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DINÁMICA
Roberto Hernández Cárdenas
PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014
Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Estela Delfín RamírezProducción: Gerardo Briones GonzálezDiseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado SolísIlustraciones: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.Fotografías: ThinkstockphotoDiagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.
Revisión técnica:Rosa Ma. Guadalupe García CastelánInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de MonterreyAna Elizabeth García HernándezInstituto Politécnico Nacional
Derechos reservados:Dinámica
© 2014, Roberto Hernández Cárdenas© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-905-5
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en MéxicoPrinted in Mexico
Primera edición ebook: 2014
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
A mis padres Salvador y Carmen
con amor.
V
En primer lugar, vaya mi agradecimiento a la ingeniera Estela Delfín Ramírez, editora de Ingeniería, por haberme dado la oportunidad de participar en este importante proyecto, así como su valioso apoyo en el desarrollo de este material.
Asimismo deseo expresar mi agradecimiento a Grupo Editorial Patria por haber confiado en el presente proyecto y haber tenido la inquietud de publicarlo.
También estoy muy agradecido con las revisoras técnicas, la Dra. Rosa María Guadalupe García Castelán y la Dra. Ana Elizabeth García Hernández; sus observaciones y sugerencias fueron de gran importancia para lograr una mayor claridad y rigurosidad en el texto.
Les agradezco a mis exalumnos de ingeniería Rocío López Sánchez y Teotzin Menchaca Cárdenas por su valiosa ayuda y cooperación en el desarrollo del libro.
A mis maestros por haberme enseñado parte de sus conocimientos y conceptos que me formaron y han hecho de mí lo que soy en la actualidad.
A mis alumnos por impulsarme.
A mis hermanos y tíos por su apoyo y cariño.
A mis hijos, Jacqueline y Roberto, así como a mi esposa Jacqueline por el amor y la comprensión que siempre me han brindado.
VII
La idea bajo la cual se realizó este libro fue la de proporcionar una herramienta de estudio a los alum-nos de ingeniería que tengan alguna dificultad para entender y resolver diferentes tipos de problemas de cinemática y dinámica, para ello se presenta de forma breve y sencilla la teoría básica de cada uno de los temas, así como distintos tipos de problemas resueltos, los cuales se explican con detalle, justifi-cando cada uno de los pasos del proceso propuesto antes. Cada problema resuelto está planteado y desarrollado con un lenguaje sencillo y claro, fácil de comprender por cualquier alumno, cualesquiera que sea el semestre que cursa; además, como un elemento de apoyo en estos se utilizan las Alertas, las cuales aparecen al margen de las páginas, ayudan al lector a estar atento a detalles importantes para la solución de los problemas y recordar algunas fórmulas básicas. En muchas ocasiones, un mismo problema se resuelve por varios métodos, de esta forma se amplían las técnicas del estudiante para re-solver problemas usando el método que mejor le convenga. La obra consta de más de 100 problemas resueltos con detalle y, lo más importante, 500 problemas para resolver por el alumno, los cuales le ayudarán a desarrollar sus habilidades para la solución de problemas.
El texto está estructurado en cuatro unidades, al inicio de cada una de estas se plantean los obje-tivos que se desea cubrir. La sección ¿Qué sabes?, tiene como propósito que el estudiante recuerde todos los conocimientos adquiridos con anterioridad y verificar que tanto sabe del tema a estudiar, a fin de que los tenga presentes en el desarrollo de la unidad, ya que le serán de gran utilidad para su comprensión. Asimismo, los temas se desarrollan de forma concreta y clara. Para una mejor com-prensión, en cada unidad también se incluyen diferentes problemas resueltos, diagramas y esquemas, problemas para resolver y problemas reto (problemas con un grado de dificultad mayor), bibliografía y direcciones de Internet. En la unidad 1, se estudian los temas básicos de vectores y sus operaciones; en la unidad 2 se estudian las unidades de medición tanto del SI y sistema inglés; en la unidad 3 se estudia con detalle la cinemática de la partícula en los sistemas de referencia en coordenadas polares, cilíndricas, esferas, rectangulares y generalizadas; y, por último, en la unidad 4 se estudia, en primer instancia, la dinámica de la partícula y después la dinámica de los cuerpos rígidos.
Además, el libro se acompaña de un CD-ROM que incluye diferentes herramientas que apoyarán el aprendizaje de la asignatura, entre los que sobresalen los problemas anotados, las animaciones, un convertidor de unidades y respuestas a los problemas.
Espero que este texto ayude a los estudiantes de las diferentes ingenierías que requieran apren-der el apasionante tema de la dinámica.
Roberto Hernández Cárdenas
2013
Doy gracias a Dios, que ha tenido a bien hacerme el primero en observar las maravillas ocultas a los siglos pasados.
Galileo Galilei
(Siderus Nuncius)
He sido un niño pequeño que, jugando en la playa, encontraba de tarde en tarde un guijarro más fino o una concha más bonita de lo normal. El océano de la verdad se extendía, inexplorado, delante de mí.
Isaac Newton
IX
Unidad 1 Vectores 1
1.1 Introducción 2
1.2 Diferencias entre escalares y vectores 2
1.3 Tipos de vectores 3
1.4 Componentes de un vector 4
1.5 Vector cero 5
1.6 Suma y resta de vectores 5
1.7 Producto de un escalar por un vector 6
1.8 División de una cantidad vectorial entre un escalar 7
1.9 Producto punto o escalar 8
1.10 Producto punto entre los vectores base de las coordenadas rectangulares 8
1.11 La proyección de un vector sobre otro 9
1.12 Producto vectorial o producto cruz 11
1.13 Producto cruz de los vectores base en coordenadas rectangulares 11
1.14 Regla de la mano derecha 12
1.15 Teorema de Pitágoras y la magnitud de un vector tridimensional 14
1.16 Triple producto mixto llamado triple producto escalar de tres vectores 171.17 Triple producto vectorial 18
1.18 Derivada de una función vectorial 19
Problemas para resolver 21Problemas reto 23Referencias bibliográficas 24Referencias electrónicas 24
X
Unidad 2 Sistemas de unidades de medición y patrones de medida 25
2.1 Introducción 26
2.2 Sistema Internacional (SI) 26
2.3 Sistema inglés 27
2.4 Equivalencias de unidades entre el SI y el sistema inglés 28
2.5 Unidad fundamental de tiempo 28
2.6 Unidad fundamental de longitud usada en el SI 29
2.7 Unidad fundamental de masa usada en el SI 30
2.8 Prefijos usados en el SI 30
Problemas para resolver 35Problema reto 37Referencias bibliográficas 37Referencias electrónicas 37
Unidad 3 Cinemática 39
3.1 Introducción a la cinemática 40
3.2 Cinemática de la partícula en una dimensión 40
3.3 Caída libre 65
3.4 Trayectorias parabólicas 69
3.5 Plano inclinado 74
3.6 Trayectorias circulares 77
3.7 Sistema de coordenadas polares 101
3.8 Cinemática de la partícula en un marco de referencia de coordenadas rectangulares tridimensional 107
3.9 Movimiento relativo 114
3.10 Cinemática de la partícula en coordenadas
cilíndricas 119
3.11 Cinemática de la partícula en coordenadas
esféricas 125
3.12 Caso general del movimiento curvilíneo en el espacio 133
Problemas para resolver 139Problemas reto 149Referencias bibliográficas 149Referencias electrónicas 150
©
XI
Unidad 4 Dinámica 151
4.1 Introducción 152
4.2 Leyes newtonianas del movimiento 152
4.3 Descripción de la segunda ley de Newton 152
4.4 Tercera ley de Newton 154
4.5 Ley de la gravitación universal de Newton 154
4.6 Trabajo, energía potencial, energía cinética
y potencia 179
4.7 Centro de masa en una dimensión 199
4.8 Cantidad de movimiento lineal de una partícula 207
4.9 Dinámica rotacional de un cuerpo rígido 221
4.10 Momento de inercia y energía cinética rotacional de un cuerpo rígido 228
4.11 Momento angular de una partícula 236
Problemas para resolver 249Problema reto 259Referencias bibliográficas 260Referencias electrónicas 260
UNIDAD
OBJETIVOS
Entender las diferencias entre cantidades escalares y cantidades vectoriales.
Aprender y aplicar las diferentes operaciones que involucran a los vectores.
Calcular el tamaño de un vector conociendo sus componentes.
Realizar el producto escalar o el producto vectorial.
Calcular el vector unitario de cualquier vector.
¿QUÉ SABES?
¿Cuál es el vector que tiene un tamaño nulo?
¿Existe un vector que pueda tener cualquier dirección?
¿Se pueden sumar una cantidad escalar y una cantidad vectorial?
¿Qué se obtiene con un producto escalar de dos vectores?
¿Cuál es el resultado de un producto vectorial de dos vectores?
¿Cuál es el resultado del producto punto entre cierto vector y un producto cruz?
¿El tiempo tiene dirección y sentido?
2
UNIDAD
1.1 Introducción
El matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805-1936) contribuyó con su trabajo a comprobar la teoría ondulatoria de la luz e hizo importantes contribuciones a la obra llamada Los cuaternios, en la cual demostró que la verdad es un hecho relativo, además con esta comprobó que era posible cons-truir un álgebra lógica para los cuaternios. Asimismo, se debe a Hamilton la forma moderna de definir los números complejos, los cuales por una parte son números reales y por otra parte son números imaginarios que se refieren a raíces cuadradas de números negativos. Después del lugar privilegiado que ocupa Newton, como el científico creador del concepto de vector para representar y manejar matemáticamente el original concepto de fuerza, Hamilton es la figura más sobresaliente en el cálculo vectorial, ya que fue él quien legó los términos cantidad escalar y cantidad vectorial. Asimismo, se debe a Hamilton el logro de la multiplicación de vectores especiales, a los que llamo cuaterniones en R4, los cuales están constituidos por una componente escalar y tres componentes imaginarias; del mismo modo, fue él quien encontró un resultado muy complejo y difícil de manejar matemáticamente, que después fue analizado por uno de sus seguidores, Peter Guthrie Tait, quien descubrió las fórmulas del actual producto escalar y el producto vectorial.
Otro importante seguidor de Hamilton y sus cuaterniones, fue el investigador James Clark Maxwell, quien escribió un importante tratado acerca de las ecuaciones de campo electromagnético mediante el uso de cuaterniones; además, él fue el primero en separar la parte vectorial de la parte escalar del resultado obtenido en la multiplicación de dos cuaterniones. Por su parte, Gibbs y Heaviside fueron quienes en realidad dieron forma al análisis vectorial moderno, mediante el cual ahora se estudia en forma separada el producto escalar y el producto vectorial, a los que les encontraron una inter-pretación geométrica con diversas aplicaciones en la física; el análisis vectorial es por excelencia la herramienta y el lenguaje principal para elaborar modelos matemáticos de los fenómenos físicos.
1.2 Diferencias entre escalares y vectores
La característica más importante de un escalar es que este solo tiene magnitud; por ejemplo, una can-tidad escalar es la temperatura, el tiempo, la masa y la energía, entre otras. Observe que ninguna de estas magnitudes requiere de una dirección y sentido espacial.
Ahora bien, un vector es una cantidad o magnitud que hace referencia a algo físico que tiene magnitud, sentido y dirección. Algunos ejemplos de vectores son el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, la aceleración, la cantidad de movimiento lineal, el momento de cantidad de movimiento, la velocidad angular, la aceleración angular, etcétera.
En este texto se denota a los vectores con letras en negrita y con una flecha en la parte superior, por ejemplo A, que se identifica y se nombra como el vector A.
Por su parte, también se usa un símbolo especial para hacer referencia a los vectores unita- rios, por ejemplo en k la flecha que aparece arriba de la letra k significa vector unitario y se lee como vector unitario k.
Hay otros vectores unitarios que no coinciden con la dirección de los ejes coordenados, para estos vectores aquí se usará la letra e, por ejemplo eA significa que se trata de un vector con magnitud unitaria con la misma dirección y sentido que el vector A.
Los vectores se representan geométricamente por un segmento diri-gido de recta; su dirección se define del punto donde se origina hacia el punto que se dirige. Por ejemplo, si el segmento dirigido que define al vec-tor A BC, significa que el vector A inicia en el punto B y se dirige hacia el punto C, donde termina; en este caso, al punto B se le llama punto inicial y al punto C se le conoce como punto final. El tamaño o la magnitud del segmento dirigido BC es la distancia que hay del punto B al punto C y se representa con el símbolo BC , que se lee como magnitud del segmento dirigido BC.
Cuando se fija el punto donde inicia un vector, a este último se le co-noce como vector localizado o fijo; sin embargo, cuando el punto donde inicia el vector puede estar en cualquier lugar, entonces a este último se le conoce como vector no localizado o libre.
B
C
Punto inicial
Punto final
SA
u_B
_C u = u
SA u
Figura 1.1
La magnitud del segmento dirigido BC es la magnitud del
vector A .
©
3
1.3 Tipos de vectores
A continuación, se realiza una breve explicación de los diferentes tipos de vectores, pues su estudio y manejo resultan de gran importancia en dinámica.
Vectores equipolentes
Es posible designar un vector con una sola letra, como en el ejemplo del vector A, de la figura 1.2; cuando se trata de vectores paralelos con la misma magnitud, pero con diferentes puntos iniciales y finales, se dice que se trata de vectores iguales o equipolentes. Entonces, se acostumbra nombrar a estos con la misma letra y un subíndice, el cual los distingue, ya que son iguales y tienen la misma magnitud, dirección y sentido.
x
y
zSA1
B1
C1
B2
O
C2
B3
C3
SA2
SA
SA3
Figura 1.2
Los vectores A , A1, A
2 y A
3 son iguales y se llaman
vectores equipolentes; son paralelos porque tienen la
misma dirección y son iguales porque además tienen
el mismo sentido y magnitud, aunque difieren en su
punto inicial y final espacial.
Vectores opuestos
Dos vectores son opuestos cuando son iguales en magnitud, son paralelos y de sentido contrario (véase figura 1.3).
O
z
y
x
SA1
B1
C1
SA2
B2
C2
SA
SA1 =
-C
-1
SB1
SA2 =
-C
-2
SB2
SA =
SA1 vectores iguales
SA = −
SA2 vectores opuestos
SA1 = −
SA2 vectores opuestos
Figura 1.3
Vectores opuestos.
4
UNIDAD
Vectores base
Los vectores i , j y k tienen magnitud uno, por tanto se conocen como vecto-res unitarios; su dirección es positiva con respecto a los ejes x, y y z, respec-tivamente. Estos son conocidos como vectores base del sistema coordenado rectangular tridimensional.
El punto inicial de todos estos vectores se encuentra en la coordenada (0, 0, 0), llamada origen, dicha coordenada se representa con una O; por su parte, el punto final de i se encuentra en la coordenada (1, 0, 0), mientras que el punto final de j se encuentra en el punto (0, 1, 0) y el punto final de k se ubica en el punto (0, 0, 1).
1.4 Componentes de un vector
Un vector tridimensional se expresa como una combinación lineal de los vec-tores base o unitarios i , j y k.
Un vector tridimensional se define como una terna coordenada de nú-meros reales; por ejemplo:
B [B1 B2 B3]
Donde:
B1, B2 y B3 reciben el nombre de componentes del vector B.
^k(0, 0, 1)
^j(0, 1, 0)
^i
(1, 0, 0)
z
x
yO
Figura 1.4
Los vectores unitarios i , j y k son los vectores base del sistema
de coordenadas rectangulares.
Si A 2i 3j 4k [2, 3, 4], entonces:
[2, 3, 4] [2 0 0, 0 3 0, 0 0 4]
[2, 0, 0] [0, 3, 0] [0, 0, 4]
2[1, 0, 0] 3[0, 1, 0] 4[0, 0,1]
2i 3j 4k
Figura 1.5
Combinación lineal de los vectores unitarios i , j y k
para expresar el vector 2i 3j 4k A .
z
x
y
4^k =
^k +
^k +
^k +
^k
3^j =
^j +
^j +
^j
0
2^i =
^i +
^i
^k
^k
^k
^i
^j
^j
^j
^i
^k
Como es posible observar, todo vector tridimensional se puede expresar como la combinación lineal de los vectores base unitarios i , j y k; esto también es válido para vectores en una y dos dimensiones.
Solución
Problema resuelto
Dado el vector A 2i 3j 4k expresar este como una combinación lineal de los vectores unitarios
i [1, 0, 0], j [0, 1, 0] y k [0, 0, 1].
©
5
1.5 Vector cero
El vector cero 0 se define como el vector cuyas componentes son todas cero; es decir: 0 [0, 0, 0].
Por tanto, el vector cero es 0 0i 0j 0k tiene sentido y dirección indefinida y su magnitud es cero.
Ahora, supóngase que sumamos dos vectores A y B donde:
A 3i 2j 4k y B 3i 2j 4k
Entonces:
A B (3i 2j 4k ) ( 3i 2j 4k ) 0i 0j 0k 0
Donde el vector ( 3i 2j 4k ) es el inverso aditivo de (3i 2j 4k ) y viceversa.
Ahora, si sumamos al vector A 3i 2j 4k el vector cero 0 0i 0j 0k, resulta (3i 2j 4k ) (0i 0j 0k ) 3i 2j 4k. Con este ejemplo, es posible visualizar que si sumamos el vector cero 0 a cualquier vector este no se altera.
1.6 Suma y resta de vectores
Suma o adición de vectores
En la adición de dos vectores en tres dimensiones se suman las componentes de los vectores en sus respectivas direcciones y se obtienen las componentes del nuevo vector.
4^k
−4^k
2^j−2
^j
3^i
−3^i
S0
Figura 1.6
Representación gráfica de las componentes de los
vectores A 3i 2j 4k y B 3i 2j 4k ;
al sumar los componentes resulta el vector cero
0 0i 0j 0k .
Primero, se suman las componentes de los vectores A y B en las direcciones de los vectores unitarios i , j y k.
A B 2i ( 3i ) 3j 3j 5k ( 4k )
Entonces, se obtiene:
A B i 6j k
Figura 1.7
z
x
y
5^k
−4^k
3^j
6^j
3^j
2^i
−3^i
SA = 2
^i + 3
^j + 5
^k
SB = −3
^i + 3
^j − 4
^k
SA +
SB = −
^i + 6
^j +
^k
Componentes del vector SA +
SB
1^k −
^i
0
Solución
Problema resuelto
Sumar el vector A y el vector B.
Donde:
A 2i 3j 5k y B 3i 3j 4k
6
UNIDAD
Resta o diferencia de vectores
La resta de dos vectores se considera como una suma vectorial, por lo cual se utiliza el mismo método de la suma de vectores.
AlertaLa resta vectorial es igual
a la resta algebraica
componente por componente.
Por ejemplo:
( 3k ) 3k.
( 2i 4j ( 3k ))
(2i 4j 3k ).
En este caso, primero se restan las componentes del
vector A a las componentes del vector B.
Así:
B A ( 2i 4j 3k ) (5i 2j 10k )
B A 2i 5i 4j 2j 3k 10k
Entonces, el resultado final es:
B A 7i 6j 13k
Figura 1.8
Representación gráfica de
B A ( 2i 4j 3k ) (5i 2j 10k ).
z
x
y
Suma
−7^i
Suma −13^k
Suma +6^j
−10^k
−3^k
−5^i
−2^i
+4^j +2
^j
0
Solución
Problema resuelto
Realizar la siguiente resta: B A. Si:
A 5i 2j 10k y B 2i 4j 3k
1.7 Producto de un escalar por un vector
La multiplicación de un número escalar m por una cantidad vectorial o vector A se escribe: mA.
A continuación, se presentan tres casos de la multiplicación de un escalar por un vector que pue-den ser comunes:
1. Si m es positivo, mA es el vector con magnitud m A que tiene la misma dirección y sentido que
el vector A.
2. Si m es negativo, mA es el vector cuya magnitud es m A que está dirigido en sentido opuesto al vector A; en este caso, la magnitud siempre es positiva.
3. Si m 0, mA (este es conocido como vector nulo o cero) es un vector de magnitud cero con sen-tido y dirección arbitraria. Se escribe 0.
Problema resuelto
Calcular el producto 2.5A. Si A 3i 2j 4k
©
7
1.8 División de una cantidad vectorial entre un escalar
La división de un vector A y un escalar b da como resultado A
b, que se define como un vector que
tiene una magnitud A
b.
El sentido de A
b es el mismo que el de A siempre y cuando b sea positivo, ya que si b es negativo
el sentido de A
b es opuesto al de A.
En este caso, se multiplica cada componente del vector A por 2.5:
2.5A 2.5(3i 2j 4k ) 7.5i 5j 10k
Figura 1.9
Multiplicación de un número
escalar por un vector.
z
x
y
10^k
0
4^k
−2^j
3^i
7.5^i
−5^j
7.5^i = 2.5(3
^i )
−5^j = 2.5(−2
^j )
10^k = 2.5(4
^k )
Solución
Se divide cada componente del vector A entre 3:
A
3
9
3 i
12
3 j
15
3 k
A
3 3i 4j 5k
Figura 1.10
División de un vector
entre un escalar.
z
x
y
15^k
0
5^k 15
^k —— = 5
^k
3 12
^j —— = 4
^j
3
12^j4
^j 9
^i —— = 3
^i
3 3^i
9^i
Solución
Problema resuelto
Calcular A
3 si A 9i 12j 15k.
8
UNIDAD
1.9 Producto punto o escalar
Al producto punto o escalar también se le conoce como producto interno. Así, sean A y B dos vec-tores, donde A B es el producto escalar, el cual se lee: A punto B definido como el producto de la magnitud del vector A por la magnitud del vector B por el coseno del ángulo que separa al vector A del vector B; donde puede tomar valores mayores o iguales a cero y menores o iguales a . Por ejemplo:
A B A B cos
De igual modo, es posible calcular el ángulo que separa a dos vectores despejando el ángulo de la fórmula anterior; por tanto, se obtiene:
cos 1 A B
A B
Entonces, el ángulo es igual al arco coseno del producto escalar A B dividido entre el múltiplo de las magnitudes A B ; la magnitud de todo vector siempre es un escalar positivo.
El ángulo que separa al vector unitario i del vector unitario j mide 90°. De esta manera, la magnitud del vector A es 3 y la magnitud del vector B es 2. Ahora, se tiene:
cos 90° 0
A B 3(2) cos 90° 3(2)0 0
Aquí, se deduce que el producto punto entre vectores perpendiculares siempre es cero porque cos 90° 0.
Solución
Problema resuelto
Determinar cuál es el producto escalar A B. Si A 3i y B 2j .
AlertaSiempre que se efectúe
el producto punto entre
dos vectores que sean
perpendiculares entre sí, el
resultado siempre será el
número escalar cero.
1.10 Producto punto entre los vectores base de las coordenadas rectangulares
Como ahora sabemos, la magnitud de los vectores unitarios i , j , k es uno y existe un ángulo de 90° entre vectores unitarios base diferentes, así como 0° entre vectores unitarios base iguales. Ahora bien, recordemos que cos 90° 0 y cos 0° 1. Por tanto, se tiene:
i i 1 i j 0 j i 0
j j 1 j k 0 k j 0
k k 1 i k 0 k i 0
Ahora, es posible determinar el producto punto conociendo las componentes de dos vectores.
Problema resuelto
Obtener el producto punto A B.
Donde:
A 7i 5j 4k y B 2i 4j 3k
©
9
De esta forma, es posible demostrar que A B equivale a B A, debido a que el orden no altera el resultado en el producto punto; a esta cualidad se le llama ley conmutativa del producto escalar:
A B B A
1.11 La proyección de un vector sobre otro
Uno de los aspectos más importantes del producto escalar es que mediante este se puede obtener el módulo de una de las proyecciones de un vector sobre otro.
Supóngase que se tiene un par de vectores, B y A, cuya proyección del vector B sobre el vector A se denota por: proyAB B cos eA. Si esta fórmula se interpreta con palabras, significa que la proyección del vector B sobre el vector A es equivalente al producto de la magnitud del vector B ( B ), por el coseno del ángulo que separa al vector A del vector B, llamado por un vector con magnitud uno o vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que el vector A, llamado “eA”, o vector unitario en la misma dirección y el mismo sentido que el vector A.
Figura 1.11
Proyección de un vector B
sobre un vector A .
Interpretación geométrica del producto punto SA
SB
SA
SB u
SA u u
SB u cos
Proy S
A SB
SB cos e S
A
SA
e S
A vector unitario en sentido de SA
SB
La operación queda como:
A B (7i 5j 4k ) ( 2i 4j 3k )
Este resultado se obtiene siguiendo las operaciones que se listan a continuación:
(7i 5j 4k ) ( 2i 4j 3k )
(7i ) ( 2i ) (7i ) ( 4j ) (7i ) ( 3k ) ( 5j ) ( 2i ) ( 5j ) ( 4j )
( 5j ) ( 3k ) (4k ) ( 2i ) (4k ) ( 4j ) (4k ) ( 3k )
14(i ) (i ) 28(i ) ( j ) 21(i ) (k ) 10( j ) (i ) 20( j ) ( j ) 15( j ) (k )
8(k ) (i ) 16(k ) ( j ) 12(k ) (k )
En este caso, se eliminan los productos escalares entre vectores unitarios diferentes; por ejemplo: (i ) ( j ) 0. Por tanto, el segundo término 28(i ) ( j ) 0 se elimina y así sucesivamente, lo que da como resultado:
A B 14 20 12 6
Como se observa, el resultado de todo producto punto es un número, también llamado cantidad es-calar, de ahí su nombre de producto escalar. Es importante destacar que el resultado de un producto escalar entre dos vectores siempre es un número escalar.
Solución
10
UNIDAD
Primero, se tiene que:
A B 6
Después, se encuentra la magnitud del vector B:
B 2 4 16 9 2 29 5.3851
La magnitud del vector A es:
A 2 49 25 16 9.4868
Donde es el ángulo entre A y B:
cos 1 A B
A B
cos 1 6
(9.4868) (5.3851) cos 1
6
51.0874 cos 1( 0.1174) 96.744°
El vector unitario en la misma dirección del vector B es B
B:
eB 2i 4j 3k
5.3851
eB 0.3714i 0.74279j 0.55709k
proyBA A cos eB
La fórmula se interpreta con palabras de la siguiente manera:
proyBA A cos eB
La proyección del vector A sobre el vector B es igual a la magnitud del vector A por el coseno del ángulo , que separa al vector A del vector B.
Finalmente, todo esto es el factor escalar que multiplica al vector unitario eB.
Cabe hacer notar que este resultado es un vector con la misma dirección, pero sentido contrario que el vector B, puesto que eB es un vector unitario paralelo al vector B y con mismo sentido que el vector B. En caso de que a eB le anteceda un signo negativo, ello significa que este tiene sentido contrario a B:
proyBA (9.4868)( 0.1174)( 0.3714i 0.74279j 0.55709k )
proyBA 0.4145i 0.8323j 0.6205k )
Las componentes del vector B son negativas y las de proyBA son positivas. Como es de suponerse, la proyBA tiene sentido contrario a B.
La magnitud de la proyección del vector A sobre el vector B es:2 0.1718 0.6927 0.3850 2 1.2495 1.1178
De otra forma, también se puede escribir como:
proyBA (9.4868)( 0.1174)eB 1.11375032eB
Este se interpreta como un vector con magnitud 1.11375032, con sentido contrario al vector unitario eB.
Solución
Problema resuelto
Encontrar la proyección del vector A sobre el vector B.
Donde:
A 7i 5j 4k y B 2i 4j 3k
AlertaToda magnitud es positiva.
©
11
1.12 Producto vectorial o producto cruz
El producto vectorial, también llamado producto exterior, se define como:
Si A y B son vectores, A cruz B es el producto vectorial (A B).
El producto vectorial A B (A cruz B) se define como la magnitud del vector A por la magnitud del vector B, por el seno del ángulo , que separa a los dos vectores A y B, donde el ángulo es ma-yor o igual a cero y menor o igual a , por un vector unitario eu , perpendicular a los vectores A y B A B A B sen eu , donde eu es un vector unitario perpendicular a los vectores A y B, de modo que el resultado de todo producto vectorial es un nuevo vector perpendicular a los primeros dos. Aho-ra, se ve con más detalle cómo definir la dirección y el sentido del vector unitario eu .
Altura = uSB u sen
Área del paralelogramo = uSA ×
SB u = u
SB ×
SA u
SA
SB
uSA u
90°
Figura 1.12
Paralelogramo.
Una interpretación geométrica del valor absoluto de A B A B sen eu es que es igual al área de un paralelogramo con lados iguales a los vectores A y B.
Área de un paralelogramo A B B A
AlertaEs muy importante tener
presente que no es lo
mismo A B que B A ,
ya que A B B A .
A esta cualidad del
producto cruz se le conoce
como ley anticonmutativa
del producto vectorial y
se debe interpretar como
que A B tiene la misma
magnitud que B A ,
aunque B A tiene sentido
contrario a A B ; por
tanto: A B B A .
10i 20i 10(20)i i el ángulo que separa a estos dos vectores unitarios i es 0° y sen (0°) 0:
i i 1 1 sen (0°)eu 0
10i 20i 200(i i ) (200)0 0 llamado vector cero.
Solución
Problema resuelto
Calcular A B.
Si A 10i y B 20i
1.13 Producto cruz de los vectores base en coordenadas rectangulares
El producto vectorial entre vectores unitarios iguales es el vector cero 0, mientras que el producto vectorial entre dos vectores unitarios diferentes es un vector unitario perpendicular a los dos primeros; en este caso, su sentido se puede calcular mediante el uso de la regla de la mano derecha. La tabla 1.1 relaciona las doce posibles combinaciones de productos vectoriales entre los vectores unitarios ( i , j , k ).
12
UNIDAD
Tabla 1.1 Combinaciones de productos vectoriales entre vectores unitarios.
i i 0 i i 0 i j k j i k
j j 0 j j 0 i k j k i j
k k 0 k k 0 j k i k j i
A B 20i 5j 20 5(i j ) 100(i j )
Donde:
i j k
A B 100k
El ángulo que separa al vector unitario i del vector unitario j mide 90° y sen 90° 1.
Así:
i j 1 1 sen 90°k 1k
Según la regla de la mano derecha o la tabla de los productos vectoriales entre vectores base:
20i 5j 100k
Solución
Problema resuelto
Calcular el producto cruz A B, donde A 20i y B 5j .
A diferencia del producto punto, todo producto cruz siempre genera una cantidad vectorial y no un escalar; de ahí, su nombre de producto vectorial. Así, i i 0 todo producto cruz entre dos vectores paralelos, aunque no tengan el mismo sentido, es el vector cero 0; es raro pensar que existe un vector con magnitud cero. Parecería lógico que si el valor de su magnitud es cero, el vector ya no existiera; sin embargo, sí existe y todas sus componentes son iguales a cero, las cuales coinciden con los valores de la coordenada (0, 0, 0, … 0) en un espacio de n dimensiones R n. En el caso específico de vectores en un espacio tridimensional R 3, el vector cero 0 tiene las siguientes componentes: 0 0i 0j 0k; su sentido y dirección pueden ser cualquiera, incluso algo parecido al cero escalar. Es importante destacar que no se puede sumar un vector con un escalar, pero es lógico que sí se sumen vectores con vectores y escalares con escalares.
Por ejemplo:
A A 0 y A 0 A
De igual modo, no es posible sumar el escalar 4 al vector 3i 2j 4k:
j j 0
Como el vector 0 puede tener cualquier dirección, podemos considerarlo perpendicular al vector unitario j y entonces se cumpliría la condición de perpendicularidad que debe haber en el produc- to cruz de dos vectores k k 0, etcétera.
1.14 Regla de la mano derecha
Con la regla de la mano derecha se puede determinar el sentido del vector A B.
Con base en esta regla, la mano derecha se coloca de tal modo que los dedos se curven del vector A hacia el vector B, entre los cuales hay un ángulo ; como se muestra en las figuras 1.13 y 1.14 a), b) y c), el pulgar apunta en dirección y sentido del vector A B; j k i , k i j , i j k, respectivamente.
©
13
z
y
x
SA
SB
SA ×
SB es perpendicular a
SA y a
SB
SA ×
SB
0
Figura 1.13
El movimiento de los cuatro dedos es desde el vector A hasta el vector B , mientras
que el pulgar apunta hacia el vector A B .
^k
^j
^i
^j ×
^k =
^i
zpositivo
ypositivo
xpositivo
0
a)
^k
^j
^i
z
y
x
^k ×
^i =
^j
0
b)
^i ×
^j =
^k
z
y
x
^k
^j
^i
0
c)
Figura 1.14
a) Los dedos de la mano derecha se orientan en dirección del eje y positivo, mientras que el pulgar apunta hacia el eje x positivo; entonces, j k i . b) Usando la mano derecha se obtiene la dirección de k i j . c) Con la mano derecha se obtiene la dirección del producto cruz i j k .
A continuación se presenta un problema resuelto donde se quiere calcular el producto cruz de dos vectores conociendo sus componentes.
Problema resuelto
Realizar el producto cruz A B.
Donde:
A 2i 3j k y B 3i 2j 4k
A B (2i 3j k) ( 3i 2j 4k )
14
UNIDAD
Primero, se realiza una multiplicación algebraica, de la misma forma que en la multiplicación de dos polinomios:
A B 2( 3)i i 2(2)i j 2(4)i k 3( 3)j i 3(2)j j 3(4)j k ( 1)( 3)k i ( 1)(2)k j ( 1)(4)k k
Luego, se procede a realizar el producto cruz entre los vectores unitarios que aparecen en la ecuación anterior, los cuales se basan en la tabla 1.1, sobre el producto cruz entre los vectores unitarios base, de lo cual resulta:
A B 0 4k 8( j ) 9( k ) 6(0) 12i 3 j 2( i ) 4(0)
A B 4k 8j 9k 12i 3j 2i
A B 14i 5j 13k
Una fórmula fácil y rápida de recordar cómo se realiza cualquier producto cruz o vectorial es mediante un determinante por cofactores; aunque, como se sabe, este no es un determinante, ya que lo que re-sulta es un vector, y un determinante es un número escalar, esta se usa como una técnica mnemotécnica para recordar con facilidad cómo se efectúa la operación:
A B
i j k
2 3 1
3 2 4
i 3 1
2 4 j
2 1
3 4 k
2 3
3 2
i ((3)(4) ( 1)(2)) j ((2)(4) ( 1)( 3)) k((2)(2) (3)( 3))
(12 2)i (8 3)j (4 9)k 14i 5j 13k
A B 14i 5j 13k
Solución
A C
i j k
2 3 1
14 5 13
i 3 1
5 13 j
2 1
14 13 k
2 3
14 5
A C i ((3)(13) ( 1)( 5)) j ((2)(13) ( 1)(14)) k((2)( 5) (3)(14))
A C (39 5)i (26 14)j ( 10 42)k
A C 34i 40j 52k
Solución
Problema resuelto
Calcular A C.
Donde:
A 2i 3j k y C 14i 5j 13k
1.15 Teorema de Pitágoras y la magnitud de un vector tridimensional
El teorema de Pitágoras es fundamental en matemáticas, además de que tiene infinidad de posibles aplicaciones en física; en el caso de su aplicación en el cálculo de la resultante de la suma de dos vec-tores, que son perpendiculares entre sí, se puede pensar que la magnitud de cada uno de los vectores representa geométricamente los lados o catetos de un triángulo rectángulo. En este caso, lo que indica
©
15
el teorema de Pitágoras es que la suma del cuadrado de los lados es equivalente a la hipotenusa elevada al cuadrado. En otras palabras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los lados; esta relación geométrica permite resolver el problema de efectuar sumas de componentes en diferentes direcciones y calcular la magnitud de la resultante.
Teorema de Pitágoras
El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equivale a la suma del cuadrado de sus dos lados (véase figura 1.15):
c2 a2 b2
a + b = 90°
Lado b
b = VNc2 − a2
Lado a
a = VNc2 − b2
Hipotenusa c
c = VNa2 + b2
90°
c2 = a2 + b2
Figura 1.15
Teorema de Pitágoras.
Si se tienen los lados a y b de un triángulo rectángulo, su hipotenusa c es igual a la raíz cuadrada de la suma los cuadrados de sus lados:
c 2 a2 b2
En este caso, 4i y 7j se pueden interpretar como los lados de un triángulo rectángulo; así que si estos se suman vectorialmente se obtiene un vector resultante con la magnitud de la hipotenusa. De esta forma, aplicando el teorema de Pitágoras se tiene:
Magnitud de 4^i + 7
^j = VN42 + 72 = 8.0622
4^i + 7
^j
7^j
4^i
0
x
y
z
Figura 1.16
Solución
Problema resuelto
Calcular la magnitud del vector A 4i 7j 6k.
16
UNIDAD
Entonces, el vector con magnitud de 8.0622 se suma al vector perpendicular a este último, 6k, con magnitud 6, y luego se vuelve a aplicar el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo en posición vertical:
Plano x-y
Eje z
La magnitud de la resultante SR = |
SR | = VN8.06222 + 62
VN42 + 72 = 8.0622
|SR | = 10.049
|SR | = VNx2 + y2 + z 2
SR = 10.0498
VN8.06222 + 62 = VN42 + 72 + 62
6^k
0Vector 4
^i + 7
^j
Figura 1.17
90°90°
90°
90°
La suma de los vectores 4^i + 7
^j + 6
^k
es la resultante SR y su magnitud es
uSR u = VN42 + 72 + 62 = 10.0498
Ejez
Ejey
Ejex
6^k 6
^k
1
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
2
3
4
4^i
7^j
4 ^i + 7 ^
j
VN4 2 + 7 2 = 8.0622 = |4 ^i + 7 ^
j |
VN8.06222 + 6
2 = 10.0498 = |S
R |
Resultante =
SR
0
Figura 1.18
©
17
1.16 Triple producto mixto llamado triple producto escalar de tres vectores
Dados tres vectores, A, B y C, a la operación A (B C ) se le llama triple producto escalar de los vec-tores A, B y C, la cual se denota por [ A B C ]. Ahora bien, es posible hacer un ordenamiento cuadrado de elementos, como el que se hace en un determinante y desarrollarlo como tal. Así:
A A1i A2 j A3k
B B1i B2 j B3k
C C1i C2 j C3k
A (B C )
A1 A2 A3
B1 B2 B3
C1 C2 C3
A1 B2 B3
C2 C3 A2
B1 B3
C1 C3 A3
B1 B2
C1 C2
A1((B2) (C3) (B3) (C2)) A2((B1) (C3) (B3) (C1)) A3((B1) (C2) (B2) (C1))
Una interpretación del valor absoluto del triple producto escalar, A (B C ) , es que este equi-vale al volumen de un paralelepípedo de aristas A, B, C.
z
x
y
uSA (
SB
SC )u Volumen
h altura Proyección del vector SA sobre el vector
SB
SC
h
SA
SB
SC
(SB
SC ) Vector área
90
Figura 1.19
Volumen de un paralelepípedo con aristas A, B, C.
Si de nueva cuenta se hace uso del teorema de Pitágoras, el nuevo vector tiene magnitud de 8.0622 62 101 10.049; por tanto, la magnitud del vector 4i 7j 6k es 10.049.
La forma más rápida de obtener la magnitud de un vector es mediante el uso de la fórmula que se deduce a continuación, siempre y cuando se conozcan los tres componentes rectangulares de un vector tridimensional, como el que se realizó en el ejemplo anterior, expresados en una fórmula generalizada. Y es que la resultante es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes, aplicando directamente la fórmula:
R 2 ((x2 y2)1
2 )2 z2
R x2 y2 z2
R 42 72 62 101 10.049
18
UNIDAD
1.17 Triple producto vectorial
Si A, B y C son vectores, entonces A (B C ) (A C ) B (A B )C; por tanto, a esta operación se le conoce como triple producto vectorial, dado que, como su nombre lo indica, este es el producto vectorial de tres vectores.
Es importante tener en cuenta que A (B C ) no es igual a (A B ) C . Por otro lado, la operación A B C no tiene
ningún sentido, puesto que el orden en el que se tienen que llevar a cabo las operaciones no está indicado con el símbolo
de paréntesis. En el caso de A (B C ), primero hay que realizar (B C ) y una vez que se tiene el resultado se lleva a
cabo, en el orden indicado, en el producto cruz: A (B C ); hay que tener mucho cuidado de no invertir el orden, ya que el
producto cruz (B C ) A A (B C ).
Alerta
Es importante destacar que el producto vectorial no goza de la propiedad asociativa:
A (B C ) (A B) C
Las igualdades que se presentan a continuación son de gran utilidad para resolver problemas que tienen relación con el triple producto vectorial:
A (B C ) (A C)B (A B)C
(A B) C (A C )B (B C )A
Primero, se realiza el triple producto escalar A (B C ) y se toma el valor absoluto ese es el volumen del paralelepípedo:
A (B C )
2 3 1 3 2 4
14 5 13 2
2 4
5 13 3
3 4
14 13 1
3 2
14 5
2((2)(13) (4)( 5)) 3(( 3)(13) (4)(14)) 1(( 3)( 5) (2)(14))
2(26 20) 3( 39 56) (15 28) 92 285 13 390
Así, el valor absoluto de 390 es 390
(2i 3j k ) (( 3i 2j 4k) (14i 5j 13k ) 390 unidades volumétricas.
Solución
Problema resuelto
Calcular el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los siguientes vectores:
A 2i 3j k, B 3i 2j 4k y C 14i 5j 13k.
AlertaEl símbolo significa:
no es igual a.
Problema resuelto
Si se tienen tres vectores:
A 2i 3j k, B 3i 2j 4k y C i j 2k.
Calcular:
A (B C )
©
19
Otras identidades importantes del producto vectorial son:
a) (A B ) (C D ) (A C)(B D ) (B C)(A D ).
b) También si suponemos que A C y B D, entonces:
(A B ) (A B ) (A A)(B B ) (A B)(A B ).
A B2 A
2B
2 (A B )
2.
c) Por último, si se tienen tres vectores A, B y C:
A (B C ) B (C A) C (A B ) 0
1.18 Derivada de una función vectorial
A lo largo del texto se estudian funciones vecto-riales que dependen principalmente del escalar tiempo; por ejemplo, la función de posición r (t ):
r (t ) x(t )i y (t ) j z(t )k
Figura 1.20
z
x
y
Trayectoria descrita por Sr (t) = x(t)
^i + y(t)
^j + z(t)
^k
que se llama vector de posición
0
Δr(t) = Sr (t + Δt) − Sr (t)
S r (t +
Δt)
S r (t )
Primero, mediante el uso de la fórmula:
A (B C ) (A C )B (A B )C
Se tiene:
(A C ) (2)(1) 3( 1) ( 1)2 3
Entonces:
(A C )B 3( 3i 2j 4k ) 9i 6j 12k
(A B ) 2( 3) 3(2) ( 1)4 4
De modo que:
(A B )C 4(i j 2k ) 4i 4j 8k
Ahora sumamos:
(9i 6j 12k ) ( 4i 4j 8k ) 13i 10j 4k
Por tanto:
A (B C ) 13i 10j 4k
Solución
20
UNIDAD
r (t ) dr (t )
dt 6ti (3t 2 8t ) j 2k
Solución
Problema resuelto
La posición en el espacio está dada por la ecuación:
r (t ) x(t )i y (t ) j z(t )k
Donde:
x(t ) 3t 2, y (t ) t 3 4t 2, z (t ) 2(t ) 3
Calcular la derivada de la función vectorial: r (t ).
dr (t )
dt lím
t 0
r (t )
t lím
t 0
r (t t ) r (t )
t
La derivada de la función vectorial r (t ) es el límite de la razón de cambio entre el incremento vec-torial r (t ) y el incremento del parámetro escalar t, cuando este último tiende a cero.
©
21Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
1.1 Calcular si es posible 4i 64.
1.2 Determinar cuál es el inverso aditivo de ( 3i 2j 4k ).
1.3 Explicar si puede existir algún vector con magnitud cero.
1.4 Calcular el vector que tiene magnitud unitaria con la misma dirección y sentido que el vector A 4i 7j 6k.
1.5 Determinar si la siguiente igualdad es correcta:
5((2i 3j k ) ( 3i 2j 4k ))
5(2i 3j k ) 5( 3i 2j 4k )
1.6 Determinar si la siguiente ecuación es correcta:
(2i 3j k ) ( 3i 2j 4k ) ( 3i 2j 4k ) (2i 3j k )
1.7 Definir si la siguiente ecuación es correcta o incorrecta:
(2i 3j k ) (( 3i 2j 4k ) (14i 5j 13k ))
(2i 3j k ) ( 3i 2j 4k ) (2i 3j k ) (14i 5j 13k )
1.8 Encontrar cuál es el ángulo que separa a los vectores:
A (5i 2j 3k y B (i 4j 6k )
Recuerda que:
cos 1 A B
A B
1.9 Obtener la magnitud del vector A (2i 6j 7k ) y el pro-ducto punto A A. Comparar con el cuadrado de la magnitud del vector A. ¿La conclusión fue que: A A A 2?
1.10 Determinar cuál es el vector A B, si A (i 4j 2k ) y B (i 9j 6k ).
1.11 Realizar el producto punto (A B) (A B) del resulta-do obtenido en el problema 1.10. Comparar con el resultado
A B 2 A A B B 2(A B). ¿Cuál es la conclusión?
1.12 Realizar la siguiente operación:
A (A B)
Si A 4i 7j 6k y B (i 4j 6k ).
1.13 Realizar la siguiente operación:
C (C B)
Si B ( i 4j 6k) y C (5i 9j 8k ).
1.14 Explicar por qué en los problemas 1.12 y 1.13 se obtu-vo el mismo resultado.
1.15 Realizar las siguientes operaciones, dados los vecto-res:
A 2i 4j 6k, B 1i 3j 5k y C 2i 7j 9k
a) A (B C ), B (C A) y C (A B).
b) A (C B), B) (A C ) y C (B A).
1.16 Dados los vectores:
A i 4j 3k, B 1i 4j 6k y C 2i 7j 5k
Calcular:
a) (A B) C
b) (A C )B (B C )A
1.17 Dados los vectores:
A 2i 7j 11k, B 10i 4j 6k y C 2i 7j 5k
Calcular:
a) A (B C )
b) (A C )B (A B)C
1.18 Dados los vectores:
A 10i 6j 9k, B i 5j 6k y C 3i 6j 2k
Calcular:
a) (A B) (B C ) (C A)
b) (A (B C )) (A (B C ))
1.19 Un automóvil se mueve en dirección y sentido no-reste y recorre 56 km; después se mueve hacia el sur y recorre 77 km; por último, se mueve 38 km en dirección y sentido noroeste.
Calcular la distancia que hay en línea recta desde el punto de partida hasta el punto final de su trayecto.
1.20 Hallar el vector que represente la suma de los vec-tores:
A 3.4i 3.7j 6.2k y B 10.5i 15.4j 4.6k
1.21 Sumar los siguientes vectores:
(3i 4j 5k) (6i 7j 8k ) (9i 10j 11k )
( (2i 1j 9k))
1.22 Encontrar un vector que tenga la misma dirección y el mismo sentido que el vector A 5i 3j 6k, y que ade-más tenga magnitud 2.
1.23 Determinar el área encerrada en un paralelogramo que tiene como lados los vectores:
( 3i 4j 2k) y (3i 9j 5k )
1.24 Encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas los vectores:
(6i 5j 11k), (12i 4j 2k ) y (4i 2j 10k)
1.25 Encontrar un vector que sea perpendicular a los vec-tores ( 3i 4j 2k ) y (3i 9j 5k), y que su magnitud sea igual a 4.
1.26 Encontrar el ángulo entre los vectores:
(3i 4j 2k) y (3i 2j 6k )
1.27 Obtener por el método de determinantes por cofacto-res el producto vectorial:
(3i 2j 6k) (3i 4j 2k )
Problemas para resolver UNIDAD
22
Problemas para resolverUNIDAD
Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
1.28 Calcular el área de un triángulo contenido entre los vectores:
(4i 2j 6k) y (3i 5j 2k )
ALERTA: En este caso, se puede utilizar la fórmula área del triángulo
contenido entre dos vectores A y B , que es igual a la mitad de la
magnitud del producto cruz: A B .
1.29 Determinar las componentes del vector:
(i 2j 3k) (4i 5j 6k )
1.30 Calcular la magnitud del vector:
(i 2j 3k) (2i 4j 6k )
1.31 Calcular la magnitud del vector:
(2i 3j 4k) (4i 6j 8k )
1.32 Explicar por qué se obtuvieron los mismos resultados en los problemas 1.30 y 1.31.
1.33 Calcular el producto punto:
(0.57732i 0.57732j 0.57732k)
(0.57732i 0.57732j 0.57732k )
Explicar el resultado.
1.34 Calcular:
(2i 3j 4k) (2i 3j 4k )
Explicar el resultado.
1.35
a) Calcular la magnitud del vector:
0.4714i 0.4714j 0.4714k.
b) Calcular: (0.4714i 0.4714j 0.4714k )
(0.4714i 0.4714j 0.4714k ).
c) Calcular el cuadrado de la magnitud del vector:
0.4714i 0.4714j 0.4714k.
d) Explicar la relación que existe entre estos tres resul-tados.
1.36 Calcular:
a) (2i 3j 4k ) (2i 3j 4k ) (9i 7j 3k )
b) (9i 7j 3k ) (2i 3j 4k ) (9i 7j 3k )
c) Explicar por qué se obtienen los mismos resultados en los incisos anteriores.
1.37 Dados los vectores (2i 3j 4k ) y (9i 7j 3k ), en-contrar el ángulo 1 que los separa.
1.38 Obtener la magnitud de los vectores (2i 3j 4k ) y (9i 7j 3k ).
1.39 Con base en los resultados de los problemas 1.37 y 1.38, realizar la siguiente operación:
(2i 3j 4k ) (9i 7j 3k ) sen ( 1).
1.40 Calcular la magnitud del vector (2i 3j 4k ) (9i 7j 3k ), resultado del problema 1.39.
1.41 Comparar los resultados obtenidos en los problemas 1.39 y 1.40 y explicar la igualdad entre ambos resultados.
1.42 Obtener la magnitud del vector:
(5.7735i 5.7735j 5.7735k )
1.43 Obtener el vector unitario del vector:
(5.7735i 5.7735j 5.7735k )
1.44 Comparar las respuestas de los problemas 1.42 y 1.43, y explicar por qué existe una relación de 1:10.
1.45 Si A i 2j 3k, B 4i 5j 3k, C 2i 1j 7k y D 4i 2j k.
Calcular:
(D A) (C B )
ALERTA: Buscar la identidad adecuada para la solución de este
problema en la sección de producto vectorial.
1.46 Calcular el volumen de un paralelepípedo formado por vectores que son coplanarios; es decir, que se encuen-tran sobre un mismo plano.
1.47 Calcular el volumen de un paralelepípedo que tiene por aristas los vectores:
A 4i 5j 3k, B 2i 1j 7k y C 4i 2j k
1.48 Calcular el volumen de un paralelepípedo que tiene por aristas los vectores:
A 2i 4j 3k, B 4i 8j 0k y C 0i 0j 10k
1.49 Dibujar los vectores del problema 1.48 y observar si todos se encuentran sobre un mismo plano. Explicar el resul-tado del problema 1.48 en función de los dibujos.
1.50 Si x(t ) 4t 3, y(t ) 2t 4 5t 3, z(t ) 3t 2 3t y r (t ) x(t )i y(t )j z(t )k.
Obtener la expresión:
dr (t )
dt
dx(t )
dti
dy(t )
dt j
dz(t )
dtk
ALERTA: La expresión dy (t )
dt significa primera derivada de y (t )
respecto a t, y así sucesivamente: dx (t )
dt,
dz (t )
dt.
1.51 Si x(t ) t 4, y(t ) t 2 6t, z(t ) 4t 3 5t 2 3 y r (t ) x(t )i y(t )j z(t )k.
23Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
Obtener la expresión:
d 2r (t )
dt 2
d 2x(t )
dt 2i
d 2y(t )
dt 2 j
d 2z(t )
dt 2k
ALERTA: La expresión d 2x (t )
dt 2 significa segunda derivada de x (t )
respecto a t, y así sucesivamente d 2y
dt 2,
d 2z
dt 2, etc.
1.52 Graficar 2ti 3tj para t 1, t 2, t 0, t 3 y unir los puntos finales de cada vector.
1.53 Graficar 2ti 3t 2j para t 1, t 2, t 0 y unir los pun-tos finales de cada vector.
1.54 Graficar 25j t 2j para t 1, t 2, t 0, t 3, t 4, t 5, y marcar con color el punto final de cada vector.
1.55 Explicar cómo se puede saber si tres vectores son co-planarios.
Supóngase que los vectores A cos i sen j , B sen i cos j , donde k es el vector unitario en el sentido positivo del eje z.
ALERTA: No es necesario conocer el significado del ángulo para
resolver este problema.
Demostrar que:
a) A B k.
b) B k A.
c) k A B.
d ) Calcular la magnitud de los vectores A y B.
Demostrar que la longitud de la suma de dos vectores A y B, separados por un ángulo , es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de la magnitud de uno de los vectores más el cuadrado de la magnitud del otro vector más dos veces el producto de las magnitudes de dichos vectores por el coseno del ángulo que los separa.
A B 2 A 2 B 2 2 A B cos
Obtener mentalmente el resultado de la siguiente operación:
(3i 2j 6k ) ((3i 2j 6k ) (3i 4j 2k ))
ALERTA: Observa cuidadosamente los tres vectores; recuerda que el producto
punto entre vectores perpendiculares es cero y que el resultado de todo producto
cruz entre dos vectores es un nuevo vector perpendicular a los dos primeros.
PROBLEMAS RETO
1
2
3
©
24
UNIDAD
Obtener mentalmente el resultado de la siguiente operación:
(3i 4j 2k ) (9i 12j 6k )
ALERTA: Observe cuidadosamente las componentes y busque alguna
linealidad entre las componentes de los dos vectores.
4
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Hwei, P. Hsum. Análisis vectorial. Fondo educativo interamericano. México. 1973.
Halliday, D., Resnick, R. Física Vol. 1, 5a edición. Grupo Editorial Patria. México. 2006.
Hauser, W., Introducción a los Principios de la Mecánica. Ed. Hispano Americana. México. 1969.
Pita, Ruiz Claudio, Cálculo vectorial. Prentice-Hall. México. 1995.
Marsden, Jerrold E., Tromba Antony J. Cálculo vectorial. Pearson Addison Wesley, 5a edi-ción. España. 2006.
Murray, R. Spiegel. Análisis vectorial. McGraw-Hill. 1970.
McCallum, W., Gleason, Andrew., Hughes, Debora. Cálculo de varias variables. Grupo Edi-torial Patria. México. 2004.
REFERENCIAS ELECTRÓNICAS
http://www.youtube.com/watch?v=OFxVGpBsLk4
http://www.youtube.com/watch?v=1jSlX5OfdK4
http://www.youtube.com/watch?v=61TXei-4IDA
http://www.youtube.com/watch?v=JNByYXg6dx8