EXPERIMENTOS ALEATORIOS . SUCESOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS Experimentos deterministas: Son experimentos que al repetirlos bajo condiciones análogas, se obtiene siempre el mismo resultado. Ejemplos: Si lanzamos una piedra y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad,... sabemos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará en caer,... Estos ejemplos se consideran experiencias deterministas. Experimentos aleatorios: Son aquellos que, al repetirlos en análogas condiciones, jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener, es decir, el resultado depende del azar. Ejemplos: Lanzar una moneda (ignoramos qué cara quedará arriba) Número premiado de la lotería Extraer una carta de una baraja ESPACIO MUESTRAL Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio. Lo representamos por E. Ejemplo: Lanzar un dado ⇒ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lanzar una moneda ⇒ E = { +, c} SUCESO ELEMENTAL Llamamos suceso elemental a cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo: Obtener cara en el lanzamiento de una moneda Sacar 2 en el lanzamiento de un dado

⇒ el conjunto de todos los sucesos elementales forma el espacio muestral ⇒ los sucesos se nombran con letras mayúsculas

SUCESO COMPUESTO Llamamos suceso compuesto a cualquier subconjunto del espacio muestral , es decir son conjuntos de varios sucesos elementales.

1

Ejemplo: Obtener múltiplo de tres en el lanzamiento de un dado. Sacar espadas al extraer una carta de una baraja SUCESO SEGURO Se llama suceso seguro al que siempre se realiza. Estará formado por todos los resultados posibles del experimento, por tanto, este suceso coincide con el espacio muestral ya que siempre se verifica. Al lanzar un dado, siempre va a salir alguno de los elementos del espacio muestral, por tanto el total, E, es el suceso seguro. Ejemplo: Obtener número del 1 al 6 ambos incluidos en el lanzamiento de un dado. SUCESO IMPOSIBLE Es el que nunca se realiza o verifica. Se simboliza con Ø Ejemplo: Obtener un número par e impar en el lanzamiento de un dado ESPACIO DE SUCESOS Se denomina espacio de sucesos de un experimento aleatorio al conjunto de todos los sucesos del experimento aleatorio. Lo representamos por S.

• En un espacio de sucesos, el suceso seguro y el imposible siempre aparecen, porque son subconjuntos del espacio muestral.

Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado y observar el nº de la cara que queda hacia arriba” E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sucesos elementales: “salir un 3”:{3}, “salir un 5”: {5},..... Sucesos: A: “salir par”: {2, 4, 6} B: “salir mayor que 3 ”: {4, 5, 6} son subconjuntos de E S = { Ø, {1}, {2},...,{6}, {1, 2},...,{1, 2, 3},........E} Ejemplo: En un sorteo de lotería nos fijamos en la cifra en la que empieza el gordo. E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A : “Menor que cuatro” : {0, 1, 2, 3} B: “ Par”: {0,2, 4, 6, 8} C: “Mayor que cinco” : {6, 7, 8, 9}

2

S = { Ø, {1}, {2},...,{6}, {1, 2},...,{1, 2, 3},...{6, 7, 8, 9 }.....E} VERIFICACIÓN DE SUCESOS Se dice que un suceso se verifica, cuando al realizar la experiencia aleatoria correspondiente, el resultado es uno de los elementos de ese suceso. Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado y observar el nº de la cara que queda hacia arriba” A: “salir par” . {2, 4, 6} Decimos que A se verifica cuando al lanzar el dado aparece 2, 4, ó 6 OPERACIONES CON SUCESOS Dados los sucesos A y B de un experimento aleatorio:

• Se llama suceso unión, A B, al suceso formado por todos los elementos de A y de B. Este suceso se verifica cuando se verifique A, ó B, ó ambos.

∪

Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado y observar el nº de la cara que queda hacia arriba”

A:”salir par”: {2, 4, 6} A B = “ Salir par o múltiplo de 2 “ : {2, 3, 4, 6} ⇒ ∪B: “salir múltiplo de 3”:{3, 6}

• Se llama suceso intersección, A ∩ B, suceso formado por todos los elementos que son a la vez de A y de B. Se verifica cuando se verifiquen simultáneamente A y B.

Ejemplo: En el ejemplo anterior A∩ B =” Salir par y múltiplo de 2”: {6}

• Se llama suceso complementario o contrario de un suceso A a A = E – A . Se verifica siempre y cuando no se verifique A. Ejemplo: A = {2, 4, 6} A = E – A= “ que no salga número par “ = {1, 3, 5}

• Dos sucesos se dice que son incompatibles cuando no tienen ningún elemento común, A B = Ø. Los sucesos incompatibles no se pueden verificar simultáneamente.

∩

Ejemplo: Los sucesos A y B anteriores no son incompatibles porque A ∩ B ≠ Ø. Los sucesos “salir par” y “salir impar” sí son incompatibles.

3

• Se llama suceso diferencia, A – B, al suceso formado por todos los elementos

de A que no son de B. Se verifica cuando se verifica A y no B.

A – B = BA ∩ Ejemplo: En el ejemplo anterior A – B = ”Salir par y no múltiplo de 3 “: {2, 4}

La unión e intersección de sucesos satisfacen las propiedades siguientes:

OPERACIONES PROPIEDADES Unión Intersección Conmutativa A B= B ∪ A ∪ A ∩ B= B ∩ A Asociativa (A B) ∪ C=A ( B C) ∪ ∪ ∪ (A ∩ B ) C = A∩ ∩ ( B ∩ C ) Distributiva A ( B ∩ C) =(A ∪ B) ∩(A ∪ C) ∪ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)

Simplificativa A ( B ∩ A) =A ∪ A ∩ ( B A) =A ∪Idempotente A A= A ∪ A A =A ∩

Elemento Neutro A φ = A ∪ A E =A ∩Absorción A E= E ∪ ∩A φ = φ

Complementario EAA =∪ =∩ AA φ Leyes de Morgan BABA ∩=∪ BABA ∪=∩

PROBABILIDAD DE UN SUCESO. REGLA DE LAPLACE FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA DE UN SUCESO * Se llama frecuencia absoluta de un suceso A al número de veces que ocurre A. Se nota por f(A) Ejemplo: Sea el experimento de lanzar un dado y mirar la cara superior. Considero el suceso A: ”salir 4”. Lanzamos el dado, por ejemplo 100 veces, y nos sale 16 veces el 4, por tanto, la frecuencia absoluta de A es 16. f(A) = 16 * Realizamos N veces una experiencia aleatoria. Se llama frecuencia relativa de un suceso A, a la proporción de veces que ocurre A, es decir al cociente entre el nº de veces que ocurre A (frecuencia absoluta) y el nº de veces que se realiza la experiencia.

fr(A) = NAf )(

Ejemplo: A:”salir 4” N=100 fr(A) = 16'010016

=

4

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

Cuando repetimos un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un cierto suceso va tomando distintos valores. Estos valores, cuando la experiencia aleatoria se repite muchas veces, es decir cuando N crece mucho, se van aproximando a un número fijo. Este valor fijo se define como la probabilidad del suceso A , P(A)

∞→

=N

APAfr )()(lim LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

Ejemplo: Si vamos calculando fr(5) para N = 50, 90, 130, 170, 210, 250, 290, 330,..... los valores de fr(4) se van aproximando a 1/6 = 0’166 ■ La probabilidad de cada suceso es un número que cumple los siguientes axiomas (principios que son admitidos sin necesidad de demostración):

a) La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula P(A)≥ 0 b) La probabilidad del suceso seguro es 1 P(E) = 1 c) Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma

de sus probabilidades : es decir si A∩ B = Ø P(A∪ B) = P(A) + P(B)

Como consecuencia de estos axiomas tenemos:

d) P( A ) = 1 – P(A) ( E = AA ∪ ) e) P(Ø) = 0 (Ø = E ) f) A B P(B) = P(A) + P(B – A) ⊂g) A B P(A) P(B) ⊂ ≤h) También es consecuencia de los axiomas de la probabilidad la probabilidad de

la unión de sucesos:

Sucesos incompatibles:

Si A y B son incompatibles ⇒ P(A B) = P(A) + P(B) ∪

Se puede extender a más de dos sucesos

Si A, B, C son incompatibles dos a dos ⇒ P(A∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C)

Extensión a n sucesos Si son incompatibles dos a dos ⇒ P( )=P( )+....+P( ) nAAA ,......., 21 nAA ∪∪ .....1 1A nA

Sucesos compatibles:

Sean A y B dos sucesos compatibles de un mismo experimento aleatorio, se verifica P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B) I

5

i) Si el espacio muestral E es finito y un suceso es A = { }kAAA ,......, 21 , entonces P(A) = P( ) + P( ) +……..+ P( ) 1A 2A kA

• REGLA DE LAPLACE

Si los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, es decir, son igualmente probables, la probabilidad de un suceso A se define como el cociente entre los casos favorables del suceso y el número de casos pasibles. Nº de casos favorables a A P(A) = Regla de Laplace Nº de casos posibles Casos posibles : son todos los resultados posibles del experimento, es decir todos los elementos del espacio muestral Casos favorables : son los elementos que componen el suceso A Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado” E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sucesos elementales equiprobables (todos los números tienen la misma probabilidad de salir al lanzar el dado) A: “obtener divisor de 6” ={1, 2, 3, 6}

Casos posibles: 6 casos favorables: 4 P(A) = 32

64

=

Ejemplo: Experimento aleatorio : “Sacar una carta de una baraja de 40 cartas “ Hallar P( sacar rey) y P( sacar bastos)

P(rey)= 1.0101

404

== P(bastos) = 25.041

4010

==

PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Si el suceso objeto de estudio es un suceso compuesto por dos o más experimentos el cálculo de su probabilidad puede simplificarse mediante el concepto de probabilidad condicionada.

6

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral, se llama probabilidad del suceso A condicionado al suceso B a

P(A/B) = )(

)(BP

BAP I si P(B) ≠ 0

Mide la proporción de veces que ocurre A de entre las que ocurre B Análogamente, se define la probabilidad del suceso B condicionado al A a

P(B/A) = )(

)(AP

BAP I si P(A) ≠ 0

Mide la proporción de veces que ocurre B de entre las que ocurre A

De estas dos igualdades se deduce P(AI B) = P(A) P(B/A) .

P(A B) = P(B) P(A/B) . I

Sucesos dependientes e independientes Dos sucesos A y B son independientes si P(B) = P(B/A) ( o P(A/B) = P(A) ) Dos sucesos A y B son dependientes si P(B) ≠ P(B/A) ( o P(A) P(A/B) ) ≠ P(B) = P(B/A) indica que la presencia de A no condiciona el éxito de B, es decir la hipótesis de que haya ocurrido A no modifica para nada la probabibilidad de que ocurra B Ejemplo: 1. Los sucesos A: “Es domingo ” y B: ”Llueve” son independientes porque P(Llueve/ es domingo) = P(llueve) El que sea domingo no influye para nada en la probabilidad de que llueva 2. En el experimento de extraer dos cartas de una baraja sin reemplazamiento, consideramos los sucesos A:”la 1ª carta es un caballo” y B: “la 2ª carta es un basto ” Estos dos sucesos son dependientes, que la 1ª carta sea caballo sí influye en la probabilidad de que la 2ª sea un basto. 3. Si consideramos el experimento anterior pero con reemplazamiento, los sucesos serían independientes.

7

Teniendo en cuenta la definición de probabilidad condicionada y de sucesos independientes se tiene: * Si A y B son dos sucesos independientes⇒ P(AI B) = P(A) . P(B)

* Si A y B son dos sucesos dependientes ⇒ P(AI B) = P(B) . P(A/B) = P(A)· P(B/A)

Tablas de contingencia Una tabla de contingencia es una tabla de doble entrada que permite abordar de forma sencilla la resolución de cálculo de probabilidades. En particular, una tabla de contingencia para las probabilidades de dos sucesos refleja todas las posibilidades que pueden presentar estos sucesos y es de la forma: A A Total

B P(A ∩ B) P( BA ∩ ) P(B) B P( BA ∩ ) P( BA ∩ ) P( B )

Total P(A) P( A ) 1

Ejemplo: Se ha seguido la pista a 50 000 coches , durante un año , de tres marcas distintas : TESA , VOVO y DIA . unos han tenido algún accidente serio ( AC) y otros no ( NO AC ) Se reparten según la siguiente tabla :

TESA VOVO DIA total AC 200 100 200 500

NO AC 24 800 9 900 14 800 44 500 total 25 000 10 000 15 000 50 000

a) Sabiendo que el coche ha tenido accidente ¿ Cuál es la probabilidad de que sea TESA?

P(TESA/ AC) = 4,0500200

=

b) Análogamente para VOVO y DIA

P(VOVO / AC) = 2,0500100

= P(DIA/ AC) = 4,0500200

=

8

c) Las probabilidades de que un coche de una cierta marca tenga accidente son :

P(AC/ TESA) = 008,025000200

= ; P(AC / VOVO) = 01,010000100

= ;

P(AC/DIA) = 0133,030000

200=

Estos resultados hacen ver que la marca más segura es TESA y la menos segura DIA.

La probabilidad de que un che tenga accidente es P (AC) = 01,050000500

=

Como P(AC / VOVO) = P (AC) los sucesos ser de la marca VOVO y tener accidente (AC) son independientes .

EXPERIMENTOS COMPUESTOS . PROBABILIDAD TOTAL

Experimentos compuestos Se llama experimento compuesto a aquel en el que claramente podemos distinguir dos o más etapas. Para calcular las probabilidades de sucesos compuestos calcularemos las probabilidades de sus componentes. Ejemplo: Tenemos un dado y dos urnas, con bolas. Lanzamos el dado y si sale un número mayor que 2 extraemos una bola de y en caso contrario extraemos una bola de

21 UyU

1U

2U

9

Teorema de la probabilidad total

Un gato persigue a un ratón. Este puede entrar en uno de los callejones A, B o C . En cada uno de ellos puede cazarlo , o no cazarlo . Sabiendo las probabilidades de que lo cace en cada callejón . Hallar la probabilidad de que el gato cace al ratón .

Cuando sucede que un suceso B ( que el gato cace al ratón ) está condicionado por otros sucesos( el callejón por el que entra), el cálculo de su probabilidad a través de sus probabilidades condicionadas se hace utilizando el teorema de la probabilidad total: Sean , n sucesos incompatibles dos a dos y tales que nAAA ,........,, 21

nAAA ∪∪ ......21 = E . Entonces para cualquier suceso B se cumple:

P(B) = P( ).P(B/ +……+ P( .P(B/ = ⇒ 1A )1A )nA )nA ∑=

n

iii ABPAP

1)/().(

Ejemplo: En un centro escolar, los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera entre inglés y francés. En un determinado curso, el 90 % de los alumnos estudian inglés y el resto francés . El 30% de los que estudian inglés son chicos, y de los que estudian francés, son chicos el 40 % . Elegido un alumno al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que sea chica? Utilizando un diagrama de árbol :

P ( chica ) = P(I ∩ chica ) + P ( F ∩ chica ) = P( I ) · P( chica / I )+ P( F ) · P(chica / F) = 0,9 · 0,7 + 0,1 · 0,6 = 0,69

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PROBABILIDADES “A POSTERIORI”. FÓRMULA DE BAYES

Probabilidad “a posteriori” Siguiendo con el ejemplo del ratón y el gato: “Si al final el gato caza al ratón nos interesa saber la probabilidad de que el ratón haya entrado por un callejón determinado “ Esta probabilidad recibe el nombre de probabilidad a posteriori : Una probabilidad que se establece con posterioridad a que se haya producido un fenómeno, se denomina “a posteriori"

Teorema de Bayes En el teorema de la probabilidad total, para el cálculo de P(B) se ha considerado la influencia de los sucesos en B a través de las probabilidades condicionadas P(B/ iA )iA En ocasiones se puede invertir el interés y querer conocer la influencia del suceso B sobre los , P( /B) iA iA Sean sucesos incompatibles dos a dos y = E, tal que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de 0, y sea B un suceso cualquiera para el que conocemos P(B/ )

nAA ,........1 nAA ∪∪ ......1

iA

)/()(.........)/().(

)/().()(

)()/(

11 nn

iiii ABPAPABPAP

ABPAPBP

BAPBAP

++=

∩=⇒

Fórmula de Bayes Ejemplo: Tenemos tres urnas, la urna A con 3 bolas rojas y 5 verdes, la urna B con 6 bolas rojas y 4 verdes y la urna C con 4 bolas rojas y 5 verdes. Escojo una urna y extraigo una bola, y resulta ser verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la urna que haya escogido sea la C?

Sea los sucesos : r : sacar bola roja ; v : sacar bola vede A: elegir la urna A ; B: elegir la urna B ; C: elegir la urna C

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r / A : sacar bola roja de la urna A ; v / A : sacar bola verde de la urna A r / B : sacar bola roja de la urna B ; v / B : sacar bola verde de la urna B r / C : sacar bola roja de la urna C ; v / C : sacar bola verde de la urna C C / v : sabiendo que la bola extraída es verde que sea de la urna C y las probabilidades : P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 P(r /A) = 3/8 ; P(v /A ) = 5/8 P(r /B) = 6/10= 3/5 ; P(v /B ) = 4/10 = 2/5 P(r /C) = 4/9 ; P(v /C ) = 5/9

P(C / v) = =∩

) P(v v) P(C

) /CP(v·P(C)) /BP(v ·P(B) ) /A P(v·P(A) ) /CP(v·P(C)++

P(C/ v) = 3515,0569200

95·

31

52·

31

85·

31

95·

31

==++

12

13