tengan todos ustedes un saludo de ... - estudio y virtud
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Fuente: https://diezenmatematicas.jimdofree.com/algebra/sistema-de-ecuaciones/ https://matematicacerropelado.blogspot.com/p/funcion-cuadratica-una-funcion.html#:~:text =donde%20a%20%2C%20b%20y%20csus%2 0t%C3%A9rminos%20tiene%20un%20nombre.
Fecha: 02/2021 Guía N 1: Utilizo las propiedades de los números reales, sus operaciones,
relaciones y representaciones para analizar procesos infinitos y resolver
problemas
Grado: Decimo 1 CODIGOS INGRESO A CLASE EDMODO
10-1: tymh6e
Área: Matemáticas
Asignatura: Trigonometría
Docente (s): Jorge Jaramillo Ponce
Contacto (s): [email protected]
TENGAN TODOS USTEDES UN SALUDO
DE BIENVENIDA EN ESTE NUEVO
APRENDIZAJE. “Una idea siempre comienza
con una simple ejecución”. Anónimo
Instrucciones para el trabajo este año lectivo
1. La comunicación con el docente se hará a través de
la plataforma Edmodo así como también vía correo
electrónico y grupos de WhatsApp.
2. leer y analizar las guías expuestas como también los
ejercicios planteados, cualquier duda comunicarse con
el docente en el horario estipulado. También puedes
apoyarte con videos, libros de física 1 o física decimo.
3. El desarrollo de la guía podrá ser enviada por
Edmodo, Correo electrónico o WhatsApp.
4. Los estudiantes que asistan por medio de la
plataforma Edmodo se tomara listado de asistencia y
cualquier motivo de inasistencia debe ser justificado
ante coordinación de convivencia.
5. El método de evaluación será de la siguiente manera:
el saber hacer tendrá un porcentaje del 70%, donde
este comprende el desarrollo de la guía y una evaluación
al final de periodo, como también tiene mucho valor la
participación activa en la plataforma Edmodo. El ser
tiene un valor de 30%, el cual se divide de esta forma,
el 20% evalúa la responsabilidad y entrega oportuna de
las guías y el restante 10% corresponde a la
autoevaluación.
Repaso sistemas de ecuaciones lineales 2x2
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más
ecuaciones que contiene a dos o más incógnitas, dichas
ecuaciones tienen relación entre sí ya que el valor de
las incógnitas satisface todas las ecuaciones al mismo
tiempo.
Para esta ocasión estudiaremos los sistemas de
ecuaciones 2x2 (2 ecuaciones y 2 incógnitas). Este tipo
de sistemas es muy frecuente, son tan versátiles que
pueden ser usadas sin ningún problema para
representar casos reales. Existe muchas maneras de
resolver un problema de este tipo, algunas un poco más
difíciles y complicadas que otras, pero en esta ocasión
nos centraremos en dos maneras distintas, es decir: la
forma algebraica y la forma gráfica.
La primera se desglosa en varios procedimientos
algebraicos distintos: El método de reducción (también
conocido como de suma y resta), el método de
sustitución y el método de igualación; y por otra parte
el método gráfico consiste en interpretar y analizar de
forma gráfica el comportamiento de ambas ecuaciones
en un mismo plano cartesiano.
Empecemos analizando los métodos algebraicos y como
usarlos
Método de suma y resta
Es un método donde lo que se busca es eliminar una de
las dos incógnitas mediante el uso de una suma
algebraica. Esta eliminación puede darse de dos
maneras:
1. La manera directa es cuando nos damos cuenta que
en ambas ecuaciones del sistema, la misma incógnita
tiene el mismo coeficiente solo que con signo contrario,
como se puede observar en la imagen. Si se diera este
caso el primer paso es colocar ambas ecuaciones una
encima de la otra de manera que cada tipo de incógnita
forme una columna al igual que la parte sin incógnita
(que debe estar siempre a la derecha del igual).
Se hace la suma algebraica y nos damos cuenta que una
incógnita se elimina pues su coeficiente se vuelve cero
como en el ejemplo. Luego, se resuelve la ecuación de
primer grado que se ha creado para obtener el valor de
la primera incógnita.
Como paso final se sustituye dicho valor en una de las
ecuaciones originales, para ello donde se encuentre
dicha letra se usa paréntesis y se coloca su valor
dentro de estos, Se realiza las operaciones
correspondientes para resolver esta segunda ecuación
de primer grado y de esta manera se obtiene la segunda
incógnita.
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Con esto quedaría resuelto el sistema de ecuaciones en
donde la respuesta sería el valor de ambas incógnitas
2. Detectando múltiplo: Esta forma procede cuando
hay una relación entre alguna de las dos letras en
ambas ecuaciones en cuanto si a múltiplos de sus
coeficientes estamos hablando. Un ejemplo sería que
una ecuación fuera 2x+4y=20 y que la otra fuera
3x+8y=43 en donde la incógnita y en ambos casos tiene
coeficientes múltiplos de 4.
En este método no importa si los coeficientes sean de
signos contrarios, únicamente nos importan que sean
múltiplos.
Algo muy importante de este método es que su
propósito es lograr eliminar una de las incógnitas de
ambas ecuaciones para encontrar la que no se ha
eliminado. De esta manera y al obtener la segunda
incógnita podemos usar ese resultado para encontrar
la primera que hemos eliminado. Por ello en este método
se suma algebraicamente para lograr dicho propósito.
Método de Sustitución
Al igual que con la comida podemos elegir la bebida con
que acompañarla, los sistemas de ecuaciones tienen
distintas maneras o métodos de ser resueltos y está en
ti elegir el que te parezca más sencillo, con el que
sientas más confianza, etc. y no tendrás ningún
problema en absoluto ya que las respuestas siempre
serán las mismas.
El método de sustitución consiste en el procedimiento
de despeje de una variable (letra) de una de las 2
ecuaciones y sustituir el resultado en la segunda
ecuación (la que no elegimos primero), de esta manera
los pasos a seguir serían los siguiente:
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1.- Despejar una incógnita en solo una de las ecuaciones
(elige la que sea más sencilla de despejar).
2.- Hecho el despeje procedemos abrir paréntesis en
la segunda ecuación en los lugares donde se encuentre
la letra que despejamos en el punto 1.
3.- Dentro de los paréntesis, colocamos el resultado del
despeje del punto 1.
4.- Resolvemos la ecuación de primer grado que se ha
creado para obtener el valor de la segunda incógnita.
5.- Con el valor del paso 4 regresamos a donde teníamos
el despeje en el punto 2 y colocamos dicho valor (paso
4) para encontrar la primera ecuación.
6.- Comprobamos sustituyendo los valores al mismo
tiempo en alguna de las ecuaciones originales.
Como puedes observar en la imagen, el resultado del
sistema de ecuaciones es y=10 y x=35, que es
exactamente el mismo resultado que el método de suma
y resta, con lo que se comprueba que no importa que
método elijas siempre llegarás al mismo resultado. Esta
característica te puede ayudar a averiguar si
realizaste mal un cálculo en algún otro método ya que
debería darte el mismo resultado.
Método de igualación
Este método suele ser sencillo para aquellos que el
despeje se les facilita.
El método recibe el nombre del hecho que, para
resolver el sistema de ecuaciones debemos despejar la
misma letra en ambas ecuaciones, esto con el motivo de
igualar la parte de la derecha de la igualdad y resolver
una ecuación de primer grado con la misma incógnita en
ambos lados.
En las siguientes imágenes podemos observar el mismo
sistema de ecuaciones que se resolvió anteriormente,
la diferencia con el método de sustitución anterior es
que aquí se despeja la X para ambas ecuaciones, de esta
manera se igualan las partes derechas de los despejes
para finalmente encontrar el valor de la y.
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Encontrando el valor de y podemos sustituirlo en
cualquiera de los 2 despejes de x para encontrar el
valor de esta misma letra, para este caso (como en los
anteriores) el resultado es y=10 y x=35.
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN EL SALTO DE LOS
ANIMALES.
La mayoría de animales que saltan describen una
trayectoria en forma de parábola debido a la fuerza
que ejerce la gravedad sobre su cuerpo. Por ejemplo,
los canguros, alcanzan una longitud de hasta tres
metros incluida la cola que les sirve de puntal. Estos
animales avanzan a saltos este avance es
exclusivamente bípedo (con las patas traseras) y la
disposición de sus patas y cola les permite alcanzar
grandes velocidades. Los canguros huyen a la menor
señal de peligro, y cuando lo hacen, pueden alcanzar los
3.30m de altura en un salto y los 9m de longitud en
terreno descubierto. Sin embargo, cuando están
tranquilos, sus saltos no sobrepasan los 1,90m de
longitud a una velocidad de 20km/h. Aunque estos
animales pueden saltar en varios ángulos de acuerdo
con sus necesidades y su estructura, el alcance máximo
en este tipo de movimiento denominado oblicuo o
parabólico, se obtiene cuando el salto o lanzamiento se
hace con un ángulo de 45º. En el caso de un salto con un
ángulo de despegue de 45º, el alcance máximo X está
dado por la ecuación:
Donde X está medido en metros y la velocidad inicial
Vo en metros por segundo.
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse
como una ecuación de la forma:
donde a, b y c (llamados términos ) son números reales
cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor
o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b
y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos
tiene un nombre.
Así,
Ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o
cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los
términos se dice que es una ecuación completa, si a la
ecuación le falta el término lineal o el independiente se
dice que la ecuación es incompleta.
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los
puntos de una función cuadrática, obtendríamos
siempre una curva llamada parábola.
Como contrapartida, diremos que una parábola es la
representación gráfica de una función cuadrática.
Dicha parábola tendrá algunas características o
elementos bien definidos dependiendo de los valores
de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
ORIENTACIÓN O CONCAVIDAD
Una primera característica es la orientación o
concavidad de la parábola. Hablamos de parábola
cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba
y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos
se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el
signo) que tenga el término cuadrático
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas
hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x – 5
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Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas
hacia abajo, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a),
más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas
(Raíces o soluciones)
Otra característica o elemento fundamental para
graficar una función cuadrática está el valor, o los
valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier
función cuadrática calculamos
f (x) = 0.
Esto significa que las raíces (soluciones) de una función
cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la
expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que “y”
= 0; que es lo mismo que f(x) = 0.
Entonces hacemos
ax² + bx +c = 0
Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de
segundo grado, otro de primer grado y un término
constante, no podemos aplicar las propiedades de las
ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la
fórmula general de resolución de ecuaciones
cuadráticas.
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación
cuadrática nos indican los puntos de intersección de la
parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres
casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje
x)
Que no corte al eje X
Esta característica se puede determinar analizando el
discriminante.
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de
las Y)
En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es
cero, por lo que el punto de corte en el eje de las
ordenadas lo marca el valor de c (0, c).
Veamos:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
Representar la función f(x) = x² − 4x – 3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las
ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de
abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos
puntos o solamente en uno.
Eje de simetría o simetría
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical
que divide simétricamente a la curva; es decir,
intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se
puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de
la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo
grado en x, asociada a la parábola. De aquí podemos
establecer la ecuación del eje de simetría de la
parábola:
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VérticeC
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de
la parábola es el punto de corte (o punto de
intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene
como coordenadas
ACTIVIDADES
REALIZAR CADA EJERCICIO CON SU
RESPECTIVA JUSTIFICIACION.
1. La solución del problema “Los valores de las entradas
para una función de teatro son $ 2500 y $ 5000. Si se
venden 275 entradas y se recaudan $ 1187500.
¿Cuántas entradas de cada valor se vendieron?”
A) 100 y 175
B) 150 y 125
C) 200 y 75
D) 225 y 50
2. El conjunto solución del sistema es
A) (1,2)
B) (2,3)
C) (2,1)
D) ∞ 3. La razón entre las edades de dos personas es de 2/3.
Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada
una de ellas?
4. Un número excede en 12 unidades a otro; y si
restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el
primero sería igual al doble del segundo. Hallar los dos
números
5. El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y
sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura.
Hallar las dimensiones del rectángulo
6. El doble de un número más la mitad de otro suman 7;
y, si sumamos 7 al primero de ellos, obtenemos el
quíntuplo del otro.
7. resolver el sistema de ecuaciones
8. En uno de sus vuelos, el avión de juguete de Mario,
describe una forma parabólica dada por la expresión
y = (X – 4)2, donde “y” es la altura del avión y “X” es su
desplazamiento en metros. ¿Para qué valores de X la
altura del avión del juguete es la misma?
A) 3 y 9 metros
B) 6 y 8 metros
C) 4 y 2 metros
D) 2 y 6 metros
9. La representación gráfica de una función cuadrática
es una curva llamada:
A) vértice
B) círculo
C) plano cartesiano
D) parábola
10. Al graficar la función cuadrática produce la imagen:
A) La imagen 4
B) La imagen 3
C) La imagen 2
D) La imagen 1
11. La anterior parábola tiene el vértice en:
A) El cuadrante 3
B) El cuadrante 2
C) El cuadrante 4
D) El cuadrante 1
12. Una función cuadrática es una función de la forma:
A) f(x) = ax3 + bx + c
B) f(x) = ax + bx + c
C) f(x) = ax2 + bx + c
D) f(x) = a +b +c