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ANLISIS MATEMTICO II

Joel J. Bastidas Valdivia

Cada autor es responsable del contenido de su propio texto.

De esta edicin:

Universidad Continental S.A.C 2012

Jr. Junin 355, Miraflores, Lima-18

Telfono: 213 2760

Derechos reservados

Primera Edicin: Noviembre 2013

Tiraje: 500 ejemplares

Autor: Joel J. Bastidas Valdivia

Oficina de Produccin de Contenidos y Recursos

Impreso en el Per - Solvimagraf S.A.C

Jr. Emilio Althaus N 406 Of. 301 - Lince

[email protected]

Fondo Editorial de la Universidad Continental

Todos los derechos reservados.

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INTRODUCCIN 7

DIAGRAMA DE PRESENTACIN DE LA ASIGNATURA 9

UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MTODOS DE INTEGRACIN 11

DIAGRAMA DE PRESENTACIN DE LA UNIDAD I

TEMA N1: INTEGRALES INDEFINIDAS1 Antiderivadas o primitivas. 12

2 La integral indefinida definicin y propiedades. 12

3 Integracin directa 13

TEMA N 2: MTODOS DE INTEGRACIN I1 Integracin por sustitucin (Cambio de variable) 18

2 Integracin por partes 26

LECTURA SELECCIONADA:

Un poco de historia y el nacimiento del clculo

Fuente: Engler A, Muller D, Vrancken S, Hecklein M. El Clculo Diferencial. Buenos Aires: Universidad

Nacional del Litoral. Pg. 14-16. 30

ACTIVIDAD N1 33

TEMA N3: MTODOS DE INTEGRACIN II1 Integrales de funciones trigonomtricas. 34

2 Integrales de funciones trigonomtricas inversas. 35

3 Sustituciones trigonomtricas. 38

4 Integracin de funciones racionales mediante fracciones simples o parciales. 39

ACTIVIDAD N2 43

CONTROL DE LECTURA N1 43

AUTOEVALUACIN NO. 01 46

BIBLIOGRAFA DE LA UNIDAD I 48

UNIDAD II: LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES 51

DIAGRAMA DE PRESENTACIN DE LA UNIDAD II

TEMA N 1: LA INTEGRAL DEFINIDA.1 Sumas de Rieman y la integral definida. 52

TEMA N 2: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO.1 Teorema del valor medio para integrales. 60

2 Segundo teorema fundamental del clculo. 62

ACTIVIDAD N1 64

TEMA N 3: APLICACIN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO1 Cambio de variable para integrales definidas. 65

2 Integracin por partes para integrales definidas. 67

NDICE

TEMA N 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL1 rea de una regin entre dos curvas 68

2 Calculo de arco y superficie de revolucin. 70

3 Clculo de volmenes por el mtodo de los discos, arandelas (anillos) y por el mtodo de las capas. 74


rea

Fuente: Larson R. Hostetler R. Edwards B.

Clculo integral. Editorial Mc Graw Hill. Pg. 86. 2009. 82

ACTIVIDAD N2 85

TAREA ACADEMICA N1 85

AUTOEVALUACIN N 2 87

BIBLIOGRAFA DE LA UNIDAD II 89

UNIDAD III: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y SUS APLICACIONES 93

DIAGRAMA DE PRESENTACIN DE LA UNIDAD III

TEMA N 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 1 Nociones bsicas 94

2 Generalidades. 96

TEMA N 2: MTODOS CLSICOS DE SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. (EDO)1 EDO de variables separables. 97

2 EDO reducibles a variables separables. 98

3 EDO homogneas. 99

4 EDO reducible a homogneas. 100

5 EDO exactas. 104

6 EDO reducible a exactas. 107

7 EDO lineales. 110

8 EDO de Bernoulli. 113

ACTIVIDAD N1 116

TEMA N 3: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN.1 Crecimiento y descomposicin. 116

2 Problemas de dilucin (Ecuacin de la continuidad). 119

3 Vaciado de tanques. 122

4 Aplicaciones a la fsica. 128

CONTROL DE LECTURA N 2 129


BIBLIOGRAFA DE LA UNIDAD III 134

UNIDAD IV: TRANSFORMADA DE LAPLACE 137

DIAGRAMA DE PRESENTACIN DE LA UNIDAD IV

TEMA N 1: TRANSFORMADA DE LAPLACE1 Introduccin. 138

2 Definicin. 138

3 Transformada inversa de Laplace. 140

TEMA N 2: TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.1 Primer teorema de Traslacin. 142

2 Transformada de la derivada. 142

3 Transformada de la integracin. 142

4 Solucin de ecuaciones diferenciales en condiciones iniciales aplicando la Transformada de Laplace. 142


Ley de Newton de la dinmica

Fuente: Courant R. Robbins H. Qu son las matemticas? Editorial Fondo de cultura econmica.

Pg. 503 y 504. 2008. 146

ACTIVIDAD N1 147

TAREA ACADEMICA N 2 147


BIBLIOGRAFA DE LA UNIDAD IV 151

INTRODUCCIN

El clculo integral, encuadrado en el clculo infi-nitesimal, es una rama de las matemticas en el proceso de integracin o antiderivacin; es muy comn en la ingeniera y en la matemtica en general y se

utiliza principalmente para el clculo de reas y volmenes

de regiones y slidos de revolucin.

Fue usado por primera vez por cientficos como Arqu-

medes, Ren Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e

Isaac Barrow. Los trabajos de este ltimo y los aportes de

Newton generaron el teorema fundamental del clculo

integral, que propone que la derivacin y la integracin

son procesos inversos.

La integral definida de una funcin representa el rea

limitada por la grfica de la funcin, con signo positivo

cuando la funcin toma valores positivos y negativo cuan-

do toma valores negativos.

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de

aplicacin, pero en este caso en particular, nos referire-

mos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de

las integrales.

Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valemos del uso

de dos herramientas elementales:

* Las integrales definidas y

* El Teorema Fundamental del Clculo Integral

Los creadores del Anlisis Infinitesimal introdujeron el

Clculo Integral, considerando los problemas inversos de

sus clculos. En la teora de fluxiones de Newton la mutua

inversibilidad de los problemas del clculo de fluxiones y

fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz el proble-

ma era ms complejo: la integral surga inicialmente como

definida. No obstante, la integracin se reduca prctica-

mente a la bsqueda de funciones primitivas. La idea de la

integracin indefinidafue inicialmente la dominante.

El Clculo Integral inclua adems de la integracin de

funciones, los problemas y la teora de las ecuaciones dife-

renciales, el clculo variacional, la teora de funciones es-

peciales, etc. Tal formulacin general creci inusualmente

rpido. Euler necesit en los aos 1768 y 1770 tres grandes

volmenes para dar una exposicin sistemtica de l.

Segn Euler el Clculo Integral constitua un mtodo

de bsqueda, dada la relacin entre los diferenciales o

la relacin entre las propias cantidades. La operacin

con lo que esto se obtena se denominaba integracin.

El concepto primario de tal Clculo, por supuesto, era la

integral indefinida. El propio Clculo tena el objetivo de

elaborar mtodos de bsqueda de las funciones primitivas

para funciones de una clase lo ms amplia posible.

Los logros principales en la construccin del Clculo Inte-

gral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y despus a

Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integra-

cin llevada por este ltimo hasta sus ltimas consecuencias

y las cuadraturas por l encontradas, todava constituyen el

marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cl-

culo Integral, cuyos textos actuales son slo modificaciones

de los tratados de Euler en lo relativo al lenguaje.

Principales objetivos a estudiar en el presente texto son:

* Integrales indefinidas

* Mtodos de integracin

* Integrales definidas

* Aplicaciones de la integral definida.

* Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

* Transformada de Laplace.

ANLISIS MATEMTICO IIMANUAL AUTOFORMATIVO 9

Diagrama Objetivos Inicio

Desarrollode contenidos

Actividades Autoevaluacin

Lecturasseleccionadas

Glosario Bibliografa

Recordatorio Anotaciones

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Aplica los mtodos y tcnicas del clculo integral de funciones en una variable, para el desarrollo de la integral definida y sus aplicaciones en el campo de las ciencias e ingeniera.

UNIDADES DIDCTICAS

UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD III UNIDAD IV

Integrales Indefinidas y Mtodos de Integracin

La Integral definida y sus aplicaciones

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus aplicaciones

Transformada de Laplace

TIEMPO MNIMO DE ESTUDIOUNIDAD I UNIDAD II UNIDAD III UNIDAD IV

1 y 2 semana

16 horas

3 y 4 semana

16 horas

5 y 6 semana

16 horas

7 y 8 semana

16 horas







PRESENTACIN DE LA ASIGNATURA ANALISIS MATEMATICO II








UNIDAD I: INTEGRALES INDEFINIDAS Y MTODOS DE INTEGRACIN














DIAGRAMA DE PRESENTACIN DE LA UNIDAD

ORGANIZACION DE LOS APRENDIZAJES

CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

Tema N1:Integrales indefinidas1. Antiderivadas o primitivas2. La integral indefinida defini-

cin y propiedades3 Integracin directaTema N2: Mtodos de integra-cin I1. Integracin porsustitucin

(Cambio de variable)1.1. Integracin de las funciones

logaritmo natural1.2. Integracin de las funcio-

nes exponenciales2. Integracin por partesLectura seleccionada 1: Un poco de historia y el nacimiento del clculoFuente: Engler A, Muller D, Vrancken S, Hecklein M. El Clculo Diferencial. Buenos Aires: Universidad Nacional del Litoral. Pg. 14-16Tema N 3: Mtodos de integra-cin II1. Integrales de funciones trigo-

nomtricas2. Integrales de funciones trigo-

nomtricas inversas3. Sustituciones trigonomtricas 4. Integracin de funciones ra-

cionales mediante Fracciones simples o parciales

Autoevaluacin N 1

1. Calcula integrales inmediatas usando las reglas. Analiza las antiderivadas usando un siste-ma de coordenadas. Resuelve ejercicios de clculo. Como una manera de afianzar sus conoci-mientos

2. Aplica la integracin por partes adecuadamente. Resuelve ejerci-cios de clculo integral utilizan-do el mtodo de integracin por partes

Actividad N 1

Aplicacin: Integrndonos al turismo interno

Los contenidos de apoyo para el desarrollo de la actividad 1 pertene-cen a los temas 1 y 2 de la semana 1

3. Aplica las reglas de integracin adecuadamente para funciones trigonomtricas

4. Aplica la integracin para frac-ciones simples o parciales y otras tcnicas de integracin

Actividad N 2

Resuelve un conjunto de ejercicios respecto al tema 3 y 4

Control de Lectura N 1

Prueba escrita. (Objetiva o cues-tionario) sobre los temas de las semanas 1y 2

Demuestra perseverancia para resolver los diferentes problemas del clculo integral que se apliquen dentro del campo de accin de su profesin, mostrando inters por conocer los campos tericos del clculo integral

CONTENIDO

BIBLIOGRAFA

LECTURASSELECCIONADAS

AUTOEVALUACIN

ACTIVIDADES

12















TEMA N 1: INTEGRALES INDEFINIDAS1 ANTIDERIVADAS O PRIMITIVAS:

Suponer que se decide encontrar una funcin F cuya derivada es 2( ) 3f x x= . Por

lo que se sabe de derivadas es posible afirmar que:

3( )F x x= Porque

3 23d x xdx

=

La funcin F es una antiderivada de f.

Definicin de una antiderivada o primitiva

Se dice que una funcin F es una antiderivada o primitiva de f. en un intervalo I si

'( ) ( )F x f x= para todo x en I.

Ntese que F es una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de f. Para entender por qu, observar que:

3 3 31 1 2 3( ) ( ) 5, ( ) 97F x x F x x y F x x= = = +

Son todas antiderivadas de 2( ) 3f x x= .

De hecho, para cualquier constante K, la funcin dada por 3( )F x x K= + es una

antiderivada de f.

TEOREMA 1: Representacin de antiderivadas o primitivas

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y slo si G es de la forma ( ) ( ) ,G x F x K= + para todo x en I, donde C es una constante.

2 La integral indefinida, definicin y propiedades:

Cuando se resuelve una ecuacin diferencial de la forma: ( )dy f xdx

=

Es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente: ( ) .dy f x dx=

La operacin para determinar todas las soluciones de esta ecuacin se denomina antiderivacin (o integracin indefinida) y se denota mediante un signo integral

La solucin general se denota mediante:

La expresin ( )f x dx se lee como la antiderivada o primitiva de f con respecto a x. De tal manera, la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integracin. El trmino integral indefinida es sinnimo de antiderivada.

La naturaleza inversa de la integracin y la derivacin pude verificarse sustituyendo


14







( )F x por ( )f x en la definicin de integracin indefinida para obtener:

'( ) ( )F x dx F x K= + La integracin indefinida es la inversa de la derivacin.

Adems, si ( ) ( )f x dx F x C= + entonces

( ) ( )d f x dx f xdx

= La derivacin es la inversa de la integracin indefinida.

Estas dos ecuaciones permiten obtener directamente frmulas de integracin a par-tir de frmulas de derivacin, como se muestra en el siguiente resumen.

Reglas bsicas de integracin y algunas propiedades de la integral indefinida

Frmula de derivacin Frmula de integracin

[ ] 0d Cdx

=

[ ]d kx kdx

=

[ ]( ) '( )d kf x kf xdx

=

[ ]( ) ( ) '( ) ( )d f x g x f x g xdx

=

1n nd x nxdx

=

[ ] cosd sen x xdx

=

[ ]cosd x sen xdx

=

[ ] 2tan secd x xdx

=

[ ]sec sec tand x x xdx

=

[ ] 2cot cscd x xdx

=

[ ]csc csc cotd x x xdx

=

0dx C=k dx ck C= +

( ) ( )k f x dx k f x dx= [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =

1

, 11

nn xx dx C n

n

+

= + +

cos x dx sen x C= +cossen x dx x C= +

2sec tanx dx x C= +sec tan secx x dx x C= +

2csc cotx dx x C= +csc cot cscx x dx x C= +

3 Integracin directa:En esta seccin se calcula integrales indefinidas utilizando de manera directa las reglas bsicas de integracin presentadas en la seccin anterior, en los siguientes ejemplos se muestra el procedimiento.

EJEMPLO 1: Aplicacin de las reglas bsicas de integracin

Describir las antiderivadas o primitivas de 5x.

Solucin:









5 5x dx x dx= Regla del mltiplo constante.15 x dx= Rescribir x como 2x

2

52x K

= +

Regla de potencia (n = 1)

252

x K= + Simplificar.

De tal manera, las antiderivadas o primitivas de 5x son de la forma 252

x K+ , donde K es cualquier constante.

Cuando se evalan integrales indefinidas, una aplicacin estricta de las reglas bsi-cas de integracin tiende a producir complicadas constantes de integracin. En el caso del ejemplo 1 se podra haber escrito:

2255 5 5 5 .

2 2xx dx x dx K x K

= = + = +

Sin embargo, como K representa cualquier constante, es tanto problemtico como

innecesario escribir 5K como la constante de integracin. De tal modo, 23 3

2x K+

se escribe en la forma ms simple, 23 .

2x K+

En el ejemplo 1, advertir que el patrn general de integracin es similar al de la derivacin.

Figura No 1: PASOS PARA INTEGRAR

(Larson, Hostetler y Edwards. Calculo Integral: Segunda edicin en espaol. Mexico 2009-Pg.13)

EJEMPLO 2: Reescribir antes de integrar

Integral original Reescribir Integrar Simplificar

3

1)a dxx

3x dx 22

x K

+

2

12

Kx

+


16







)b x dx1

2x dx 323

2

x K+3

223

x K+

) 2c sen x dx 2 sen x dx2( cos )x K + 2cos x K +

Recordar que, por simple derivacin, puede comprobarse si una primitiva es co-

rrecta. As, en el ejemplo 2b, para saber si la primitiva 322

3x K+ es correcta, basta

con derivarla para obtener

3 2 1 22 2 33 3 2x

D x K x x + = =

Usar la derivacin para verificar la antiderivada.

Las reglas bsicas de infraccin listadas en la seccin anterior permiten integrar cualquier funcin polinmica, como se muestra en el ejemplo 3.

EJEMPLO 3: Integracin de funciones polinmicas

) 1a dx dx= Se entiende que el integrando es uno. x K= + Integrar.

) ( 2) 2b x dx x dx dx+ = +

2

1 222x K x K= + + + Integrar.

2

22x x K= + + 1 2K K K= +

La segunda lnea en la solucin suele omitirse.

5 3 24 2) (3 5 ) 3 5

5 3 2x x xc x x x dx K

+ = + +

Integrar

5 3 23 5 1

5 3 2x x x K= + + Simplificar


1 1x xdx dxx x x+

= + Reescribir como dos fracciones

1 12 2( )x x dx= +

3 12 2

3 12 2

x x K= + + Reescribir con exponentes fraccionarios









3 12 2

2 23

x x K= + + Integrar

2 ( 3)3

x x K= + + Simplificar

NOTA: Cuando se integren los cocientes, no deben integrarse numerador y denominador por separado. Esto es incorrecto tanto en la integracin como en la derivacin. Al respecto, obsrvese el ejemplo 4.

1 2 ( 3)3

x dx x x Kx+

= + + no es lo mismo que 2

1

2

1( 1) 2

23

x x Kx dx

x dx x x K

+ ++=

+


2

1cos cos cossen x sen xdx dx

x x x

=

Reescribir como un producto

sec tanx x dx= Rescribir utilizando identidades trigonomtricas sec x K= + Integrar

Condiciones iniciales y soluciones Particulares

Se ha visto que la ecuacin ( )y f x dx tiene muchas soluciones (cada una difi-riendo de las otras en una constante). Eso significa que las grficas de cualesquiera dos antiderivadas o primitivas de f son traslaciones verticales una de otra. Por ejem-plo, la figura 2.2 muestra las grficas de varias de las antiderivadas o primitivas de la forma.

3 3(3 1)y x dx x x K= = + Solucin generalPara diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas o primitivas es una solucin de la ecuacin diferencial.

23 1dy xdx

=

En muchas aplicaciones de la integracin se da suficiente informacin para deter-minar una solucin particular. Para hacer esto, slo se necesita conocer el valor

de ( )y F x= para un valor de x. Esta informacin recibe el nombre de condicin inicial. Por ejemplo, en la figura 2.2 slo una de las curvas pasa por el punto (2,4) Para encontrar esta curva, se utiliza la siguiente informacin.

3( )F x x x K= + Solucin general(2) 4F = Condicin inicial

Utilizando la condicin inicial en la solucin general, es posible determinar que

(2) 8 2 4,F K= + = lo que implica que 2K = . De tal modo, se obtiene

3( ) 2F x x x= Solucin particular


18







EJEMPLO 6: Solucin de un problema de movimiento vertical

Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura inicial de 80 pies.

a) Encontrar la funcin posicin que expresa la altura s en una funcin del tiempo t.

b) Cundo llegar la pelota al suelo?

Solucin:

a) Considerar que t = 0 representa el tiempo inicial. Las dos condiciones iniciales indicadas pueden escribirse de la siguiente manera:

(0) 80s = La altura inicial es 80 pies

'(0) 64s = La velocidad inicial es de 64 pies por segundo

Utilizando 32 pues/s2 como la aceleracin de la gravedad, se tiene:

''( ) 32s t =

1'( ) ''( ) 32 32s t s t dt dt t C= = = +

Empleando la velocidad inicial, se obtiene s(0) = 64 = 32(0) + C1, lo cual impli-ca que C1 = 64. Despus, integrando s(t), se obtiene:

22( ) ''( ) ( 32 64) 16 64s t s t dt dt t t C= = + = + +

Al utilizar la altura inicial se encuentra que

2

2(0) 80 16(0 ) 64(0)s C= = + +

Lo que implica que C2 = 80. De ese modo, la funcin posicin es

2( ) 16 64 80s t t t= + +

b)Utilizando la funcin posicin que se encontr en el apartado a), es posible deter-minar el tiempo en que la pelota pega en el suelo al resolver la ecuacin s(t) =0.

2( ) 16 64 80s t t t= + +

16( 1)( 5) 0t t + =

1,5t =

Como t debe ser positiva, se puede concluir que la pelota golpea el suelo 5 segun-dos despus de haber sido lanzada.









TEMA N 2: MTODOS DE INTEGRACIN I1 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN (CAMBIO DE VARIABLE)

Con un cambio de variable formal se puede reescribir por completo la integral en trminos de u y du (o cualquier otra variable conveniente). Aunque este pro-cedimiento puede implicar ms pasos escritos que el reconocimiento de patrones ilustrado en los ejemplos 1 a 3, resulta til para integrados complicados. La tcnica del cambio de variable utiliza la notacin de Leibniz para la diferencial. Eso es, si

( ),u g x= entonces '( ) ,du g x dx= y la integral en el teorema 2.2 toma la forma:

( ( )) '( ) ( ) ( )f g x g x dx f u du F u C= = + EJEMPLO 1: Cambio de variable

Encontrar 2 1x dxSolucin:

Primero, sea u la funcin interior 2 1u x= Calcular despus la diferencial du

de manera que 2du dx= Ahora, utilizando 2 1 / 2x u y dx du = = , sustituir para obtener:

2 12

dux dx u = Integrar en trminos de u

1 21

2u du= Regla del mltiplo constante

3 212 3 2

u C

= +

Antiderivada en trminos de u

3 21

3u C= + Simplificar

3 21 (2 1)

3x C= + Antiderivada en trminos de x

EJEMPLO 2: Cambio de variable

Encontrar 2 1x x dxSolucin:

Como en el ejemplo previo, considerar que 2 1u x= para obtener / 2dx du= Como el integrando contiene un factor de x se tiene que despejar x en trminos de u, como se muestra:

2 1 ( 1) / 2u x x u= = Resolver x en trminos de u.

Despus de esto, utilizando la sustitucin, se obtiene:

1 212 12 2

u dux x dx u+ =


20







3 2 1 21 ( )

4u u du= +

5 2 3 214 5 2 3 2

u u C

= + +

3 2 3 21 1(2 1) (2 1)

10 6x x C= + +

Para completar el cambio de variable en el ejemplo 5, debe resolverse para x en tr-minos de u. Algunas veces esto es muy difcil. Por formula no siempre es necesario, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 3: Cambio de variable

Determinar 23 cos3sen x x dx

Solucin

Debido a que 2 23 ( 3 )sen x sen x= , podemos tomar 3 .u sen x= Entonces:

(cos3 )(3)du x dx=

Luego, debido a que cos3x dx es parte de la integral original, puede escribirse:

cos33

du x dx=

Sustituyendo u y / 3du en la integral original, se obtiene

2 23 cos33

dusen x x dx u=

21

3u du=

213 3

u C

= +

31 3

9sen x C= +

Es posible verificar lo anterior derivando

3 21 13 (3)( 3 ) (cos3 )(3)9 9

d sen x sen x xdx

= 23 cos3sen x x=

Como la derivacin produce el integrando original, se ha obtenido la antiderivada o primitiva correcta.

Los pasos que se utilizan para la integracin por sustitucin se resumen en la si-guiente gua.









Estrategia para realizar un cambio de variable

1. Elegir la sustitucin ( )u g x= . Usualmente es mejor elegir la parte interna de una funcin compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.

2. Calcular '( )du g x dx=3. Reescribir la integral resultante en trminos de la variable u.

4. Encontrar la integral resultante en trminos de u.

5. Reemplazar u por ( )g x para obtener una antiderivada o primitiva en trminos de x.

6. Verificar la respuesta por derivacin.

La regla general de las potencias para integrales

Una de las sustituciones u ms comunes incluye cantidades en el integrando que se elevan a una potencia. Debido a la importancia de este tipo de sustitucin, se le da un nombre especial: la regla general de las potencias para integrales. Una prueba de esta regla sigue directamente de la regla (simple) de las potencias para la inte-gracin, junto con el teorema 2.2.

TEOREMA 2: La regla general de las potencias para integrales

TEOREMA 2: Si g es una funcin derivable de x, entonces:

[ ] [ ]

1( )( ) '( ) 1

1

nn g x

g x g x dx C nn

+

= + +

De manera equivalente, si ( ),u g x= entonces:

1

11

nn uu du C n

n

+

= + +

EJEMPLO 4: Sustitucin y regla general de las potencias

a)

5

45

54 4 (3 11)3(3 1) (3 1) (3)

5

uu du xx dx x dx C = = +

b)

2

12

2 22 2 ( )(2 1)( ) ( ) (2 1)

2

uu du

x xx x x dx x x x dx C++ + = + + =

c)

3 2

1 2/(3/2)

3 3 22 3 2 1 2 2 3 3 2( 2) 22 ( 2) (3 ) ( 2)

3 2 3

uu du

xx x dx x x dx C x C3 = + = + = +

d)

1

2( 1)

2 12 2

2 2

4 (1 2 ) 1(1 2 ) ( 4 )(1 2 ) 1 1 2

uu du

x xdx x x dx C Cx x

= = + +

e)

32

/3

32 2 (cos )cos (cos ) ( )

3

uu du

xxsen dx x sen x dx C= = +


22







Algunas integrales cuyos integrados incluyen cantidades elevadas a potencias no pueden determinarse mediante la regla general de las potencias. Considerar las dos integrales:

2 2 2 2( 1) ( 1)x x dx y x dx+ +

La sustitucin 2 1u x= + funciona en la primera integral pero no en la segunda.

En la segunda, la sustitucin falla porque al integrando le falta el factor xnecesario para formar du. Por fortuna, esta integral particular puede hacerse desarrollando

el integrando como 2 2 4 2( 1) 2 1x x x+ = + + y utilizando la regla (simple) de las

potencias para integrar cada trmino.

1.1 Integracin de las funciones logaritmo natural.Regla log para integracin

Las reglas de derivacin

1lnd xdx x

=

'lnd uudx u

=

Que se estudiaron en la seccin anterior producen las siguientes reglas de in-tegracin:

TEOREMA 2.5 : Regla log para integracin

Sea u una funcin derivable de x.

1.

1 lndx x Cx

= + 2.

1 lndu u Cu

= +

Como 'du u dx= la segunda frmula puede expresarse como ' lnu dx u C

u= = +

Forma alternativa para la regla log.

EJEMPLO 1: Uso de la regla log para integracin-

2 12dx dxx x

= Regla del mltiplo constante

2ln x C= + Regla log para integracin2ln( )x C= + Propiedad de los logaritmos

Como 2x no puede ser negativo, el valor absoluto no es necesario en la formu-

la final de la primitiva o antiderivada.

EJEMPLO 2 Uso de la regla log con cambio de variable

Hallar 1

4 1dx

x

Solucin:

Si se toma 4 1,u x= entonces 4du dx=

1 1 1 44 1 4 4 1

dx dxx x

= Multiplicar y dividir por 4









1 14

duu

= Sustituir 4 1u x=

1 ln4

u C= + Aplicar la regla log

1 ln 4 14

x C= +

En el ejemplo 3 usar la alternativa de la regla log. Para aplicar esta regla, buscar cocientes en los que el numerador sea la derivada del denominador.

EJEMPLO 3: Integracin de cocientes para la regla log

a) 2

33

3 1 lnx dx x x Cx x

+= + +

+ 3u x x= +

b)

2sec ln tantan

x dx x Cx

= + tanu x=

c) 2 21 1 2 22 2 2

x xdx dxx x x x

+ +=

+ + 2 2u x x= +

21 ln 22

x x C= + +

d)1 1 3

3 2 3 3 2dx dx

x x=

+ + 3 2u x= +

1 ln 3 23

x C= + +

Con antiderivadas o primitivas que contienen logaritmos es fcil obtener for-mas que hasta cierto punto se ven diferentes, pero que, sin embargo, son equi-valentes. Por ejemplo, cules de las siguientes son equivalentes a la antideriva-da o primitiva en el ejemplo 3d?

1/31/3 1 2ln (3 2) , ln , ln 3 23 3

x C x C x C+ + + + + +

Las integrales a las que se aplica la regla log aparecen a menudo disfrazadas. Por ejemplo, si una funcin racional tiene el numerador de grado mayor o igual que el del denominador, una divisin puede revelar una forma a la que se pueda aplicar la regla log. Esto se muestra en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4 Dividir antes de integrar

Hallar

2

2

11

x x dxx+ ++

Solucin:

Primero se utiliza la divisin larga par rescribir el integrado.

22 2

2 2

11)1 1 11 1

xx x xx xx x x

++ + + + ++ +


24







Ahora, se puede integrar para obtener:.

2

2 2

1 11 1

x x xdx dxx x+ + = + + + Reescribir usando la divisin larga

21 22 1

xdx dxx

= ++ Reescribir como dos integrales

21 ln ( 1)

2x x C= + + + Integrar

Verificar este resultado por derivacin para obtener el integrado original,

El siguiente ejemplo presenta otro caso en que el uso de la regla log est dis-frazado. En este caso, un cambio de la variable ayuda a reconocer la regla log.

EJEMPLO 5: Cambio de variable con la regla log.

Hallar 22

( 1)x dx

x +

Solucin

Si se toma 1,u x= + entonces du dx= y 1x u=

2 2

2 2( 1)( 1)

x udx dux u

=

+ Sustituir

2 2

12 u duu u

= Reescribir como dos fracciones

32 2du u duu

= Rescribir como dos integrales

1

2ln 21

uu

=

Integrar

22ln u Cu

= + + Simplificar

22ln 11

x Cx

= + + ++

Sustitucin regresiva

Comprobar este resultado por derivacin para obtener el integrado original.

Al estudiar los mtodos mostrados en los ejemplos 4 y 5, est claro que ambos involucran reescribir el integrado disfrazado ajustando a una o ms frmulas bsicas de integracin. En las prximas secciones del captulo 2 se estudiarn ampliamente las tcnicas de integracin. Para dominar estas tcnicas se re-quiere reconocer la naturaleza de probar y error de la integracin. En este sentido, la integracin no es tan directa como la derivacin. La derivacin se plantea as:

He aqu la pregunta: Cul es la respuesta?

La integracin viene a ser ms bien:

He aqu la respuesta: Cul es la pregunta?









Las siguientes son estrategias que se pueden usar para la integracin:

Estrategias para la integracin

1. Memorizar una lista bsica de frmulas de integracin, (Incluyendo las da-das en esta seccin, ya disponemos de 12 frmulas: la regla de las potencias, la regla log y 10 reglas trigonomtricas. Al final del captulo 2 la lista se am-pliar a 20 reglas bsicas)

2. Buscar una frmula de integracin que se parezca total o parcialmente al integrado y, por pruebas y error, elegir una u que ajuste el integrando a la frmula.

3. Si no se puede hallar una sustitucin u adecuada, intentar transformar el integrando, mediante identidades trigonomtricas, multiplicacin y divisin por la misma cantidad, o suma y resta de una misma cantidad. Se requiere ingenio.

4. Si se tiene acceso a un software de computadora que resuelva antiderivadas, es conveniente usarlo.

EJEMPLO 6: Sustitucin de u y la regla log.

Resolver la ecuacin diferencial 1ln

dydx x x

=

Solucin: La solucin se puede escribir como una integral indefinida

1ln

y dxx x

=

Como el integrando es un cociente con denominador de potencia 1 se puede intentar utilizar la regla log. Hay tres formas posibles para u. La forma u = x y

lnu x x= no logra ajustarse a la forma '/u u de la regla log, pero s la tercera forma. Haciendo ln , ' 1/u x u x= = se obtiene lo siguiente.

1 1/ln ln

xdx dxx x x x

= Dividir numerador y denominador entre x

'u dx

u= Sustituir lnu x=

ln u C= + Aplicar regla log

ln ln x C= + Sustitucin regresiva

Por lo tanto, la solucin es ln lny x C= +

1.2 Integrales de funciones exponenciales.Cada frmula de derivacin para exponenciales tiene su correspondiente fr-mula de integracin.

TEOREMA 3: Regla de integracin para funciones exponenciales

Si u es una funcin derivable de x.

1. x xe dx e C= + 2. u ue du e C= +


26







EJEMPLO 1: Integracin de funciones exponenciales

Encontrar 3 1xe dx+

Solucin:

si se hace 3 1,u x= + entonces 3du dx=

3 1 3 11 (3)3

x xe dx e dx+ += Multiplicar y dividir por 3.

13

ue du= Sustituir 3 1u x= +

13

ue du= Aplicar la regla exponencial

3 1

3

xe C+

= + Sustituir nuevamente

NOTA: En el ejemplo 10, el factor constante 3 se ha introducido para crear 3 .du dx= Sin embargo, recordemos que no se puede introducir un factor varia-

ble faltante en el integrando. Por ejemplo:

2 21 ( )x xe dx e x dxx


Encontrar

2

5 xxe dx

Solucin: Si se tiene u x= entonces 2du x dx= o / 2x dx du=

2 2

5 5 ( )x xxe dx e x dx = Reagrupar el integrando

5 2n due =

Sustituir 2u x=

52

ue du= Regla del mltiplo constante

52

ue C= + Aplicar la regla exponencial

252

xe C= + Sustitucin regresiva

FUENTE:INTEGRALES INDEFINIDAS Y METODOS DE

INTEGRACINLarson, Hostetler y Edwards. Calculo Integral: Se-

gunda edicin en espaol. Mexico 2009.










Encontrar 3 1xe dx+

Solucin:

si se hace 3 1,u x= + entonces 3du dx=

3 1 3 11 (3)3

x xe dx e dx+ += Multiplicar y dividir por 3.

13

ue du= Sustituir 3 1u x= +

13

ue du= Aplicar la regla exponencial

3 1

3

xe C+

= + Sustituir nuevamente

NOTA: En el ejemplo 10, el factor constante 3 se ha introducido para crear 3 .du dx= Sin embargo, recordemos que no se puede introducir un factor varia-

ble faltante en el integrando. Por ejemplo:

2 21 ( )x xe dx e x dxx


Encontrar

2

5 xxe dx

Solucin: Si se tiene u x= entonces 2du x dx= o / 2x dx du=

2 2

5 5 ( )x xxe dx e x dx = Reagrupar el integrando

5 2n due =

Sustituir 2u x=

52

ue du= Regla del mltiplo constante

52

ue C= + Aplicar la regla exponencial

252

xe C= + Sustitucin regresiva




EJEMPLO 3: Integracin de funciones exponenciales.

a)

1/1/2

2 2

1u

duexe dx e dx

x x =

1ux

=

b)

cos cos ( )

ue dux xsen xe dx e senx dx=

cosu x=

2 INTEGRACIN POR PARTES:En esta seccin se estudiar una tcnica importante de integracin llamada integra-cin por partes. Esta tcnica puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es particularmente til para integrados que contengan productos de funciones algebraicas y trascendentes. Por ejemplo, la integracin por partes funciona bien con integrales como.

2ln , x xx x dx x e dx y e senx dx La integracin por partes est basada en la frmula para la derivada de un producto:

[ ]d dv duuv u vdx dx dx

= + ' 'uv vu= +

Integrando se obtiene uv udv vdu= +

Volviendo a escribir esta ecuacin se obtiene el teorema siguiente.

TEOREMA 4: Integracin por partes

Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces: udv uv vdu=

Esta frmula expresa la integral original en trminos de otra integral. Dependien-do de la eleccin de u y dv, puede ser ms fcil de evaluar la segunda integral que la original. Porque la eleccin de u y dv es importante en la integracin por el proceso de partes, se proporcionan las pautas siguientes.

Estrategias para integrar por partes

1. Intentar tomar como dv la porcin ms complicada del integrando que se ajuste a una regla bsica de integracin y como u el factor restante del integrando.

2. Intentar tomar como u la porcin del integrando cuya derivada es una funcin ms simple que u, y como dv el factor restante del integrado.

EJEMPLO 1 Integracin por partes

Encontrar xe dx

Solucin Para aplicar la integracin por partes es necesario escribir la integral en la

forma u dv . Hay varias maneras de hacer esto.

( ) ( ) , ( ) ( ) , (1) ( ) , ( ) ( )x x x x

u u u u dvdvdv dv

x e dx e x dx xe dx xe dx Las estrategias de la pgina anterior hacen pensar en la eleccin de la primera op-

cin porque la derivada de u x= es simple que ,xx y dv e dx=

es la porcin ms complicada del integrando que se adapta a una frmula bsica de la integracin.

1. Para integrales de la forma

, cosn ax n nx e dx x sen ax dx o x ax dx

Sea n axu x y sea dv e dx= = cossen ax dx o ax dx


ln , arctann n nx x dx x arsen ax dx o x ax dx Sea ln ,u x= , arctan narcsen ax o ax y sea dv x dx=


cosax axe senbx dx o e bx dx

Sea cos axu senbx o bx y sea dv e dx= =


28







x x xdv e dx v dv e dx e= = = = u x du dx= =

Ahora, la integracin por partes:

u dv uv v du= Frmula de integracin por partes x x xxe dx xe e dx=

Sustituir

x xxe e C= + Integrar

Para verificar esto, derivar x xxe e C + para ver que se obtiene el integrando

original.

EJEMPLO 2 Integracin por partes

Encontrar 2 lnx x dx

Solucin:

En este caso, 2x se integra ms fcil que In x. Adems, la derivada de In x es ms simple que In x. As se debe hacer:

2dv x dx=

32 2

3xdv x dx v x dx= = =

1lnu x du dxx

= =

La integracin por partes produce:

u dv uv v du= Frmula de integracin por partes 3 3

2 1 1ln ln3 3 3x xx x dx x dx

x =

Sustitucin

321ln

3 3x x x dx= Simplificar

3 3

ln3 9x xx C= + Integrar

Verificar este resultado derivando

3 3 3 22 21ln (ln )( ) ln

3 9 3 3d x x x xx x x x xdx x

= + =

Una aplicacin sorprendente de la integracin por partes involucra integrados que









constan de un solo factor, tales como ln x dx o .arsen x dx En estos casos hay que tomar ,dv dx= como se muestra en el prximo ejemplo.

EJEMPLO 3: Integracin sucesiva por partes

Encontrar 2x sen x dx

Solucin:

Los factores 2x y sen x son igualmente fciles para integrar. Sin embargo la deriva-da de 2x se vuelve ms simple, considerando que la derivada de sen x no lo es. As

que, se debe elegir la opcin 2u x=

cosdv sen x dx v senx dx x= = =2 2u x du x dx= =

Ahora, la integracin por partes produce

2 2 cos 2 cosx sen x dx x x x x dx= + Primer uso de la integracin por partes

Este primer uso de la integracin por partes ha tenido xito simplificando la inte-gral original, pero la integral de la derecha todava no se adapta a una regla bsica de integracin. Para evaluar esa integral, aplicar de nuevo la integracin por partes. Esta vez sea 2u x=

cos cosdv x dx v x dx senx= = =2 2u x du dx= =

Ahora, la integracin pro partes produce:

2 cos 2 2x x dx x sen x sen x dx= Segundo uso de la integracin por partes 2 2cosxsenx x C= + +

Combinando estos dos resultados se puede escribir:

2 2 cos 2 2cosx sen x dx x x x sen x x C= + + +

Al hacer aplicaciones repetidas de la integracin por partes, tener cuidado de no intercambiar las sustituciones en las aplicaciones sucesivas. As, en el ejemplo 4, la

primera sustitucin era 2 .u x y dv senx dx= = Si en la segunda aplicacin se hu-biera cambiado la sustitucin a cos 2 ,u x y dv x= = se habra obtenido:

2 2 cos 2 cosx sen x dx x x x x dx= +

2 2 2cos cosx x x x x sen x dx= + +

2x sen x dx=

Deshaciendo como consecuencia la integracin anterior y volviendo a la inte-gral original. Al hacer aplicaciones repetidas de integracin por partes, tambin debe percatarse de la aparicin de un mltiplo constante de la integral original. Por ejemplo, esto ocurre cuando se usa la integracin por partes para evaluar


30







cos 2xe x dx y tambin ocurre en el prximo ejemplo.Figura no 2: Resumen de integrales comunes utilizando integracin por partes.

Mtodo tabular

En problemas que contienen aplicaciones repetidas de la integracin por partes, un mtodo tabular, ilustrado en el ejemplo 6, puede ayudar para or-ganizar el trabajo. Este mtodo funciona bien para las integrales del tipo

, ,cosn n n axx sen ax dx x ax dx y x e dx EJEMPLO 6 Uso del mtodo tabular

Encontrar 2 4x sen x dx

Solucin: Empezar como de costumbre haciendo 2u x= y ' 4 .dv v dx sen x dx= =Luego, crear una tabla de tres columnas, como se muestra.

Signos u y sus 'v y sus

Alternados derivadas antiderivadas

+ 2x sen x

2x

1 cos 44

x

+ 2

1 416

sen x

0

1 cos 464

x

Derivar hasta obtener una derivada nula.

La solucin se obtiene sumando los productos con signo de las entradas diagonales.

2 21 1 14 cos 4 4 cos 44 8 32

x sen x dx x x x sen x x C= + + +















LECTURA SELECCIONADA Un poco de historia y el nacimiento del clculo1

El Clculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la historia de la matemtica ya no fue igual: la geometra, el lgebra y la aritmtica, la trigonometra, se colocaron en una nueva perspectiva terica. Detrs de cualquier invento, descubrimiento o nueva teora, existe, indudablemente, la evolucin de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy interesante prestar atencin en el ba-gaje de conocimientos que se acumula, desarrolla y evoluciona a travs de los aos para dar lugar, en algn momento en particular y a travs de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teora, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto me-rece el reconocimiento.

El Clculo cristaliza conceptos y mtodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por ms de veinte siglos. Una larga lista de personas trabajaron con los mtodos infini-tesimales pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social, cien-tfica y matemtica que permitira construir el Clculo que utilizamos en nuestros das.

Sus aplicaciones son difciles de cuantificar porque toda la matemtica moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje mate-mtico interactan constantemente con las ciencias naturales y la tecnologa moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del clculo pero representan un es-labn en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algortmica y la precisin necesaria como mtodo novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior.

Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron tambin resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arqumedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos lti-mos estuvo inspirado por problemas matemticos y filosficos sugeridos por Aristteles, Platn, Tales de Mileto, Zenn y Pitgoras.

Para tener la perspectiva cientfica e histrica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometra Analtica desarrollada indepen-dientemente por Descartes y Fermat.

Sin la contribucin de stos y de muchos otros hombres ms, el clculo de NewtonyLei-bniz seguramente no existira. Su construccin fue parte importante de la revolucin cientfica que vivi la Europa del siglo XVII.Los nuevos mtodos enfatizaron la expe-riencia emprica y la descripcin matemtica de nuestra relacin con la realidad. La revolucin cientfica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Rena-cimiento y la Reforma Protestante. El Clculo Diferencial e Integral estn en el corazn del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte.

El extraordinario avance registrado por la matemtica, la fsica y la tcnica durante los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Clculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas de la creacin intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 Engler A, Muller D, Vrancken S, Hecklein M. El Clculo Diferencial. Buenos Aires: Universidad Nacional del Litoral. Pg. 14-16.


32







EL SIGLO XVII Y LA DISPUTA POR LA CREACIN DEL CLCULO

En sus comienzos el clculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas cientficos y matemticos:

Encontrar la tangente a una curva en un punto. Encontrar el valor mximo o mnimo de una cantidad. Encontrar la longitud de una curva, el rea de una regin y el volumen de

un slido. Dada una frmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier

tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleracin del cuerpo en cualquier insta nte. Recprocamente, dada una frmula en la que se es-pecifique la aceleracin o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un perodo de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes ms brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filsofo-matemtico alemn Gottfried Wilhelm Lei-bniz y el fsico-matemtico ingls Issac Newton: la creacin del clculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultnea pero sus enfoques son diferentes.

Los trabajos de Newton estn motivados por sus propias investigaciones fsicas (de all que tratara a las variables como cantidades que fluyen) mientras que Leibniz conserva un carcter ms geomtrico y, diferencindose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeos, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeo se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notacin dy). Lo que Newton llam fluxin, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx).

No resulta difcil imaginar que, al no poseer en esos tiempos un concepto claro de lmite y ni siquiera de funcin, los fundamentos de su clculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el clculo de fluxiones de Newton se basa en algunas de-mostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extraas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carcter perfeccionista de la poca griega, fue muy usual en la poca post-renacentista y duramente criticada.

Dos siglos pasaron hasta que las desprolijidades en los fundamentos del clculo infini-tesimal se solucionaron, y hoy aquel clculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los ms profundos hallazgos del razonamiento humano.

Resulta muy interesante la larga y lamentable polmica desatada a raz de la prioridad en el descubrimiento. Al principio la disputa se realiz en el marco de la cortesa pero al cabo de tres dcadas comenz a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polmica se torn cada vez mayor y finalmente se convirti en una rivalidad entre los matemticos britnicos y los continentales.

La discusin sigui hasta mucho despus de la muerte de los dos grandes protagonistas y, afortunadamente, hoy ha perdido inters y la posteridad ha distribuido equitativa-mente las glorias. Hoy est claro que ambos descubrieron este clculo en forma inde-pendiente y casi simultnea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos aos ms tarde.

La difusin de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los nuevos mtodos tuvieron cada vez ms xito y permitieron resolver con facilidad mu-chos problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas crticas, la justificacin y las explicaciones lgicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el siglo XIX, cuando aparecieron otros matemticos, ms preocupados por la presentacin final de los mtodos que por su utilizacin en la resolucin de problemas concretos.









EL SIGLO XVIII

Durante buena parte del siglo los discpulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de fsica, astronoma e ingeniera, lo que les permiti, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemticas. As, los hermanos Bernoulli inventaron el clculo de variaciones y el matemtico francs Mon-ge la geometra descriptiva. Lagrange, tambin francs, dio un tratamiento comple-tamente analtico de la mecnica, realiz contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teora de nmeros, y desarroll la teora de grupos. Su contemporneo Laplace escribi Teora analtica de las probabilidades (1812) y el clsico Mecnica celeste (1799-1825), que le vali el sobrenombre de el Newton francs.

Sin embargo el gran matemtico del siglo fue el suizo Euler, quien aport ideas funda-mentales sobre el clculo y otras ramas de las matemticas y sus aplicaciones. Euler es-cribi textos sobre clculo, mecnica y lgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El xito de Euler y de otros matem-ticos para resolver problemas tanto matemticos como fsicos utilizando el clculo slo sirvi para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas bsicas del clculo. La teora de Newton se bas en la cinemtica y las velocidades, la de Lei-bniz en los infinitsimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraica y basada en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparacin con el modelo lgico de la geometra griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

A los matemticos de fines del siglo el horizonte matemtico les pareca obstruido. Se haba llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conoca o vea un alcance claro. Los sabios sentan la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos procedimientos.

EL SIGLO XX

Un problema importante fue definir el significado de la palabra funcin. Euler, La-grange y el matemtico francs Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemtico alemn Dirichlet quien propuso su definicin en los trminos actuales. En 1821, un matemtico francs, Cauchy, consigui un enfoque lgico y apropiado del clculo y se dedic a dar una definicin precisa de funcin continua. Bas su visin del clculo slo en cantidades finitas y el concepto de lmite. Esta solucin plante un nuevo pro-blema, el de la definicin lgica de nmero real.

Aunque la definicin de clculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue l sino el matemtico alemn Dedekind quien encontr una definicin adecuada para los nmeros reales. Los matemticos alemanes Cantor y Weierstrass tambin dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

Adems de fortalecer los fundamentos del anlisis, nombre dado a partir de entonces a las tcnicas del clculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los ms importantes matemticos de la historia, dio una explicacin adecua-da del concepto de nmero complejo; estos nmeros formaron un nuevo y completo campo del anlisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemtico alemn Riemann.

Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funcio-nes trigonomtricas, herramientas muy tiles tanto en las matemticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudi los conjuntos infinitos y una aritmtica de nmeros infinitos. La teora de Cantor fue considerada demasiado abstracta y critica-da. Encontramos aqu un espritu crtico en la elaboracin de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos mtodos de clcu-lo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.

Gauss desarroll la geometra no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicacin. Tambin en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos.


34







Los fundamentos de la matemtica fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemtico ingls Boole en su libro Investigacin sobre las leyes del pensamiento (1854).

SIGLO XX Y NUESTROS DAS

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integracin y a la teora de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemticos que tuvo lugar en Pars en 1900, el matemtico alemn David Hilbert, quien contribuy de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemtica retom veintitrs problemas matemticos que l crea po-dran ser las metas de la investigacin matemtica del siglo que recin comenzaba. Estos problemas fueron el estmulo de una gran parte de los trabajos matemticos del siglo.

El avance originado por la invencin del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemtica, como el anlisis numrico y las matemticas finitas, y gener nuevas reas de investigacin matemtica como el estudio de los algoritmos. Se convirti en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teora de nmeros, las ecuaciones diferenciales y el lgebra abstracta. Adems, el ordenador permiti encontrar la solucin a varios problemas matemticos que no se haban podido resolver anteriormente.

El conocimiento matemtico del mundo moderno est avanzando ms rpido que nun-ca. Teoras que eran completamente distintas se han reunido para formar teoras ms completas y abstractas. Aunque la mayora de los problemas ms importantes han sido resueltos, otros siguen sin solucin. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y an la matemtica ms abstracta encuentra aplicacin.

CONCLUSIONES

El progreso de las ideas no se da en el tiempo a travs de una trayectoria perfectamen-te delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construccin son desechados, reformulados o agregados. Las concepciones filosficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las caractersticas que debe reunir el conocimiento matemtico para ser considerado como conocimiento cientfi-co, determinaron los enfoques realizados en cada poca. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia difcilmente puede ser com-prendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.







ACTIVIDAD N 1:

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.









TEMA N 3: MTODOS DE INTEGRACIN II1 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

En la seccin 2.3 se estudiaron seis reglas de integracin trigonomtricas, las seis que corresponden directamente a reglas de derivacin. Con la regla log se puede completar el conjunto de reglas bsicas de integracin trigonomtricas.

EJEMPLO 1: Usando una identidad trigonomtrica.

Hallar tan x dx

Solucin: Esta integral no parece adaptable a ninguna de las reglas bsicas de la lista. Sin embargo, usando una identidad trigonomtrica se tiene:

tancossen xx dx dx

x=

Sabiendo que [ ]cos ,xD x sen x= tenemos cosu x= y escribimos

tancossen xx dx dx

x

= Identidad trigonomtrica

'u dx

u= Sustituir cosu x=

ln u C= + Aplicar regla de log.

ln cos x C= + Sustitucin hacia atrs

En el ejemplo 7 se us una identidad trigonomtrica para derivar una regla de in-tegracin de la funcin tangente. En el siguiente ejemplo se efecta a un paso algo inusual (multiplicar y dividir por una misma cantidad) para llegar a una frmula de integracin para la funcin secante.

EJEMPLO 2 Obtencin de la frmula para secante

Hallar sec x dx

Solucin: Considerar el siguiente procedimiento.

sec tansecsec tan

x xx dx sex x dxx x+ = +

2sec sec tansec tan

x x x dxx x+

=+

Tomando u como el denominador de este cociente se obtiene:

2sec tan ' sec tan secu x x u x x x= + = +

As, se puede concluir que:


36







2sec sec tansecsec tan

x x xx dx dxx x+

=+ Reescribir el integrando

'u dx

u= Sustituir sec tanu x x= +

ln u C= + Aplicar regla de log

ln sec tanx x C= + + Sustitucin regresiva.

Con los resultados de los ejemplos 7 y 8 se dispone de las frmulas de integracin

de , cos , tansen x x x y sec x Las seis reglas trigonomtricas se resumen a conti-nuacin.

Integrales de las seis funciones trigonomtricas bsicas

cossenu du u C= + cos secu du u C= +tan ln cosu du u C= + cot lnu du senu C= +sec ln sec tanu du u u C= + + csc ln csc cotu du u u C= +

EJEMPLO 3: Integracin de funciones trigonomtricas.

Evaluar

21 tan x dx+

Solucin: Recordando que 2 21 tan sec ,x x+ =

para escribir

2 21 tan secx dx x dx+ =

sec x dx=

ln sec tanx x= +

2 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS.EJEMPLO 1: Una comparacin de tres integrales diferentes

Encontrar cada integral

a) 2

49

dxx + b) 2

49

x dxx + c)

2

2

49

x dxx +

Solucin:

a) Usar la regla del arcotangente y sea 3u x y a= =

2 2 2

4 142 3

dx dxx x

=+ + Regla del mltiplo constante

14 arctan3 3

x C = + Regla del arcotangente









4 arctan3 3

x C= + Simplificar

b) Aqu la regla del arcotangente no aplica porque el numerador contiene un fac-

tor de x. Considerar la regla log y sea 2 9u x= + Entonces 2du x dx= y se

tiene.

2 2

4 229 9

x x dxdxx x

=+ + Regla del mltiplo constante

2 du

u=

Sustitucin 2 9u x= +

22ln 2ln( 9)u C x C= + = + +

Regla log.

c) Porque el grado del numerador es igual al grado del denominador se debe usar la divisin primero para volver a escribir la funcin racional impropia como la suma de un polinomio y una funcin racional propia.

2

2 2

4 3649 9

x dx dxx x

= + + Reescribir usando la divisin grande

2

14 369

dx dxx

= + Escribir como dos integrales

14 36 arctan3 3

xx C = + Integrar

4 12arctan

3xx C= +

Simplificar

EJEMPLO 2: Una sustitucin del tipo 2 2a u

Encontrar

2

616x dx

x

Solucin: Porque el radical en el denominador puede escribirse en la forma:

2 2 2 3 24 ( )a u x =

Se puede probar la sustitucin 3u x= . Entonces 23du x dx= se obtiene:

2 2

6 3 2

1 3316 16 ( )

x x dxdxx x

=

Rescribir la integral

2 2

13 4

duu

=

Sustitucin 3u x=

13 4

uarcsen C= + Regla del arcoseno

31

3 4xarcsen C= + Reescribir como una funcin de x.


38







Sorprendente, dos de las reglas de la integracin normalmente pasadas por alto son la regla log y la regla de las potencias. Notar en los prximos dos ejemplos cmo estas dos reglas de la integracin pueden ocultarse.

EJEMPLO 3: Una forma disfrazada de la regla log.

Encontrar 1

1 xdx

e+

Solucin La integral no parece adaptarse a ninguna de las reglas bsicas. Sin em-

bargo, la forma del cociente hace pensar en la regla log. Si se expresa 1 xu e= +

, entonces xdu e dx= . Obtener el du requerido sumando y restando xe en el

numerador, como sigue:

1 11 1

x x

x x

e edx dxe e

+ =

+ + Sumar y restar xe en el numerador

11 1

x x

x x

e e dxe e

+=

+ + Reescribir como dos fracciones

1

x

x

e dxdxe

= + Rescribir como dos integrales

ln(1 )xx e C= + + Integral

NOTA: Hay ms de una manera de resolver un problema de integracin. As, el ejemplo 15

demuestra que multiplicando el numerador y denominador por xe se obtiene una integral de

la forma / .du u Ver si se puede conseguir la misma respuesta por este procedimiento (Tener cuidado: la respuesta aparecer en una forma diferente.)

EJEMPLO 4: Una forma disfrazada de la regla de las potencias.

Encontrar [ ](cot ) ln( )x senx dx

Solucin: De nuevo, la integral no parece adaptarse a ninguna de las re-glas bsicas. Sin embargo, considerando las dos opciones primarias par

[ ]cot ln( ) ,u u x y u sen x= = se puede ver que la segunda opcin es la apro-piada porque;

ln( )u sen x= y cos cotxdu dx x dxsen x

= =

As,

[ ](cot ) ln( )x sen x dx u du= Sustitucin ln ( )u sen x=

2

2u C= + Integrar

[ ]21 ln( )2

sen x C= + Reescribir como una funcin de x.









NOTA: En el ejemplo 4, verificar que la derivada de [ ]21 ln( )2

sen x C+Es el integrando de la integral original.

Repaso de las reglas bsicas de integracin (a > )

1. ( ) ( )kf u du k f u du=

2. [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )f u g u du f u du f u du g u dx = = +

3. du u C= + 4.1

11

nn uu du C

n

+

= + +

5. lndu u Cu

= + 6.u ue du e C= +

7. 1

lnu udu C

= +

8. cossenu du u C= +

9. cosu du senu C= + 10. tan ln cosu du u C= +

11. cos lnu du senu C= + 12. tansenu du u C= +

13. csc ln csc cotu du u u C= + + 14. 2sec tanu du u C= +

15.2csc cotu du u C= + 16. sec tan secu u du u C= +

17. csc cot cscu u du u C= + 18. 2 2du uarcsen C

aa u= +

19. 2 21 arctandu u C

a u a a= +

+ 20. 2 21 sec

udu arc Ca au a a

= +

Pueden usarse a menudo las identidades trigonomtricas para adaptar integrados a una de las reglas bsicas de la integracin.

3 SUSTITUCIONES TRIGONOMTRICAS.

EJEMPLO 1: Uso de identidades trigonomtricas

Encontrar 2tan 2x dx

Solucin:

Notar que la 2tan u no est en la lista de reglas bsicas de integracin. Sin em-

bargo, 2sec u est en la lista. Esto hace pensar en la identidad trigonomtrica 2 2tan sec 1.u u= Si se hace 2 ,u x= entonces 2du dx= y

2 21tan 2 tan2

x dx u du= Sustitucin 2u x=

21 (sec 1)

2u du= Identidad trigonomtrica


40







21 1sec

2 2u du du= Rescribir como dos integrales

1 tan2 2

uu C= + Integrar

1 tan 22

x x C= + Reescribir como una funcin de x.

Esta seccin concluye con un resumen de los procedimientos comunes para adap-tar los integrados a la regla bsica de integracin.

Procedimiento para adaptar los integrales a las reglas bsicas

Tcnica Ejemplo

Desarrollar

(el numerador)2 2(1 ) 1 2x x xe e e+ = + +

Separar el numerador 2 2 21 1

1 1 1x x

x x x+

= ++ + +

Completar el cuadrado 2 21 1

2 1 ( 1)x x x=

Dividir la funcin racional impropia

2

2 2

111 1

xx x

= + +

Sumar y restar trminos en el numerador 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 ( 1)x x x

x x x x x x x+ +

= = + + + + + + +

Usar identidades

trigonomtricas2 2cot csc 1x x=

Multiplicar y dividir por el conjugado pitagrico 2

1 1 1 11 1 1 1

senx sen xsen x senx senx sen x

= = + +

22 2

1 seccos cos

senx senxxx x

= =

NOTA: Recordar que se puede separar los numeradores pero no los denominadores. Se debe tener cuidado con este error comn cuando se adapten los integrados a las reglas bsicas.

2 2

1 1 11 1x x +

+ No separar el denominador

4 INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE FRACCIO NES PARCIALES

12342

)()(

24

3

+++++

=xxx

xxxQxP

Cmo integrar una

Funcin racional?












21 1sec

2 2u du du= Rescribir como dos integrales

1 tan2 2

uu C= + Integrar

1 tan 22

x x C= + Reescribir como una funcin de x.

Esta seccin concluye con un resumen de los procedimientos comunes para adap-tar los integrados a la regla bsica de integracin.

Procedimiento para adaptar los integrales a las reglas bsicas

Tcnica Ejemplo

Desarrollar

(el numerador)2 2(1 ) 1 2x x xe e e+ = + +

Separar el numerador 2 2 21 1

1 1 1x x

x x x+

= ++ + +

Completar el cuadrado 2 21 1

2 1 ( 1)x x x=

Dividir la funcin racional impropia

2

2 2

111 1

xx x

= + +

Sumar y restar trminos en el numerador 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 ( 1)x x x

x x x x x x x+ +

= = + + + + + + +

Usar identidades

trigonomtricas2 2cot csc 1x x=

Multiplicar y dividir por el conjugado pitagrico 2

1 1 1 11 1 1 1

senx sen xsen x senx senx sen x

= = + +

22 2

1 seccos cos

senx senxxx x

= =

NOTA: Recordar que se puede separar los numeradores pero no los denominadores. Se debe tener cuidado con este error comn cuando se adapten los integrados a las reglas bsicas.

2 2

1 1 11 1x x +

+ No separar el denominador

4 INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE FRACCIO NES PARCIALES

12342

)()(

24

3

+++++

=xxx

xxxQxP

Cmo integrar una

Funcin racional?




Respuesta: Expresndola como una suma de fracciones ms simples, llamadas FRACCIONES PARCIALES.

DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES

Consideremos la funcin racional: )()()(

xQxPxf =

Es posible expresar f como una suma de fracciones ms sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa funcin racional se llama propia.

Si f es impropia; esto es, si grado(P(x)) grado(Q(x)), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que

)()()(

)()()(

xQxRxC

xQxPxf +==

El siguiente paso consiste en expresar la funcin racional propia R (x) / Q (x) como una suma de fracciones parciales, de la forma:

o bien ( )ibax

A+ ( ) jcbxax

BAx++

+2

CASOS DE DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES

CASO I: EL DENOMINADOR Q (X), ES UN PRODUCTO DE FACTORES LI-NEALES DISTINTOS.

Esto significa que podemos escribir:

( )( ) ( )kk bxabxabxaxQ +++= ....)( 2211

En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... A k tales que

)(...

)()()()(

22

2

11

1

kk

k

bxaA

bxaA

bxaA

xQxR

+++

++

+=

Ejercicios: Determine

1. ( )( ) + dxxx 212

5

2. +

dxxxx

xx2

43423

2

3. dxx 4

12

CASO II: Q (X) ES UN PRODUCTO DE FACTORES LINEALES, ALGUNOS DE LOS CUALES SE REPITEN

Considere que el primer factor lineal )( 11 bxa + se repite r veces; esto es, en la factorizacin de Q (x) se obtiene

rbxa )( 11 +


42







Entonces, en lugar del trmino nico )( 11

1

bxaA+

Emplearamos:

rrr

r

bxaA

bxaA

bxaA

)(...

)()( 2222

11

1

+++

++

+

Ejemplo:

Resolver ( )dx

xxxx

+

2

2

122

Solucin:

( ) 222

)1()1(122

+

+=

+x

Cx

BxA

xxxx

x = 1: C = 1 x = 0: A = -2 x = -1: B = 4

( ) 222

)1(1

)1(42

122

+

+

=

+

xxxxxxx

Integrando


1.

2.

3.

CASO III: Q (X) CONTIENE FACTORES CUADRTICOS IRREDUCIBLES, NINGUNO DE LOS CUALES SE REPITE

Si Q (x) tiene el factor ax2 + b x + c, en donde b2-4ac








Resolver ( )( ) ++ dxxxx

41 22

Solucin:

De la anterior igualdad:

A = C = 0 ; B = 1/3 ; D = -1/3

( )( ) 431

131

41 2222 +

+

+=

++ xxxxx

Integrando

=

2tan

61)tan(

31 xaxa

OBSERVACIN: CASO PARTICULAR

El trmino se puede integrar completando el cuadrado y con la frmula (tabla)


1. +

dxxx

x)2(

22

2

2.







ACTIVIDAD N 2:








CONTROL DE LECTURA N 1



44













BIBLIOGRAFA DE LA UNIDAD I 1. Larson Ron, Hostetler Robert y Edwards Bruce. Clculo Integral Matemticas 2. Edi-

torial McGRaw Hill iberoamericana 8va Edicin. Mxico 2009.

2. Engler A, Muller D, Vrancken S, Hecklein M. El Clculo Diferencial. Buenos Aires: Universidad Nacional del Litoral.

3. Dennis G. Zill y Warren S. Wright. Calculo de una variable Transcendentes tempra-nas. Editorial McGRaw Hill iberoamericana. Mxico 2011.

4. Stewart James. Clculo Transcendente Temprano. Internacional Thompson Editores S. A. 4ta Edicin. Mxico 2002.

5. Espinoza Ramos Eduardo. Anlisis Matemtico II. Sexta edicin. Per 2012.

6. Purcell, Varberg y Rigdon. Calculo. Editorial Prentice Hall. Octava edicin. Mxico 2001.







AUTOEVALUACIN DE LA UNIDAD N I

Tiempo estimado: 2,5 horas

Estimado participante, es el momento de verificar su aprendizaje de los temas tratados en esta unidad. Acte con la mxima responsabilidad y seriedad. Haga el mayor esfuer-zo por desarrollar los ejercicios en el tiempo estimado.

1. Lea con atencin las siguientes afirmaciones. Si la proposicin es verdadera escriba (V), si la proposicin es falsa escriba (F), luego marque la alternativa que estime correcta.

i) El proceso de integracin consiste en hallar antiderivadas... ( )

ii) La solucin de una integral indefinida es nica.. ( )

iii) La integral ..... ( )

iv) El mtodo de integracin por partes se obtiene a partir de la regla del cociente para diferenciacin ( )

A) FFFV

B) VFFF

C) VFFV

D) VVFF

E) FFVV









2. Al resolver la integral

Mediante una integracin por partes el valor de v es:

A) Sec3x.dx

B) Tg2x

C) Sec2x.dx

D) Tgx

E) Secx

3. Evaluar

A)

B)

C)

D)

E)

4. Al evaluar la integral

Por el mtodo de integracin de un trinomio cuadrado perfecto el numerador de la fraccin es equivalente a:

A)

B)

C)

D)

E)

5. Al evaluar la integral

Mediante fracciones parciales, implica tener

A) 4 fracciones

B) 3 fracciones

C) 2 fracciones

D) 6 fracciones

E) 5 fracciones

6. Calcule: 2 .cos 2dx

sen x x

A) 1 tan 22

Ln x C+

B) tan 2Ln x C+

C) 1 tan2

Ln x C+

D) 1 cot 24

Ln x C+

E) 2Ln sen x C+

7. Calcule: 2

2

(1 )(1 )

x dxx x++

A) 2arc lnsenx x C+ + B) arctan ln 2x x C+ + C) 2arctan x


46







D) 1arctan ln2

x x C+ +

E) 2arctan lnx x C+ +

8. Calcule: 1xdxx +

A) 3( 1) 2 1x x C+ + +

B) 32 ( 1) 2 13

x x C+ + +

C) 31 ( 1) 13

x x C+ + +

D) 32 1( 1) 13 2

x x C + +

E) 34( 1) 15

x x C + +

9. Calcule: 2(1 1) 2

dxx x+ +

A)

11

arcsen Cx

+ +

B)

11

arcsen Cx

+ +

C)

1arccos1

Cx

+ +

D)

11

arcsen Cx

+

E)

1arctan1

Cx

+

10. Calcule: 2 3xx e dx

A)

2( 2)27

xe x x C + +

B)

32( 6 2)

2

xe x x C + +

C)

32(9 6 2)

27

xe x x C + +

D) 2(9 6 2)xe x x C + +

E)

322 ( 6)

9

xe x x C + +















UNIDAD II: LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES







DIAGRAMA DE PRESENTACIN DE LA UNIDAD

ORGANIZACIN DE LOS CONOCIMIENTOSCONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUD

Tema N 1: La integral definida

1.1. Sumas de Rieman y la integral definida

Tema N 2: Teorema fundamental del clculo.

2.1 Teorema del valor medio para integrales

2.2 Segundo teorema fundamental del clculo

Tema N 3: Aplicacin del Teorema Fundamental del Clculo

3.1 Cambio de variable para integrales definidas

3.2 Integracin por partes para integrales definidas

Tema N 4: Aplicaciones de la Integral

4.1 rea de una regin entre dos curvas

4.2 Longitud de arco y superficie de revolucin

4.3 Calculo de volmenes por el mtodo de los discos, arandelas (anillos) y por el mtodo de las capas

Lectura seleccionada 1:rea

Fuente: Larson R. Hostetler R. Edwards B

Clculo integral. Editorial Mc Graw Hill. Pg. 86. 2009

Autoevaluacin N 2

1. Aplica las sumas de Reimann para definir la integral definida

2. Reconoce el teorema fundamental del clculo y teorema del valor medio y las aplica en la resolucin de problemas

Actividad N1

Aplicacin: Descarga de un ro

3. Aplica el teorema fundamental del clculo. Aplica el cambio de variable adecuado en integrales definidas. Aplica la integracin por partes adecuado en integrales definidas

4. Aplica la integral definida para hallar el rea de una regin

5. Analiza el mtodo de los discos para calcular volmenes

6. Aplica el mtodo de las capas para calcular volmenes

Actividad N2

Aplicacin: P

analisis matematico ii.pdf

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