1

Cuadratura

Temario:

● Integración numérica

● Método de Newton-Cotes

● Regla del Trapecio simple y compuesta

● Regla de Simpson ⅓ y compuesta

● Extrapolación de Richardson

● Integración de Romberg

● Método de Gauss - Legendre

2

Introducción

Para aproximar la integral definida de una función f:R→R, se utiliza una estrategia similar a la definición de la integral (recordar sumatoria de Riemann).

∫a

b

f ( x )dx≈I=∑i=1

n

w i f ( x i)

Los coeficientes wi se denominan pesos y las abscisas xi nodos. Los pesos y los nodos

dependen del método de cuadratura.Todos los métodos de cuadratura se basan en la interpolación polinomial, por lo tanto son más efectivos cuando la función se puede aproximar por polinomios.Los métodos se pueden separar en dos grandes grupos: los derivados por las fórmulas de Newton-Cotes y los de la cuadratura de Gauss. Para el primer caso, los nodos están equiespaciados, mientras que para el segundo, la posición de los nodos se calcula para lograr la máxima precisión posible.

3

Método de Newton-Cotes

Se aproxima f(x) interpolando un polinomio de grado n-1 por los n puntos conocidos. Las funciones base son los polinomios de Lagrange.

Se reemplaza la función por el polinomio + el error de interpolación E(x) y se integra

Pn−1( x )=∑i=1

n

f ( x i)Li (x ) Donde Li(x) son las funciones de Lagrange.

∫a

b

f ( x )dx=∫a

b

Pn−1( x )dx+∫a

b

E ( x)dx=∑i=1

n (f ( x i)∫a

b

Li( x )dx)+E (h)=∑i=1

n

wi f ( x i)+E (h)

siendo wi=∫a

b

Li( x )dx , i=1,2 ,… , nEsta parte se denomina cuadratura y depende de las funciones de Lagrange

4

Método de Newton-Cotes

Según la cantidad de puntos n, se obtienen distintas reglas de integración.

Las reglas clásicas son:

Regla del trapecio, n=2

Regla de ⅓ Simpson, n=3

y1y0

x0 x1

x

f(x)

y1

y0

x0 x1

x

f(x) ym

xm=h/2

I=h2 [f ( x0)+ f ( x1)]+O (h3)

I=h3 [f ( x0)+4 f ( xm)+ f ( x 1)]+O(h5)

5

Regla del trapecio

Simple: I=h2 [ f (x 0)+f ( x 1)]+O(h3)

y1y0

x0 x1

x

f(x)

h

yn

y0

x0 xn

x

f(x)

x1 x2 x3

y1y2

y3

h h h h

Compuesta: I=h2 [f ( x 0)+2∑

i=1

n−1

f ( x i)+ f (x n)]+O(h2) Las fórmulas compuestas pierden un orden de error

En vez de integrar todo el intervalo, se particiona el mismo para mejorar la aproximación. Los puntos interiores se suman 2 veces.

6

Ejemplo 1

Solución analítica

∫0

π

sen x dx=−cos x|0

π=−(−1)+1=2

Para 1 subintervalo (o panel) h1= 3,1461

f(0)=0 f(3,1416)=0x1=0 x

2=3,1416

I1=h1

2[f ( x 1)+ f (x 2)]=

3,14162

[0+0 ]=0

f(x)=sen(x)Evaluar f(x) en los puntos

7

Ejemplo 1

f(1,5708)=1

x1=0

x2=1,5708

x3=3,1416

I2=h2

2[f ( x 1)+f ( x 2)]+

h2

2[f ( x 2)+f ( x 3)]=

1,57082

(0+2(1)+0)=1,5708

Para 2 paneles, h2=3,1416/2=1,5708

8

Ejemplo 1

f(0,7854)=0,7071

x1=0 x

2=0,7854 x

4=2,3562x

3=1,5708 x

5=3,1416

I3=h3

2[ f (x 1)+f ( x 2)]+

h3

2[ f ( x 2)+f ( x 3)]+

h3

2[ f (x 3)+f ( x 4)]+

h3

2[f ( x 4)+f ( x 5)]

I3=0,78542

(0+2(0,7071)+2(1)+2(0,7071)+0)=1,8961

Para 4 paneles, h4=3,1416/4=0,7854

f(1,5708)=1

f(2,3562)=0,7071

9

Ejemplo 1

Paneles Paso Cuadratura Error relativoIk-I

k-1

1 3,1416 0 0

2 1,5708 1,5708 1,5708

4 0,7854 1,896 0,3252

8 0,3927 1,9742 0,0782

16 0,1964 1,9938 0,01960 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0,0000

1,5708

1,89601,9742 1,9938

PasoC

ua

dra

tura

10

Ejemplo 1

E=−(b−a)h2

12f ' ' (ζ)=−

(π−0)0,19642

12(−sen(ζ))=0,0101 sen(ζ)

El valor de ζ es desconocido pero sabemos que el seno está acotado por -1 y +1

Por lo tanto el valor del error estará acotado por −0,0101<E<0,0101

La solución analítica estará acotada entre: 1,9938<∫0

π

sen( x )dx<2,0039

Evaluemos el error obtenido en la última iteración

11

Ejemplo 2

Evaluar ∫0

4

senh(x )dx con una tolerancia de 0,01

divisiones paso Cuadratura Error relativo

1 4 54,5798 54,5798

2 2 34,5436 -0,3671

4 1 28,4649 -0,1760

8 0,5 26,8541 -0,0566

16 0,25 26,4451 -0,0152

32 0,125 26,3425 -0,0039

0 4 8 12 16 20 24 28 32 3610

20

30

40

50

60

70

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

54,580

34,544

28,465 26,854 26,445 26,342

Cuadratura

Error relativo

Tolerancia

Divisiones del intervalo

Cu

ad

ratu

ra

Err

or

rela

tivo

12

Ejemplo 3

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5

f(x) 1,5000 2,0000 2,0000 1,6364 1,2500 0,9565

Evaluar ∫0

2,5

f ( x )dx a partir de los datos de la tabla

I=h2

[f ( x 0)+2∑i=1

4

(f ( x i))+f ( x 5)]=0,52

[1,5+2(2+2+1,6364+1,25)+0,9565]=4,0573

13

Ejemplo 4

x 1,1 1,3 1,5

f(x) 3,0042 3,2 4,4817

Evaluar ∫1,1

1,5

f ( x )dx a partir de los datos de la tabla

I=h2

[f ( x 0)+2∑i=1

1

(f ( x i))+f ( x 2)]=0,22

[3,0042+2(3,2)+4,4817 ]=1,38859

14

Regla de Simpson 1/3

Simple: I=h3 [ f (x 0)+4 f ( x 1)+f ( x 2)]+O(h5)

y2y0

x0 x2

x

f(x)

h

x1

y1

yn

y0

x0 xn

x

f(x)

x1 x2 x3

y1y2

y3

h h h h

Compuesta: I=h3 [f ( x 0)+4 ∑

i impar

f (x i)+2∑i par

f ( x i)+ f (x n)]+O(h4)

Cuidado: El intervalo debe estar dividido en un número par de subintervalos

Los puntos interiores pares se suman 2 veces porque comparten intervalos.

15

Ejemplo 1

Paneles paso Cuadratura Simpson

Error relativo

1 1,5708 2,0944

2 0,7854 2,0046 4,29E-02

4 0,3927 2,0003 2,14E-03

8 0,1963 2,0000 1,26E-04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91,9400

1,9600

1,9800

2,0000

2,0200

2,0400

2,0600

2,0800

2,1000

2,1200

2,0944

2,0046 2,0003 2,0000

Paso

Cu

ad

ratu

ra

x 0=0, x 1=0,7854, x 2=1,5708, x 3=2,3562 , x 4=3,1416

I2=0,78543

[ sen(0)+4 (sen(0,7854)+ sen(2,3562))+2(sen(1,5708))+ sen(π)]=2,0046

x 0=0, x 1=1,5708, x2=3,1416

I1=1,57083

[sen(0)+4 sen(1,5708)+sen(π) ]=2,0944

16

Integración de Romberg

Se introduce la notación R i ,1=Ii ,siendo Ii la cuadratura obtenida con 2i−1 panelesSe comienza evaluando R1,1=I1 (un panel) y R2,1=I2 (dos paneles)Luego se utiliza la extrapolación de Richardson con p=2, para eliminar el término del error

de mayor orden, y se obtiene R2,2=2pR2,1−R1,1

2p−1=4

3R2,1−

13R1,1

Para continuar se evalúa R3,1=I3 (cuatro paneles) y se repite la extrapolación de Richardson

utilizando p=2 R3,2=43R3,1−

13R2,1

Ahora tenemos dos resultados de O(hp+2) y se pueden extrapolar con p=4

R3,3=1615R3,2−

115R2,2

¿Recuerdan la extrapolación de Richardson?¿Qué pasaría si se combina con la regla de trapecio?La respuesta es la integración de Romberg

17

Integración de Romberg

La secuencia se puede colocar en una tabla, donde los elementos de primer columna son calculados por la regla de trapecios y los demás resultan de la extrapolación de Richardson

[R1,1 . .R2,1 R2,2 .R3,1 R2,2 R3,3

]Aumenta el orden del error p

Aumenta la cantidad de paneles

O(h2) O(h4) O(h6)

h

h/2

h/ 4

18

Ejemplo 1

Paneles Ii

Ri,1

=4/3Ii-1/3I

i-1R

i,2=16/15I

i-1/15I

i-1

1 0

2 1,5708 2,0944

4 1,896 2,0044 1,9984

8 1,9742 2,0003 2,0000

16 1,9938 2,0003 2,0003

∫0

π

sen x dx=−cos x|0

π=−(−1)+1=2

19

Ejemplo 2

Evaluar ∫0

4

senh(x )dx con una tolerancia de 0,01

divisiones paso Cuadratura p=2 p=4 p=6 p=8 p=10

1 4 54,5798

2 2 34,5436 27,8649

4 1 28,4649 26,4386 26,3436

8 0,5 26,8541 26,3171 26,3090 26,3085

16 0,25 26,4451 26,3088 26,3082 26,3082 26,3082

32 0,125 26,3425 26,3083 26,3082 26,3082 26,3082 26,3082

R i , j=2pRi , j−1−Ri−1 , j−1

2p−1

Con 16 paneles (la mitad que para trapecios compuesto) se obtiene la tolerancia requerida

20

Cuadratura de Gauss (y amigos)

Las fórmulas de cuadratura de Gauss tienen la misma forma que las de Newton-Cotes

∫a

b

f (x )dx≈ I=∑i=1

n

Ai f (x i)

En el método de Newton-Cotes, los nodos se colocan espaciados uniformemente en (a,b),

es decir, se colocan en posiciones predeterminadas.

Para la integración de Gauss, se calculan los pesos y las posiciones nodales asumiendo

que la aproximación es exacta para una función f(x) que equivale a un polinomio de grado

2n-1 o menor. Es decir, tanto los pesos como las posiciones de los nodos se deben calcular

antes de calcular la cuadratura.

21

Cuadratura de Gauss (y amigos)

Ejemplo, queremos integrar f(x) entre -1 y +1 con 2 puntos

Como son 2 puntos, la integración será exacta para polinomios de hasta grado 3.

Buscamos determinar A1 , x 1 , A2 , x 2

∫−1

1

x 0dx=2=A1+ A2

∫−1

1

x dx=0= A1 x 11+A2 x 2

1

∫−1

1

x 2dx=23= A1 x1

2+ A2 x 22

∫−1

1

x 3dx=0=A1 x 13+ A2 x 2

3

→La solución es: x 1=−√33

, x 2=√33

, A1=1 , A2=2

Y la fórmula de cuadratura resulta

∫−1

1

f ( x )dx≈f (−√33 )+f (√3

3 )

∫−1

1

f ( x )dx=∑i=1

2

AiPm( x i) ,m≤2n−1

22

Cuadratura de Gauss (y amigos)

Como es laborioso encontrar los pesos y nodos, existen varias soluciones “clásicas” que ya fueron calculadas y están tabuladas (por amigos :D )

Gauss-Legendre

∫−1

1

1 f (ζ)d ζ≈∑i=1

n

A i f (ζ i)

Nodos ζi Ai

1 0,000000 2,000000

2 ±√(1/3) 1,000000

3 0,000000±√(3/5)

8/95/9

4 ±0,339981±0,861136

0,6521450,347855

Gauss-Laguerre

∫0

∞

e−x f ( x )dx≈∑i=1

n

Ai f (ζ i)

Nodos ζi Ai

2 0,5857863,414214

0,8535540,146447

3 0,4157752,2942806,289945

0,7110930,2785170,103892(10−1)

Gauss-Hermite

∫−∞

∞

e−x 2

f ( x )dx≈∑i=1

n

Ai f (ζi)

Nodos ζi Ai

2 ±0,707107 0,886227

3 0,000000±1,224745

1,1816360,295409

23

Cuadratura de Gauss-Legendre

La cuadratura de Gauss-Legendre resuelve integrales en el intervalo [-1,1].

Para poder aplicar la fórmula de cuadratura debemos transformar el intervalo de integración

original (a,b) al intervalo estándar (-1,1)

xg=b+a

2+

b−a2

ζ→dxg=dζb−a

2a b

-1 +1ζ0

(a+b)/2xg

∫a

b

f (xg)dxg≈b−a

2∑i=1

n

Ai f (xgi)

Habiendo determinado los puntos de gauss xg se

evalúa la función en los mismos y se resuelve la integral

24

Ejemplo

Puntos de Gauss: x g=π2

+π2

ζ

∫0

π

sen x dx≈π2∑i=1

n

Ai f ( x gi)

Con 1 punto: ζ=0→ x g1=π2

+π2

0,000000=π2

∫0

π

sen x dx≈π2[2 sen(π

2)]=3,1416

Con 2 puntos: ζ=±√1 /3→ x g 1,2=π2

±π2 √1

3=1,5708±0,9069

∫0

π

sen x dx≈π2[1 sen(0,6639)+1 sen(2,4777)]=1,9358

Con 3 puntos: ζ1,3=±√3/5→ x g1,3=π2

±π2 √3

5=1,5708±1,2167 ,ζ2=0→ x g2=

π2

∫0

π

sen x dx≈π2[5/9 sen(0,3541)+8 /9 sen(π

2)+5 /9 sen(2,7875)]=2,0014