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1Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Tema 5: Dinámica del punto II
FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
2Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Leyes de Newton
Dinámica del punto material
Trabajo mecánico
Teoremas de conservación
Energía
Cantidad de movimiento
Momento cinético
Oscilaciones
3Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Leyes de NewtonLeyes de Newton
Ley de inercia
Segunda ley
Principio de acción y reacción
Principio de superposición
Lasa leyes de Newton de la Dinámica permiten calcular el movimiento de
una partícula provocado por las interacciones que actúan sobre ella
4Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Leyes de Newton
Dinámica del punto material
Trabajo mecánico
Teoremas de conservación
Energía
Cantidad de movimiento
Momento cinético
Oscilaciones
5Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Dinámica de una partículaDinámica de una partícula
Conocidas las fuerzas, la Segunda Ley proporciona la ecuación diferencial
del movimiento en un sistema de referencia inercial
Ecuación diferencial
Ligaduras
Condiciones iniciales
Elementos para resolver un problema de dinámica del punto
A la inversa, conocida la aceleración y los vínculos, podemos determinar
las fuerzas
6Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Leyes de Newton
Dinámica del punto material
Trabajo mecánico
Teoremas de conservación
Energía
Cantidad de movimiento
Momento cinético
Oscilaciones
7Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Trabajo mecánico: fuerza constante y movimiento unidireccionalTrabajo mecánico: fuerza constante y movimiento unidireccional
La fuerza realiza un trabajo sobre el cuerpo durante su movimiento
A B
El signo depende del sentido relativo
si F ⊥ dr no hay trabajo mecánico
En el SI internacional la unidad base es el Julio
8Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Trabajo mecánico: fuerza variable y trayectoria arbitrariaTrabajo mecánico: fuerza variable y trayectoria arbitraria
Se divide el trayecto en segmentos infinitesimales
(t)
En un recorrido finito el trabajo total es la suma de los trabajos infinitesimales
XY
Z
O
AB
X Y
Z
O
Trabajo de la fuerza sobre la partícula cuando esta se
desplaza un dr
9Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Leyes de Newton
Dinámica del punto material
Trabajo mecánico
Teoremas de conservación
Energía
Cantidad de movimiento
Momento cinético
Oscilaciones
10Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Energía cinéticaEnergía cinética
Puede interpretarse diciendo que, al realizar trabajo sobre la partícula, la
fuerza le transfiere la cantidad d(mv2/2) en el trayecto dr
Teniendo en cuenta la definición de velocidad y la Segunda Ley de Newton
11Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Energía cinéticaEnergía cinética
Definición
Depende de las propiedades de la partícula: masa y velocidad
Está relacionada con la capacidad de la partícula de realizar trabajo
Es un escalar
Se mide en Julios
Combina la inercia (m) con la cinemática (v)
No es igual que caiga en el pie una pluma que una bola de plomo, aunque tengan la
misma velocidad
12Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Energía cinética: relación con el trabajoEnergía cinética: relación con el trabajo
Trabajo total de una fuerza sobre una partícula en el trayecto A - B
A
B
Teorema de las fuerzas vivas o de la energía cinética
Versión localVersión finita
El trabajo modifica el valor de la energía cinética de la partícula
Es válido para cualquier tipo de fuerza
Si hay varias fuerzas actuando
13Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
PotenciaPotencia
Potencia instantánea
Mide la tasa con la que se realiza trabajo
Se mide en Watios
Potencia transferida por una fuerza sobre una partícula en movimiento
Versión instantánea del teorema de las fuerzas vivas
14Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Conservación de la energía cinéticaConservación de la energía cinética
Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o perpendicular a su
trayectoria, su energía cinética se conserva constante a lo largo del tiempo
Ejemplos
Partícula libre
Movimiento de un satélite artificial alrededor de la Tierra
Movimiento de la Tierra respecto al Sol (considerando la órbita circular)
Movimiento de una carga eléctrica en el seno de un campo magnético
15Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
A
B
1
Energía potencialEnergía potencial
Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un punto material que
se desplaza entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida
2
La diferencia de energía potencial entre dos puntos es el trabajo realizado por la
fuerza conservativa cuando la partícula se mueve entre esos dos puntos, cambiando
el signo
El origen de la energía potencial es arbitrario
A
B
12
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Energía potencial gravitatoriaEnergía potencial gravitatoria
z
Z A
B
12
Fuerza gravitatoria cerca de la superficie
Trabajo realizado por Fg en un desplazamiento
infinitesimal
Diferencia de energía potencial entre dos puntos
Energía potencial gravitatoria (con una referencia arbitraria en z=0)
17Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Energía potencial de un muelle idealEnergía potencial de un muelle ideal
PO
Fuerza del muelle
Trabajo realizado por Fk en un
desplazamiento infinitesimal
Energía potencial elástica (con referencia de potencial en l0)
18Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Energía mecánicaEnergía mecánica
Se define como la suma de la energía cinética y la energía potencial total (una
energía potencial por cada fuerza conservativa)
Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre una partícula son conservativas su
energía mecánica se conserva
Si hay fuerzas no conservativas el trabajo que realizan varía la energía
mecánica
Demostración
19Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
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Leyes de Newton
Dinámica del punto material
Trabajo mecánico
Teoremas de conservación
Energía
Cantidad de movimiento
Momento cinético
Oscilaciones
20Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Cantidad de movimientoCantidad de movimiento
La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es el producto
de su masa por su velocidad
Teorema de la cantidad de movimiento
Es un enunciado alternativo de la Segunda Ley de Newton
Impulso mecánico (Teorema de la cantidad de movimiento en forma elemental
y finita)
Es útil cuando la partícula sufre una fuerza en un intervalo de tiempo pequeño
[p] = kg m s-1
21Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Conservación de la cantidad de movimientoConservación de la cantidad de movimiento
Si la dirección de la fuerza es constante, se conserva la cantidad de
movimiento en las direcciones perpendiculares a la fuerza
Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula se conserva su
cantidad de movimiento
Demostración
Ejemplo
Z
X
22Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Leyes de Newton
Dinámica del punto material
Trabajo mecánico
Teoremas de conservación
Energía
Cantidad de movimiento
Momento cinético
Oscilaciones
23Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Momento cinéticoMomento cinético
El momento cinético de un punto material respecto a un punto O es el producto
vectorial
[L] = kg m2 s-1 O
P
Teorema del momento cinético
24Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Conservación del momento cinéticoConservación del momento cinético
Si la fuerza neta que actúa sobre un punto material es nula o es central con
centro en un punto fijo O, su momento cinético respecto a O es constante
Demostración
Si el momento de la fuerza es perpendicular a un vector n, se conserva la
proyección del momento cinético sobre n
Ejemplo: en el movimiento central se conserva el momento cinético
En este casoO
P
25Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Leyes de Newton
Dinámica del punto material
Trabajo mecánico
Teoremas de conservación
Energía
Cantidad de movimiento
Momento cinético
Oscilaciones
26Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
OscilacionesOscilaciones
Movimiento periódico: la posición, velocidad y aceleración del cuerpo se
repiten cada cierto intervalo de tiempo
Ejemplos
Barca en el mar
Bandera al viento
Péndulo de un reloj
Moléculas en un sólido
Voltaje e intensidad en circuitos de corriente alterna
En general cualquier objeto desplazado ligeramente de una posición de
equilibrio realiza un movimiento periódico
27Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Dinámica del MASDinámica del MAS
Ecuación diferencial del MAS
Fuerza restauradora proporcional al
desplazamiento
Constante del muelle k
Segunda Ley de Newton en una dimensión
Cuerpo unido a un muelle
Si la ecuación de un movimiento tiene esa forma, es un MAS
28Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Representación matemática del MASRepresentación matemática del MAS
Problema
Solución general
Ecuación diferencial
Condiciones iniciales
Forma 1
Forma 2
Relación
29Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Representación matemática del MASRepresentación matemática del MAS
Significado físico de las constantes
A es la amplitud
es la frecuencia angular
es la constante de fase
La constante de fase indica cuando “comienza” la función
30Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
T
T
Período y frecuenciaPeríodo y frecuencia
Período: es el tiempo necesario para completar una oscilación
Frecuencia: número de oscilaciones por
segundo
[T] = s
[f] = Hz = s-1
Frecuencia angular
31Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Ejemplos: muelle verticalEjemplos: muelle vertical
Muelle de longitud natural
Una masa colgando en equilibrio
Se tira de la masa y se suelta
Problema de movimiento
Solución
La frecuencia no depende de la amplitud ni de la velocidad inicial
MAS
32Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Aplicaciones del muelleAplicaciones del muelle
El hecho de que la frecuencia no dependa de la amplitud ni la velocidad
inicial tiene aplicaciones interesantes
Medida de masas a partir del período de oscilación
El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa en el segundo viaje del Skylab (1973)
En los instrumentos musicales la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con
que se pulse la cuerda o se apriete la tecla de un piano
33Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
x
t
0A
0A−
Condiciones inicialesCondiciones iniciales
Aplicación de las condiciones iniciales
Representación gráfica
x
34Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Velocidad y aceleraciónVelocidad y aceleración
PosiciónA
-A
2T 3
2TT
-Aω
Aω
2T 3
2TT
-Aω2
Aω2
2T 3
2TT
Aceleración
Velocidad
Amplitud máxima:
Velocidad máxima:
Desfase de /2 con la posición
Aceleración máxima:
Desfase de /2 con la velocidad
Desfase de con la posición
35Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
A
-A
-Aω
Aω
-Aω2
Aω2
2T
2T
2T
32T
32T
32T
T
T
T
x
x
x
x
x
Velocidad y aceleraciónVelocidad y aceleración
36Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Energía mecánica: muelleEnergía mecánica: muelle
cE
21
2E kA=
No depende de la masa
La energía se trasvasa
continuamente de cinética a potencial
y viceversa
Despreciando el rozamiento la energía mecánica es constante
37Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
cE
21
2E kA=
cE
21
2E kA=
cE
21
2E kA=
cE
21
2E kA=
cE
21
2E kA=
x
x
x
x
x
Energía mecánica: muelleEnergía mecánica: muelle
38Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
x
x
x
x
xcE
21
2E kA=
cE
21
2E kA=
cE
21
2E kA=
cE
21
2E kA=
cE
21
2E kA=
Energía mecánica: muelleEnergía mecánica: muelle
39Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Energía: energía mecánica del muelleEnergía: energía mecánica del muelle
Despreciando el rozamiento la energía mecánica es constante
Energía cinética:
Energía potencial:
Posición y velocidad
Energía mecánica
40Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ResumenResumen
Introducción
Leyes de Newton
Trabajo mecánico
dW = F⋅dr
Energía
Energía cinética: conservación
Energía potencial
Energía mecánica: conservación
Cantidad de movimiento
Impulso mecánico
Conservación
Momento cinético
Conservación