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MECANISMOS Análisis de posiciones.

Análisis de posiciones. Pag-1

TEMA: ANALISIS DE POSICIONES. 1- INTRODUCCION. 2- ANALISIS GRAFICO DE POSICIONES.

2.1- Mecanismos con un único bucle. 2.1.1- Mecanismo biela-manivela. 2.1.2- Mecanismo de cuatro eslabones. 2.1.3- Mecanismo de tres eslabones.

2.2- Mecanismos con varios bucles. 3- ANALISIS NUMERICO DE POSICIONES.

3.1- Introducción: Ecuación Vectorial de bucle cerrado. 3.1.1- Mecanismo de tres eslabones. 3.1.2- Mecanismo biela-manivela. 3.1.3- Mecanismo de cuatro eslabones.

3.2- Planteamiento general. 3.2.1- Método de Newton-Raphson.

3.3- Estudio de posiciones singulares: puntos muertos. 3.4- Mecanismos con varios bucles. 3.5- Trayectoria de puntos del mecanismo.

3.5.1- Trayectoria de puntos de definición del mecanismo: pares. 3.5.2- Trayectoria de puntos asociados a un eslabón.



1- INTRODUCCION.

En el tema de "Introducción al estudio de mecanismos" se comentó que para llevar a cabo el análisis cinemático de un mecanismo se debe estudiar las trayectorias recorridas por diversos puntos de sus eslabones para, posteriormente, determinar como son recorridas dichas trayectorias (estudio de velocidades y aceleraciones). El presente tema se ocupará del análisis del movimiento teniendo sólo en cuenta el cálculo de posiciones y de trayectorias de diversos puntos del mecanismo, dejando el estudio de velocidades y aceleraciones para temas posteriores. Las definiciones y conceptos fundamentales relativos a la posición y a la trayectoria, han sido tratadas en temas de mecánica de cursos anteriores, por lo tanto, no van a repetirse aquí. 2- ANALISIS GRAFICO DE POSICIONES. Antes de acometer el problema del análisis de la posición, lo primero que se debe determinar es un sistema de referencia fijo (que lógicamente estará unido a la bancada); por otra parte, se tiene que calcular la movilidad del mecanismo, así si este posee movilidad uno, para calcular las diferentes posiciones del mismo es necesario conocer inicialmente el valor de una variable, que siendo linealmente independiente de la demás, es suficiente para definir la posición del mecanismo completo (además de conocer la geometría de los diferentes eslabones y los tipos de pares mediante los cuales se unen); si la movilidad del mecanismo fuese dos (tuviera dos grados de libertad) se tendría que conocer a priori el valor de dos variables ,...., si la movilidad fuese n, el número de variables que deberían ser conocidas con anterioridad para poder determinar la posición del mecanismo sería de n.



2.1- Mecanismos de un único bucle.

Se realizará el estudio gráfico de posición de mecanismos a través de la realización de una serie de ejemplos correspondientes a mecanismos con una amplia utilización práctica.

2.1.1- Mecanismo biela manivela.

En la figura 1 se representa de forma esquemática un mecanismo biela-manivela. Dicho mecanismo consta de los siguientes eslabones:

-Eslabón fijo o bancada coincidente con el eje x, e invariablemente unido al sistema de referencia fijo XOY. -Eslabón OA, denominado manivela. Está unido a la bancada por medio de un par giratorio. -Eslabón AB, denominado biela. Se une por medio de un par giratorio a la manivela y a través de otro par giratorio al pistón. -El pistón se une por medio de un par prismático a la bancada

Los datos geométricos necesarios para definir este mecanismo son

-La longitud de la manivela OA. -La longitud de la biela AB. -La dirección de la corredera (dirección del desplazamiento del pistón).

La variable de entrada puede ser tanto la rotación de la manivela (por ejemplo en un

compresor alternativo) como el desplazamiento del pistón (por ejemplo en un motor de explosión interna alternativo). En el desarrollo que sigue se considerará como variable de entrada la rotación de la manivela, cuya posición angular viene determinada por la coordenada angular q.

Y

Xαβq

X

B

A

O

Fig-1. Mecanismo biela-manivela



En la figura 2 se muestra como se realiza el cálculo de posiciones para diferentes valores de la coordenada angular q. Si se supone conocida la configuración inicial del mecanismo (OA1B1) para un valor de q=q1 , para otro valor de q=q2 la posición de A2 queda definida de inmediato al ser la trayectoria recorrida por el punto A una circunferencia de centro O y radio la distancia OA; puesto que la longitud de la manivela es también conocida (distancia AB) y el eje OX representa la trayectoria del punto B, el punto B2 debe estar situado sobre dicho eje a la distancia AB del punto A2. De esta forma queda definida la nueva posición del mecanismo para el valor q2 de la variable de entrada.

Si la variable de entrada fuese el desplazamiento del pistón, determinado por la coordenada

x, el desarrollo que se seguiría para el cálculo de posiciones del mecanismo para diferentes valores de x sería similar al aquí expuesto.

Y

X

X

B

A

O

X

XX

43

21

AAA

BBB

!

234

123

4

MMM

M12

34

Fig-2. Análisis gráfico de posiciones en el mecanismo biela-manivela.

En el caso de que se desee calcular la trayectoria de puntos diferentes al A y al B, por

ejemplo el punto M perteneciente a la manivela, se deben realizar varios análisis gráficos de posición para diferentes valores de q obteniéndose la trayectoria de M uniendo las diferentes posiciones ocupadas por dicho punto (M1, M2, M3......) tal y como se indica en la figura 2. Se deberá tener en cuenta que cuanta más precisión se requiera, mayor número de posiciones intermedias será necesario calcular.

En otros casos puede resultar interesante realizar diagramas de posición en los que se

muestre como varía la posición de un punto en función del valor de la variable de entrada, estos datos pueden extraerse de los gráficos de posición (figura 2) y transcribirse a diagramas cartesianos como el representado en la figura 3.



OA + AB

AB - OA

O π π π π2 2

23

X

q

Fig-3. Diagrama de posición del pistón en el mecanismo biela-manivela.

2.1.2- Mecanismo de cuatro eslabones. La figura 4 representa de forma esquemática un mecanismo de este tipo. Este está formado

por cuatro eslabones binarios (cada eslabón se une a otros dos) donde todos los pares son del tipo giratorio.

Los datos geométricos son la longitud de cada uno de los eslabones, así como la orientación

del eslabón fijo o bancada.

00

3

2

1

C

BA

O q γ

βα

Fig-4. Mecanismo de cuatro eslabones.

La variable de entrada puede ser la posición angular de cualquiera de las dos barras que están unidas a la bancada.

Para realizar el cálculo de posiciones del mecanismo para diferentes valores de la variable de

entrada q, se opera como para el mecanismo biela-manivela con la única diferencia de que en este caso la trayectoria del punto B en vez de ser una recta es una circunferencia de centro C y radio



CB. En la figura 5 se muestra como llevar a cabo el análisis gráfico de posiciones para un valor q1 de la variable de entrada.

C

BA

O qr=CB

r=AB

B1

A1

1q

Fig-5. Análisis gráfico de posiciones del mecanismo de cuatro eslabones

Podrían realizarse cálculos de trayectorias de puntos pertenecientes al eslabón flotante

(eslabón 2) o diagramas de posición de la misma forma en que se hizo para el mecanismo biela-manivela estudiado anteriormente.

2.1.3- Mecanismo de tres eslabones. El mecanismo de tres eslabones es, como se vio en el tema de introducción, una inversión

cinemática del mecanismo biela-manivela. El la figura 6 se muestra este mecanismo; su aspecto no se asemeja al del mecanismo biela-manivela representado en la figura 1 debido a la ampliación de los pares.

Los datos geométricos necesarios para definir el mecanismo son:

-La longitud del eslabón 1. -La longitud de la recta AC y su orientación (dicha recta es, en realidad, el eslabón fijo).

Se debe observar que tanto en el mecanismo de cuatro eslabones como en el presente, se ha

numerado los eslabones (correspondiendo el número 0 al eslabón fijo o bancada) y a los pares se los ha denominado por medio de letras; está forma de referenciar eslabones y pares será una forma habitual de actuar, en el análisis cinemático de mecanismos por métodos gráficos, en lo sucesivo.



q0 0

1 2A

B

C

X

α

Fig-6. Mecanismo de tres eslabones.

La variable de entrada puede ser tanto la posición angular del eslabón 1 como la del 2. En la figura 7 se ha realizado un análisis gráfico de posición suponiendo que la coordenada angular q es la variable de entrada.

C

B

A

1

00

X

X1q

α1

Fig-7. Análisis gráfico de posiciones del mecanismo de tres eslabones.

2.2- Mecanismos con varios bucles. Hasta el momento sólo se ha realizado el análisis gráfico de posiciones de mecanismos con

solamente un bucle. En la práctica, en numerosas ocasiones, se presentan mecanismos compuestos por más de una cadena cinemática formando varios bucles.

En la figura 8 se representa uno de estos mecanismos. En este ejemplo el bucle 1 lo

constituye un mecanismo de cuatro eslabones mientras que el bucle 2 está formado por un mecanismo biela-manivela.



0 0

A B

CD

E 0

1

2

3

4

q 12

Fig-8. Mecanismo formado por dos bucles

Suponiendo que la variable de entrada es la coordenada q, posición angular del eslabón 1, para realizar el cálculo de posiciones se procederá como se ha visto anteriormente con la siguiente particularidad: el valor de la variable de entrada del segundo bucle, la posición angular del eslabón 3, quedará determinado al resolver el problema de posición del primer bucle.

3- ANALISIS NUMERICO DE POSICIONES. Como se ha visto los métodos gráficos para el cálculo de posiciones de mecanismos son de muy

fácil aplicación, a la vez que tremendamente intuitivos. La gran desventaja que presentan radica precisamente en su propia naturaleza: al utilizar este tipo de métodos es necesario hacer representaciones gráficas, y para que los resultados sean medianamente precisos será necesario ser tremendamente escrupulosos en la realización de los dibujos, la elección de las escalas, etc... lo que supondrá, junto a las inexactitudes propias del dibujo, un gasto de tiempo considerable.

Una de las necesidades de los procesos de la industria moderna, para que esta sea competitiva,

es la posibilidad de realizar numerosas operaciones con resultados precisos en el menor tiempo posible. Esto es completamente aplicable al proceso de diseño y desarrollo de máquinas, por lo tanto, y por las razones anteriormente argumentadas, los métodos gráficos están perdiendo fuerza en pro de los métodos numéricos que, implementados de forma adecuada sobre ordenadores, cada vez con mayor capacidad de cálculo y proceso, producen resultados de gran exactitud en tiempos mínimos (existen en el mercado programas de cálculo cinemático y dinámico de máquinas que incluso trabajan en tiempo real).



Por lo tanto, en este curso se intentará estudiar, en la medida de lo posible, no sólo los métodos

clásicos de análisis de máquinas y mecanismos, que indudablemente son de gran valor por lo conceptuales que resultan, sino también métodos que resulten apropiados para su implementación en ordenadores.

Hecho este pequeño inciso, se comenzará con el estudio de posición de mecanismos por medio

de métodos numéricos.



3.1- Introducción: Ecuación de bucle cerrado.

Antes de proceder a un estudio sistemático del análisis de posiciones por medio de métodos numéricos, se desarrollarán los mismos ejemplos que en el estudio por métodos gráficos aprovechando estos para introducir el concepto de ecuación de bucle cerrado.

3.1.1-Mecanismo de tres eslabones.

En la figura 9 se muestra una representación esquemática de un mecanismo de tres eslabones. Con independencia de la posición en la que se represente dicho mecanismo (que será siempre función de la variable de entrada q), se puede plantear la siguiente ecuación vectorial:

r r r rL R C− − = 0

Que no es sino una forma vectorial de constatar el condicionante geométrico que tiene que

cumplir la cadena cinemática del mecanismo para todas y cada una de la posiciones, donde cada vector está asociado a un eslabón y queda definido por los puntos (pares cinemáticos en este caso) por los que dicho eslabón se une a los demás según se muestra en la figura 9. A esta ecuación, que define en cada momento la posición del mecanismo, se la denominará en lo sucesivo ecuación de bucle cerrado, al obtenerse siempre una suma vectorial cuyo resultado es nulo.

L

αq

C

q

LRR

α

O O

A A

B BC

Fig-9. Mecanismo de tres eslabones y bucle vectorial cerrado.

Expresando la ecuación vectorial de bucle cerrado a través de las componentes en los ejes X e Y de la figura:

L.cos α - C - R cos q = 0 L sen α - R sen q = 0



eliminando L:

LL

R qC R q

tg R qC R q

sencos

sencos

sencos

αα

α=+

⇒ =+

una vez determinado α:

L R q= .sensenα

o L C R q= + coscosα

Con lo que queda resuelto el problema de posición del mecanismo para cualquier valor de la

variable de entrada q.

3.1.2- Mecanismo biela-manivela.

En la figura 10 se representa de forma esquemática un mecanismo biela manivela mediante su bucle vectorial cerrado, cuya ecuación es la siguiente:

r r r r rR L C X+ + − = 0

O por componentes:

R cos q + L cos α - X=0 R sen q - L sen α - C=0

Y

q

X

B

O CLR α

Fig-10. Bucle vectorial del mecanismo biela-manivela.



Resolviendo el sistema para las incógnitas α y X se obtiene:

−

=L

CRsenqarcsenα y X R q L= +cos cosα

Con lo que queda resuelto el problema de cálculo de posición para cualquier valor de la variable

de entrada (q en este caso).

3.1.3- Mecanismo de cuatro eslabones. Se realizará ahora el estudio de posiciones del mecanismo de cuatro eslabones representado en

la figura 11. Se aprovechará este estudio para definir el criterio que en lo sucesivo se utilizará en cuanto a la dirección de los vectores y al signo de los ángulos formados por dichos vectores.

La ecuación vectorial en este caso será: r r r r r

C C C C1 2 3 4 0+ + + =

o por componentes:

C q C C CC q C C

1 2 2 3 3 4

1 2 2 3 3

00

cos cos cossen sen sen

+ + − =+ + =

α αα α

qα

3

2 C3

C2C1

C4

Y

X

α

Fig-11. Bucle vectorial del mecanismo de cuatro eslabones.



Debe notarse, que al plantear la ecuación de bucle cerrado en forma vectorial, se ha realizado de tal forma que la suma de los vectores sea nula siempre con signo positivo; en la figura 11 están representados dichos vectores, y se puede observar que siempre realizan el mismo recorrido en el bucle. En consecuencia, al plantear la ecuación de bucle cerrado por componentes se deberá elegir un convenio para los ángulos que esté en correspondencia con el elegido para los vectores. Por este motivo los ángulos formados por los vectores se medirán siempre desde la horizontal trazada por el origen del vector a la dirección del vector y en sentido antihorario; si se utilizase el sentido horario el valor del ángulo sería negativo.

Una vez resuelto el sistema, se obtendrán las soluciones para α2 y α3 con lo que quedarán

calculadas las diferentes posiciones del mecanismo en función de la variable de entrada (q) y de la geometría propia del mecanismo (C1, C2, C3 y C4). 3.2- Planteamiento general.

En el primer caso estudiado, el mecanismo de tres eslabones, se plantearon las ecuaciones siguientes:

L cos α - C -R cos q=0 L sen α - R sen q = 0

que forman un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas que podría, de forma general, expresarse como:

f1(q, α, L) = 0 f2(q, α, L) = 0

en el que q es la variable conocida (que de ahora en adelante se denominará variable primaria) α y L las desconocidas (que serán secundarias).

De esta forma para el segundo ejemplo, el mecanismo biela-manivela, se tendrá:

f1(q, α, X) = R cos q + L cos α - X = 0 f2(q, α, X) = R sen q - L sen α - C = 0

siendo q la variable primaria y α y X las secundarias.



Para el mecanismo de cuatro eslabones:

f1(q, α2, α3) = C1 cos q + C2 cos α2 + C3 cos α3 - C4 f2(q, α2, α3) = C1 sen q + C2 sen α2 + C3 sen α3

Se observa que en todos los ejemplos se repite lo mismo: - Sistemas de ecuaciones (mismo número de ecuaciones que de incógnitas). - Sistemas no lineales. Para sistemas de este tipo existe una solución basada en el cálculo numérico denominada método de Newton-Raphson, que se presenta a continuación.

3.2.1- Método de Newton-Raphson.

Sea el sistema de ecuaciones no lineales:

f1(x1, x2,......., xn) = 0 f2(x1, x2,......., xn) = 0

. ..

fn(x1, x2,......., xn) = 0

que escrito de forma abreviada tendrá la forma: r rf x( ) = 0

Para la resolución del sistema por métodos de aproximaciones sucesivas, se supondrá conocida

la aproximación p-ésima de una de las n raíces de la ecuación vectorial.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )pn

pppp xxxxx ,....,,, 321=r

Por tanto la raíz exacta será:

( ) ( )ppxx εrrr

+= siendo ( )pε

r el error de la raíz, luego:



( ) ( ) 0)( =+ ppxf εrrr

Desarrollando la ecuación vectorial en potencias de ( )pε

r y limitándose a los términos lineales:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0. =′+=+ ppppp xfxfxf εε

rrrrrrr

siendo ( )xf rr

′ la matriz jacobiana del conjunto de funciones f f f fn1 2 3, , ,.... de las variables

x x x xn1 2 3, , ,..., , esto es:

( ) ( )

==′

n

nnn

n

n

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xJxf

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

L

OM

L

M

L

rrr

21

2

2

22

1

2

11

1

1

Con lo que:

( )( ) ( )( ) ( ) 0. =+ ppp xJxf εrrrr

De donde, suponiendo que ( )( )pxJ r

no es singular:

( ) ( )( ) ( )( )ppp xfxJ rrrr

.1−−=ε

por lo tanto, el iterante de orden p+1 se obtendrá de:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .... 2, 1, 0,p xfxJxx pppp =−= −+ rrrr .11

y el iterante de orden cero, será un valor aproximado de la raíz deseada.



3.3- Estudio de posiciones singulares: puntos muertos.

Se realizará el estudio de posiciones singulares de mecanismos mediante el desarrollo de uno de los ejemplos analizados con anterioridad: el mecanismo biela-manivela.

Y

O

α

α1

2

LL

L

1 2

3

α3

Fig-12. Mecanismo biela-manivela.

Atendiendo a la figura 12, al plantear la ecuación de bucle cerrado se obtiene:

f L L Lf L L L

1 1 1 2 2 3 3

2 1 1 2 2 3 3

00

= + == + + =

+cos cos cossen sen sen

α α αα α α

Si se supone que L3 es la variable de entrada, o variable primaria, será conocida luego:

⇒

−−=

=2211

2211

2

2

1

2

2

1

1

1

coscos αααα

∂α∂

∂α∂

∂α∂

∂α∂

LLsenLsenL

ff

ff

J x

( ) ( )122112212121 cos.cos. αααααα −=+−= senLLsenLLsenLLxJ

que será nulo si:

(α2-α1) = k π para k = 1,2....

que se corresponderá con los puntos muertos del mecanismo.

Se propone como práctica el cálculo de los puntos muertos si se hubiese tomado α1 como variable primaria.



3.4- Mecanismos con varios bucles.

Se estudiarán ahora las posiciones singulares de mecanismos como el de la figura 13, que posee más de un bucle.

00

3

2

1

L

L L

L L

LB

A

C

DE

α

α α

α

α

4

5

66

41

2

α

=0

5I II

3

Fig-13. Mecanismo con dos bucles (cuatro eslabones y biela-manivela).

Planteando las ecuaciones vectoriales de bucle cerrado por componentes para el primer bucle

(A-B-C-D-A):

f L L L Lf L L L L

1 1 1 2 2 3 3 4 4

2 1 1 2 2 3 3 4 4

00

= + + == + + + =

+cos cos cos cossen sen sen sen

α α α αα α α α

mientras que para el segundo bucle será (D-C-E-D)

f L L Lf L L L

3 3 3 5 5 6 6

4 3 3 5 5 6 6

00

= + == + + =

+cos cos cossen sen sen

α α αα α α

Suponiendo que la variable primaria es α1, se obtienen como variables secundarias α2, α3, α5 y

L6 ya que α4 y α6 son características de la geometría del mecanismo e invariables, luego la matriz jacobiana será:

−−

−−

=

0cos.cos.01..000cos.cos.00..

5533

5533

3322

3322

αααα

αααα

LLsenLsenL

LLsenLsenL

J

Desarrollando el determinante de la matriz por cofactores:



[ ]).coscos.(.cos.cos.cos...

cos. 323232553322

332255 ααααα

αααα

α sensenLLLLL

senLsenLLJ −−=

−−=

se anulará si:

sen( )α α α α π2 3 2 30− = ⇒ = + k para k = 0, 1, 2, 3, .....

es decir cuando α α2 3= que corresponde al punto muerto del mecanismo de cuatro eslabones.

El determinante también sería nulo en el caso de que α5=π/2, que corresponde al punto muerto

del mecanismo de biela-manivela cuando el eslabón motor es la manivela (esta posición sólo podría alcanzarse si la biela y la manivela fuesen de la misma longitud).

Como ejercicio para su realización por parte del alumno, se propone realizar el estudio de

posiciones singulares si la entrada fuese α3, y si fuese L5. 3.5- Trayectorias de puntos del mecanismo.

Una vez realizado el análisis de posición del mecanismo, esto es, calculados los valores de las variables secundarias una vez conocida la primaria, se procederá al estudio de las trayectorias descritas por diferentes puntos del mecanismo. 3.5.1- Trayectorias de puntos de definición del mecanismo: pares.

Se comenzará estudiando las trayectorias que recorren los puntos que definen el mecanismo: los pares. Para ello se hará la siguiente distinción entre los eslabones a los que pertenezca el punto en estudio:

a) El eslabón al que pertenece el punto está unido a la bancada. b) El eslabón al que pertenece el punto no está unido a la bancada.



a) Caso 1º.

En la figura 14 se muestra el mecanismo de cuatro eslabones que servirá de base para el estudio de las trayectorias de los pares. Al definir este mecanismo y el sistema de referencia,

rrA debe ser

conocido. Por tanto, para calcular la posición en cada instante del punto B, se tendrá que:

r r r r rr r r r LB A BA A= + = + 1

o expresado por componentes. x x Ly y L

B A

B A

= += +

1 1

1 1

cossen

αα

Puesto que el valor de la variable α1 es conocido con independencia de si esta es primaria o

secundaria, ya que se ha supuesto solucionado el problema de posiciones, se conocerán las coordenadas del punto B para cualquier valor de la variable α1 y, por consiguiente, su trayectoria.

α

B

C

A rr

r

L22

1B c

A

α

L1

Fig-14. Cálculo de las trayectorias de los pares.

b). Caso 2:

Se corresponde este caso al cálculo de la trayectoria del punto C. La posición de C queda determinada por la ecuación:



r r rr r rC B CB= + puesto que

rrB es ya conocido, para obtener la trayectoria de C será suficiente conocer como varían sus

coordenadas a medida que lo hacen las variables de posición, esto es:

x x L x L Ly y L y L L

C B A

C B A

= + = + += + = + +

2 2 1 1 2 2

2 2 1 1 2 2

cos cos cossen sen sen

α α αα α α

3.5.2- Trayectorias de puntos asociados a un eslabón:

En la figura 15 se ha representado un eslabón genérico i que se une al anterior del bucle (cadena cinemática) a través del punto A, y al siguiente a través del B.

El problema a resolver, para cualquier valor de la variable αi, es el cálculo de la posición del

punto P asociado al eslabón y por tanto su trayectoria. Por otra parte, es conocida la posición del punto en estudio con respecto a los ejes u y v invariablemente unidos al eslabón i, (up,vp).

α

Y

XX X

Y

Y

A

P

V U

i

iuvp p

A p

A

p B

Fig-15. Trayectoria de puntos asociados a un eslabón.

Puesto que el problema de posición se supone resuelto, serán conocidos todos los valores de la variable αi, con independencia de que esta sea primaria o secundaria. Luego para conocer las coordenadas del punto P respecto a los ejes de referencia fijos (bancada), bastará con referenciar las coordenadas (up,vp) respecto a dichos ejes, obteniéndose entonces:



−+

=

p

p

ii

ii

A

A

p

p

vu

sensen

yx

yx

.cos

cosαααα

Donde las coordenadas (xA,yA), si no son conocidas, podrán calcularse según lo expuesto en el apartado anterior.



BIBLIOGRAFIA:

Título: TEORIA DE MAQUINAS Y MECANISMOS. Autor: Joseph E. Shigley. Editorial: McGraw-Hill. Título: MECHANICS OF MACHINES. Autor: Samuel Doughty. Editorial: John Wiley & Sons. Título: MECANICA DE MAQUINAS. Autor: Ham, Crame, Rogers. Editorial: McGraw-Hill. Título: ANALISIS NUMERICO. Autor: Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Editorial: Grupo Editorial Iberoamérica.

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