M1

1M1

B2M2

B2M2

1M2

1M2

K1 0 0 0K2 K2 0 0

37752664x1x2

x3x4

3775+2664

01M2

00

3775p (t) (2.26)

Ejemplo 2.3 Plantear un conjunto de ecuaciones de estado para el sistemahidrulico de nivel de lquido de la gura2.8.

El modelo matemtico que se plantea supone que el sistema de la gura 2.8eslineal (ujo laminar) o que las variables son desviaciones pequeas alrededorde un punto de operacin.Un circuito elctrico anlogo al sistema de la gura2.8se muestra en la gura2.9.Calculando sumatoria de corrientes en los nodos 1 y 2 igual a cero se obtiene

Q (t) = C1 _H1(t) +H1(t) H2(t)

R1(2.27)

0 = C2 _H2(t) +H2(t)

R2+

H2(t) H1(t)R1

(2.28)


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Figura 2.8: Sistema de nivel de lquido con interaccin

Figura 2.9: Circuito elctrico anlogo al sistema hidrulico de la gura2.8

Reescribiendo las ecuaciones 2.27y 2.28 en forma matricial se obtiene laecuacin de estado:

_H1_H2

=

1R1C1

1R1C1

1R2C2

R1+R2R1R2C1

H1H2

+

1C1

0

Q (t) (2.29)

Si se considera como salida el caudal Q1 por ejemplo, la ecuacin de salidaesta dada por

Q1= 1R1

1R1

H1H2

(2.30)


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2.4 Linealizacin de sistemas no lineales 41

2.4. Linealizacin de sistemas no lineales

Un sistema es lineal si cumple con el principio de superposicin. Sea xI elvector de estado de un sistema con entrada arbitraria uIy xIIel estado delmismo sistema con entrada arbitraria uII. Si se considera xI+ xIIel estadodel sistema cuando las entradas uI y uII son aplicadas simultaneamente,entonces el principio de superposicin se aplica y el sistema es lineal. Sesupone que el estado inicial x (0) es cero en los tres casos. Se deja comoejercicio al lector probar que aquellos sistemas cuyas ecuaciones de estadoson de la forma (2.31) son lineales.

_x = Ax + Bu (2.31)

La teora de control dispone de tcnicas analticas de suciente aplicabilidadgeneral que pueden ser usadas en el gran nmero existente de sistema deingeniera lineales o en aquellos no lineales pero que pueden ser linealizadasalrededor de un punto de operacin.Sea el conjunto de ecuaciones de estado no lineales que describen elcomportamiento de un sistema fsico

_x (t) = a (x (t) ; u (t)) (2.32)

con ecuacin de salida no lineal dada por

y (t) = c (x (t) ; u (t)) (2.33)

y en donde u es un vector columna de p entradas, y es un vector columnadeqsalidas, x es un vector columna de n variables de estado, y donde ay cson funciones vectoriales no lineales que dependen de uy de x.Sea la trayectoria nominal de operacin denotada por x0, la cual correspondea la entrada nominal u0. Lgicamente x0satisface la ecuacin vectorial (2.34)

_x0 = a (x0; u0) (2.34)

Expandiendo en series de Taylor la ecuacin de estado no lineal (2.32)

alrededor de un punto de operacin, se obtiene

_xi=1Xk=1

24 nXj=1

@kai(x; u)

@xkj

x0;u0

xkjk!

+

pXj=1

@kai(x; u)

@ukj

x0;u0

ukjk!

35 (2.35)


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donde i = 1; 2; : : : ; n, _xi = _xi ai(x0; u0), xkj = (xj x0j)k y ukj =

(uj u0j)k

. Si se desprecian las derivadas de orden superior, se obtiene laecuacin simplicada

_xi =nX

j=1

@ai(x; u)

@xj

x0;u0

xj+

pXj=1

@ai(x; u)

@uj

x0;u0

uj (2.36)

La ecuacin (2.36) se puede escribir de forma matricial como

_x = Ax + Bu (2.37)

donde

A =

26664@a1

@x1

@a1

@x2 @a1

@xn@a2@x1

@a2@x2

@a2@xn

... ...

. . . ...

@an@x1

@an@x2

@an@xn

37775x0;u0

; B =

26664@a1

@u1

@a1

@u2 @a1

@up@a2@u1

@a2@u2

@a2@up

... ...

. . . ...

@an@u1

@an@u2

@an@up

37775x0;u0

De manera similar para la ecuacin de salida no lineal descrita por (2.33) setiene

yi=1Xk=1

2

4

nXj=1

@kci(x; u)

@xkj

x0;u0

xkjk!

+

pXj=1

@kci(x; u)

@ukj

x0;u0

ukjk!

3

5 (2.38)

dondei = 1; 2; : : : ; q , yi= yi ci(x0; u0). Si se desprecian las derivadas deorden superior se obtiene

yi =nX

j=1

@ci(x; u)

@xj

x0;u0

xj+

pXj=1

@ci(x; u)

@uj

x0;u0

uj (2.39)

La ecuacin (2.39) se puede escribir de forma matricial como

y = Cx + Du (2.40)

donde

C =

26664@c1@x1 @c

1@x2 @c1@xn@c2@x1

@c2@x2

@c2@xn

... ...

. . . ...

@cq@x1

@cq@x2

@cq@xn

37775x0;u0

; D =

266664@c1@u1

@c1@u2

@c1@up

@c2@u1

@c2@u2

@c2@up

... ...

. . . ...

@cq@u1

@cq@u2

@cq@up

377775x0;u0


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Ntese que las matrices A, B, Cy Dson evaluadas en el punto de nominal.

As se ha linealizado el sistema no lineal de las ecuaciones2.32y2.33en unpunto nominal de operacin. Sin embargo, en general, aunque las ecuaciones(2.37) y 2.40 son lineales, podran contener elementos que varan con eltiempo.

Ejemplo 2.4 La gura 2.10 muestra el diagrama de un sistema desuspensin magntico de una bola metlica. El objetivo del sistema escontrolar la posicin de la bola ajustando la corriente en el electroimnmediante el voltaje de entradae (t). Plantear un modelo matemtico medianteecuaciones de estado y linealizarlo alrededor del punto de equilibrio y0(t) =Y0= constante.

Figura 2.10: Sistema de suspensin magntico de una bola

Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema se puedenobtener aplicando la segunda ley de Newton a la bola y la segunda ley deKirchho al circuito elctrico:

Mg i2

y = M

d2y

dt2 (2.41)

e (t) = Ri + Ldi

dt (2.42)

Si se denen las variables de estado como: x1 = y, x2 = dy

dt, x3 = i, las

ecuaciones de estado del sistema son

_x1 = x2 (2.43)_x2 = g 1

M

x23x1

(2.44)

_x3 = RL

x3+ 1

Le (t) (2.45)


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Se determina el punto nominal de operacin. Puesto que y0 = x01 = Y0 =

constante, entoncesx02 = _x01 = 0. Adems, como y0= 0, reemplazando steen (2.41) se obtiene i0= x03= pMgY0.Utilizando el punto nominal de operacin y linealizando las ecuaciones deestado no lineales se obtiene2

4 _x1 _x2 _x3

35=

264

0 1 0g

Y00 2

q g

MY0

0 0 RL

37524x1x2

x3

35 +

2400

1L

35e (t)

Ejemplo 2.5 La gura 2.11 muestra el esquema general de un motor decorriente continua donde se tienen como entradas el voltaje de campo vf

y el voltaje en la armadura va. Plantear un modelo de espacio de estadolinealizado alrededor un punto de operacin

Figura 2.11: Motor de corriente continua

El comportamiento del sistema es descrito con las siguientes ecuaciones

va= Raia+ Ladiadt

+ ea (2.46)

ea= K0!= K1if! (2.47)

=K0ia = K1ifia (2.48)=J

d!

dt + B! (2.49)

vf=Rfif+ Lfdifdt

(2.50)


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que corresponden a ecuaciones diferenciales no lineales. Las ecuaciones (2.46)

a (2.50) pueden ser linealizadas alrededor de un punto de operacin comova = Raia+ La

diadt

+ ea (2.51)

ea = K0!0 + K00!= K1!0if+ K1if0! (2.52)

= K0ia0 + K00ia= K1ia0if+ K1if0ia (2.53)

= Jd!

dt + B! (2.54)

vf = Rfif+ Lfdif

dt (2.55)

donde !0, if0, ia0 son los valores de las variables de estado en el punto

de operacin. Las ecuaciones (2.51) a (2.55) describen el comportamientodel sistema alrededor del punto de operacin especicado. Estas ecuacionespueden ser organizadas como ecuaciones de estado as:

d!

dt = B

J! K1ia0

J if K1if0

J ia

diadt

= K1if0La

! K1!0La

ifRaLa

ia+ 1

Lava

difdt

= RfLf

if+ 1

Lfvf

y si se reemplazan como variables de estado x1 = !, x2 = if yx3 = ia, se puede escribir la ecuacin de estado en forma matricial delsistema linealizado como se muestra en la ecuacin (2.56).2

4 _x1 _x2 _x3

35=

264

BJ

K1ia0J

K1if0J

K1if0La

K1!0La

RaLa

0 RfLf

0

37524x1x2

x3

35 +

24 0 01

La0

0 1Lf

35va

vf

(2.56)

Si se denen como variables de salida la velocidad angular ! y el torque, entonces se puede plantear la ecuacin de salida del sistema como

!

=

1 0 00 K1ia0 K1if0

24x1x2x3

35 (2.57)El ejercicio2.10muestra que al ser linealizado un sistema no lineal resultaen uno que es lineal variante con el tiempo.


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2.5. Efectos de las perturbaciones en las

ecuaciones de estadoLos modelos matemticos construidos hasta ahora no han tenido en cuenta lasperturbaciones z1; z2; : : : ; zk. si tales entradas estn presentes, las ecuacionesde estado (2.9) se modicaran as:

_xi= ai(x1; x2; : : : ; xn; u1; u2; : : : ; up; z1; z2; : : : ; zk) ; i= 1; 2; : : : ; n (2.58)

Si se dene el vector de perturbaciones:

z (t) ,26664

z1(t)z2(t)

...zk(t)

37775 (2.59)el sistema (2.58) se puede

teoria control analogo completo

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