METODOSMATEMATICOSICurso2011/2012Apuntesyproblemas28deseptiembrede2011Indicegeneral1. Elsistemadelosn umerosrealesyeldeloscomplejos. 51.1. Denicionaxiomaticadelosn umerosreales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Intervalosenlarectareal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. N umerosenteros,racionaleseirracionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Cotas.Elementomaximoymnimo.Extremosuperioreinferior. . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Elaxiomadecompletitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Representaci ondecimaldelosn umerosreales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Potenciasylogaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8. Valorabsolutoydesigualdadtriangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.9. Laextensi onRdelosn umerosreales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10. Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11. Elsistemaden umeroscomplejosC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.12. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142. Elementosdetopologaenconjuntosdepuntos. 162.1. Espaciosnormados,espaciosmetricosyespaciostopol ogicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Conjuntosabiertosycerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Puntosadherentesypuntosdeacumulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4. Conjuntoscompactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233. Lmitesycontinuidad. 243.1. SucesionesconvergentesysucesionesdeCauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Espaciosmetricoscompletos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Funcionesylmitesdefunciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Funcionescontinuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5. Continuidadyantiimagenesdeconjuntosabiertosycerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6. Continuidadsobreconjuntoscompactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7. TeoremadeBolzano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.8. Continuidaduniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.9. Discontinuidaddelasfuncionesreales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.10. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364. Calculodiferencialdefuncionesrealesdeunavariablereal. 384.1. Derivadadeunafuncion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Derivadasycontinuidad.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Interpretaci ongeometricadelconceptodederivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.Algebradederivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5. Derivadadeunafuncionimplcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6. Derivadadelafuncioninversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7. Derivadaslaterales,derivadasinnitasyextremosrelativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.8. FormuladeTaylorconresto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.9. RegladeLHopital.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.10. Estudiolocaldelagr acadeunafuncion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 45. Seriesnumericasyseriesfuncionales. 555.1. Seriesnumericasinnitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2. Introduccionysupresi ondeparentesisenlasseries.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3. Seriesalternadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4. Convergenciaabsolutaycondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5. Criteriosdeconvergenciaparaseriesdeterminospositivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6. CriteriosdeconvergenciadeDirichletydeAbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.7. Reordenaciondeseries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.8. Seriesparciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.9. SeriedeTaylorgeneradaporunafuncion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.10. Seriesfuncionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.11. Seriesdepotencias.Radiodeconvergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.12. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Captulo1Elsistemadelosn umerosrealesyeldeloscomplejos.Laexistenciaden umeros irracionales hamotivadolargas eintensas reexiones enlos matematiosdesdelaantiguedad. Las respuestas apreguntas comoexisteunn umerocuyocuadradoseados?o,como se puede construir el n umero ?, pueden basarse en argumentos geometricos intuitivos, porque2eslalongituddeladiagonaldeuncuadradodeladounidad,yeselcocienteentrelalongituddeunacircunferenciaysudiametro. Detodosmodos, estasrespuestasbasadasenlaintuiciongeometricasoninsatisfactoriasy,desdeluego,nosirvenparatodoslosn umerosirracionales.Esdeseablenoapelaralaintucionyestablecerunconjuntodereglasoaxiomasquenospermitandemostrartodaslaspropiedadesquenecesitamosdelosn umerosreales.Haciamediadosdel sigloXIXsealcanz ounconsensosobreunconjuntodeaxiomasadecuadoparalosn umerosreales,quesonesencialmentelosquenosotrosenunciaremosaqu.Encursosdematematicamas avanzada uno se podra preguntar si realmente existen objetos que satisfagan estos axiomas, no vayaa ser que estemos exigiendo unas reglas imposibles de cumplir. Nosotros no iremos tan lejos, simplementeasumiremosqueexisten.Enlamayoradeloscasos, el establecimientodeunsistemaaxiomaticoformal esel pasonal, noel inicial, enel desarrollodelasmatematicas. Selleg oal conjuntoidoneodeaxiomasparalosn umerosrealesdespuesdesiglosdeensayoyerror, ys olodespuesdequelosteoremasbasicosdeladisciplinahubieransidoyadescubiertos.Alpresentaraquladenicionaxiomaticadelosn umerosrealesnuestropropositoess oloestablecer,amododereferencia, cu alessonlaship otesissobrelasquedescansantodassuspropiedades, peronodeducirlasdirectamenteapartirdelosaxiomas,salvoquizasenalg unejemploilustrativo.1.1. Denicionaxiomaticadelosn umerosreales.Supondremosqueexisteunconjuntonovaco,R,cuyoselementosllamaremosn umerosreales,yquesatisfacendiezaxiomasqueclasicamosentresgrupos:axiomasdecuerpo,axiomasdeorden,yaxiomadecompletitud.Axiomasdecuerpo.En lo que sigue, x, y, z seran n umeros reales arbitrarios mientras no se especique alguna condici on especial.Suponemos, junto conR, la existencia de dos operaciones internas (suma y producto) tales que x+y Ryxy Rparatodoparx, ydeRAxioma1: x + y= y + x, xy= yx. (leyesconmutativas).Axioma2: x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z. (leyesasociativas).Axioma3: x(y + z) = xy + xz. (leydistributiva).Axioma4: Dadosxey,existeunztalquex + z= y.Dichon umerosedesignar apory x,yx xse5MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 6escribiracomo0, queesindependientedex. Escribiremos xenlugarde0 x. Al elemento xselellamar aopuestodex.Axioma5: Existe, porlomenos, unn umeroreal x =0. Dadosdosn umerosrealesxey, conx =0,entoncesexisteunztal quexz=y, quedesignaremospory/x. El n umerox/xseescribiracomo1yesindependientedex. Podremosescribirx1enlugarde1/xsi x =0. Al elementox1lollamaremosrecprocooinversodex.Apartirdeestoscincoaxiomassepuedendeducirtodaslasreglasusualesdelaaritmetica.Axiomasdeorden.Suponemos la existencia de una relaci on denotada por y, (x > y signicalomismoque y< x)Axioma7: Six < y,entoncesparatodozsecumplex + z< y + z.Axioma8: Six > 0,ey> 0,entoncesxy> 0.Axioma9: Six > y,ey> z,entoncesx > z.Si x > 0 diremos que x es positivo. Si x < 0 diremos que x es negativo. Denotaremos R+= {x R | x > 0}yR= {x R | x < 0}.Seusalanotacionx yparaabreviarlacondici onx < yox = y.Nosquedaporenunciareldenominado axiomadecompletitudparaterminarladenicionaxiomaticade los n umeros reales, pero lo dejamos para un poco mas adelante porque hemos de introducir previamentelanociondesupremodeunconjuntoden umerosreales.El siguienteteorema, queseusamuchoenlasdemostracionesdeanalisismatematico, nospermitefamiliarizarnosconelusodecantidadesinnitesimales.Teorema1Si aybsonn umerosrealestalesquea b + paratodo>0, entoncessecumplequea b.Demostraci on: Supongamos, encontradeloqueasegurael teorema, quefueseb 0.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 7Intervalocerrado: [a, b] = {x R | a x b}.Intervalossemiabiertos: [a, b) = {x R | a x < b}, (a, b] = {x R | a < x b}.Intervalosinnitos: [a, ) = {x R | a x}, (a, ) = {x R | a < x},(, a) = {x R | x < a}, (, a] = {x R | x a}, (, ) = R.Lossmbolos+y seusanaqucomomeranotacion,perolosdeniremosadecuadamentemasadelante.1.3. N umerosenteros,racionaleseirracionales.Losn umerosenteros.Introducimos los n umeros enteros como un subconjunto de n umeros reales con propiedades especiales.Denicion1Unconjuntoden umerosrealessedenominaconjuntoinductivosicumplelasdospropie-dadessiguientes:(a) El n umero1est aenel conjunto.(b) Paratodoxdel conjunto,el n umerox + 1tambienest aenel conjunto.Denicion2Unn umeroreal se denominaenteropositivosi pertenece acadaunode los conjuntosinductivos deR. Denotaremos al conjunto de los enteros positivos porZ+. A los enteros positivos tambienselessuelellamarn umerosnaturales,encuyocasoel conjuntosedenotaporN.Z+es tambien, el mismo, un conjunto inductivo. En realidadZ+es el menor de los conjuntosinductivos, yaestapropiedadse le suele llamar principiode inducci on. Ejercitaremos latecnicadedemostraci onporinducci onenalgunosdelosproblemaspropuestos.Losopuestosdelosenterospositivossellamanenterosnegativos, Z. El conjuntodetodoslosenteroseslauni ondeestostres:Z = Z {0} Z+.Denicion3Dadon Z+,n>1,sedenominaprimosinotienedivisoresdistintosdeel mismo.Encasocontrariosedenominacompuesto.Teorema2(Descomposici on unicadeenteros). Todoenteron>1puedeserrepresentadocomounproductodefactoresprimos.Siseprescindedel orden,ladescomposici ones unica.Estoquieredecirque, dadoz Z+, z>1, podremosescribirlocomounproducto unicodeunaciertasecuenciaden umerosprimos, cadaunodeelloselevadoaunapotenciaxi 1:z= zx11zx22zx33. . . zxNN.Ejemplo:z= 32 51 73 172= 4460715.Losn umerosracionales.Denicion4Los cocientes de n umeros enteros, a/b, conb =0, se denominann umeros racionales.Simb olicamente:Q =_ab | a, b Z, b = 0_Si a, b Q, entonces (a + b)/2 Q, locual implicaqueentrecualquier par den umerosracionales hay una innidad de n umeros racionales, y no es posible hablar del n umero racionalinmediatamenteinferioroposterioraunn umeroracionaldado. Qesuncuerpo. Znoesuncuerpoporqueelinversodeunenteronoesengeneralunentero.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 8Losn umerosirracionales.Denicion5Six Ryx/ Q,entoncesxesunn umeroirracional.I = {x R | x/ Q}Teorema3Sin Z+ynoesuncuadradoperfecto,entonces nesirracional.Demostraci on: Consideremosenprimerlugarel casodequennotenganing undivisor>1queseacuadradoperfecto.Sisuponemosque nesracionalllegaremosaunacontradicci on.Enefecto, si escribimos n=a/bdondeaybsonenterossindivisorescomunes, tenemosa2=b2nypodemosenconsecuenciaarmarquea2esunm ultiploden. Estosignicaqueatambienes unm ultiploden, porqueeste ultimonotienedivisores queseancuadradosperfectos.Paraverestodescomponemosaenfactoresprimos,esdecir,a = ax11ax22ax33. . . axpp,siendocadaxi 1, coni =1, 2, . . . p. Entonces a2=a2x11a2x22a2x33. . . a2xpp, ycomoa2esm ultiplo de n, escribimos n = ay11ay22ay33. . . aypp, siendo yi 1 por no tener ning un divisor queseacuadradoperfecto.Estoimplicaqueaesm ultiploden.Escribimos entonces a=cn, siendoc unentero. Laecuaci ona2=b2nse transformaenc2n2= b2n,obienb2= c2n.Porlotantob2esunm ultiplodeny,razonandoigualqueelenparrafoanteriordeducimosquebestambienunm ultiploden.LLegamosalaconclusiondeque tanto a como b son m ultiplos de n, es decir, que n es un divisor com un de a y b, cosa quecontradicenuestrahip otesisdepartida.Paranalizar, consideremos ahorael casodequens tengaundivisor queseacuadradoperfecto, es decir, n=m2k, siendok>1unenteroquenotienedivisores >1queseancuadradosperfectos.Entonces n = mk,locualquieredecirquesi nfueseracional,ktambienlosera,cosaquecontradicelaprimerapartedelademostraci ondeesteteorema2.1.4. Cotas. Elemento maximo ymnimo. Extremo superior einferior.Denicion6SeaS R. Si existeunb Rtal quex bparatodox S, entoncesbesunacotasuperiordeS.SedicequeSest aacotadosuperiormenteporb.Cualquierc>bestambienunacotasuperiordeS. Si besunacotasuperiordeSydem ases unelementode S, es decir, b S, entonces ab se le llamaelementomaximode Somaximo, yse suele denotar por max(S). Unconjuntoque notengacotas superiores sedicenoacotadosuperiormente.Losterminoscotainferior,acotadoinferiormenteyelementomnimo,osimplementemnimo,sedenendemaneraanaloga.Ejemplos:R+= (0, +) no tiene mnimo ni cotas superiores, pero s cotas inferiores. S= [0, 1] est a aco-tadosuperioreinferiormente, adem asmax(S)=1ymn(S)=0. El conjuntoS=[0, 1)notienemaximo,est aacotadoymn(S) = 0.Denicion7SeaS Racotadosuperiormente. b Rsedenominaextremosuperior osupremo, ysedesignaporsup(S),sivericaestasdospropiedades:(a) besunacotasuperiordeS.(b) Ning unn umeromenorquebesunacotasuperiordeS.2Si k tuviese un divisor que fuese cuadrado perfecto aplicaramos dos veces la segunda parte de la demostraci on. En efecto,supongamosquek= s2,dondenotienening undivisorqueseacuadradoperfecto,entoncestenemosn = m2k= m2s2,yporlotanto n = m s .Conclumosasquesi nfueseracional,tambienlosera,locualcontradicelaprimerapartedelademostraci ondelteorema.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 9En otras palabras, el supremo de un conjunto es la menor de sus cotas superiores, y el nmo esla mayor de sus cotas inferiores. Por ejemplo, sup[0, 1) = 1, pero no tiene maximo, o elementomaximo. El conceptodeextremoinferiordeS, o nmo, sedeneanalogamente. Sedenotapor nf(S).1.5. Elaxiomadecompletitud.Axioma10: Todo S R no vaco y acotado superiormente admite un supremo. Es decir, existe un b Rtalqueb = sup(S).Comoconsecuenciadeesteaxioma, todoconjuntodeS Rnovacoacotadoinferiormenteadmiteun nmo. Enefecto, tomemosel conjuntodelosn umerosopuestosalosdeS, quedenotamos por S. Estaclaroentonces que Ses unconjuntonovacoyest aacotadosuperiormente,porlotantoelaxioma10nosdicequeexisteunn umerobqueessusupremo.Esevidentequeel nmodeSes b.ObservesequeenQnosecumpleesteaxioma. El conjuntoS= {(1 +1n)n|n Z+} QnotieneextremosuperiorosupremoenQ.Dehecho,veremosmasadelantequesusupremoeseln umeroirracionale.El siguiente teorema establece que todo conjunto de n umeros reales con un supremo contiene n umerostanproximoscomosequieraadichosupremo.Teorema4(Propiedaddelaaproximaci on): SeaS Rnovacoyb=sup(S). Entoncesparatodoa R,siendoa < b,existealg unx Stal quea < x b.Demostraci on: Porserb=sup(S), sabemosquex bparatodox S. Porotrolado, si secumpliesequex aparatodox S,aseraunacotasuperiordeSmenorqueelsupremo,quepordenicioneslacotasuperiormnima.Comoestoesimposible,deducimosquehadeserx > aparaalg unx S.Teorema5(Propiedadaditiva): DadosAyBsubconjuntosnovacosdeR,denimosunnuevocon-juntoC= {a + b | a A, b B}.SitantoAcomoBtienensupremos,entoncestambienlotieneCyvienedadoporsup(C) = sup(A) + sup(B).Teorema6(Propiedaddelacomparaci on): DadosSyTdossubconjuntosnovacosdeR,talesques t paratodos Syparatodot T, si T tienesupremotambienlotieneS, ysecumplequesup(S) sup(T).Teorema7(Propiedadarquimedianadelosn umerosreales): Dadox>0ey Rarbitrario, existeunn Z+tal quenx > y.Esto signica que todo segmento lineal de longitud y, por grande que sea, puede recubrirse pormediodeunn umeronitondesegmentoslinealesdelongitudpositivaxdada,porpeque naquesea.1.6. Representaciondecimaldelosn umerosreales.Para simplicar el tratamiento consideraremos enesta seccions olo los n umeros reales positivos. Laextensi onalosnegativosresultar aevidente.Tomemoseln umerorealdadoporlasiguienteexpresi onr = a0 +a110+a2102+a3103+ . . . +an10n,MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 10donde a0 es un entero no negativo y los ai son enteros que satisfacen la condici on 0 ai 9, i = 1, 2, . . . , n.Estaexpresi onsedenominarepresentaci ondecimal nitader, yseescribecomor=a0, a1a2a3. . . an.Observesequetodon umerorealquepuedaescribirsedeestemodoesnecesariamenteracional.Teorema8(Aproximaci ondecimal nitadeunn umeroreal): Supongamos unn umeroreal x 0,entoncesparatodoenteron 1existeundecimal nitorn= a0, a1a2a3. . . antal quern x < rn +110nLosn umerosracionalesrndel teoremaanteriorpuedenutilizarseparadenirunarepresen-taci ondecimalinnitadeln umerorealx.Aunque deniremos el concepto de sucesi on numerica y su lmite en el captulo 3, adelantamosaqu (parausarloenladenicion11)queel conjuntoinnitodelosn umerosracionalesdeesarepresentaci ondecimal formaunasucesi oncuyolmiteesel n umeroreal representado.Simbolicamenteescribiramos lmiri= x.Todon umeroreal puedeescribirsecomoel lmitedeunasucesi onden umerosracionalesdeese tipo (m as adelante veremos que se denominan sucesiones de Cauchy). El n umero entero 4admitelarepresentaci ondecimalinnitatrivialde4, 000000 . . ..Se puede demostrar que toda representaci on decimal innita peri odica es un n umero racional.Ejemplo:42, 23..678..678..678. . . =4223678 4223999001.7. Potenciasylogaritmos.Recopilamosaqu,amododerecordatorio,lasdenicionesdepotenciasylogaritmos.Denicion8Potenciasdebasereal yexponenteentero.Dadosx Ryn Z,sedene:xn=___(n) .. x x x . . . x sin > 01/xnsin < 01 sin = 0Denicion9Racesdelosn umerosreales. Dadosunn umeroreal x>0yunn umeronatural n N,existeun unicon umeroreal y>0tal queyn=x. Sedicequeyeslaraznesimadexyseescribey=nx.Denicion10Potenciadeexponenteracional.Dadosunn umerorealx > 0yunn umeroracionalp/q,conp Zyq N,sellamapotenciadebasexyexponentep/qal n umeroreal xp/q=qxp.Denicion11Potenciadeexponentereal.Dadosunn umerorealx > 0yotron umerorealu =lmiri,donde {ri}esunasucesi onden umerosracionales,sedenexu=lmiuri.Denicion12Logaritmo.Dadosdosn umerosrealesx > 0yu > 0,conu = 1,existeun unicon umeroreal y tal que uy=x. Este n umerose denominalogaritmoenbase ude x, yse denotaescribiendoy= logux.Esdecir,logux = yuy= x.Deespecialimportanciaresultanloslogaritmosnaturales3,cuyabaseeseln umeroirracionale.Suelendenotarseporlog xoporln x.3Tambiendenominadoslogaritmosneperianosenhonordelmatem aticoJohnNeper.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 111.8. Valorabsolutoydesigualdadtriangular.Elvalorabsolutodeunn umerorealxsedenotapor |x|ysedenecomo|x| =_x six > 0x six < 0Teorema9Sia 0,secumple |x| asi,ys olosi, |a| x |a|.Teorema10(Desigualdadtriangular): x, y Rsecumple |x + y| |x| +|y|.Demostraci on. Tenemos |x| x |x| e |y| y |y|. Sumamandoambasexpresionesvemos que (|x|+ |y|)x+y(|x|+ |y|), ypor el teoremaanterior deducimos que|x + y| |x| +|y|.Esta expresi on se puede generaralizar para obtener |x1+x2+. . . +xn| |x1| +|x2| +. . . +|xn|.Otromododeexpresarladesigualdadtriangularseobtieneponiendo x = a c,y= c b,dedonde se deduce que |ab| |ac|+|cb|. Mas adelante veremos como se dene la distancia,pero por ahora puede ser de ayuda observar que a la desigualdad triangular expresada de estamanerapuededarseleelsiguientesignicado:dist(a, b) dist(a, c) + dist(c, b).1.9. LaextensionRdelosn umerosreales.Denicion13R,juntoconlossmbolos+y ,quesatisfacenlassiguientespropiedades,sellamasistemaampliadodelosn umerosreales,ylodenotaremosporR.(a) x Rsecumplex+(+) = x() = +, x+() = x(+) = , x/(+) = x/() = 0,(b) x R,x > 0,secumplex(+) = +, x() = .(c) x R,x < 0,secumplex(+) = , x() = +.(d) (+) + (+) = (+)(+) = ()() = +.() + () = (+)() = .(e) Six Rentonces < x < +.Nota: No est an denidas operaciones como (+)/(+), (+)/(), 0(+), 0(), (+)(+),() (),auquesest adenido,porejemplo,0/(+) = 0.Rsedesignar atambienpor[, +].LospuntosdeRsedicennitos,mientrasquelospuntos+ysediceninnitos.1.10. Numerabilidad.Sedicequeunconjuntoesnitoyquetienenelementos,sisepuedenponerencorrespondenciaunoauno(biyectiva)conelconjunto {1, 2, 3, . . . , n}.Unconjuntoquenoesnitosedenominainnito.Denicion14UnconjuntoSesnumerablesisevericaunadeestasdoscondiciones:(a) Sesnito.(b) SesinnitoyexisteunacorrespondenciaunoaunoentreZ+yS.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 12Losterminosnumerableynonumerablesesustituyenavecesporcontableynocontable.Teorema11Qesinnitonumerable.Los elementos deQ se pueden contar siguiendo las diagonales de la siguiente matriz innita4.111213141516. . .212223242526. . .313233343536. . .Teorema12Resinnitononumerable.Demostraci on: Bastademostrarqueel subconjunto(0, 1) Resnonumerable. Si lofuese,existiraunasucesi on5{sn}cuyosterminosconstituirantodoelintervalo.Escribamoslossncomodecimalesinnitos,esdecir,sn= 0, un1un2un3 . . .,dondecadauni= 0, 1, . . . , 9.Ahoraconstruimoselsiguienten umeroreal:y= 0, v1v2v3. . . , donde vn=_1 si unn = 12 si unn= 1Ning unterminodelasucesi on {sn}puedeserigual ay, conlocual hemosdemostradoquelos elementos del intervalo (0, 1) no pueden ser contados (puestos en equivalencia uno a unoconloselementosdeunasucesi on).Elconjunto(0, 1) Rnoesnumerable,yporlotantoRtampoco.1.11. Elsistemaden umeroscomplejosC.Denicion15Unn umerocomplejoesunparordenadoden umerosreales,z= (x, y).Alprimermiem-brodel parselellamapartereal, Re(z)=x, yal segundoparteimaginaria, Im(z)=y. Dosn umeroscomplejos,z1= (x1, y1)yz2= (x2, y2),sonigualessi,ys olosi,x1= x2ey1= y2.Denicion16Dados dos n umeros complejos z1=(x1, y1) yz2=(x2, y2), denimos susumaysuproductocomo:z1 + z2= (x1 + x2, y1 + y2) z1z2= (x1x2 y1y2, x1y2 + y1x2)Denicion17Dadoz= (x, y) Ctal quez = (0, 0),denimos1z=_xx2+ y2,yx2+ y2_Ctieneestructuradecuerpo. Losn umeroscomplejosdelaforma(x, 0)tienenlasmismaspropiedadesalgebraicas que los n umeros reales. El conjunto C0= {(x, y) C | y= 0} es isomorfo a R y, evidentemente,C0 C,porlotantotodon umerorealesuncasoespecialden umerocomplejo.Denicion18Denimoslaunidadaimaginariacomoi = (0, 1).4DeestemodoaparecenrepetidoselementosdeQ,como1/1,2/2,etc.,peroellonoinvalidaelargumento.5Deniremoselconceptodesucesionm asadelante,perolasnocionespreviasqueellectorprobablementeyatienesobresucesionespuedesersucienteaqu.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 13iessoluci ondelaecuacionx2+ 1 = 0.Teorema13Todoz Cpuedeescribirsecomoz= x + iy.z= (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy.Denicion19Seaz= x + iy C.El conjugadodezes z= x iy= (x, y).Representaci ongeometrica: Podemoshacercorresponderatodoz=(x, y) Cunpuntodel plano, ys olouno. Al ejedeabscisasselellamaejereal, yal deordenadasselellamaejeimaginario. Conestarepresentaci on,lasumaden umeroscomplejoscoincideconlasumahabitualdevectoresenelplano.Elconjugadodezeselvectorsimetricorespectodelejereal.Coordenadaspolares: Denotandoporr=_x2+ y2ladistanciadeunpuntodelplanoalorigen,ypor=atan(y/x)el anguloqueformasuvectordeposicionconel ejereal, podemosescribirtodon umerocomplejocomoz=x + iy=r cos + ir sen . Al anguloselellamaargumentodel n umerocomplejo,yseexigeque [0, 2). Arselellamamodulodel n umerocomplejo, ovalorabsoluto, ysedenotatambienpor |z|.Elmodulo de unn umero complejoverica lasmismaspropiedadesque el valorabsolutodelosn umerosreales,alcualsereduceenelcasoparticulardeunn umeroreal.|z| 0, |z| = 0 z= 0, |z1 z2| = |z2 z1|, |z1 + z2| |z1| +|z2||z1z2| = |z1||z2|,z1z2= |z1||z2|si z2 = 0, z z= |z|2Denicion20Exponencial compleja: Dadoz =x + iy C, denimos ez=ex+iycomoel n umerocomplejoex(cos y + i sen y).Observese que la exponencial compleja cumple las propiedades usuales de la exponencial real.Porejemplo, ez1ez2=ez1+z2. Observesequeezjamasescero. Si x Rentonces |eix| =1.Porotrolado,ez= 1si,ys olosi,zesunm ultiplode2i.Usandoladeniciondeexponencial compleja, todon umerocomplejoz =0puedeescribirsecomoz= rei,donderessumoduloysuargumento.Estanotacionpolaresmuy utilparalamultiplicaci onyladivisi onden umeroscomplejos.Teorema14Si z =0es unn umerocomplejoyn Z+, entonces existenexactamentenn umeroscomplejos distintos, z0, z1, z2, . . . , zn1, llamados races n-esimas de z, tales que znk=z paratodok = 0, 1, 2, . . . n 1.Estasracesest andadasporlaf ormulazk= |z|1/neik, con k=arg(z)n+2kn, k = 0, 1, 2, . . . n 1Estasracesest andistribuidasequidistantementesobreel crculocentradoenel origenyderadior = |z|1/n.Denicion21Logaritmos complejos: Dado un n umero complejo z = 0, denimos el logaritmo de zcomootro Ctal queew=z. El valordadoporw=log |z| + i arg(z)sellamalogaritmoprincipal. Todoslosdem assonlog |z| + i arg(z) + i2n,conn Z.Denicion22Potencias complejas: Dadounn umerocomplejoz =0y Ccualquiera, denimoszw= ewlog(z).Denicion23Senosycosenos:Dadoz Cdenimos cos z=eiz+ eiz2, y sen z=eizeiz2iMetodosMatematicosI.Curso2011/12. 141.12. Ejercicios.1. Demostrar apartir delosaxiomasdecuerpodelosn umerosrealeslassiguientesproposiciones:Seana, b, c, d R.a) Sia + b = a + c,entoncesb = c.b) 0 a = a 0 = 0.c) Siab = acya = 0,entoncesb = c.d) Siab = 0,entoncesa = 0ob = 0.e)ab+cd=ad+bcbdsib = 0yd = 0.f ) Elelemento0notieneinverso.2. Demostrarporinduccion:(a)n

i=1i =n(n + 1)2(b)n

i=1i3=n2(n + 1)24(c)n

i=1i2=n(n + 1)(2n + 1)6(d)n

i=0xi=1 xn+11 x, x = 13. DemostrarporinduccionlaformuladelbinomiodeNewton:(a + b)n=n

k=0_nk_akbnk,donde_nk_=n!(n k)! k!, n! = n(n 1)(n 2) . . . 1, y 0! = 1.4. Obtenerlasformulasdelasumadeunaprogresionaritmeticaydeunaprogresi ongeometrica:n

i=0ai=n + 12(a0 + an), ai= a0 + d in

i=0bi=b0 bn+11 r, bi= b0ri5. Determinarelsupremoyel nmo,siexisten,delossiguientesconjuntos:a) A = {r Q | 2r31 < 17}comosubconjuntodeQ.b) M= {x R | x22x < 2}comosubconjuntodeR.6. Probarque2 +3esirracional.7. Si a, b, c, d son racionales y x es irracional, probar que el n umero realax + bcx + des, en general, irracional.Dgaseenquecasossedanlasexcepciones.8. DemostrarladesigualdaddeCauchySchwarz,_n

k=1akbk_2_n

k=1a2k__n

k=1b2k_con{a1, a2, . . . , an} Ry{b1, b2, . . . , bn} R.Laigualdadsevericasi,ys olosi, x Rtalqueakx + bk= 0paratodok = 1, . . . , n.(Sugerencia:consultarlaseccion1.19dellibroAn alisisMatem atico,deT.M.Apostol).9. Expresarlossiguientesn umeroscomplejosenlasformasa + ibyrei.a) (1 + i)3b)2 + 3i3 4ic) i5+ i16d)12_1 + i81 + i_10. Probarlassiguientespropiedadesdelaconjugacioncompleja:a) z1 + z2= z1 + z2.b) z1z2= z1 z2.c) z z= |z|2.d) z + z= 2 Re(z).e) z z= 2i Im(z).MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 1511. ProbarlaformuladeMoivre:(cos + i sen )n= cos(n) + i sen(n)siendonunenteropositivoyunn umeroreal.12. Demostrar que las races n-esimas de 1 vienen dadas por , 2, . . . , ncon = exp(2i/n), y probarquelasracesdistintasde1satisfacen1 + x + x2+ x3+ . . . + xn1= 0.13. Latangentedeunn umerocomplejosedenecomotg z=sen z/ cos z. Demostrarque, paraz=x + iysecumpletg z=sen(2x) + i senh(2y)cos(2x) + cosh(2y)14. Expresaenformaexponenciallosn umerosz1= 4 4i, z2=(1 i)3/2.Calculaellogaritmodez3= 4 + 3i.15. Expresaenformabin omica,esdecir,delmodo(a + ib),lossiguientesn umeroscomplejos.(a) log(i).(b) cos(i).(c) 2.(d) (4 + 3i)/(5 6i).(e) exp(1 + i).(f) i5+ i27.(g) ie.(h) i.(i) log(i).(j)3 4i.16. Determina,siexisten,elsupremo, nmo,maximoymnimodelossiguientesconjuntos:R; Q; A = (0, 1]; B= {x [0, 1] I}; C= {x [0, 1] Q}.17. Ponunejemplodeunconjuntoden umeros reales quenotengamaximoperos supremo. Ponotroejemplodeunconjuntoden umerorealesdistintodeR,quenotengamaximo,nimnimo,nisupremo,ni nmo,yqueseadensoenR.Razonatuselecciones.18. Justicarazonadamentesielconjunto M=_21/n+ 31/n; n Z+_ I est aacotado(superioreinferiormente)ytieneono,supremo, nmo,maximoymnimo.Captulo2Elementosdetopologaenconjuntosdepuntos.2.1. Espaciosnormados, espaciosmetricosyespaciostopologi-cos.ElEspacioEucldeoRn.Denicion24Sean Z+. El conjuntoordenadodenn umerosreales(x1, x2, . . . , xn)sellamapuntondimensional ovectorconncomponentes. Lospuntosovectoressedesignar anconunasolaletraconechaencima(oconnegritaenlamayoradeloslibros)x = (x1, x2, . . . , xn) y= (y1, y2, . . . , yn)Eln umeroxkeslak-esimacoordenadadelpuntondimensional x, olak-esimacoordenadadelvector x.El conjuntodetodoslospuntosndimensionalessellamaespacioeucldeo1ndimensional, on-espacio,ysedesignaporRn.ElespaciomasusualenfsicaesR3,perotambiensonfrecuentesespaciosconmasomenosdimensiones. R2oR1sialgunacoordenadasemantieneja. Rnconn > 3paralosespaciosdeconguracionesconngradosdelibertadenel estudiodelamec anicaclasica, mec anicaestadstica, mec anica cu antica, relatividad (4 dim). Es incluso necesario en mec anica cu anticatrabajarconespaciosvectorialesdedimensioninnita.Entodocaso,apartirdeahoraparaparanosotrosnserasiempreunn umeroenteropositivonito.Denicion25Sean x = (x1, x2, . . . , xn)e y= (y1, y2, . . . , yn)doselementosdeRn.Denimosentonceslosiguiente:(a) Igualdad:x = ysi,ys olosi,xi= yiparai = 1, . . . , n.(b) Suma:x +y= (x1 + y1, . . . , xn + yn).(c) Multiplicaci onporescalares(n umerosreales):ax = (ax1, ax2, . . . , axn)(d) Diferencia:x y= x + (1)y= (x1 y1, x2 y2, . . . , xn yn).(e) Vectornulouorigen: 0 = (0, . . . , 0).(f ) Productointerioroproductoescalar:xy=n

k=1xkyk.1Estoimplicaque denimos enese espaciolanormaeucldeaylatomamos comodistanciaentre puntos, cosaquehacemosacontinuaci on.16MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 17(g) Normaolongitud: x =xx =_n

k=1x2k=_n

k=1x2k_1/2.Lanorma x ysellamatambiendistancia2entrexey. Rnesunejemplodeespaciovectorial oespaciolineal.Laspropiedadesa)-e)dotanaRndeestructuradeespaciovectorial.Denicion26Elvectorcoordenadounidad ukdeRneselvectorcuyak-esimacomponentees1ytodaslasdem assoncero.u1= (1, 0, . . . , 0),u2= (0, 1, . . . , 0),un= (0, 0, . . . , 1).Estosvectoressonunitarios, uk=1, yortogonalesdosados3, uiuj=ij, locual eslomismoque decir que sonortonormales. Cualquier elementox=(x1, x2, . . . , xn) Rnsepuede escribir como x = x1u1+x2u2+. . . xnun. Por lo tanto el conjunto de vectores {ui}, coni {1, . . . , n},constituyeunabasedelespacioRn.Avecesseescribe uienlugardeuiparaindicarquesonunitarios. Enfsica, labasedevectoresortonormalesdeR3sueledenotarsepor {

i,

j,

k}Teorema15Propiedadesdelanorma. x, y Rn, a R,severica:(a) x 0x =

0; x = 0 x =

0.(b) ax = |a| x.(c) x y = y x.(d) |xy| x y,(desigualdaddeCauchySchwarz).(e) x +y x +y,(desigualdadtriangular).Demostraci on: (a), (b)y(c)sontriviales. La(d)est apropuestaenunejercicio. La(e)sesiguedela(d)puestoquex +y2=n

k=1(xk + yk)2=n

k=1(x2k + y2k + 2xkyk) == x2+y2+ 2xy x2+y2+ 2xy = (x +y)2Observesequeparan=1sereducealadesigualdadtriangulardel valorabsoluto, porqueparan = 1ladeniciondelanormacoincideconladelvalorabsolutodelosn umerosreales.Sustituyendoxporx y, eypory z, podemosescribirladesigualdadtriangulardeotromodoqueseusaconfrecuencia:x z x y +y zUnespacioconlaspropiedades(a),(b)y(e)sellamaespacionormado.Rnesunespacionormado.Denicion27Unespacionormado, M, esunespaciovectorial sobreuncuerpoKqueest adotadodeunafunci onconvaloresenR(norma),quesatisfacelassiguientespropiedades x, y My a K.(a) x 0x =

0,y x = 0x =

0.(b) ax = |a| x.(c) x +y x +y.Los espacios normados soncasos particulares de espacios metricos.Estos ultimos nosonnecesariamenteespaciosvectorialesysedenenacontinuacion.2M asadelantesedar aunadenici onm asgeneraldedistancia.3ElsmboloijesladeltadeKronecker.Tomaelvalor0sii = jyelvalor1sii = j.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 18Denicion28Un espacio metrico, M, es un conjunto no vaco de objetos (puntos) dotado de una funci ond : MM R(metricadel espacio),quesatisface x, y, z M:(a) d(x, x) = 0.(b) d(x, y) > 0 si x = y.(c) d(x, y) = d(y, x).(c) d(x, y) d(x, z) + d(z, y).La metrica d puede considerarse como la distancia entre puntos, con lo cual las condiciones anterioressetomancomoladenici ondedistancia.Esevidentequetodoespacionormadoesunespaciometrico,porquebastadenird(x, y) = x y,ylaspropiedadesdedistanciasesiguendelaspropiedadesdelanorma.EngeneralpuedendenirseenRnotrasdistanciasnoasociadasanormas. LametricadeRninducidaporlanormasellamametricaeucldea. Cuando nos reramos a Rn(espacio eucldeo) se entender a que su metrica es la eucldea mientrasnosedigalocontrario.Ejemplosdeotrasposiblesmetricas:d(x, y) = |x1 y1| +|x2 y2| + . . . +|xn yn|d(x, y) = max{|x1 y1|, |x2 y2|, . . . , |xn yn|}Denicion29(EspaciosTopol ogicos).Unespaciotopol ogico,X,esunconjuntodeobjetosjuntoaunacolecci ondesubconjuntosdeXquedenotaremosporY = {X},siendoX X,tal quesesatisfacen:(a) Y;X Y.(b) Launi ondeunasubcolecci onarbitrariadeYperteneceaY.(c) Laintersecci ondeunasubcolecci onnitadeYperteneceaY.Aloselementosdelacolecci ondesubconjuntosYselesllamaconjuntosabiertos.Todoespaciometricoestambienunespaciotopol ogico,puesapartirdelametricad(x, y)sepuededaruncriterioparadenirlosconjuntosabiertosquesatisfacenlaspropiedadesdeladenicionanterior.VeremosestoenelcasoparticulardeRn.2.2. Conjuntosabiertosycerrados.Denicion30Seaa Rnysearunn umeropositivodado. El conjuntodetodoslospuntosx Rntales que xa < rse denomina n-bola abierta de radio ry centro a. La designamos por B(a, r) o B(a).B(a, r) = {x Rn| d(x, a) < r}La bola B(a, r) consta de todos los puntos cuya distancia a a es menor que r. En una dimensionesunintervaloabierto,endosesundiscocircular,entreseselinteriordeunaesfera.Enndimensioneshablamosden-bolas.Denicion31SeaS Rn.Unpunto a SesinteriordeSsiexisteunan-bolaabiertaconcentroenacontenidaenS.Denicion32SeaS Rn. El interiordeSesel conjuntoformadoportodoslospuntosinterioresdeS,yselesueledenotarporint(S) oS.Denicion33UnconjuntoS Rnesabiertosi,ys olosi,S= int(S).Estadenici onnos oloesv alidaparaRn,sin otambienparacualquierespaciometricoporques ololametricaintervieneenladenici on.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 19UnintervaloabiertodeR1, tal como(0, 1), esunconjuntoabierto, perocuandoesemismointervaloloconsideramos comounsubconjuntodel plano, noes abierto. Dehechoning unsubconjuntodeR1puedeserabiertoenR2(salvoel conjuntovaco)porquetalesconjuntosnopuedenconteneruna2-bola.Elconjuntovacoestrivialmenteunconjuntoabiertoporque = int().Elmismo espacioRnes tambienunconjuntoabierto porque todos sus puntossoninteriores.Elproductocartesianodeintervalosabiertosunidimensionales,(a1, b1) . . . (an, bn),esunconjunto abierto de Rnllamado intervalo abierto n-dimensional, y se suele designar por (a,

b).LosconjuntosabiertosasdenidosdotanaRndelaestructuradeespaciotopol ogico.Teorema16Rnesunespaciotopol ogico.Todoespaciometricoestambienunespaciotopol ogico,peroelrecproconoescierto.Denicion34DadosdosconjuntosAyB,talesqueA B,sedeneel complementariodeArelativoaBcomoB A = {x B | x/ A} = C(A).Denicion35UnconjuntoS RnescerradosisucomplementarioRnSesabierto.El intervalo [a, b], considerado como subconjunto de R1, es cerrado porque su complementarioes abierto: (, a)(a, +). El producto cartesiano de intervalos cerrados unidimensionales,[a1, b1] . . . [an, bn], es un conjunto cerrado deRnllamado intervalo cerrado n-dimensional,ysesueledesignarpor[a,

b].Observese que, de acuerdo con esta denicion, los conjuntos especiales R y son a la vez abier-tosycerrados, porqueunoesel complementariodel otroypreviamentehemosdemostradoque los dos son abiertos. Un conjunto puede no ser ni abierto ni cerrado, como por ejemplo elintervalo[0, 1).Teorema17Launi ondeunacolecci onarbitrariadeconjuntosabiertosesabierta.Demostraci on:SeaFunacolecci ondeconjuntosabiertosyseaSlauni ondetodosellos,esdecir, S=

AFA. Supongamosquex S, entoncesxdebeestarenal menosunodelosconjuntos de la colecci on F, que podemos llamar A. Entonces x A. Como A es abierto existeunan-bolaabiertatalqueB(x) S,yporlotantoxesunpuntointeriordeS.AsvemosquetodopuntodeSesunpuntointerioraS, porlotantoSesabiertoyel teoremaquedademostrado.Teorema18Laintersecci ondeunacolecci onnitadeconjuntosabiertosesabierta.Demostraci on: SeaS =

mk=1Ak, ycadaAkunabierto. Si Ses vaconohaynadaquedemostrarporqueelconjuntovacoesabierto.SiSnoesvacotomemosunx S.Entoncesx Akparacadak=1, 2, . . . m, yporlotantoexistenmn-bolasabiertasB(x, rk) Ak.Searel menordelosmn umerospositivosr1, r2, . . . , rm. Entoncesx B(x, r) S, conlocualdeducimosquexesunpuntointerioryporlotantoSesabierto.Esimportanteel requisitodequelacolecci onseanita, porqueel teoremanoesengeneralcierto para colecciones innitas. Por ejemplo, la interseccion de los innitos intervalos abiertosdelaforma(1/n, 1/n)donden Z+esel conjuntocuyo unicoelementoesel 0, yporlotantoescerrado.Teorema19Launi ondeunacolecci onnitadeconjuntoscerradosescerrada, ylaintersecci ondeunacolecci onarbitrariadeconjuntoscerradosescerrada.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 20Demostraci on:Esinmediata,bastaaplicarlosteoremas17y18alosconjuntoscomplemen-tarios,quesonabiertosporque,dadaunacolecci onFarbitrariadeconjuntosAsetiene:C_ AFA_=_AFC(A) y C_ _AFA_=

AFC(A)En otras palabras, el complementario de la interseccion es la uni on de los complementarios, yelcomplementariodelauni oneslaintersecciondeloscomplementarios.Teorema20SiAesabiertoyBescerrado,entoncesABesabiertoyB Aescerrado.Demostraci on:BastaobservarqueAB= A (RnB)eslaintersecciondedosconjuntosabiertos,yqueB A = B (RnA)eslaintersecciondedosconjuntoscerrados.2.3. Puntosadherentesypuntosdeacumulacion.Denicion36SeaS Rn,yseax Rn,aunquenonecesariamentedeS.SedicequexesadherenteaSsitodan-bolaB(x)contieneunpuntodeS,porlomenos.Todo x Ses adherente a S. Si Sest a acotado superiormente entonces el sup(S) es adherentea S. Si tomamos el intervalo abierto en R1, S= (a, b), entonces a y b son adherentes a S, peronopertenecenaS.Denicion37SeaS Rn, yseax Rn, aunquenonecesariamentedeS. Sedicequexesunpuntodeacumulaci ondeSsitodan-bolaB(x)contieneporlomenosunpuntodeSdistintodex.Six Synoesunpuntodeacumulaci ondeS,entoncessedenominapuntoaislado.N otesequexesunpuntodeacumulaciondeSsi, ys olosi, xesadherenteaS {x}. Elconjunto de los n umeros de la forma 1/n, con n Z+, tiene al 0 como punto de acumulacion.El conjunto de los n umeros racionales tiene a cada racional como punto de acumulacion. Cadapuntodelintervalocerrado[a, b]esunpuntodeacumulaciondelintervaloabierto(a, b).Teorema21Sixesunpuntodeacumulaci ondeS Rn,entoncestodabolaB(x)contieneinnitospuntosdeS.Demostraci on: Si no fuese as tendra que existir una bola B(x) con un n umero nito de puntosde S distintos de x. Podemos denotar esos puntos por a1, a2, ..., an. Tomamos las distancias deestos puntos a x y elegimos la menor de ellas, es decir, r = mn{d(x, a1), d(x, a2), . . . , d(x, an)}.Entonces labolaB(x, r/2) nocontendraning unelementodeSdistintodex, conlocualdeduciramos quexnoes unpuntode acumulacion, encontradicci onconlahip otesis departida.Corolario: Si S tiene un punto de acumulacion entonces S es innito. El recproco, sin embargo,noescierto, porqueZesinnitoynotienening unpuntodeacumulacion. EstoesdebidoaqueZnoes unconjuntoacotado. Parececlaro, sinembargo, quetodoconjuntoinnitocontenido en una nbola de radio nito (es decir, acotado) debe tener al menos un punto deacumulacion.Este es un resulado importante conocido como Teorema de BolzanoWeierstrass,queenunciaremosmasadelante.Denicion38Sea SRn. El conjunto de todos los puntos adherentes de S se llama adherencia oclausuradeSysedenotaporS(est aclaroqueS S).Teorema22UnconjuntoS Rnescerradosi,ys olosi,contieneatodossuspuntosadherentes,esdecir,siys olosiS S.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 21Demostraci on: Sea Scerrado y x un punto adherente a S. Si suponemos que x/ Sllegaremosaunacontradicci on.Enefecto,si x/ Sentonces x RnS,ypuestoqueRnSesabiertocontendr a alguna n-bola B(x). Esto implica que B(x) no contiene puntos de S, lo cual est a encontradicci onconlahip otesisinicialdequexunpuntoadherenteaS.Ahoradebemosprobarlaimplicaci oninversa, esdecir, supongamosqueScontieneatodossuspuntosadherentesydemostremosquedeellosesiguequeSescerrado.Seax RnS,esto implica que x/ Sy, por lo tanto, que x no es adherente a S. Existe, entonces, una n-bolaB(x)quenotienepuntosdeS, conlocual B(x) Rn S. Conclumosas queRn Sesabiertoy,enconsecuencia,Sescerrado.ParatodoconjuntosevericaqueS S,porquetodopuntodeSesadherenteaS.Elteoremaanteriorprueba que la inclusi on opuesta, S S, se verica si y s olo si Ses cerrado. Por lo tanto podemos formularelsiguienteteorema.Teorema23UnconjuntoS Rnescerradosi,ys olosi,S= S.Denicion39SeaS Rn. El conjuntodetodoslospuntosdeacumulaci ondeSsellamaconjuntoderivadodeSysedenotaporS.EsevidentequeparacualquierconjuntosevericaS= S S.Porotrolado,elteorema23nosaseguraquesi SescerradoentoncesS=S, locual nosllevaareescribirlaexpresi onanteriorcomoS=S Sparaconjuntoscerrados, esdecir, SS. Expresamosestoenelsiguienteteorema.Teorema24Un conjunto S Rnes cerrado si, y s olo si, contiene a todos sus puntos de acumulaci on.Denicion40SeaMunespaciometricoyA M,S M,dossubconjuntos.SedicequeAesdensoenSsisevericaA S A.Ejemplos:QesdensoenR,porqueQ = R.IesdensoenR,porqueI = R.Denicion41Dado S Rn, se dice que x Rnes un punto frontera de Ssi toda n-bola B(x) contiene,porlomenos, unpuntodeSy, porlomenos, unodeS Rn. El conjuntodetodoslospuntosfronterasellamafronteradeSysedenotaporS.Delapropiadenicionsededuceinmediatamentequesi xes unpuntodelafronteradeS, entoncesesunpuntoadherenteaSyadherenteaRn S. Esdecir, secumplelarela-cionx Sx S, y x RnS,porlotantopodemosescribirS= S RnS,locual implicaqueSescerradoenRn, porserlaintersecciondedosconjuntoscerrados. Laadherenciadeunconjuntoessiempreunconjuntocerrado, yseconocecomoclausuradelconjunto.Denicion42SedicequeS Rnes unconjuntoacotadosi est acontenidototalmenteenunabolaB(a, r)paraalg un a Rnyalg unr > 0.Teorema25(BolzanoWeiestrass): Si un conjunto acotado S Rncontiene innitos puntos, entoncesexisteporlomenosunpuntodeRnqueesunpuntodeacumulaci ondeS.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 22Teorema26(EncajedeCantor): Sea {Q1, Q2, . . .}unacolecci onnumerabledeconjuntosnovacosdeRntalesque(a) Qk+1 Qk,k = 1, 2, 3, . . ..(b) CadaQkescerradoyQ1acotado.EntoncesS=

k=1Qkescerradoynovaco.Denicion43Unacolecci ondeconjuntosFsedenominarecubrimientodeS RnsiS

AFA.Sedice tambien que Frecubre a S. Si Fes una colecci on de abiertos, entonces Fse denomina recubrimientoabiertodeS.Teorema27(RecubrimientodeLindel of ):SeaS RnyFunrecubrimientoabiertodeS.Entoncesexisteunasubcolecci onnumerabledeFquetambienrecubreaS.Teorema28(HeineBorel): SeaS Rncerradoyacotado, yseaFunrecubrimientoabiertodeS.Entoncesexisteunasubcolecci onnitadedeFquetambienrecubreaS.2.4. Conjuntoscompactos.Denicion44SeaS Rn. SedicequeSescompactosi, ys olosi, cadarecubrimientoabiertodeScontieneunasubcolecci onnitaquerecubreaS.Teorema29ParatodoS Rnlastresarmacionessiguientessonequivalentes:(a) Sescompacto.(b) Sescerradoyacotado.(c) TodosubconjuntoinnitodeStieneunpuntodeacumulaci onenS.Engeneral esteteoremanosecumpleparaparaespacios metricos arbitrarios, pues enlademostraci onseutilizanpropiedadesparticularesdeRn. Sinembargo, ladobleimplicaci onScompacto Scerradoyacotado,sesv alidaenunespaciometricocualquiera.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 232.5. Ejercicios.1. Seankyhaplicacionesdenidasdelsiguientemodo:k : RnRn R(x, y) ni=1|xi yi|h : RnRn R(x, y) max |xi yi|Demostrar que k y h son distancias en Rn. En el caso n = 2 cu ales son las bolas abiertas y cerradasdecentrounpuntoarbitrariox R2yradio1?2. Demostrarquelaaplicaci on:p : AA R(x, y) _0 si x = y1 si x = y_esunadistanciasobreA(distanciadiscreta)Cu alessonlasbolasabiertasylasbolascerradasdecentrounpuntoarbitrariox Ayradio1?3. SeanAyBdossubconjuntosdeRn.DemostrarquesiAesabiertoentonceselconjuntodadoporA + B= {z= x + y : x A, y B}tambienesabierto.4. Estudiartopol ogicamentelossiguientessubconjuntosdeR:a) M= Zb) M= (0, 1]c) M= {(1)n(1 +1n) : n Z+}d) M= Qe) M= If ) M= { C: || Z+}Indicarsidichosconjuntossonabiertos,cerrados,oningunadelasdoscosas.Indicartambiensinsoncompactosono.5. Estudiatopol ogicamentelossiguientessubconjuntosdeR2:a) M= {(x, y) R2: 0 x2+ y2 1}.b) M= {(x, y) R2: y= kx, k R}.c) M= {(x, y) R2: x [0, 1] R, y (0, 1) Q}.d) M= {(x, y) R2: x =1n, n Z+, y [0, 1]}.Indicasidichosconjuntossonabiertos,cerrados,oningunadelasdoscosas.Indicatambiensisoncompactosono.6. Demostrar:a) A B= A B.b) A B A B.c) C(int(A)) = (C(A)).d) C(A) = int(C(A)).7. Demostrar:a) A = Aint(A) = A C(int(A)).b) Aescerradosiys olosiA = int(A) A.8. Demostrar que el intervalo abierto (0, 1) no es un compacto considerando la colecci on Fde intervalos(1/n, 2/n)conn = 1, 2, 3 . . ..9. Determinasilaaplicacion d(x, y) = |x2y2| esunadistanciaenR.YenR+ {0}?10. Estudiatopol ogicamente el siguiente conjunto, argumentandotus conclusiones apartir de unarepresentaci onesquematicadelmismo: M=_(x, y) R2: x2+ y2= (21/n+ 31/n)2_.Captulo3Lmitesycontinuidad.Enestetemaestudiaremosloslmitesdesucesionesdepuntosdeunespaciometrico, as comoloslmites de funciones yel conceptode continuidad. Enloque sigue, denotaremos unespaciometricogenerico por (S, ds), donde dses la metrica denida en S. Comenzamos por denir el concepto de funcionentredosespaciosmetricos.Denicion45Seandosespaciosmetricos(S, ds)y(T, dt).Unafunci onfdeSenTesunaaplicaci onunvocadelospuntosdeSenpuntosdeT. Serepresentaporf: S T. Acadapuntox Sseleasociaun punto de T,ys olo uno,que se representapor f(x).Cuando S= RnyT= Rmse suele escribir

f(x).Al conjuntoSselellamadominiodef,yal conjuntodepuntos {f(x)} Tselellamarecorridodef(oconjuntoimagen).Ejemplos:(a) f: R R, f(x) = x2.(b) f: R3R, f(x, y, z) =_x2+ y2+ z2.(c)

f: R3R2,

f(x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z)) = (x + y + z, x2+ y2+ z2).Lasfunciones

f(x)suelenrepresentarsepor(f1(x), f2(x), . . . , fn(x, )). Alosfiselesllamacomponentes.3.1. SucesionesconvergentesysucesionesdeCauchy.Denicion46Unasucesi ondepuntosenunespaciometrico(S, ds)esunaaplicaci onunvocadeZ+enS.Esdecir,acadan umeroenteropositivon = 1, 2, . . .seleasignaunelementodeS,ys olouno,quedenotaremosporxn.Denotaremosunasucesi ongenericapor {xn}.Ejemplo:n xn=1n2.Denicion47Unasucesi on {xn} (S, ds) esconvergentesi existeunpuntop Squesatisfagalasiguientecondici on: > 0, N Z+| d(xn, p) < n N.Oloqueeslomismo:B(p, ), N Z+| xn B(p, ) n N.Sediceque {xn}convergeapyseescribexn p, obien, lmnxn= p.Si no existe un punto p que cumpla la propiedad anterior se dice que la sucesi on es divergente.Observesequedeladenicionsesiguequexn psi, ys olosi, d(xn p) 0. Enotraspalabras, {xn}esconvergentecuando,amedidaquencrece,susterminosseacercantodoloqueunoquieraallmitep.Ejemplos:24MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 25(a) EnR2, {(1n2, n2)}diverge.(b) EnR, {1n2}convergea0.(c) EnR, {n2+1n2+n}convergea1.(d) En(0, 1], {1n2}diverge.Losejemplos(b)y(d)sirvenparailustrarel hechodequelaconvergenciadeunasucesi ondependetantodeellamismacomodelespaciometricoenelquelaconsideremos.Enunciamosacontinuaciondeformar apidaunascuantasdenicionesypropiedadessencillas:En el espacio eucldeo de R1, una sucesi on {xn} se llama creciente si xn xn+1para todo n. Si unasucesi oncrecienteest aacotadasuperiormenteentoncesconvergehaciaelsupremodesurecorrido.Analogamente, unasucesi on {xn}sellamadecrecientesi xn xn+1paratodon. Todasucesi ondecrecienteacotadainferiormenteconvergehaciael nmodesurecorrido.Si {an} y {bn} son dos sucesiones reales que convergen a cero, entonces {an+bn} tambien convergeacero.Si0 bn anparatodony {an}convergeacero,entonces {bn}tambienconvergeacero.Teorema30Unicidaddel lmite. Unasucesi on {xn} (S, ds)puedeconvergeraunpuntodeSalosumo.Demostraci on: Supongamosquexn pyxn q. Demostraremosquenecesariamentep=q. Por ladesigualdadtriangular tenemos 0 d(p, q) d(p, xn) + d(xn, q) n. Tantod(p, xn)comod(xn, q)tiendenacero,porlotantopodemosarmarqued(p, q)=0y,comoconsecuencia, p=q. Si loqueremosrazonarconunpocomasdedetallediramosque, dado >0, podemos encontrar ciertoNapartir del cual tenemos 0 d(p, q) 2+2=.Deducimosas que0 d(p, q) 0 + >0. Ahoraaplicamosel teorema1yconclumosqued(p, q) = 0,locuals olopuedesucedersip = q.Teorema31Seaunasucesi on {xn} (S, ds)queconvergeapyseaT= {x1, x2, . . .}el recorridode{xn}.Entonces:(a) Test aacotado.(b) pesunpuntodeadherenciadeT.Demostraci on:(a) Basandonos enladenicionde convergencia, tomamos =1ybuscamos unNtalque se cumple que xnB(p, 1) paratodon N. Comohayunn umeronitodeterminos delasucesi onanteriores aN, podemos encontrar unn umeropositivor talquer>max{d(x1, p), d(x2, p), . . . , d(xN, p), 1}, yentoncespodemosarmarquetodoslos puntos delasucesi onest andentrodelaboladeradior centradaenp, es decir,xn B(p, r) n,conlocualTest aacotado.(b) ComoB(p, ) contienealg unpuntodeT porpeque noquesea, (el xnconn N),deducimosquepesadherenteaT.Corolario: Enel casodequeTfueseinnito, todabolaB(p, )contendrainnitospuntosdeT, conlocualpseraunpuntodeacumulaciondeT.Teorema32SeaT (S, ds)ypunpuntodeSadherenteaT (recuerdesequenoesnecesarioquep T).Entoncesexisteunasucesi on {xn} Tqueconvergeap.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 26Demostraci on: PorserpadherenteaT, todabolacentradaenpcontienepuntosdeT. Enconcreto, podemos considerar una colecci on de de bolas centradas en p y de radio 1/n, siendon N. Estamosendisposiciondeasegurarentoncesqueparacadaenteron 1existeunpunto xnde Ttal que d(p, xn) 1/n. As construida, esta sucesi on verica que d(p, xn) 0,porlotantolasucesi onconvergeap.Denicion48Dadaunasucesi on {xn},sedeneunasubsucesi ondeestacomootrasucesi ondadapor{xk(n)},dondek:Z+ A Z+esunaaplicaci onquepreservael orden,esdecir,sim < nentoncesk(m) < k(n).Ejemplo: Lasucesi on_12, 14, 16, 18, . . ._=_12n_esunasubsucesionde_11, 12, 13, 14, . . ._=_1n_.Laaplicaci onkestaradenidacomok(n) = 2n.Teorema33Unasucesi on {xn} (S, ds) convergeap Ssi, ys olosi, cadasubsucesi on {xk(n)}convergeatambienap.Demostraci on: Supongamos primero que xn p y deduzcamos entonces que toda subsucesion{xk(n)}convergetambienap.Enefecto,paracada > 0existeunNtalquen Nimplicad(xn, p) < , y como {xk(n)} es una subsucesion de {xn}, existe un entero Mtal que k(n) > Nparan M. Porlotanton Mimplicad(xk(n), p) 0 N Z+| d(xn, xm) < si n, m N.Denicion49(Sucesi ondeCauchy)Unasucesi on {xn} (S, ds)deunespaciometricosedenominasucesi ondeCauchysicumpleladenominadacondici ondeCauchy: > 0 N Z+| d(xn, xm) < si n, m N.Observerseque {1/n} (0, 1] es unasucesi ondeCauchy, peronoconvergeenel espaciometricoenel queest adenida: (0, 1]. Otroejemplo: lasucesi ondeCauchy {(1 +1n)n} QnoconvergeenQ.Hemosvistoque, encualquierespaciometrico, todasucesi onconvergenteesdeCauchy. Elrecproconoesciertoengeneral,perosenRn.Teorema35Enel espacioeucldeoRntodasucesi ondeCauchyesconvergente.Demostraci on: Sea {xn} Rnuna sucesi on de Cauchy y sea T= {x1, x2, . . .} su recorrido. SiTesnitotodoslosterminosdelasucesi onsoniguales,salvoalosumounn umeronitodeellos,locualsignicaque {xn}convergeaesevalorcom un.SupongamosahoraqueTesinnito. Adem asTest aacotado, porquepara=1podemosencontrarun Ntalque n Nimplica xnxN < 1.Estosignicaquetodoslospuntos xnconn Npertenecenalaboladeradio1ycentroxN, porlotantopodemosdecirqueTest a contenido en una bola de radio 1+r y centro

0, donde r es el max(x1, . . . , xN). Por serTinnito y acotado, el teorema de BolzanoWeierstrass nos garantiza que admite un punto deacumulacion p enRn. Es facil ver que la sucesi on {xn} converge a p. En efecto, por satisfacerMetodosMatematicosI.Curso2011/12. 27la condici on de Cauchy sabemos que dado > 0 existe un Ntal que xnxm < /2 siemprequen Nym N. Por otrolado, por serppuntodeacumulacion, labolaB( p, /2)contienenecesariamentepuntosxmconm N. Porlotanto, si n Npodemosescribirxn p xn xm +xm p /2 + /2 = .Porlotanto {xn} pyestoterminalademostraci on.3.2. Espaciosmetricoscompletos.Denicion50Unespaciometrico(S, d)sedicecompletositodasucesi ondeCauchyenSconvergeenS.UnsubconjuntoTdeSescompletosiel subespacio(T, d)escompleto.TantoRcomoRnsoncompletos, peronoas Q. Lacompletitudresultadeutilidadparaprobarlaconvergenciadealgunassucesiones.Denicion51Sea {xn} S Rn.Sedicequexn +si k > 0 N | n Nxn > k.Sedicequeestasucesi onesdivergenteyquedivergea .Teorema36Sean {xn} S Rne {yn} S Rndossucesionesconvergentestalesquexn peyn q. Entonces las sucesiones {xn+yn} y {xnyn} son convergentes y sus lmites son, respectivamente,lasumayel productodeloslmites.Demostraci on:xn +yn p q xn p +yn qxnyn pq = xn(yn q) +q(xn p) xn yn q +q xn pEnla ultimopasohemos aplicadoladesigualdadtriangular yladesigualdaddeCauchySchwarz.Pocosepuededecirengeneralsobreelproductoysumadesucesionesdivergentes.Si xn eyn , entoncesxn + yn yxnyn . Perosi xn eyn nadapodemosdecirengeneralsobrelasucesi onxn +yn,tenemosunaindeterminaci ondeltipo .Si xn peyn , entoncesxnyn si p>0yxnyn si p0existe un >0tal quedt(f(x), b) 0> 0| f(x) b < si 0 < x p < lmxpf(x) = b > 0> 0| f(x) b < si 0 < p x < EnR2lasdireccionesdeacercamientopuedenserengeneral innitas. Esnecesarioespecicarlacurvaporlaquenosacercamosa p. Si expresamosesacurvaenformaparametrica, (x1(t), x2(t)), demaneraMetodosMatematicosI.Curso2011/12. 29que p = (x1(t0), x2(t0)),denimosellmitedireccionalcomolm(x1(t),x2(t)) p= b > 0> 0|___

f(x)

b___ < si |t t0| < Tambienpodemosdenirlmitesreiterados.Sidenotamosx = (x1, x2), p = (p1, p2)lmx1p1_lmx2p2f(x)_ParaRn,conn > 2,elformalismomatematicoesidentico.Denicion54Lmitesasint oticos:lmx+f(x) = b > 0k > 0| f(x) b < si x > klmxf(x) = b > 0k > 0| f(x) b < si x < kTeorema40Seaf: S Rn T Rm.Entonceslmxa

f(x) =

b lmxafj(x) = bj j= 1, . . . , n3.4. Funcionescontinuas.Denicion55Sean(S, ds)y(T, dt)dosespaciosmetricosyf: S T.Sedicequefescontinuaenp Ssiparacada > 0existeun> 0tal quedt(f(x), f(p)) < siemprequeds(x, p) < .Enterminosdebolasdiramosquefescontinuaenp Ssiparatodo > 0existeun> 0talquef(x) BT(f(p), )siemprequex BS(p, ).SifescontinuaentodoslospuntosdeunconjuntoA S,sedicequefescontinuaenA.La continuidad de una funcion fen el punto p nos asegura que puntos cercanos a p se aplicanpormediodefenpuntoscercanosaf(p).Sipesunpuntodeacumulacion1ladeniciondecontinuidadimplicaquelmxpf(x) = f(p).SipesunpuntoaisladodeS,entoncestodafunciondenidaenpseracontinuaenp,puestoqueparasucientementepeque noel unicopuntoquesatisfaceds(x, p) < eselpropiop,ysetieneobviamentequedt(f(p), f(p)) = 0.Lacontinuidadasdenidaesunapropiedadlocal,esdecir,dependedelcomportamientodefen las proximidades del punto p. Estudiaremos mas adelante la continuidad desde un puntodevistaglobal.Teorema41Sean(S, ds)y(T, dt)dosespaciosmetricosyf: S T.Sedicequefescontinuaenp Ssi,ys olosi,paracadasucesi on {xn} Sconvergenteap,lasucesi on {f(xn)} Tconvergeaf(p).f continuaen p lmnf(xn) = f_lmnxn_= f(p)Teorema42Seanlosespaciosmetricos(S, ds), (T, dt)y(V, dv). Seanlasfuncionesf : S T, yg: f(S) V . Consideremoslafunci oncompuestah: S V denidacomoh(x)=g[f(x)] parax S.Entoncessifescontinuaenp,ygescontinuaenf(p),setienequehescontinuaenp.1Senecesitaquepseaunpuntodeacumulaci onparapoderacercarnostodoloquequeramosa elatravesdelospuntosdeS,ypoderasutilizarelconceptodelmite.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 30Demostraci on: Sea b = f(p). Por la continuidad de gen b, para cada > 0 existe un > 0 talquedv(g(y), g(b))0existeun>0talquedv(h(x), h(p)) < siemprequeds(x, p) < ,locualimplicaquehescontinuaenp.Ejemplo: tomemoslasfuncionesf(x)=cos(x)yg(x)=x2. Tantof comogsoncontinuasentodoR,porlotantopodemosarmarquelasfuncionescompuestascos2(x)ycos(x2)soncontinuastambien.Teorema43SeanS RnyTRm, ysean

f : S T yg: S T dosfuncionescontinuasen p S. Entoncestambiensoncontinuasen plassiguientesfunciones:

f+ g,

f,

f g,

f, g,siendo R.Adem as,sin = m = 1entoncesf/gtambienescontinuasiemprequeg(p) = 0,y1/fescontinuasiemprequef(p) = 0.En el caso de funciones reales de variable real, dos funciones continuas en todo R son la funcion constante,f(x)=c x R,ylafuncionidentidad,f(x)=xx R.Delteoremaanteriorsededuceinmediata-mentequecualquierpolinomio,f(x) = a0 + a1x + a2x2+ . . . + anxn,tambienesunafuncioncontinua.La funcion 1/f(x) tambien es continua excepto en las races de f(x). Las funciones elementales, ex, log x,sen x, cos x, senh x, cosh x, etc. sonfuncionescontinuasentodoslospuntosenqueest andenidas. Poresohacemos,porejemplo, lmx0ex= e0= 1.3.5. Continuidadyantiimagenesdeconjuntosabiertosycerra-dos.Denicion56Seaf: S T.DadoY T,laantiimagendeY porf,designadaporf1(Y ),sedenecomoel mayordelossubconjuntosdeSqueseaplicaenY pormediodef,esdecir:f1(Y ) = {x S | f(x) Y }N otesequeestadeniciones util inclusoaunquenoexistalafuncioninversa2def. Si fadmitefuncioninversaf1,esdecir,siesunoauno,entonceslaantiimagendeYpormediodefcoincideconlaimagendirectadeY pormediodef1, esdecir, conf1(Y ). Adem as,severicaquef1(A) f1(B)siA B T.Teorema44Seaf: S T.SiX SeY T,setienelosiguiente:(a) SiX= f1(Y ),entoncesf(X) Y .(b) SiY= f(X),entoncesX f1(Y ).Lademostraci onesinmediataporquebastaponerdirectamenteladeniciondelossmbolosf1(Y ) y f(X). En general no es posible decir que Y= f(X) implica X= f1(Y ) (observeseel contraejemploquemuestralagura3.5). Las armaciones deesteteorematambiensepuedeexpresardelsiguientemodo:f[f1(Y )] Y, X f1[f(X)]Adem assecumplequef1(A B)=f1(A) f1(B)paratodoslossubconjuntosAyBdeT.Teorema45Seaf: (S, ds) (T, dt),entoncesfescontinuaenSsi,ys olosi,paracadaconjuntoabiertoY T,laantiimagenf1(Y ) SesabiertaenS.2Sinoexistefunci oninversa,lanotaci onf1podraparecerconfusaoambigua.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 31X1X2YfTSFigura3.1:EnesteejemplotenemosY= f(X1).SinembargoX1 = f1(Y ),porquef1(Y ) = X1X2.Yf1f(Y)0 2 4 6 8246810141620222410 12 14 16 18 20 22 24Figura3.2: Lafunciondenidacomof(x)=xsi x 0. Por otro lado, como fes continua en p existe un > 0talquef(BS(p, )) BT(y, ).PorlotantoBS(p, ) f1[f(BS(p, ))] f1[BT(y, )] f1(Y )Conlocualpesunpuntointerioraf1(Y ).Recprocamente, supongamosquef1(Y )esabiertoenSparatodosubconjuntoabiertoYdeTyprobemosquefescontinuaenp.ElijamospenSyseay= f(p).Paracada > 0labolaBT(y, )esunconjuntoabiertoenT, luegof1(BT(y, ))esabiertoenS. Ahorabien,sip f1(BT(y, ))entoncesexisteun> 0talqueBS(p, ) f1(BT(y, )).Porlotanto,f(BS(p, )) BT(y, ),locualimplicaquefescontinuaenp.Veaselagura3.5paraunailustraci ongr aca.Teorema46Seaf:(S, ds) (T, dt), entoncesf escontinuaeSsi, ys olosi, paracadaconjuntocerradoY T,laantiimagenf1(Y ) SescerradaenS.Demostraci on: Si Y es cerradoenT, entonces T Y es abiertoenT ypodemos escribirf1(T Y ) = S f1(Y ).Ahorabastaaplicarelteoremaanterior.Convienerecalcarquelaimagendeunabiertopormediodeunafuncioncontinuanoesnecesaria-menteabierta. Uncontraejemploesel casodelasfuncionesconstantesqueaplicantodoSenun unicoMetodosMatematicosI.Curso2011/12. 32puntodeR1. Analogamente, laimagendeunconjuntocerradopormediodeunaaplicacioncontinuanoesnecesariamentecerrada. Porejemplo, lafuncionreal f(x)=arctan(x)aplicaR1enel intervalo(/2, +/2).3.6. Continuidadsobreconjuntoscompactos.Otradelaspropiedadesglobalesdelasfuncionescontinuasesqueaplicanconjuntoscompactosenconjuntoscompactos.Teorema47Sea f: (S, ds) (T, dt). Si fes continua en un subconjunto compacto X S, entoncesla imagen f(X) es un subconjunto compacto de T. En particular, f(X) es un conjunto cerrado y acotadodeT.Demostraci on: SeaF unrecubrimientoabiertode f(X), es decir, f(X) AFA. Pro-baremos queunn umeronitodeconjuntos Arecubreaf(X). Comof es continuasobreel subespaciometrico(X, ds), podemos aplicar el teorema45paraconcluir que cadaunode los conjuntos f1(A) es abiertoen(X, ds). Los conjuntos f1(A) formanunrecubri-mientoabiertodeXy, comoXes compacto, unn umeronitodeellos recubreaX. SeaX f1(A1) . . . f1(Ap).Entoncesf(X) f_f1(A1) . . . f1(Ap)= f_f1(A1) . . . f_f1(Ap) A1 . . . ApHemosconstruidoentoncesunacolecci onnitadeabiertosquerecubreaf(X),porlotantodeducimosqueescompacto.Comocorolario,aplicandoelteorema29podemosdecirquef(X)escerradoyacotado.Denicion57Unafunci on

f : S Rnest aacotadaenSsi existeunn umeropositivoMtal que

f(x) Mparacadax S.Como

f est aacotadaenSsi, ys olosi, f(S)esunsubconjuntoacotadodeRn, del teoremaanteriordeducimoselsiguientecorolario.Teorema48Sea

f: S Rnunafunci ondeunespaciometrico(S, ds)enelespacioeucldeoRn.Si

fescontinuaenunsubconjuntocompactoX S,entonces

fest aacotadaenX.Este teorema nos permite deducir consecuencias importantes en el caso de funciones reales, esdecir, de R1. Si fes una funcion real acotada sobre X, entonces f(X) es un subconjunto de Racotado,porlotantoposeesupremoe nmo,ysecumpleque nf f(X) f(X) sup f(X)paratodox X.El siguiente teorema prueba que una funcion real continua falcanza el sup f(X) y el nf f(X)siXescompacto.Teorema49Sea

f: S Runafunci onreal deunespaciometrico(S, ds)enel espacioeucldeoR.SupongamosquefescontinuaenunsubconjuntoXcompactoenS.EntoncesexistenpuntospyqdeXtalesquef(p) =nf f(X), f(q) = sup f(X)Comof(p) f(x) f(q)paratodox X, losn umerosf(p)yf(q)sellaman, respectiva-mente,losvaloresmnimoymaximoglobalesoabsolutosdefenX.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 33Demostraci on: A partir del teorema 47 sabemos que si Xes compacto y fcontinua, entoncesf(X)escompacto, locual implicaqueesunsubconjuntodeRcerradoyacotado. Seam=nf[f(x)], entoncesmesadherenteaf(X)y, porserf(X)cerrado, m f(X). Porlotantopodemosescribirquem = f(p)paraunciertopdeX.Demodoanalogoserazonaquedebeexistirciertoqtalquef(q) = sup[f(X)].Teorema50Seaf: (S, ds) (T, dt)unafunci onentredosespaciosmetricos.SupongamosquefesunoaunosobreS,demodoquelafunci oninversaf1existe.SiSescompactoysifescontinuaenS,entoncesf1escontinuaenf(S),quetambienescompacto.Demostraci on:aplicandoelteorema46,f1seracontinuaenf(S)si,ys olosi,laantiimagendecualquiercerrado, X f1(T) S, escerrada, esdecir, si f(X) Tescerrado. ComoX Ses cerrado y Ses compacto, entonces Xes compacto, con lo cual f(X) es compacto porserfcontinua,yporlotantof(X)escerrado,yaqueenlosespaciosmetricostodoconjuntocompactoescerradoyacotado.3.7. TeoremadeBolzano.El teoremadeBolzanohacereferenciaaunapropiedadglobal delasfuncionesrealescontinuasenintervalos compactos [a, b] R. En palabras llanas, diramos que si la gr aca de una funcion fes positivaenf(a)ynegativaenf(b),entonceslafunciondebeanularseporlomenosunavezentreayb.AntesdeenunciarelteoremadeBolzanodemostraremosunoauxiliar.Teorema51SeafdenidaenunintervaloS R.Supongamosquefescontinuaenunpuntoc Syquef(c) = 0.Entoncesexisteunabolaunidimensional B(c, )tal quef(x)tieneel mismosignoquef(c)enB(c, ) S.Demostraci on:Supongamosprimeramentequef(c) > 0.Porserfcontinua,paracada > 0existeun>0tal quef(c) 0).Porlotantoseverica12f(c) 0 y f(b) < 0,y sea el conjunto A = {x [a, b] | f(x) 0}.Sabemos que A = porque a A, y adem as A est a acotado por b, por lo tanto tiene supremo.Seac = sup(A).Secumplequea < c < b.Probemosquef(c) = 0.Sifuesef(c) = 0deberaexistirunabolaunidimensional B(c, )enlaquef tieneel mismosignoquef(c). Si fuesef(c)>0, habrapuntosx>cenlosquef(x)>0, encontradicci onconlahip otesisdequec = sup(A).Sifuesef(x) < 0,entoncesc 2seraunacotasuperiorparaAmenorquec,encontradicci ondenuevoconladeniciondec.Debeentoncescumplirsequef(c) = 0.Teorema53(del valorintermedio)Seaf real ycontinuaenunintervalocompactoS=[a, b] R.Supongamos queexistendos puntos 0yg()=f() k0, existeun>0(quedependedel puntopyde)tal que, si x A,entoncesdt(f(x), f(p)) 0(quedependeexclusivamentede)tal quesix Ayp Aentoncesdt(f(x), f(p)) < siemprequeds(x, p) < .Ejemplos:1. Seaf(x)=1/xparax>0yconsideremosA=(0, 1]. EstafuncionescontinuaenA,pero no uniformemente continua. Para verlo tomemos = 10 y supongamos que podemosencontrar un, con0 0.Comprobemosquef(x) = 1/x.f(c) =lmxcln x ln cx c=lmxcln(x/c)x c=lmxcln_cc+xc cc_x c=lmxcln_1 +x cc_x chacemosy= (x c)/c,conlocual: f(c) =lmy0ln(1 + y)yc=1clmy0ln(1 + y)y=1cc) Sif(x) = sen(x),conx R,entoncesf(x) = cos(x).Enefecto2:f(c) =lmxcsen x sen cx c=lmxc2 sen_x c2_cos_x + c2_x c=lmy02 sen(y) cos_2y + 2c2_2yporlotanto, f(c) =lmy0sen(y)ycos(y + c) = cos(c)4.5. Derivadadeunafuncionimplcita.Unaecuaci onF(x, y)=0deneimplcitamenteaunafunciony=f(x)enunciertointervalo(a, b)si,paratodox (a, b)secumpleF(x, f(x))=0.Silasdosfuncionesf(x)yF(x, f(x))sonderivables,entonces la derivada f(x) se puede calcular derivando F(x, f(x)) como una funcion compuesta e igualandoaceroelresultado.Ejemplo.Consideremoslasiguienteecuaci on:arc tg(x 2) + xy2ex2y+ ln_x + 3yx2+ 1_= 2, arc tg(x 2) + xy(x)2ex2y(x)+ ln_x + 3y(x)x2+ 1_2 = 0Estaecuaci ondeneainnitasfuncionesy(x). Consideremosaquellaque, siendoderivable, cumplelacondici ony(2) = 1ybusquemoselvalordesuderivadaenx = 2,esdecir,y(2).Paraelloderivamos:11 + (x 2)2+ y2(x)ex2y+ 2xy(x)y(x)ex2y+ xy(x)2ex2y(x)[1 2y(x)]++x2+ 1x + 3y(x)[1 + 3y(x)](x2+ 1) [x + 3y(x)]2x(x2+ 1)2= 0Ahoraparticularizamosparax = 2ey(2) = 1yresolvemoslaecuaci on:1 + 1 + 4y(2) + 2[1 2y(2)] +3y(2) 35= 0 = y(2) = 1731Enunodelosejerciciosdeltema3hemoscalculadolossiguienteslmites:lmx0log(1 + x)x=lmx0log(1 + x)1/x= loglmx0(1 + x)1/x= log(e) = 1Usando este resultado podemos deducir que lmx0(ax1)/x =log(a). Enefecto, pongamos y =ax1, conlo cualx = log(y + 1)/ log(a),yentonces:lmx0ax1x=lmy0ylog(y + 1)/ log(a)= log(a)lmy0ylog(y + 1)= log(a)2Recordemoslasiguienteidentidadtrigonometrica:sen sen = 2 sen 2cos + 2MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 434.6. Derivadadelafuncioninversa.Teorema61Seaf: I Junafunci oncontinuabiyectivadeunintervaloIenotrointervaloJ,demodoqueexistesufunci oninversaf1: J I. Si f esderivableenunpuntoa I yf(a) =0,entoncesf1es derivable en el punto b = f(a) y su derivada es (f1)(b) = 1/f(a), siendo a = f1(b).Demostracion:Recurriendoaladeniciondederivada,debemosdemostrarquelmybf1(y) f1(b)y b=1f(a)esdecir lmyby bf1(y) f1(b)= f(a)Observesequeparay =btenemos f1(y) =f1(b) porquef1es inyectiva, por lotantoel ultimodenominadornoseanula.Reescribimoslaecuaci ondelsiguientemodo:lmybf(f1(y)) f(a)f1(y) a= f(a)Comof1escontinuaenbpodemosarmarquex=f1(y)tiendeaa=f1(b)cuandoytiendeab.Porlotantolaigualdadanterior,queesloquehayquedemostrar,esconsecuenciadelasiguientelmxaf(x) f(a)x a= f(a)4.7. Derivadas laterales, derivadas innitas yextremos relati-vos.Hastael momentos olohemosconsideradolasderivadasenpuntosinterioresaunconjuntoabierto,comoesel intervalo(a, b). Acontinuacionextenderemosel conceptodederivadaparael casoenqueelpuntocseencuentreenel extremodel intervalo. Porotrolado, resultaconvenienteconsiderartambienelcasodequeladerivadadeunafuncionenunpuntoseainnita,locualseinterpretageometricamentecomoquelarectatangentealacurvaenesepuntoesvertical. El teorema58dicequeladerivabilidadenunpuntoimplicacontinuidadenesepunto,peroestos oloesciertocuandoladerivadaesnita.Siladerivadaesinnitanoesposibledemostrarengeneralquelafuncionseacontinuaenesepunto,aunquenosotrosexigiremosexplcitamentequesloseaentodosloscasosconlosquetrabajemos.Denicion63(Derivadaslaterales). Seaf unafunci onreal devariablereal denidaenunintervalocerrado, f:S R. Supongamosquef escontinuaenc S. Sediceentoncesquef admitederivadalateral porladerechadecsiel siguientelmitelateral existeyesnito, obiensies+ o .lmxc+f(x) f(c)x cA este lmite lo denotaremos por f+(c). Las derivadas laterales por la izquierda, f(c), se denen de modoanalogo.Adem as,sicesunpuntointeriordeS,diremosquefposeederivadaenc(nitaoinnita)sif+(c) = f(c), en cuyo caso f+(c) = f(c) = f(c). La siguiente gura ilustra algunos de estos conceptos.Enelpuntox1tenemosf+(x1) = ,enx2severicaf(x2) = 0yf+(x2) = 1.Enlosotrospuntos:f(x3) = , f(x4) = 1, f+(x4) = +1, f(x6) = + y f(x7) = 2. No existe derivada por la derechaniporlaizquierdaenx5,yaquelafuncionnoescontinuaenesepunto.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 44Delainterpretaci ongeometricadelconceptodederivadaseinerequeelcar actercrecienteodecre-ciente de las funciones derivables estara relacionado con el signo de su derivada. Esto se prueba medianteelsiguienteteorema.Teorema62Seaf: (a, b) Rysupongamosque c (a, b)setienequef(c) > 0, of(c) = +.Entoncesexisteunabolaunidimensional (intervalo),B(c) (a, b),enlaquef(x) > f(c) si x > c, y f(x) < f(c) si x < cPorlotantof(x)escrecienteenesabola.Demostracion: Supongamos, enprimerlugar, quef(c) esnitaypositiva. Entoncessabemosqueexisteunafuncion,f,quevericaf(x) f(c) = (x c)f(x),escontinuaencyf(c) = f(c) > 0.Porlapropiedaddeconservaci ondel signodelasfuncionescontinuaspodemosarmarqueexisteunabolacentrada en c, B(c) (a, b), donde f(x) tiene el mismo signo que f(c) = f(c) > 0 para cada x B(c),porlotantof(x)>0 x B(c), yestosignicaquef(x) f(c)tieneel mismosignoque(x c)enesabola,esdecir,f(x)escreciente.Enelcasodequef(c)= esobvioquepodremosencontrarunabolaunidimensional,B(c),enlaquef(x) f(c)x c> 1paracadax B,x = c,yllegamosporlotantoalamismaconclusion.Se puede enunciar un teorema analogo cuando la funcion satisface las condiciones f(c) < 0, o f(c) = ,encuyocasosedemuestraquef(x)esdecreciente.Siladerivadaseanulaenx = c,entonceslafunciontieneunextremolocal(m aximoomnimo)enesepunto,conceptoquedenimosacontinuacion.Denicion64Seafunafunci onrealdenidaenunsubconjuntoSdeunespaciometricoM,ysupon-gamosquea S. Entoncesf poseeunm aximolocal (orelativo)enasi existeunabolaB(a)tal quef(x) f(a)paratodox B(a) S.Sif(x) f(a)paratodox B(a) S,entoncesfposeeunmnimolocal (orelativo)ena.N otesequeunmaximolocalenaeselmaximoabsolutodefenelsubconjuntoB(a) S.Siftieneunmaximoabsolutoenaentonces, obviamente, tienetambienunmaximolocal ena. El recproconoescierto, fpuedeposeervariosmaximoslocalesenvariospuntosdeSsinqueposeamaximoabsolutoenel conjuntoS. Enlasiguientegurasemuestragr acamenteel signicadodel signodeladerivadadeunafuncion. Enlospuntosx2, x5yx6lapendienteesceroytenemosextremosrelativos(m aximosomnimos).Enx1lafuncionesdecrecienteyla pendientenegativayen x3sucede lo contrario.En x4lapendienteesnula,perolafuncionnoalcanzaahniunmaximoniunmnimo.Sedicequef(x)presentaenx4unpuntodeinexion(deniremosconmasrigoresteconceptoalnaldeltema).MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 45Teorema63(del extremorelativoodeFermat). Seaf : (a, b) Rysupongamosquef tieneunm aximo local o un mnimo local en un cierto punto interior c (a, b). Si fposee derivada en c, entoncesdebeocurrirquef(c) = 0.Demostracion:Sif(c)fuesepositivao+entonces,envirtuddelteorema62,fnopodratenerunextremolocal encporqueseraestrictamentecreciente. Analogamente, f(c)nopuedesernegativanienc,porqueellosignicaraqueesestrictamentedecrecienteenc.Puestoqueexistederivadaenc,la unicaposibilidadquequedaesf(c) = 0.N otesequeel recprocodeesteteoremaesfalso. Engeneral, lacondici onf(c)=0noessucienteparaarmarqueftieneunextremoenc. Unejemplolotenemosenlafuncionf(x)=x3, quecumplef(0)=0perocarecedeextremosyescrecienteentodoentornodex=0. Porotrolado, f(x)puedetener un extremo local en c sin que f(c) = 0. Esto es lo que ocurre para f(x) = |x|, que tiene un mnimo(local yabsoluto)enx=0perocarecedederivadaenesepunto, unodelosrequisitosdel teorema63.Observese adem as que este teorema se aplica a un punto interior de (a, b). Esto es importante, porque enelejemplotrivialdelafuncionf(x)=xenelintervalocerrado[a, b]sealcanzaelmaximoyelmnimoenlospuntosextremos,perof(x)noesceroparaning unpuntode[a, b].Elsiguienteteoremapruebaelresultadogeometricamenteevidentedequesiunacurvacortaelejexenlospuntosextremosdelintervalo[a, b],entoncessuderivadadebe anularseenalg unpuntointermediocomprendidoentreayb,esdecir,debeposeeralmenosunpuntodevirajeentreayb.Teorema64(de Rolle). Supongamos que fposee derivada (nita o innita) en cada uno de los puntosdeunintervaloabierto(a, b),ysupongamostambienquefescontinuaenlospuntosextremos,ayb.Sif(a) = f(b),entoncesexisteporlomenosunpuntointerior,c,enel quef(c) = 0.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 46Demostracion: Aplicaremosel metododereduccional absurdo. Supongamos que fno es cero en ning unpunto de (a, b) y llegaremos a una contradicci on.Como fes continua en el compacto [a, b], por el teo-rema49podemos armar que alcanzasumaximoMysumnimomenalg unpuntode[a, b]. Estosvaloresextremosnopuedenalcanzarseenunpuntointerior de[a, b], pues delocontrario, aplicandoelteoremaanterior, deduciramos quef(c) =0. He-mos de concluir entonces que los valores extremos sealcanzan para x = a y x = b. Por hip otesis del teore-matenemosf(a) = f(b),luegohadecumplirsequeM= my,porconsiguiente,fesconstanteen[a, b].Esto contradice el supuesto inicial de que fno es ce-ro en nig un punto de (a, b), por lo tanto ese supuestoinicial no puede ser cierto y deducimos que tiene quecumplirsequef(c) = 0paraalg unc (a, b).Interpretaci ongeometricadelteoremadeRolle.Teorema65(de los incrementos nitos o del valor medio de Lagrange). Sea funa funci on con derivada(nitaoinnita)encadaunodelospuntosdeunintervaloabierto(a, b),ysupongamosadem asquefescontinuaenlosextremos,ayb.Entoncesexisteal menosunpuntoc (a, b)tal quef(b) f(a) = f(c)(b a)La interpretaci ongeometrica de este teorema, que probaremos a partir del siguiente teorema deCauchy, esqueunacurvasucientementeregularqueunadospuntosAyBposeeporlomenosunatangenteconlamismapendientequelarectaquepasaporesosdospuntos, tal comosemuestraenelapartado(a)delasiguientegura,peropuedetenermasdeuno,comoenlagura(b).Teorema66(deCauchy odelvalormediogeneralizado).Seanfygdosfuncionescontinuasen[a, b]yderivables(nitasoinnitas)en(a, b).Supongamosadem asquenoexistening unpuntox (a, b)enel quef(x)yg(x)seanambasinnitas. Entoncesexisteal menosunpuntoc (a, b)parael quesevericaf(c)[g(b) g(a)] = g(c)[f(b) f(a)](N otesequecuandog(x)=xobtenemosel teorema65anterior). Supongamosadem asquesecumplealgunadelasdoscondicionessiguientes:(a) g(x) = 0x (a, b)(b) g(b) = g(a)ytantof(x)comog(x)noseanulansimult aneamenteparaning unx (a, b).Entonces laconclusi onanterior se puede expresar tambienmediante laf ormuladel valor mediodeCauchy,esdecir,existeal menosunpuntoc (a, b)tal que:f(b) f(a)g(b) g(a)=f(c)g(c)MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 47Demostracion: Sea h(x) = f(x)[g(b)g(a)] g(x)[f(b)f(a)]. As construda, h(x) es nita si f(x) yg(x) son nitas, y es innita si alguna de estas dos ultimas son innitas (la hip otesis del teorema excluyequeambasseaninnitasenel mismox, locual podraoriginarunaindeterminaci on). Adem as, h(x)escontinuaenlosextremosayb,ytomaelmismovalorenellos,h(a) = h(b):h(a) = f(a)[g(b) g(a)] g(a)[f(b) f(a)] == f(a)g(b) f(a)g(a) g(a)f(b) + g(a)f(a) = f(a)g(b) g(a)f(b)h(b) = f(b)[g(b) g(a)] g(b)[f(b) f(a)] == f(b)g(b) f(b)g(a) g(b)f(b) + g(b)f(a) = f(a)g(b) g(a)f(b)En consecuencia, podemos aplicar el teorema de Rolle (teorema 64) a la funcion h(x) y armar que existeal menosunpuntointeriorcenel queh(c)=0, locual completalademostraci ondelaprimerapartedelteorema.Paraprobarlasegundaparte, esdecir, parademostrarlavalidezdelaformuladel valormediodeCauchy,lo unicoquetenemosquehaceresasegurarquelosdenominadoresdeesaformulanoseanulan,lo cual sucede si cualquiera de las dos condiciones, (a) o (b), se cumplen. En efecto, supongamos primero(a), es decir, g(x) =0 x (a, b). El teorema65(quesededucededelaprimerapartedeeste)aplicadoalafunciong(x)en[a, b] permiteasegurarentoncesquesecumpletambieng(b) g(a) =0.Supongamos ahora(b), es decir, g(b) =g(a) ytantof(x) comog(x) noseanulansimult aneamenteparaning unx (a, b). Entonces debeser g(c) =0, delocontrario, comog(b) =g(a), laecuacionf(c)[g(b) g(a)] = g(c)[f(b) f(a)]implicaraquehabradesertambienf(c) = 0,locualcontradicelahip otesis(b).Interpretaci ongeometrica. Consideremos la curva del plano coordenado xy cuyas ecuaciones pa-rametricassonx=f(t)ey=g(t), cona t b. El teoremagarantizaqueestacurvaposeeal menosunatangenteconlamismapendientequelarectaqueunelospuntos(f(a), g(a))y(f(b), g(b)),esdecir,g(b) g(a)f(b) f(a). Estoresultaintuitivodesdeunpuntodevistageometrico, yparaverlomatematicamenteaplicamoslaregladelacadenaylaregladederivaci ondelafuncioninversadelsiguientemodo:dydx=dydtdtdx=dydt1dxdt=gfEstaclaroentoncesquelapendientedelacurvay(x)enelpuntocesy(c) = g(c)/f(c).4.8. FormuladeTaylorconresto.Hemos visto que si fes diferenciable en c entonces se puede aproximar en sus cercanas, es decir, cuando(xc) es peque no, por la funcion lineal f(c) +f(c)(xc) La aproximacion puede no ser sucientementebuena, sin embargo, y en ese caso nos interesa poder encontrar polinomios de mas alto orden que mejorenla aproximacion. Las funciones polin omicas son especialmente sencillas de tratar en analisis matematico, yresultan muy adecuadas para realizar calculos numericos porque sus valores se pueden obtener efectuandoun n umero nito de multiplicaciones y adiciones, cosa que no ocurre necesariamente para otras funcionesarbitrarias.Un modo de asegurarque el polinomiose aproxima a la funcionen el entorno de un punto dado seraexigir en primer lugar, como es obvio, que el valor de polinomio coincida con el valor de la funcion en esepunto, y adem as, exigir que el valor de las sucesivas derivadas del polinomio tambien concidan con las delafuncion.Supongamosentoncesunafuncionfquetengaderivadashastaelordennenelpuntox = 0,por ejemplo, e intentemosencontrar un polinomio Pque coincida con fy sus n primeras derivadas en 0.Esdecir,P(0) = f(0), P(0) = f(0), P(2)(0) = f(2)(0), . . . P(n)(0) = f(n)(0)Ensayamoselsiguientepolinomio,conn + 1coecientespordeterminar:P(x) = c0 + c1x + c2x2+ . . . + cnxn=n

k=0ckxkMetodosMatematicosI.Curso2011/12. 48Lascondicionesanterioresseconviertenen:P(0) = c0= f(0), P(0) = c1= f(0), P(2)(0) = 2 c2= f(2)(0),P(3)(0) = 3 2 c3= f(3)(0), P(4)(0) = 4 3 2 c4= f(4)(0), yengeneral:P(k)(0) = k! ck= f(k)(0), porlotanto, ck=f(k)(0)k!ElpolinomioP(x) =n

k=0f(k)(0)k!xkseconocecomopolinomiodeTaylorgeneradoporlafunci onf enel puntox=0. Esposibleencontrarunaexpresi onparael error( oresto)quesecometecuandoseaproximalafuncionporsupolinomiodeTaylor de grado n, y ello es el cometido del siguiente teorema, que est a formulado para un punto genericox = cenlugardex = 0.Teorema67(deTaylor). Seaf unafunci onqueadmitederivadan-esimaf(n)nitaentodoel in-tervaloabierto(a, b)ysupongamosquef(n1)escontinuaenel intervalocerrado[a, b]. Seac [a, b].Entoncesparatodox [a, b],x = c,existeunpuntox1interioral intervaloqueunexconctal que.f(x) = f(c) +n1

k=1f(k)(c)k!(x c)k+f(n)(x1)n!(x c)nElteoremadeTaylorseobtienecomoconsecuenciadelsiguienteresultadomasgeneralque,asuvez,esunaextensi ondelteoremadeCauchyodelvalormediogeneralizado(teorema66).Teorema68Seanfygdosfuncionesqueposeenderivadasn-esimas,f(n)yg(n),nitasenuninter-valoabierto(a, b)yderivadashastaorden(n 1)continuasenelintervalocerrado[a, b].Seac [a, b].Entoncesparatodox [a, b],x = c,existeunpuntox1interioral intervaloqueunexconctal que_f(x) n1

k=0f(k)(c)k!(x c)k_g(n)(x1) = f(n)(x1)_g(x) n1

k=0g(k)(c)k!(x c)k_Si lafunci ong fueseg(x) =(x c)ntendramos g(k)(c) =0para0 k n 1, yg(n)(x) =n!;asrecuperamoslaf ormuladeTaylorcomouncasoparticulardeesteteorema.Demostracion:Parasimplicarsupongamosc < byx > c.MantenemosxjoydenimosdosnuevasfuncionesFyGparacadat [c, x]delsiguientemodo:F(t) = f(t) +n1

k=1f(k)(t)k!(x t)kG(t) = g(t) +n1

k=1g(k)(t)k!(x t)kAsdenidas,FyGsoncontinuasenelintervalocerrado[c, x]ytienenderivadasnitasenelintervaloabierto(c, x).Podemosaplicarentonceselteorema66yescribir,F(x1)[G(x) G(c)] = G(x1)[F(x) F(c)] donde x1 (c, x)PuestoqueG(x) = g(x)yF(x) = f(x),laecuaci onanteriorsetransformaenF(x1)[g(x) G(c)] = G(x1)[f(x) F(c)] (a)SiahoracalculamoslasderivadasdelassumasquedenenFyG,teniendoencuentaquecadaunodelosterminosesunproductoyqueladerivadarespectoatdelosfactores(x t)kintroduceunsignomenos,veremosquetodoslosterminossecancelandosadosexceptoel ultimo:F(t) = f(t) + f(t)(x t) +12f(t)(x t)2+ . . . +1(n 1)!f(n1)(t)(x t)(n1)MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 49dFdt= f(t) + f(t)(x t) f(t) +12f(3)(t)(x t)2f(2)(t)(x t) + . . .. . . +1(n 1)!f(n)(t)(x t)(n1)f(n1)(t)(x t)(n2)Deformamascompacta:F(t) = f(t) +n1

k=1_f(k+1)(t)k!(x t)kf(k)(t)(k 1)!(x t)(k1)_=(x t)(n1)(n 1)!f(n)(t)G(t) = g(t) +n1

k=1_g(k+1)(t)k!(x t)kg(k)(t)(k 1)!(x t)(k1)_=(x t)(n1)(n 1)!g(n)(t)Ahorahacemost = x1ysustituimosenlaecuaci on(a)paraobtener(x x1)(n1)(n 1)!f(n)(x1) [g(x) G(c)] =(x x1)(n1)(n 1)!g(n)(x1) [f(x) F(c)].Esdecir, [f(x) F(c)] g(n)(x1) =f(n)(x1) [g(x) G(c)]Locualnosllevaalaformulaquedese abamosdemostrar,teniendoencuentaqueF(c) = f(c) +n1

k=1f(k)(c)k!(x c)k=n1

k=0f(k)(c)k!(x c)kG(c) = g(c) +n1

k=1g(k)(c)k!(x c)k=n1

k=0g(k)(c)k!(x c)k4.9. RegladeLHopital.El teorema del valor medio generalizado de Cauchy permite obtener una regla para el calculo de lmitesindeterminados cuando tenemos entre manos funciones que son continuas y derivables. Es la denominadaregladeLHopital, util paracalcular el lmitedeuncocientef(x)/g(x) enel queel numerador yeldenominadortiendenacero.Teorema69(regladeLHopital para0/0).Seanf(x)yg(x)dosfuncionesrealesdevariablereal queadmitenderivadasencadapuntoxdeunintervaloabierto(a, b)talesquelmxa+f(x) = lmxa+g(x) = 0Supongamostambienqueg(x) = 0paracadax (a, b).Entoncessiexisteellmxa+f(x)g(x)= L, tambienexisteel lmxa+f(x)g(x)ytomael mismovalorLN otesequeenesteteoremanoseestablecenhip otesissobreslasfuncionesf yg, ni susderivadas,enel puntox=a. Bastasuponer que f(x) yg(x) tiendenacerocuandox ayque el cocientef(x)/g(x) tiende aunlmite nitocuandox a. Lareglade LHopital nos dice entonces que elcociente f(x)/g(x) tiende al mismo lmite. Por otra parte, aunque los lmites establecidos en este teoremason por la derecha, es obvio que existe un teorema similar en el que los lmites se toman por la izquierda.Combinandolosdosteoremaspodramosformularunoenel queloslmitessetomanporamboslados.Detodosmodos,laconsideraciondelmiteslateraleses utilparaloscasosenlosquenoexistaellmiteporalgunodelosdoslados.Demostracion: Haremos uso de la formula del valor medio de Cauchy (teorema 66) aplicada al intervalocerrado que tiene a como extremo izquierdo. Puesto que las funciones fy gpueden no estar denidas ena,introducimosdosnuevasfuncionesquesestendenidasena:F(x) = f(x) si x = a, F(a) = 0,MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 50G(x) = g(x) si x = a, G(a) = 0.N otese que Fy G son continuas en a. Ambas son adem as continuas en el intervalo cerrado [a, x] y tienenderivadaentodoslospuntosdel intervaloabierto(a, x). AplicamosportantolaformuladeCauchyalintervalo[a, x]yobtenemos[F(x) F(a)]G(c) = [G(x) G(a)]F(c)dondecsatisfacea < c < x.RecordandoqueF(a) = G(a) = 0esaexpresi onseconvierteenf(x)g(c) = g(x)f(c)Por hip otesis gno se anula en ning un punto de (a, b), por lo tanto g(c) = 0. Adem as tambien se cumplequeg(x) = 0,delocontrarioocurriraqueG(x) = G(a) = 0y,envirtuddelteoremadeRolle,existiraunpuntox1entreayxenelqueG(x1) = 0,encontradicci onconlahip otesisdequegnoseanulaenning unpuntode(a, b).Podemosdividirentoncesporg(c)yporg(x)yobtenerf(x)g(x)=f(c)g(c)Cuandoxtiendeaael puntoctambientiendeaapuestoquecumplea 0,entoncesftieneunmnimorelativoena. Sinesparyf(n)(a) < 0,entoncesftieneunm aximorelativoena. Sinesimparyf(n)(a) > 0,entoncesfesestrictamentecrecienteena. Sinesimparyf(n)(a) < 0,entoncesfesestrictamentedecrecienteaena.aSesueleusarel terminoestrictamentemonotonaparaindicarqueunafunci onesestrictamentecreciente oestricta-mentedecreciente.Demostracion:MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 51(a) Aunqueestoyalohemosdemostradoenlosteoremas62y63, repitamos aqu el razonamiento.Supongamosqueelextremorelativoquefalcanzaenaesunmnimo.Entoncesenunentornodeasevericaf(x) f(a),yparaunxdeeseentornotendremos:Six < a,entoncesf(x) f(a)x a 0,porlotanto, lmxaf(x) f(a)x a 0Six > a,entoncesf(x) f(a)x a 0,porlotanto, lmxa+f(x) f(a)x a 0.Por hip otesis, la derivada existe en x = a, lo cual quiere decir que esos dos lmites laterales coinciden,y deben ser entonces nulos, por lo tanto la derivada es cero. En el caso de que falcance un maximorelativoenarazonaramosdemanerasimilar.Supongamos ahoraquef(a) >0. Tenemos lmxaf(x) f(a)x a>0, conlocualf(x) f(a)x a>0cercadea.f(x) f(a)y(x a)tienenentonceselmismosignocercadea,locualquieredecirqueparaxenunciertoentornodeasecumple:x < a = f(x) < f(a) y x > a = f(x) > f(a).Enotraspalabras, f esestrictamentecrecienteenel puntox=a. Enel casodequef(a) 0(esdecirf(n)(a) > 0),implicanquef(x) > f(a)eneseentorno,yporlotantoftieneunmnimoena. nparyf(n)(x1) < 0(esdecirf(n)(a) < 0),implicanquef(x) < f(a)eneseentorno,yporlotantoftieneunmaximoena. nimparyf(n)(x1) > 0(esdecirf(n)(a) > 0),implicanquef(x) f(a)espositivosix > aynegativosix < a,luegof(x)escrecienteena. nimparyf(n)(x1) < 0(esdecirf(n)(a) < 0),implicanquef(x) f(a)esnegativosix > aypositivosix < a,luegof(x)esdecrecienteena.Denicion65Seaf: I Runafunci ondenidaenunentornoIdeunpuntoa R.Consideremoslagr acadef eneseentorno, dadaporlacurvadeecuaci ony=f(x). Suponemosquef esderivableena, conlocual f tiene tangente enese puntoyviene dadapor yt(x) =f(a)+(x a)f(a). Sea(x) = f(x) yt(x).Diremosquelacurvay= f(x)enx = a:(a) Esc oncavasi(x) > 0paratodoxdeunentornoreducido3dea.(b) Esconvexasi(x) < 0paratodoxdeunentornoreducidodea.(c) Presentaunpuntodeinexi onsi (x) >0enunsemientorno4reducidodeay(x) 0centradoenavendradadoporelsiguienteconjunto: {x R ; 0 < |x a| < }.4Losdossemientornosreducidosdelpuntoa,deanchura > 0,vendrandadosporlossiguientesconjuntos:I= {x R ; 0 < a x < }(semientornoizquierdo),yD= {x R ; 0 < x a < }(semientornoderecho).MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 52Teorema71Seaf: I Runafunci ondenidaenunentornoIdeunpuntoa R.Consideremoslagr acadefeneseentorno,dadaporlacurvadeecuaci ony= f(x).Sifesnvecesderivableenaysevericaf(2)(a)= f(3)(a)= . . .= f(n1)(a)=0,yf(n)(a) =0,entonces,seg unlaparidaddenyel signodef(n)(a),setienelosiguiente:(a) Sinesparyf(n)(a) > 0,entoncesfesc oncavaena.(b) Sinesparyf(n)(a) < 0,entoncesfesconvexaena.(c) Sinesimpar,entoncesfpresentaunpuntodeinexi onena.Demostracion: Observesequenohemosimpuestoningunacondici onalaprimeraderivadadef enx=a. Si fuesef(a)=0, el teoremaseratrivial. Paralademostraci onenel casogeneral usamoslafuncion(x),denidacomoladiferenciaentrelasordenadasdelacurvaydesutangenteena:(x) = f(x) yt(x) = f(x) [f(a) + (x a)f(a)](x)esnvecesderivableena.Suprimeraderivadaes(x)=f(x) f(a),conlocual(a)=0y(k)(a) = f(k)(a)parak = 2, 3, 4, . . . , n.Aplicamosentonceselteorema70ydeducimos:(I)Sinesparyf(n)(a) > 0,entonces(x)tieneunmnimorelativoena.Sinesparyf(n)(a) < 0,entonces(x)tieneunmaximorelativoena.Sinesimpar,entonces(x)esestrictamentemonotonaena.Porotrolado,deacuerdoconladeniciondeconcavidadyconvexidadpodemosasegurarque(II)(x)tieneunmnimorelativoena f(x)esconcavaena.(x)tieneunmaximorelativoena f(x)esconvexaena.(x)esestrictamentemonotonaena f(x)tieneunpuntodeinexionena.De(I)y(II)obtenemosloquepretendamosdemostrar.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 534.11. Ejercicios.1. Considereselafuncionf(x) = |x|2k+1, k Z+. Demostrar quef es innitamentederivableenR {0}yque, sinembargo, s oloadmiteunn umeronitodederivadas enx=0. Calcular laderivada n-esima en x = 0 para los valores de n en que esta exista. Indicar para que valores de n laderivadan-esimaescontinuaenx = 0.2. Calculaladerivadadelassiguientesfuncionesenelrangodevaloresenqueexistan.(a) x, x, R+(b) cos x(c) tan x (d) arcsin x, 1 x 1(e) arc cos x, 1 x 1 (f) arctan x3. (a) Seafunafuncionpar.Demostrarquesifesderivableenunpuntoa,entoncesftambienesderivableen a,vericandosef(a) = f(a).(b) Demostrar que si fes impar y derivable en a, tambien es derivable en a, coincidiendo ambasderivadas.4. Seafderivableena.Demuestraquef(a) =lmh0f(a +h2) f(a h2)h5. Calculaladerivadadelassiguientesfunciones,justicandopreviamenteladerivabilidad:(a) f(x) =arctanx 1 arcsin_x 1x, x > 1(b) f(x) =log_1 + x +1 x1 + x 1 x_, 0 < x < 1(c) f(x) =log_cos_arctan_1x21___, |x| > 1(d) f(x) =(sin x)cos x, 0 < x 1(f) f(x) =12 log tan x2 cos x2 sin2x, 0 < x 0 (c) f(x) =x3(1 + x)211. BuscaelmnimoordendelpolinomiodeTaylorquepuedeaproximarellog 2conalmenoscuatrocifrasdecimalesexactas.12. Un hilo pesado bajo la accion de la gravedad se comporta formando una catenaria y= a cosh(x/a),a > 0. Demostrar que, para valores peque nos de x, la forma del hilo puede representarse aproxima-damenteporlapar abolay= a +x22a.MetodosMatematicosI.Curso2011/12. 5413. Calcularloslmites:(a) lmx0cosh x 11 cos x(b) lmx0(1 cos x)cotan(x)(c) lmx0_1sin2x1x2_(d) lmx0+_log(sin x) +1x_(e) lmx2_xcotan(x) 2 cos x_(f) lmx0+xxCaptulo5Seriesnumericasyseriesfuncionales.5.1. Seriesnumericasinnitas.Denicion66Sea {an}unasucesi onden umerosreales.Apartirdeellapodemosconstruirunanuevasucesion {sn}cuyoelementon-esimovienedadoporsn= a1 + a2 + a3 + . . . + an=n

i=1ai(n = 1, 2, 3, . . .)El parordenadodesucesiones({an}, {sn})sellamaserieinnita. El n umerosnsellamasumaparcialn-esimadelaserie. Sedicequeunaserieconverge(diverge)si lasucesi on {sn}converge(diverge). Sesueledesignarlaseriesimplementemediantelossmbolos

k=1ak o

ak. Si lasucesi on {sn}convergehacias, el n umerossellamasumadelaserieyseescribe

ak=s. Si sn , sedicequelaserieesdivergente. Si unaserienoconvergeaning unn umeroreal ytampocotiendea+ o , sedenominaserieoscilante.Teorema72Sean

any

bndosseriesconvergentesya=

an, b=

bnsuscorrespondientessumas. Entonces, paracadapardeconstantesylaserie

(an+ bn) convergehacialasumaa + b,esdecir,

n=1(an + bn) =

n=1an +

n=1bnDemostracion:Estrivial,bastadarsecuentadequelassumasparcialesn-esimasvericann

k=1(ak + bk) = n

k=1ak + n

k=1bkTeorema73Sea {an} una sucesi on de n umeros reales tal que an 0 para cada n = 1, 2, 3, . . . Entonceslaserie

anconvergesi,ys olosi,lasucesi ondesumasparcialesest aacotadasuperiormente.Demostracion: Si an 0 para todo n, entonces est a claro que la sucesi on de sumas parciales, {sn}, esmonotonacreciente.Enunodelosejerciciosdeltema3hemosdemostradoquetodasucesi onmonotonacreciente que este acotada superiormente es una sucesi on de Cauchy, y por el teorema 35 sabemos que todasucesi on de Cauchy enR es convergente enR. Pa