Tema 8Soluciones página 160

1. Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son soluciones de la ecuación

3 x−4 y=8 .

a) x=4y=1

b) x=3y=2

c) x=0y=−2

d) x=1y=−1

Solución:

Para saber cuáles de estos valores son soluciones de la ecuación 3 x−4 y=8 ,

debemos sustituir las incógnitas correspondientes según lo que nos indique cada

apartado.

a)

Antes Paso que realizamos Después

3 x−4 y=8

Sustituímos por los siguientes valores:

x=4y=1

3(4 )−4(1)=8

3( 4)−4 (1)=8 Operamos. 8=8

Vemos que se verifica la igualdad. Por lo tanto, el punto (4, 1) es solución de la

ecuación.

b)

Antes Paso que realizamos Después

3 x−4 y=8

Sustituímos por los siguientes valores:

x=3y=2

3(3)−4 (2)=8

3(3)−4 (2)=8 Operamos. 1≠8

Como no se verifica la igualdad, el punto (3, 2) no es solución de la ecuación.

c)

Antes Paso que realizamos Después

3 x−4 y=8

Sustituímos por los siguientes valores:

x=0y=−2

3(0)−4(−2)=8

3(0)−4(−2)=8 Operamos. 8=8

Vemos que se verifica la igualdad. Por lo tanto, el punto (0, -2) es solución de la

ecuación.

d)

Antes Paso que realizamos Después

3 x−4 y=8

Sustituímos por los siguientes valores:

x=1y=−1

3(1)−4(−1)=8

3(1)−4(−1)=8 Operamos. 7≠8

Como no se verifica la igualdad, el punto (1, -1) no es solución de la ecuación.

A modo de complemento, adjuntamos una gráfica en la que representamos la ecuación y

los diferentes puntos que propone el ejercicio.

2. Busca tres soluciones diferentes para la siguiente ecuación.

2 x−y=5

Solución:

Vamos a calcular tres soluciones por el método que conocemos. Esto es:

1. Asignamos el valor que queramos a una de las incógnitas.

2. Despejamos la ecuación restante.

3. Colocamos el resultado.

Haremos con detalle la primera solución, proponiendo luego dos soluciones más

directamente. Recordad que las soluciones son infinitas, así que hay más soluciones

válidas. Para comprobar si un punto es una solución, debemos sustituír como hemos

hecho en el ejercicio anterior.

Primera solución

Antes Paso que realizamos Después

2 x−y=5 1. Asignamos el valor y = 1. 2 x−1=5

2 x−1=52. Despejamos la ecuación restante.

a) Movemos este elemento a la derecha.2 x=5+1

2 x=5+12. Despejamos la ecuación restante.

b) Hacemos esta suma.2 x=6

2 x=62. Despejamos la ecuación restante.

c) Movemos este elemento a la derecha.x=

62

x=62

2. Despejamos la ecuación restante.

d) Hacemos este cociente.x=3

x=3y=1

3. Colocamos la solución. (3,1)

Segunda solución

Escogemos como segunda solución el punto (2, -1). Se puede comprobar, sustituyendo,

que pertenece a la recta.

Tercera solución

Escogemos como segunda solución el punto (0, -5). Se puede comprobar, sustituyendo,

que pertenece a la recta.

Adicionalmente, adjuntamos una imagen en la que aparecen representadas la recta y las

soluciones que hemos seleccionado.

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5. Copia y completa la tabla para cada ecuación y representa la recta

correspondiente.

a) x−y=0 → y=x

b) x−2 y=2 → y=x−2

2

x -6 -4 -2 0 2 4 6 ...

y ...Solución:

Este ejercicio es muy sencillo, sólo hay que sustituir la variable "x" en las expresiones de

la derecha y conoceremos cuánto vale la "y" para cada valor. Aún así, vamos a añadir una

fila en medio de la tabla que propone la actividad, para poder seguir el proceso mejor.

OJO: No es necesario calcular tantos puntos para representar una recta. Realmente

son necesarios sólo dos, pero este ejercicio nos pide expresamente que

calculemos más.

a)

x -6 -4 -2 0 2 4 6 ...

y= x y = -6 y = -4 y = -2 y = 0 y = 2 y = 4 y = 6 ...

y -6 -4 -2 0 2 4 6 ...

Representamos los puntos que hemos obtenido y trazamos la recta.

b)

x -6 -4 -2 0 2 4 6 ...

y=x−2

2−6−2

2−4−2

2−2−2

20−2

22−2

24−2

26−2

2...

y -4 -3 -2 -1 0 1 2 ...

Como en el apartado anterior, representamos los puntos que hemos obtenido y

trazamos la recta.

6. Representa gráficamente.

a) 2 x−y=1

b) 2 x+ y=1

c) y=x2

+ 3

Solución:

Como hemos dicho en el ejercicio anterior, sólo necesitamos dos puntos para representar

cada una de las recta. El procedimiento, llegados a este punto, lo deberíamos de conocer.

Aún así, realizaremos el primer apartado con todo lujo de detalles y en las dos ecuaciones

siguientes lo haremos de una forma más directa.

a)

Vamos a hallar dos soluciones distintas de la ecuación. Con ello, podremos representar la

recta.

Primera solución

Antes Paso que realizamos Después

2 x−y=1 1. Asignamos el valor y = 1. 2 x−1=1

2 x−1=12. Despejamos la ecuación restante.

a) Movemos este elemento a la derecha.2 x=1+1

2 x=1+12. Despejamos la ecuación restante.

b) Hacemos esta suma.2 x=2

2 x=22. Despejamos la ecuación restante.

c) Movemos este elemento a la derecha.x=

22

x=22

2. Despejamos la ecuación restante.

d) Hacemos este cociente.x=1

x=1y=1

3. Colocamos la solución. (1,1)

Segunda solución

Antes Paso que realizamos Después

2 x−y=1 1. Asignamos el valor y = 3. 2 x−3=1

2 x−3=12. Despejamos la ecuación restante.

a) Movemos este elemento a la derecha.2 x=1+3

2 x=1+ 32. Despejamos la ecuación restante.

b) Hacemos esta suma.2 x=4

2 x=42. Despejamos la ecuación restante.

c) Movemos este elemento a la derecha.x=

42

x=42

2. Despejamos la ecuación restante.

d) Hacemos este cociente.x=2

x=2y=3

3. Colocamos la solución. (2,3)

Con estos dos puntos podemos representar la recta. Los dibujamos y trazamos una línea

que los una.

b)

Dos soluciones a la ecuación pueden ser: (1,−1) y (0,1) . Representando, nos

quedaría.

c)

Dos soluciones a la ecuación pueden ser: (2,4) y (4,5) .