tema4. analisis matematico ciencias sociales

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ANÁLISIS'MATEMÁTICO'!

1./'junio'1995'En!1980!se!fundó!una!asociación!ecologista.!Se!sabe!que!el!número!de!sus!miembros!ha!variado!con!los!años!de!acuerdo!con!la!

función:!

!

a)!¿Cuántos!fueron!los!socios!fundadores?!

b)!¿En!qué!periodos!de!tiempo!aumenta!el!número!de!sus!socios.!

!

2./'junio'1995'Un!heladero!ha!comprobado!que,!a!un!precio!de!50!pesetas!la!unidad,!vende!una!media!de!200!helados!diarios.!Por!cada!peseta!

que!aumenta!el!precio,!vende!2!helados!menos!al!día.!Si!el!coste!por!unidad!es!de!40!pesetas,!¿a!qué!precio!de!venta!es!máximo!el!

beneficio!diario!que!obtiene!el!heladero?!

!

3./junio'1995'En!una!oficina!de!correos!sólo!se!admiten!paquetes!con!forma!de!paralelepípedo!rectangular,!tales!que!la!anchura!sea!igual!a!la!

altura! y! además,! la! suma! de! sus! tres! dimensiones! debe! ser! de! 72! cm.! Hallar! las! dimensiones! del! paralelepípedo! para! que! el!

volumen!sea!máximo.!

!

4./junio'1995'Un!automovilista!sale!de!viaje!y,!al!cabo!de!x!horas,!va!a!una!velocidad!de!80+3x!km/h.!Al!cabo!de!3!horas!descansa!durante!1!

hora.!Reanuda!la!marcha!a!una!velocidad!de!108`x!km/h,!siendo!x!el!tiempo!en!horas!desde!que!salió.!Después!de!6!horas!llega!a!

su!destino.!¿Qué!distancia!ha!recorrido!en!total?!

!

5./septiembre'1995'Dada!la!función:!

!

Calcular!los!valores!de!a,!b!y!c!para!que!la!función!pase!por!el!punto!(0,!`4)!y!tenga!un!mínimo!relativo!en!el!punto!(3,!`13).!

!6./septiembre'1995'Después!de!x!horas!de!trabajo!un!operario!puede!fabricar!cierto!artículo!a!una!velocidad!dada!por:!

!Unidades!por!hora.!

Un!segundo!trabajador!produce!a!una!velocidad!expresada!por:!

Unidades!por!hora.!

Sabiendo!que!ambos!empiezan!la!jornada!a!las!9!de!la!mañana:!

a)!Hallar!cuanto!produce!el!primer!trabajador!hasta!las!12!de!la!mañana.!b)!Calcular!cuanto!fabrica!el!segundo!entre!las!10!y!las!12!de!la!mañana.!

!

7./'septiembre'1995'Una! empresa! considera! que! los! ingresos!mensuales! en!miles! de! pesetas! que! producirá! el! lanzamiento! de! un! nuevo! producto!

vienen!dados!por:! ,!donde!t!es!el!número!de!meses!transcurridos!desde!el!lanzamiento!del!producto.!

a)!Calcular!la!tasa!de!variación!instantánea!de!los!ingresos!al!cabo!de!dos!meses.!

b)!Hallar!el!instante!de!máximo!ingreso.!¿Cuál!será!ese!ingreso?!

c)!¿Cuál!es!el!periodo!de!tiempo!en!el!que!crecen!los!ingresos?!¿Y!en!qué!periodo!decrecen?!

!

!8./junio'1996'

Sea!la!función:! !

a)!Halla!el!área!del!recinto!limitado!por!la!curva!y!el!eje!de!abscisas.!

b)!Hallar!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!dicha!función!cuando!x!=!0.!

!

!

!!

!


!

9./'junio'1996'Para! fomentar! la! utilización! del! transporte! público! entre! dos! puntos! de! una! ciudad! una! compañía! de! transportes! ofrece! sus!

servicios!en!las!siguientes!condiciones:!

• Si!el!número!de!viajeros!es!menor!o!igual!que!20!el!billete!costará!80!ptas!por!persona.!• A!partir!de!20!viajeros,!el!precio!del!billete!se!obtendrá!restando!de!80!ptas!el!número!de!viajeros!que!excedan!de!20.!

Teniendo!en!cuenta!que!en!cada!autobús!caben!como!máximo!60!personas!y!designando!por!x!el!número!de!personas!por!viaje!se!

pide:!

a)!La!expresión!algebraica!y!la!representación!gráfica!de!la!función!P(x)!que!proporciona!el!precio!que!ha!de!pagar!cada!viajero.!

b)!La!expresión!algebraica!y!la!representación!gráfica!de!la!función!I(x)!que!representa!los!ingresos!por!el!viaje!de!la!compañía.!

c)!Obtener!el!número!de!viajeros!que!proporciona!el!máximo!ingreso!por!viaje!a!la!compañía,!así!como!el!valor!de!dicho!ingreso.!!

10./'junio'1996'

A! las!9!de! la!mañana! surge!un! rumor!en!una! ciudad!que! se!difunde!a!un! ritmo!de! personas/hora.! Sabiendo!que! t!

representa! el! número!de!horas! transcurridas! desde! la! aparición!del! rumor,! calcula! el! número!de!personas! que! lo! habrán!oído!entre!las!10!y!las!12!de!la!mañana.!

!

11./'septiembre'1996'El!elemento!radio!se!descompone!según!la!expresión:!

!

Donde!y(t)!es!la!cantidad!en!gramos!en!el!instante!t,!t!es!el!tiempo!en!años,!n!es!la!cantidad!inicial!en!gramos.!Si!se!empieza!con!

500!gramos:!

a)!¿Cuántos!gramos!quedarán!al!cabo!de!200!años?!

b)!¿Cuál!será!la!velocidad!de!descomposición!al!cabo!de!t!años?!

c)!¿Cuál!será!la!velocidad!de!descomposición!al!cabo!de!1000!años?!

d)!¿Cuánto!tiempo!tendrá!que!pasar!para!que!la!velocidad!de!descomposición!sea!igual!a! ?!

!

12./septiembre'1996'

a)!Hacer!un!esquema!de! la!gráfica!de! la! función! ! calculando!sus!máximos!o!mínimos! relativos!y! los!puntos!de!

corte!con!el!eje!de!abscisas.!

b)!Hallar!el!área!comprendida!entre!la!curva!anterior,!el!eje!de!abscisas!y!las!rectas! !y! .!

!

13./'junio'1997'El!número!de!enfermos!por!gripe!en!una!ciudad!a!lo!largo!del!pasado!mes!de!enero!ha!venido!dado!por!la!función:!

!

Donde!t!representa!el!número!de!días!transcurridos!a!partir!del!1!de!enero!de!1996.!a)!¿Cuántos!enfermos!había!el!citado!1!de!enero?!

b)!Calcular! la!expresión!algebraica!de!la!función!que!representa! la!velocidad!de!evolución!del!número!de!enfermos!al!cabo!de!t!

días.!

c)!Determinar!la!fecha!en!la!cual!la!velocidad!de!evolución!del!número!de!enfermos!ha!sido!igual!a!803.42!enfermos/día.!!

14./junio'1997'

El! valor! de! un! equipo! informático! decrece! a! un! ritmo! dado! por! !miles! de! pesetas/año.! Si! el! valor! inicial! del! citado!

equipo!era!de!300!000!pesetas,!¿cuál!será!su!valor!al!cabo!de!5!años?!

!

15./junio'1997'

Sea!la!función! .!Calcular!el!área!del!recinto!limitado!por!dicha!función!y!la!función! .!

!

16./junio'1997'Se!quiere! cercar! un! campo! rectangular!mediante! una! valla,! aprovechando!un!muro! ya! existente.! Se! sabe!que! la! valla! del! lado!

opuesto!al!muro!cuesta!300!ptas!por!metro!y!la!de!los!otros!dos!lados!100!ptas!por!metro.!Si!el!presupuesto!disponible!es!de!300!

000!ptas,!hallar!el!área!del!mayor!recinto!que!puede!cercarse.!!

!

!

!



Para!la!función:! !

a)!Estudiar!razonadamente!su!continuidad!en!ℜ.!

b)!Hallar!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!dicha!gráfica!en!el!punto!x!=!`2.!

!

18./'septiembre'1997'

Calcula!el!área!del!recinto!limitado!por:! ,! ,! !

'19./septiembre'1997'

Sea!la!función:! !

a)!Analizar!sus!puntos!de!inflexión!en!ℜ.!

b)!Analizar!su!máximo!absoluto!en!ℜ.!

'20./junio'1998'Un! club! deportivo! cuenta! con! un! número! de! socios! que! viene! dado! (en! miles! de! personas)! por! la! función!

!donde!x!indica!el!número!de!años!desde!la!última!remodelación.!

a)!Hállese!el!año!en!el!que!el!club!ha!tenido!el!mayor!número!de!socios.!

b)!El!4º!año!se!remodeló!de!nuevo.!Indíquese!si!esta!remodelación!tuvo!éxito!o!no.!!

21./junio'1998'

Sea!la!función! !

a)!Hállense!los!valores!de!a!y!b!de!forma!que!f(x)!tenga!un!máximo!en!x!=!1!y!un!mínimo!en!x!=2.!b)!Hállese!el!área!de!la!región!limitada!por!la!gráfica!de!f(x)!y!el!eje!OX!entre!x!=!0!y!x!=!3.!

!

22./septiembre'1998'Los!beneficios!que!se!obtienen!de!la!venta!de!x!unidades!de!un!determinado!producto!vienen!dados!por!la!expresión:!

!

a)!Determínese!el!número!de!unidades!a!vender!para!que!sea!máximo!el!beneficio!medio! .!

b)!¿Para!qué!número!de!unidades!se!obtiene!el!máximo!beneficio?!

!


Hállense!las!rectas!tangentes!a!la!curva! !que!sean!paralelas!a!la!recta! .!

'24./junio'1999'

Dada!la!curva!de!ecuación! ,!calcúlese!las!rectas!tangentes!a!la!misma,!que!sean!paralelas!a!la!recta!de!ecuación!

.!

!

25./junio'1999'

Se!considera!la!función:! !

a)!Hállense!sus!máximos!y!sus!mínimos!

b)!Determínense!sus!intervalos!de!crecimiento!y!decrecimiento.!c)!Represéntese!gráficamente.!!

!

26./septiembre'1999'Se!sabe!que!los!costes!totales!de!fabricar!x!unidades!de!un!determinado!producto!vienen!dados!por!la!expresión:!

!

a)!¿Cuántas!unidades!hay!que!producir!para!minimizar!el!coste!medio!(hacer!dibujo)?!

b)!Justifíquese!que!la!función!de!coste!medio,!M(x),!no!tiene!puntos!de!inflexión.!

!



Sea!la!función:! !

a)!Represéntese!gráficamente.!

b)!Estúdiese!su!continuidad.!

!

28./junio'2000'

Se!considera!la!función: !

a)!Estúdiese!si!f(x)!es!continua!en!el!punto!x!=!2.!

b)!Calcúlese!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!f(x)!en!el!punto!x!=!3.!

c)!Calcúlense!sus!asíntotas!oblicuas!

'29./'junio'2000'

Sea!la!función!dependiente!de!los!parámetros!a!y!b:! !

a)!Hállense!los!valores!a!y!b!para!que!la!función!sea!continua!en!el!conjunto!ℜ!de!números!reales.!

b)!Represéntese!gráficamente!para!los!valores!a!=!0!y!b!=!3.!

c)!Para!los!valores!a!=!0!y!b!=!3,!hállese!el!área!de!la!región!plana!acotada!limitada!por!la!gráfica!de!la!función,!el!eje!de!abscisas!y!

las!rectas!x!=!1!y!x!=!3.!

!


Dada!la!función!definida!en!los!reales!salvo!en!x!=!0,! .!Se!pide:!

a)!Las!coordenadas!de!sus!máximos!y!sus!mínimos!relativos.!

b)!El!área!de!la!región!plana!acotada!limitada!por!la!gráfica!de!f(x)!y!el!semieje!positivo!OX.!

!


Dada!la!función! ,!definida!en!los!reales,!salvo!en!t!=!`2,!hállese:!

a)!El!valor!positivo!de!t!en!el!que!se!hace!cero!la!función.!

b)!El!valor!positivo!de!t!en!el!que!s(t)!se!hace!máximo.!c)!Las!asíntotas!de!s(t).!

!

32./junio'2001'Una!empresa!fabrica!cajas!de! latón!sin!tapa!de!volumen!500!cm3,!para!almacenar!un! líquido!colorante.!Las!cajas!tienen! la!base!

cuadrada.!Hállense!la!altura!y!el!lado!de!la!base!de!cada!caja!para!que!la!cantidad!de!latón!empleada!en!fabricarlas!sea!la!mínima!posible.!

!

33./junio'2001'Dada!la!función:!

!

a)!Determínense!sus!máximos!y!sus!mínimos!relativos.!b)!Calcúlense!sus!puntos!de!inflexión.!

c)!Esbócese!su!gráfica.!

!


Sean!las!funciones:! !!y! .!

a)!Determínense!!a,!b!y!c!!sabiendo!!que!!las!!gráficas!!de!!ambas!!funciones!!se!!cortan!!en!!los!puntos!(`2,!`3)!y!(1,!0).!

b)!Hállese!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!g(x)!en!el!punto!(`2,!`3).!

!


c)!Calcúlese!el!área!de!la!región!limitada!por!las!gráficas!de!f(x)!y!g(x).!

!

35./septiembre'2001'Sea!la!función:!

!

Calcúlense:!a)!Los!intervalos!donde!es!creciente!y!decreciente.!

b)!Las!coordenadas!de!sus!máximos!y!mínimos!relativos.!

c)!El!valor!de!x!para!el!que!es!máxima!la!pendiente!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!f(x).!

!

36./junio'2002'

a)!Halla!las!coordenadas!del!mínimo!de!la!curva! !

b)!Calcular!el!área!del!triángulo!limitado!por!el!eje!OX!y!las!tangentes!a!la!curva!dada!los!puntos!de!intersección!de!dicha!curva!con!

el!eje!OX.!

!

37./junio'2002'

Se!considera!la!curva!de!ecuación:! !

a)!Hallar!las!coordenadas!de!sus!puntos!de!intersección!con!los!ejes!coordenados!y!de!sus!máximos!y!mínimos!relativos,!si!existen.!

b)!Representar!gráficamente!la!curva!

c)!Calcular!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!curva!y!el!eje!OX.!'38./septiembre'2002'

Para!cada!valor!de!a!se!considera!la!función:! ,!se!pide:!

a)!Calcular!el!valor!de!a!para!que!f(x)!tenga!un!mínimo!relativo!en!x!=!2.!

b)!Hallar!las!asíntotas!de!la!curva! para!el!valor!a!=!3!

!

39./septiembre'2002'Calcular!el!valor!de!a>0!en!los!siguientes!casos:!

a)! !

b)! !

c)! !

!

40./junio'2003'

Sean!las!funciones! !!y! .!

Calcular:!

a)! !

b)!Los!extremos!relativos!de!g(x)!si!existen.!

c)!El!área!del!recinto!limitado!por!la!gráfica!de!la!función!f(x),!el!eje!OX!y!las!rectas!x!=!3!y!x!=!6.!

!

41./junio'2003'

Dada!la!función! !

a)!Determina!los!intervalos!de!crecimiento!y!de!decrecimiento.!b)!Calcular!sus!asíntotas!

c)!Hallar!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!f(x)!en!x!=!0.!

!

!

!



Se!considera!la!función! .!

a)!Hallar!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!f(x)!en!el!punto!de!abscisa!x!=!1.!

b)!Calcular!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f(x)!para!x!≥!0,!el!eje!OX!y!la!recta!x!=!2.!!43./septiembre'2003'

Sea!la!función! !

Se!pide:!

a)!Especificar!su!dominio!de!definición.!b)!Estudiar!su!continuidad.!

c)!Calcular!las!asíntotas,!si!las!hubiera.!

!

44./modelo'2004'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Hallar!las!coordenadas!de!sus!máximos!y!mínimos!relativos!

b)!Determinar!los!intervalos!de!concavidad!y!convexidad!

c)!Esbozar!la!gráfica!de!f(x).!

!45./modelo'2004'Para!cada!valor!de!a!se!considera!la!función:!

!

a)!Calcular!el!valor!del!parámetro!real!a!sabiendo!que!la!función!tiene!un!extremo!relativo!en!el!punto!de!abscisa!x=1.!Calificar!el!

extremo.!b)!Estudiar!los!intervalos!de!crecimiento!y!decrecimiento!para!a!=!3.!

c)!Hallar!las!asíntotas.!

'46./junio'2004'Calcular!la!integral!definida:!

!

47./junio'2004'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Determinar!su!dominio!de!definición!b)!Obtener!sus!asíntotas.!

!

48./septiembre'2004'Se!considera!la!función!real!definida!por:!

!

a)!Obtener!los!valores!de!a!para!los!cuales!la!función!f(x)!tiene!un!máximo!en!x!=!1.!

b)!Calcular!los!extremos!de!f!(x)!para!a!=!3!y!representar!la!función.!

!49./septiembre'2004'Sean!las!funciones:!

!

a)!Calcular:! !

b)!Calcular!el!área!del!recinto!acotado!limitado!por!las!curvas!f(x)!y!g(x).!

!


50./modelo'2005'

Sea!la!función! !

a)!Calcular!sus!extremos!relativos!y!su!punto!de!inflexión.!

b)!Calcular!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f(x),!el!eje!OX!y!las!rectas!verticales! .!


!

a)!Estudiar!la!continuidad!de!f(x)!en!x!=!1.!

b)!Esbozar!su!gráfica.!

c)!Hallar!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!dicha!gráfica!en!x!=!`1.!

!

52./junio'2005'La!función:!

!

Representa,!en!miles!de!euros,!el!beneficio!neto!de!un!proceso!de!venta,!siendo!x!el!número!de!artículos!vendidos.!Calcular!el!número!de!artículos!que!deben!venderse!para!obtener!el!beneficio!máximo!y!determinar!dicho!beneficio!máximo.!

!

53./junio'2005'

a)!Hallar!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de! !en!el!punto!donde!esta!corta!al!eje!de!ordenadas.!

b)!Calcular!el!área!del!recinto!limitado!por!la!gráfica!de!la!función! ,!el!eje!OX!y!las!rectas! .!

!


Se!considera!la!curva!de!ecuación:! .!Se!pide:!

a)!Hallar!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!dicha!curva!en!el!punto!de!abscisa!x!=!1!b)!Hallar!las!asíntotas!de!la!curva!

!


Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:! !

a)!Hallar!sus!asíntotas.!b)!Calcular!sus!máximos!y!sus!mínimos!relativos,!si!existen.!

!

56./modelo'2006'

Calcular!el!área!del!recinto!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!la!función! !y!el!eje!OX.!

!

57./modelo'2006.'

Calcular!el!valor!de!a>0!para!que!el!área!de!la!región!plana!acotada!limitada!por!las!gráficas!de!las!curvas! ,!sea!

igual!a!4.!

!58./junio'2006'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

Se!pide:!

a)!Calcular!sus!máximos!y!mínimos!relativos,!si!existen.!b)!Calcular!el!área!del!recinto!plano!limitado!por!la!gráfica!de!la!función!f!y!el!eje!OX.!

!

!

!

!


59./junio'2006'Se!considera!la!curva!de!ecuación!cartesiana:!

!

Se!pide:!

a)!Calcular!las!coordenadas!del!punto!en!el!que!la!recta!tangente!a!la!curva!es!paralela!a!la!recta:! .!

b)! Calcular! el! área! del! recinto! plano! acotado! limitado! por! las! gráficas! de! la! curva! dada! y! de! la! recta! de! ecuación! cartesiana:!

.!

!60./septiembre'2006'Dada!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Encontrar!las!asíntotas!de!la!función.!b)!Especificar!el!signo!de!la!función!en!las!distintas!regiones!en!las!que!está!definida.!

!

61./septiembre'2006'Representar!gráficamente!la!región!acotada!limitada!por!las!gráficas!de!las!funciones:!

!

Y!obtener!su!área.!

!

62./junio'2007'Dada!la!función!real!de!variable!real:!

!

a)!Determinar!las!asíntotas!de!la!función.!

b)!Calcular!sus!máximos!y!mínimos!y!determinar!sus!intervalos!de!crecimiento.!

!63./junio'2007'Representar!gráficamente!la!región!acotada!limitada!por!las!gráficas!de!las!funciones:!

!

Y!obtener!su!área.!

!!

64./'septiembre'2007'Dada!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Especificar!su!dominio!de!definición.!b)!Estudiar!su!continuidad!

c)!Calcular!sus!asíntotas,!si!las!hubiera.!

!


La!gráfica!de!la!función! !satisface!las!siguientes!propiedades:!

Pasa!por!el!punto!(0,!0)!

Tiene!un!máximo!local!en!el!punto!(1,!2).!

Se!pide:!

a)!Obtener!el!valor!de!los!coeficientes!a,!b!y!c.!

b)!Hallar!el!área!de!la!región!acotada!del!plano!limitada!por!la!gráfica!de!la!función! ,!el!eje!OX!y!la!recta! .!

!

!

!

!!

!


66./modelo'2008'Dada!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Calcular!sus!asíntotas!y!esbozar!su!gráfica.!

b)!Hallar!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!f!en! .!

!

67./modelo'2008'

Dada!la!función!real!de!variable!real!definida!por!:! ,!se!pide!determinar:!

a)!Los!puntos!en!los!que!la!gráfica!de!f!corta!a!los!ejes!de!coordenadas.!

b)!Los!intervalos!de!crecimiento!y!decrecimiento!de!f.!c)!El!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!la!función!y!el!eje!OX.!

!

68./junio'2008'Calcúlese!el!área!de!la!región!plana!limitada!por!las!gráficas!de!las!funciones!reales!de!variable!real:!

!

!

69./junio'2008'Se!considera!la!función!real!de!variable!real:!

!

a)!Determínese!las!asíntotas!de!f.!

b)!Calcúlense!sus!máximos!y!mínimos!relativos!y!determínense!sus!intervalos!de!crecimiento!.!

c)!Calcúlese!la!integral!definida! !

!

70./septiembre'2008'Se!desea!fabricar!un!acuario!con!base!cuadrada!y!sin!tapa,!de!capacidad!500!dm3.!La!base!y!las!paredes!del!acuario!han!de!estar!

realizadas!en!cristal.!¿Cuáles!deben!ser!sus!medidas!para!minimizar!la!superficie!total!del!cristal!empleado?!!

71./septiembre'2008'Se!considera!la!función!real!de!variable!real:!

!

a)!Determínense!las!asíntotas!de!f.!

b)!Calcúlense!los!máximos!y!mínimos!relativos!de!f!y!determínense!sus!intervalos!de!crecimiento.!

c)!Calcúlese!la!integral!definida:! !

!72./modelo'2009'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!¿Qué!valores!deben!tomar!a!y!b!para!que!f!tenga!un!máximo!relativo!en!el!punto!P(1,!4)?!

b)!Para!a!=!`2!,!b!=!`8,!determínense!los!puntos!de!corte!de!la!gráfica!de!f!con!los!ejes!de!coordenadas!y!determínense!los!puntos!de!inflexión!de!dicha!gráfica.!

c)!Para!a!=!`2!,!b!=!`8,!calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f!y!el!eje!OX.!

'73./modelo'2009'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

!


a)!Calcúlense!los!valores!de!a!y!b!para!que!f!sea!continua!en! !y!en! .!

b)!Para!a!=1,!b!=!6,!calcúlense!las!derivadas!f´(1)!y!f´(7).!

c)!Para!a!=!1,!b!=!6,!calcúlese!la!integral!definida! .!

74./junio'2009''Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!!

!

a)!Determínense!los!extremos!relativos!de!f.!

b)!Hállese!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!f!en!el!punto!de!abscisa!x!=!3.!

c)!Calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f!y!el!eje!OX.!

!75./'junio'2009''Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

!

a)!Determínense!las!asíntotas!de!f,!especificando!los!valores!del!parámetro!real!a!para!los!cuales!f!tiene!una!asíntota!vertical,!dos!

asíntotas!verticales!!o!bien!no!tiene!asíntotas!verticales.!

b)!Para!a!=!`1,!calcúlense!los!valores!reales!de!b!para!los!cuales!se!verifica!que:! !

76./septiembre'2009'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

!

a)!Representar!gráficamente!la!función!f!

b)!Hállese!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!f!en!el!punto!de!abscisa! !c)!Calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f!y!el!eje!OX.!

!

77./septiembre'2009'El!beneficio!semanal!(en!miles!de!euros)!que!obtiene!una!central!lechera!por!la!producción!de!leche!desnatada!está!determinada!

por!la!función:!

!

!

Donde!la!x!representa!los!hectolitros!de!leche!producidos!en!una!semana.!

a)!Represente!gráficamente!la!función!B(x),!con!x!≥!0.!b)!Calcúlense!los!hectolitros!de!leche!desnatada!que!debe!producir!cada!semana!la!central! lechera!para!maximizar!su!beneficio.!

Calcúlese!dicho!beneficio!máximo.!

c)!Calcúlense!las!cantidades!mínima!y!máxima!de!hectolitros!de!leche!desnatada!que!debe!producir!la!central!lechera!cada!semana!para!no!incurrir!en!pérdidas!(es!decir,!beneficio!negativo)!

!

78./modelo'2010'Se!considera!la!curva!de!ecuación!cartesiana:!

!

a)! Calcúlense! las! coordenadas! del! punto! en! el! que! la! recta! tangente! a! la! curva! propuesta! es! paralela! a! la! bisectriz! del! primer!

cuadrante.!

b)!Calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!las!gráficas!de!la!curva!propuesta,!la!recta!tangente!a!dicha!curva!en!el!

punto! !y!el!eje!OX.!

!

!

'

!


79./modelo'2010'


a)!¿Qué!valores!deben!tomar!a!y!b!para!que!la!gráfica!pase!por!el!punto! !y!además!tenga!un!máximo!relativo!en!el!punto!

?!

b)!Para!a!=!1,!b!=!`2,!c!=!0,!determínense!los!puntos!de!corte!de!la!gráfica!de!f!con!los!ejes!coordenados.!c)!Para!a!=!1,!b!=!`2,!c!=!0,!calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f!y!el!eje!OX.!

'80./junio'2010.'Fase'específica'


a)!Determínense!sus!asíntotas!

b)!Calcúlense!sus!máximos!o!mínimos!locales.!Esbócese!la!gráfica!de!f.!

c)!Calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!las!rectas!verticales! ,!la!gráfica!de!f!y!la!recta!de!ecuación!

!

!

81./junio'2010.'Fase'específica'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Calcúlense!los!valores!de!a!y!b!para!que!f!sea!continua!y!derivable!en!todos!los!puntos.!

b)!Para!a!=!6!y!b!=!¾!,!determínense!los!puntos!de!corte!de!la!gráfica!de!f!con!el!eje!OX.!Esbócese!la!gráfica!de!f.!

c)!Para!a!=!6!y!b!=!¾!,!calcúlese!el!área!del!recinto!plano!limitado!por!la!gráfica!de!f,!el!eje!OX!y!la!recta!vertical!x!=!2.!

!82./junio'2010.'Fase'general'

Se! considera! el! rectángulo! (R)! de! vértices! BOAC! con! ; ; ; ,! ,! y! cuyo! vértice! C! está!

situado!en!la!parábola!de!ecuación! .!

a)!Para!a!=!3,!determínense!las!coordenadas!de!los!vértices!de!R!y!calcúlese!el!área!de!R.!

b)!Determínense!las!coordenadas!de!los!vértices!de!R!de!manera!que!el!área!de!R!sea!máxima.!

c)!Calcúlese!el!valor!de!dicha!área!máxima.!!

83./junio'2010.Fase'general'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

!

!

a)!Calcúlense!a!y!b!para!que!la!función!f!sea!continua!y!derivable!en!x!=!2.!

b)!Determínese!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!la!función!f!en!el!punto!x!=!1.!

c)!Para!a!=!1,!b!=!`2,!calcúlese!el!área!de!la!región!plana!acotada!limitada!por!la!gráfica!de!f!y!el!eje!OX.!

!84./'septiembre'2010.'Fase'específica'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por!:!

!

!

a)!Determínese!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!f!en!su!punto!de!inflexión.!

b)!Determínense!los!extremos!relativos!de!f!y!esbócese!su!gráfica.!

c)!Calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f!y!la!recta!de!ecuación! !

!

!

!

!


85./septiembre'2010.'Fase'específica'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

!

!a)!Calcúlense!a!y!b!para!que!la!función!f!sea!continua!en!todos!los!puntos.!

b)!¿Existen!valores!de!a!y!b!para!los!cuales!f!es!derivable!en!x!=3?!Razónese!la!respuesta.!

c)!Para!a!=!4,!b!=!`1,!calcúlese!la!integral!definida! .!

86./septiembre'2010.Fase'general!El!coste!de!un!marco!para!una!ventana!rectangular!es!de!50!euros!por!cada!metro!de!lado!vertical!y!de!25!euros!por!cada!metro!

de!lado!horizontal.!Se!desea!construir!una!ventana!de!superficie!igual!a! .!Calcúlense!sus!dimensiones!(largo!y!alto)!para!que!

el!marco!sea!lo!más!barato!posible.!Calcúlese!el!precio!mínimo!del!marco!de!dicha!ventana.!

!!

87./septiembre'2010.'Fase'general'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Calcúlense!a!y!b!para!que!la!función!f!sea!continua!en!todos!los!puntos.!b)!Para!a!=!0!y!b!=!3!represente!gráficamente!la!función!f!

c)!Para!a!=!0!y!b!=!3,!calcúlese!la!integral!definida! !

Nota:!la!notación!log!representa!al!logaritmo!neperiano.!!

88./'modelo'2011'Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Calcúlense!a!y!b!para!que!la!función!tenga!un!máximo!relativo!en!x!=!1!y!un!mínimo!relativo!en!x!=!2.!

b)!para!a!=!b!=!0,!calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f!y!la!recta!de!ecuación! !

!89./modelo'2011''Una!empresa!produce!cable!de!fibra!óptica!que!vende!a!un!precio!de!x!euros!por!metro.!Se!estima!que!la!venta!diaria!de!cable!(en!

miles!de!metros)!se!expresa!en!términos!del!precio!mediante!la!función:!

!

a)!Obténgase!la!función!I(x)!que!determina!los!ingresos!diarios!de!la!empresa!en!función!del!precio!x.!

b)!Calcúlese!el!precio!x!que!ha!de!fijarse!para!que!el!ingreso!diario!sea!máximo!y!calcúlese!dicho!ingreso!máximo.!c)!Determínense!las!asíntotas!de!I(x)!y!esbócese!la!gráfica!de!la!función!I(x).!

!

90./junio'2011''

Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:! .!

a)! Especifíquese! su! dominio! de! definición! y! los! puntos! de! corte! de! la! gráfica! de! f! con! los! ejes! coordenados.!Determínense! las!

asíntotas!de!f.!b)!Determínese!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!la!gráfica!de!f!en!el!punto!de!abscisa!x!=!1.!

c)!Calcúlese!la!integral!definida! !

!!

!


91./junio'2011''Se!considera!la!función!real!de!variable!real!definida!por:!

!

a)!Calcúlense!a!y!b!para!que!f!sea!continua!y!derivable!en!x!=!`1.!

b)!Para!a!=!1,!b!=!3,!represéntese!gráficamente!la!función!f!

c)!Calcúlese!el!valor!de!b!para!que! !



a)!Determínense!las!asíntotas!de!f.!Calcúlense!los!extremos!relativos!de!f.!

b)!Represéntese!gráficamente!la!función!f.!

c)!Calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado!limitado!por!la!gráfica!de!f,!la!recta!horizontal!y!=!1!y!la!recta!vertical!x!=!1.!

!

93./'septiembre'2011'Se!considera!un!rectángulo!R!de!lados!x,!y.!

a)!Si!el!perímetro!de!R!es!igual!al!12!m,!calcúlense!x,!y!para!que!el!área!de!R!sea!máxima!y!calcúlese!el!valor!de!dicha!área!máxima.!

b)!Si!el!área!de!R!es!igual!a!36!m2,!calcúlense!x,!y!para!que!el!perímetro!de!R!sea!mínimo!y!calcúlese!el!valor!de!dicho!perímetro!

mínimo.!

!94./'modelo'2012''Una!empresa!de!productos!de!limpieza!fabrica!cajas!de!cartón!con!tapa,!para!comercializar!un!determinado!tipo!de!detergente.!

Las! cajas! son!prismas! rectos!de!9000! cm3!de! volumen!y!base! rectangular!de! largo! igual! al! doble!de! su! anchura.!Calcúlense! las!

dimensiones!en!centímetros!(largo,!anchura,!altura)!que!ha!de!tener!cada!caja!para!que!la!superficie!de!cartón!empleada!en!su!

fabricación!sea!mínima.!!


!

a)!Calcúlense!a,!b,!c!para!que!la!función!f!sea!continua!en!todos!los!puntos!y!derivable!en!x!=!0.!b)!Para!a!=!0,!calcúlense!b,!c,!para!que!la!función!f!sea!continua!en!todos!los!puntos!y!calcúlese!el!área!del!recinto!plano!acotado,!

limitado!por!la!gráfica!de!f!y!el!eje!OX.!

c)!Para!a!=!b!=1,!c=2,!calcúlese!la!integral!definida! .!

!

tema4. analisis matematico ciencias sociales

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