tema 7: realimentación de estados y observadores (parte ii)elproblema de seguimientose da cuando se...

Repaso Estabilización Regulación y Seguimiento Seguimiento Robusto:Acción Integral

Tema 7: Realimentación de Estados yObservadores (Parte II)

Virginia Mazzone

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Virginia Mazzone: Tema 7: Realimentación de Estados y Observadores (Parte II)


RepasoVimos un métodos para calcular la ganancia de realimentaciónde estados K para asignar los autovalores de la matriz deevolución A� BK del lazo cerrado

�A�BK(s) = sn + ��n�1sn�1 + : : : ��1s + ��0:

El método usa la fórmula

K =

��n�1 � �n�1

...��1 � �1

��0 � �0

T

�1 �2 : : : �n�1 1

�2 �3 : : : 1 0...

... : : :...

...�n�1 1 : : : 0 0

1 0 : : : 0 0

�1

C�1

que se conoce como Fórmula de Bass-Gura, donde�n�1; �n�2; : : : ; �0 son los coeficientes del polinomiocaracterístico de A, y C = [B;AB; : : : ; An�1B] es la matriz decontrolabilidad del sistema a lazo abierto.



EjemploCosideremos el péndulo invertido

_x =

0 1 0 0

0 0 �1 0

0 0 0 1

0 0 5 0

x +

0

1

0

�2

uy =

[1 0 0 0

]x

Es controlable, entonces los autovalores pueden asignarsearbitrariamente. Como A es triangular a bloques, su polinomiocaracterístico es

�(s) = s2(s2 � 5) = s4 + 0s3 � 5s2 + 0s + 0



Calculemos P que lleva al sistema a la FCC

P�1 = C �C�1 =

0 1 0 �3

1 0 �3 0

0 �2 0 0

�2 0 0 0

o P = �CC�1

Sean �1;5� 0;5j y �1� j los autovalores deseados, es decir�K(s) = s4 + 5s3 + 10;5s2 + 11s + 5. Calculamos

�K = [5� 0; 10;5 + 5; 11� 0; 5� 0] = [5; 15;5; 11; 5]

de donde

K = �KP = [�5=3;�11=3;�103=3;�13=3]



EstabilizaciónSi una ecuación de estado es controlable, sus autovalorespueden asignarse arbitrariamente mediante realimentación deestados. Veamos qué se puede hacer cuando la ecuación deestado no es controlable.Toda ecuación de estado incontrolable puede llevarse a laforma

[_�xc_�x�c

]=

[�Ac �A12

0 �A�c

] [�xc�x�c

]+

[�Bc

0

]u (1)

donde ( �Ac ; �Bc) es controlable. Como la matriz de evolución en(1) es block triangular, los autovalores de la matriz en lascoordenadas originales son la unión de los autovalores de �Ac y�A�c . La realimentación de estados

u = r �Kx = r � �K�x = r �[�k1 �k2

] [�xc�x�c

]



lleva al sistema a lazo cerrado[_�xc_�x�c

]=

[�Ac � �BcK1

�A12 � BcK2

0 �A�c

] [�xc�x�c

]+

[�Bc

0

]r: (2)

Vemos de (2) que los autovalores de �A�c no son afectados porla realimentación, y por lo tanto no pueden modificarse. Por lotanto, la condición de controlabilidad de (A;B) no sólo essuficiente sino también necesaria para asignar todos losautovalores de (A� BK) en posiciones deseadas.

Definición (Estabilizabilidad)El sistema (1) es estabilizable si �A�c es Hurwitz y el par ( �Ac ; �Bc)

es controlable.



Regulación y SeguimientoEl problema de regulación se da cuando la referencia es nular = 0; se pretende básicamente que el sistema seaasintóticamente estable y que la respuesta a condicionesiniciales producidas por perturbaciones tienda a cero.

−B

A

K

C∫u yx_x

Nr

El problema de seguimiento se da cuando se pretende que lasalida reproduzca asintóticamente la referencia r(t). Es comúnque la referencia sea un valor constante r(t) = a; 8t � 0. Elproblema de regulación es un caso particular del deseguimiento con a = 0.



Si el sistema es controlable, sabemos que podemos asignarlos autovalores del lazo cerrado calculando K para obtener lamatriz de evolución A� BK. La respuesta del sistemarealimentado entonces está dada por

y(t) = Ce(A�BK)tx(0) + C

∫ t

0e(A�BK)(t��)Br(�) d�:

Así, el problema de regulación (r(t) � 0) queda resuelto si Kse calcula para que A� BK sea Hurwitz, ya que entonces

y(t) = Ce(A�BK)tx(0)t!1��! 0 para toda condición inicial x(0):

Para el problema de seguimiento de referencia constanter(t) = a 6= 0, además de que A� BK sea Hurwitz, requerimosuna condición en la ganancia de precompensación N, para quey(t)

t!1��! a,



y(t) = Ce(A�BK)tx(0)︸︷︷︸t!1

��!0

+NC

(∫ t

0e(A�BK)(t��)Bd�

)a

t!1��! a

, N

∫1

0Ce(A�BK)�Bd� = 1

, NC(sI � A+ BK)�1B∣∣s=0

= 1

, N = �1

C(A� BK)�1B� (3)

Como C(sI � A+ BK)�1B es la función transferencia a lazocerrado

GK(s) =�1s

n�1 + � � �+ �n

sn + ��1sn�1 + � � �+ ��n

la condición (3) es equivalente a N = ��n=�n. Obviamente, escondición necesaria que �n 6= 0.



Resumiendo. . .

Para regulación: Es necesario que (A;B) sea controlable. Serequiere entoncesI diseñar K para que todos los autovalores de

A� BK tengan parte real negativa.Para seguimiento de referencias constantes: Es necesario que

(A;B) sea controlable y�n = l��ms!0 C(sI � A)�1B 6= 0. Se requiereentoncesI diseñar K para que todos los autovalores de

A� BK tengan parte real negativa,I diseñar N = �1=C(A� BK)�1B.



EjemploEn el segundo ejemplo de la clase pasada calculamos laganancia de realimentación K = [4; 17=3] que asigna losautovalores a lazo cerrado del sistema

_x(t) =

([1 3

3 1

]�

[1

0

] [k1 k2

])x(t) +

[1

0

]r(t)

en �1� j2. Supongamos que el sistema tiene la saliday(t) = [1; 0]x(t), que se pretende que siga asintóticamentereferencias constantes. La función transferencia del sistema alazo cerrado resulta

GK(s) =s � 1

s2 + 2s + 5

Como GK(0) = �1=5 6= 1, y(t) tenderá a �a=5 para unareferencia constante r(t) = a.



Incorporamos precompensación rediseñandou(t) = Nr(t)�Kx(t), con N = �5.Las Figuras a continuación muestran la respuestaa LC a unescalón unitario en r(t) sin y con precompensación.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.0

-0.6

-0.2

0.2

0.6

1.0

1.4

La función transferencia del sistema a lazo cerrado conprecompensador resulta

GK(s) =�5s + 5

s2 + 2s + 5; GK(0) = 1) y(t)

t!1��! a.



Ejemplo (Efecto de incertidumbres en el modelo)Retomemos el sistema anterior, pero supongamos que existeun error en el modelo usado para el diseño de control y laplanta real tiene una matriz de evolución

A = A0 + A� =

[1 3

3 1

]+

[0 �0;5

0;5 0

];

es decir que los

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.9

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

autovalores a lazo abierto estánen [4;464;�2;464], en vez de[4;�2]. La función transferenciadel sistema compensadocon K y N calculadas en baseal modelo nominal es ahora

~GK(s) =�5s + 5

s2 + 2s + 8;0833



Ejemplo (Efecto de perturbaciones de entrada)Sea ahora el mismo sistema, con el modelo correcto, pero conuna perturbación constante w = 0;5 a la entrada de la planta.

−

xuN

w

B

A

K

Cy∫

_xr

La transferencia desde w a y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.9

-0.5

-0.1

0.3

0.7

1.1

1.5

no estará precompensada, y por lotanto se originará un error estáticoproporcional al valor de �nw=��n.Otra vez, se conserva la estabilidadpero se pierde el seguimiento.



Seguimiento Robusto: Acción IntegralIntroducimos un esquema robusto de seguimiento dereferencias constantes con propiedades de rechazo deperturbaciones de entrada constantes. El esquema se basa enaumentar la planta agregando un nuevo estado xa que integrael error de seguimiento,

_xa = r � y = r � Cx:

− −

xa − uka

r ∫w

B

A

K

Cyx∫_x



La EE del sistema original con perturbación de entrada es_x = Ax + Bu + Bw

y = Cx:

de modo que el sistema aumentado a lazo abierto queda[_x

_xa

]=

[A 0

�C 0

] [x

xa

]+

[B

0

](u + w) +

[0

1

]r

y =[C 0

] [ xxa

]:

La realimentación de estados u = � [K ka ] [ xxa ] da el sistema alazo cerrado de la Figura anterior[

_x

_xa

]=

[A� BK �Bka�C 0

] [x

xa

]+

[B

0

]w +

[0

1

]r (4)

y =[C 0

] [ xxa

]:



La idea entonces es diseñar [K; ka] para que la matriz deevolución [

A� BK �Bka�C 0

]en (4) sea Hurwitz. En particular, la estabilización de xaproduce el seguimiento deseado, ya que

l��mt!1

_xa(t) = 0) l��mt!1

y(t) = r:

Teorema (Controlabilidad de la planta aumentada con unintegrador)Si (A;B) es controlable y si G(s) = C(sI � A)�1B no tieneceros en s = 0, los autovalores de la matriz de evoluciónaumentada

[A�BK �Bka�C 0

]en (4) pueden asignarse

arbitrariamente seleccionando la matriz de realimentación[K; ka].



Propiedades de seguimiento y rechazo deperturbaciones.

El diagrama de bloques equivalente al del lazo cerrado conacción integral resulta

b h hb

b-

6

- - -? -r

-kas

w

y�G(s)

donde�G(s) =

�N(s)�D(s)

, C(sI � A+ BK)�1B;

con �D(s) = det(sI � A+ BK).



La respuesta del sistema en dominio s es:

y(s) =

ka �N(s)

s �D(s)

1 +ka �N(s)

s �D(s)

r(s) +

�N(s)�D(s)

1 +ka �N(s)

s �D(s)

w(s)

=ka �N(s)

s �D(s) + ka �N(s)r(s) +

s �N(s)

s �D(s) + ka �N(s)w(s):

Si la referencia y la perturbación de entrada son constantes,r(t) = a, w(t) = b, entonces r(s) = a=s y w(s) = b=s, y lasalida del sistema a lazo cerrado es

y(s) =ka �N(s)

s �D(s) + ka �N(s)

a

s+

�N(s)

s �D(s) + ka �N(s)b:



Finalmente, usando el Teorema del valor final, válido pues ellazo cerrado es estable, y la hipótesis de que �N(0) 6= 0,obtenemos que

l��mt!1

y(t) = l��ms!0

s y(s)

=ka �N(0)

0 � �D(0) + ka �N(0)a +

0 � �N(0)

0 � �D(0) + ka �N(0)b:

= 1 � a + 0 � b = a:

El sistema rechazará perturbaciones constantes y seguirá refe-rencias constantes — ambas de valor no necesariamente cono-cido — aún frente a incertidumbres de modelado de la planta,siempre que el lazo cerrado permanezca estable.


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