mecánica para ingeniería dinámica [anthony bedford, wallace fowler]

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MECNICA PARA INGENIERiA'~~~~:1~1

Anthony Bedfordy

Wallace FowlerThe University 01 Texas (Austin)

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Versin en espaol deJos E. de la Cera Alonso

Universidad Autnoma MetropolitanaUnidad Azcapotzalco, Mxico

Con la colaboracin deAntonio Martn-Lunas

Universidad Autnoma MetropolitanaUnidad Azcapotzalco, Mxico

MXIco ARGE~A BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CIflLEESPAA GUATEMALA PER PUERTO RICO VENEZUELA

MECNICA PARA INGENIERiA~~~~

lea Anthony Bedford

y Wallace Fowler

The University 01 Texas (Austin)

Versin en espaol de Jos E. de la Cera Alonso

Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Azcapotza/co, Mxico

Con la colaboracin de Antonio Martn-Lunas

Universidad Autnoma Metropolitana Unidad A zcapotza/co, Mxico

MXlco ARGENTI!

Versin en espaol de la obra titulada Engineering Mechanics: Dynamics, de A. Bedford yW. L. Fowler, publicada originalmente en ingls por Addison-Wesley Publishing Company,Reading, Massachusetts, E.U.A. 1995 por Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Crditos de fotografas:

Portada: Medford Taylor/Superstock;fig. 2.11, The Harold E. Edgerton 1992 Trust, cortesa de Palm Press, Inc.;fig. 2.44, cortesa de Intelsat;fig. 4.2 U.S. Geological Survey;fig. 5.4, The Harold E. Dgerton 1992 Trust, cortesa de Palm Press, Inc.;fig. 5.54, The Harold E. Dgerton 1992 Trust, cortesa de Palm Press, Inc.;fig. 6.44 (a y b), NASA;fig. 10.20, U.S. Geological Survey.

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Registro No. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse,registrarse o transrnitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni porningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia,grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin laautorizacin del editor o de sus representantes.

1996 por Addison Wesley Iberoamericana, S.A.

DR 2000 por Addison Wesley Longman de Mxico, S.A. de c.v.Calle 4 No. 25-2do. pisoFracc. Industrial Alce Blanco53370 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

ISBN 968-444-471-0

Impreso en Mxico/Printed in Mexico1 2 3 4 5 6 7 8 9 O 03 02 01 00 99

2000O

OMAY

GRAFICAS MONTE ALBAN S.A. DE e.FRAC. AGRO-INDUSTRIAL LA CRUZOUERETARO, ORO.

Versin en espaol de la obra titulada Engineering Mechanics: Dynamics, de A. Bedford y W. L. Fowler, publicada originalmente en ingls por Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, E.U.A. 1995 por Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Crditos de fotografas:

Portada: Medford Taylor/Superstock; fig. 2.11, The Harold E. Edgerton 1992 Trust, cortesa de Pa1m Press, Inc.; fig. 2.44, cortesa de Intelsat; fig. 4.2 U.S. Geological Survey; fig. 5.4, The Harold E. Dgerton 1992 Trust, cortesa de Palm Press, Inc.; fig. 5.54, The Harold E. Dgerton 1992 Trust, cortesa de Palm Press, Inc.; fig. 6.44 (a y b), NASA; fig. 10.20, U.S. Geological Survey.

1996 por Addison Wesley Iberoamericana, S.A.

D.R. 2000 por Addison Wesley Longman de Mxico, S.A. de c.v. Calle 4 No. 25-2do. piso Fracc. Industrial Alce Blanco 53370 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Registro No. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 968-444-471-0

Impreso en Mxico/ Printed in Mexico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O 03 02 01 00 99

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GRAFICAS MONTE ALBAN S.A. DE C.v. FRAC. AGRO-INDUSTRIAL LA CRUZ aUERETARO, aRO.

2000 O


SOBRE LOS AUTORES iii

Sobre los autores

Anfhony Bedford es profesor de ingeniera aeroespacial e ingenieramecnica en la University of Texas en Austin. Obtuvo su licenciatura en laUniversity of Texas en Austin, su grado de maestra en el California Insti-tute of Technology, y su doctorado en la Rice University en 1967.Adquiriexperiencia industrial en la Douglas Aircraft Company y en TRW Systems,y ha sido profesor en la University of Texas en Austin desde 1968.

La principal actividad profesional del doctor Bedford ha sido la educa-cin y la investigacin en ingeniera mecnica. Es autor y coautor de mu-chos artculos cientficos sobre mecnica de materiales compuestos y dedos libros, Hamilton's Principie in Continuum Mechanics e Introductionto Elastic Wave Propagation. Ha desarrollado cursos para estudiantes delicenciatura y de posgrado en mecnica, y se le premi con el GeneralDynamics Teaching Excellence Award.

El doctor Bedford es ingeniero profesional y miembro de la AcousticalSociety of America, de la American Society for Engineering Education,de la American Academy of Mechanics y de la Society for Natural Philo-sophy.

Wallace L.Fowler es profesor de ingeniera en el departamento de in-geniera aeroespacial e ingeniera mecnica de la University of Texas enAustin. El doctor Fowler obtuvo sus grados de licenciatura, maestra ydoctorado en la University of Texas en Austin, en donde ha sido profesordesde 1966. Durante 1976 fue miembro del personal acadmico de la Uni-ted States Air Force Pilot School, Edwards Air Force Base, California,yen 1981-1982 fue profesor visitante en la United States Air Force Aca-demy. Desde 1991 ha sido director del Texas Space Grant Consortium.

Las reas de enseanza e investigacin del doctor Fowler son la dinmi-ca, la mecnica orbital y el diseo de vehculos para misiones espacia-les. Es autor y coautor de muchos artculos tcnicos sobre optimacin detrayectorias y sobre dinmica de posicin; ha publicado tambin muchosartculos sobre teora y prctica de la enseanza de la ingeniera. Ha recibidonumerosos premios de enseanza, entre los que se cuentan el Chancellor~-~Council Outstanding Teaching Award, el General Dynamics Teaching Ex-cellence Award, el Halliburton Education Foundation Award of Excellen-ce y el AIAA-ASEE Distinguished Aerospace Educator Award.

El doctor Fowler es ingeniero profesional, miembro de muchas socieda-des tcnicas y del American Institute of Aeronautics and Astronautics yde la American Society for Engineering Education.

Sobre los autores

Anfhony Bedford es profesor de ingeniera aeroespacial e ingeniera mecnica en la University of Texas en Austin. Obtuvo su licenciatura en la University of Texas en Austin, su grado de maestra en el California Insti-tute of Technology, y su doctorado en la Rice U niversity en 1967. Adquiri experiencia industrial en la Douglas Aircraft Company y en TRW Systems, y ha sido profesor en la University of Texas en Austin desde 1968.

La principal actividad profesional del doctor Bedford ha sido la educa-cin y la investigacin en ingeniera mecnica. Es autor y coautor de mu-chos artculos cientficos sobre mecnica de materiales compuestos y de dos libros, Hamilton's Principie in Continuum Mechanics e Introduction to Elastic Wave Propagation. Ha desarrollado cursos para estudiantes de licenciatura y de pos grado en mecnica, y se le premi con el General Dynamics Teaching Excellence Award.

El doctor Bedford es ingeniero profesional y miembro de la Acoustical Society of America, de la American Society for Engineering Education, de la American Academy of Mechanics y de la Society for Natural Philo-sophy.

Wallace L. Fowler es profesor de ingeniera en el departamento de in-geniera aeroespacial e ingeniera mecnica de la University of Texas en Austin. El doctor Fowler obtuvo sus grados de licenciatura, maestra y doctorado en la University of Texas en Austin, en donde ha sido profesor desde 1966. Durante 1976 fue miembro del personal acadmico de la Uni-ted States Air Force Pilot School, Edwards Air Force Base, California, y en 1981-1982 fue profesor visitante en la United States Air Force Aca-demy. Desde 1991 ha sido director del Texas Space Grant Consortium.

Las reas de enseanza e investigacin del doctor Fowler son la dinmi-ca, la mecnica orbital y el diseo de vehculos para misiones espacia-les. Es autor y coautor de muchos artculos tcnicos sobre optimacin de trayectorias y sobre dinmica de posicin; ha publicado tambin muchos artculos sobre teora y prctica de la enseanza de la ingeniera. Ha recibido numerosos premios de enseanza, entre los que se cuentan el Chancellor~-~ Council Outstanding Teaching Award, el General Dynamics Teaching Ex-cellence Award, el Halliburton Education Foundation Award of Excellen-ce y el AIAA-ASEE Distinguished Aerospace Educator Award.

El doctor Fowler es ingeniero profesional, miembro de muchas socieda-des tcnicas y del American Institute of Aeronautics and Astronautics y de la American Society for Engineering Education.

SOBRE LOS AUTORES iii


iv PREFACIO

Figura 7.16

y

e

---x

(a) Diagrama de cuerpo libre de larueda.

y

(b) Aceleracin del centro de masa Gen funcin de la aceleracin delcentro A.

Prefacio ~~~~Durante veinticinco aos hemos impartido el curso introductorio de dossemestres de ingeniera mecnica. Durante ese tiempo, los estudiantes noshan manifestado con frecuencia que pueden entender la exposicin de lamateria en clase, pero que tienen dificultad para comprender el libro detexto. Este comentario nos indujo a examinar lo que hace el profesor enel aula que difiere de la presentacin tradicional de los libros de texto,y la conclusin obtenida fue la redaccin de este libro. Nuestro procedi-miento es presentar el material como lo hacemos en clase, utilizando msfiguras y haciendo nfasis en la importancia del anlisis visual minuciosoy la comprensin de los conceptos. A lo largo del libro consideramos quelos estudiantes son nuestro auditorio.

Objetivos y temasResolucin de problemas Aqu destacamos la importancia crticade adquirir destreza en la resolucin de problemas. En los ejemplos resuel-tos enseamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de queempiecen a resolverlos. Qu principios son aplicables? Qu se debe de-terminar y en qu orden? Las secciones llamadas Estrategia que precedena casi todos los ejemplos son para ilustrar este anlisis preliminar. Luegodamos una descripcin cuidadosa y completa de la solucin, mostrandoa meriudo mtodos alternativos. Finalmente, muchos ejemplos concluyencon una seccin de Comentarios que sealan caractersticas de la solucin,analizan o comparan mtodos alternativos de solucin, o bien muestranmaneras de verificar las respuestas (vase el Ej. 3.2, pgs. 106-107). Nues-tro objetivo es ensear a los estudiantes cmo abordar los problemas yevaluar crticamente los resultados. Adems, para aquellos estudiantesque nos dicen que entienden el material de clase pero que no saben cmoempezar a resolver los problemas de tarea, les proporcionamos tambinbreves secciones de Estrategia en algunos problemas seleccionados.

Visualizacin Uno de los elementos esenciales para tener xito en laresolucin de problemas es la visualizacin, en especial el uso de diagramasde cuerpo libre. En el aula, el profesor puede dibujar un diagrama pasoa paso, describiendo cada uno de stos y desarrollando la solucin en para-lelo con el diagrama. Hemos hecho lo mismo en este libro, es decir, hemosmostrado la misma secuencia de diagramas que usamos en clase, indicandocon claridad las relaciones entre ellos. Por ejemplo, en vez de simplementemostrar un diagrama de cuerpo libre, repetimos la figura inicial con laparte aislada resaltada y lo dems con una imagen menos intensa (vaseel Ej. 8.2, pgs. 378-379). De esta manera mostramos al estudiante exacta-mente cmo aislar la parte que se convertir en el diagrama de cuerpolibre. En el Ej. 9.8, pg. 456, usamos una imagen tenue paa indicar elmovimiento de un cuerpo rgido alrededor de un eje. Esto ayuda a losestudiantes a visualizar el verdadero movimiento del cuerpo.

Utilizamos colores para ayudar a los estudiantes a distinguir y entenderlos diversos elementos de las figuras. Usando de manera consistente losmismos colores para elementos particulares, 'como el azul para los vectoresde fuerza y el verde para las aceleraciones, hemos tratado de hacer que el

iv PREFACIO

Figura 7.16

y

e

---x

(a) Diagrama de cuerpo libre de la rueda.

y

(b) Aceleracin del centro de masa G en funcin de la aceleracin del centro A.

Prefacio Durante veinticinco aos hemos impartido el curso introductorio de dos semestres de ingeniera mecnica. Durante ese tiempo, los estudiantes nos han manifestado con frecuencia que pueden entender la exposicin de la materia en clase, pero que tienen dificultad para comprender el libro de texto. Este comentario nos indujo a examinar lo que hace el profesor en el aula que difiere de la presentacin tradicional de los libros de texto, y la conclusin obtenida fue la redaccin de este libro. Nuestro procedi-miento es presentar el material como lo hacemos en clase, utilizando ms figuras y haciendo nfasis en la importancia del anlisis visual minucioso y la comprensin de los conceptos. A lo largo del libro consideramos que los estudiantes son nuestro auditorio.

Objetivos y temas Resolucin de problemas Aqu destacamos la importancia crtica de adquirir destreza en la resolucin de problemas. En los ejemplos resuel-tos enseamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a resolverlos. Qu principios son aplicables? Qu se debe de-terminar y en qu orden? Las secciones llamadas Estrategia que preceden a casi todos los ejemplos son para ilustrar este anlisis preliminar. Luego damos una descripcin cuidadosa y completa de la solucin, mostrando a menudo mtodos alternativos. Finalmente, muchos ejemplos concluyen con una seccin de Comentarios que sealan caractersticas de la solucin, analizan o comparan mtodos alternativos de solucin, o bien muestran maneras de verificar las respuestas (vase el Ej. 3.2, pgs. 106-107). Nues-tro objetivo es ensear a los estudiantes cmo abordar los problemas y evaluar crticamente los resultados. Adems, para aquellos estudiantes que nos dicen que entienden el material de clase pero que no saben cmo empezar a resolver los problemas de tarea, les proporcionamos tambin breves secciones de Estrategia en algunos problemas seleccionados.

Visualizacin Uno de los elementos esenciales para tener xito en la resolucin de problemas es la visualizacin, en especial el uso de diagramas de cuerpo libre. En el aula, el profesor puede dibujar un diagrama paso a paso, describiendo cada uno de stos y desarrollando la solucin en para-lelo con el diagrama. Hemos hecho lo mismo en este libro, es decir, hemos mostrado la misma secuencia de diagramas que usamos en clase, indicando con claridad las relaciones entre ellos. Por ejemplo, en vez de simplemente mostrar un diagrama de cuerpo libre, repetimos la figura inicial con la parte aislada resaltada y lo dems con una imagen menos intensa (vase el Ej. 8.2, pgs. 378-379). De esta manera mostramos al estudiante exacta-mente cmo aislar la parte que se convertir en el diagrama de cuerpo libre. En el Ej. 9.8, pg. 456, usamos una imagen tenue paa indicar el movimiento de un cuerpo rgido alrededor de un eje. Esto ayuda a los estudiantes a visualizar el verdadero movimiento del cuerpo.

Utilizamos colores para ayudar a los estudiantes a distinguir y entender los diversos elementos de las figuras. Usando de manera consistente los mismos colores para elementos particulares,como el azul para los vectores de fuerza y el verde para las aceleraciones, hemos tratado de hacer que el


PREFACIO V

la

libro sea ms fcil de leer y entender para los estudiantes (vase p. ej., laFig. 7.16 ala izquierda). Adems, el realismo de las ilustraciones motiva alos estudiantes (vanse las Figs. 3.7 de la pg. 117 Y5.13 de la pg. 202,Y las ilustraciones de los problemas a lo largo del libro).

nfasisen losprincipios bsicos Nuestro objetivo principal en estelibro es ensear a los estudiantes los conceptos y mtodos fundamentales.En vez de presentar la dinmica como una secuencia de mtodos indepen-dientes, subrayamos su coherencia al demostrar que las tcnicas de energay de cantidad de movimiento se pueden derivar de la segunda ley de New-ton. Aplicamos el mismo enfoque a un sistema de partculas para obtenerlas ecuaciones que describen la dinmica de los cuerpos rgidos, y al expli-car el movimiento de estos cuerpos empleamos de manera consistente elvector de la velocidad angular y las ecuaciones vectoriales que describenlos movimientos relativos de los puntos. Por tradicin, los textos de din-mica tratan los cuerpos rgidos antes de mostrar que la suma de las fuerzasexternas que actan sobre un cuerpo es igual al producto de su masa porla aceleracin de su centro de masa. Aqu presentamos este sencillo resulta-do inmediatamente despus de explicar la segunda ley de Newton, en elCap. 3, porque hemos comprobado que nuestros alumnos adquieren con-fianza en sus soluciones cuando no necesitan decidir si un cuerpo dadopuede modelarse como partcula o no; saben que deben determinar el mo-vimiento de su centro de masa. Para ayudar a los estudiantes a identificarresultados importantes, se destacan las ecuaciones clave (p. ej., vase lapg. 18), y los conceptos analizados en cada captulo se refuerzan volvin-dolos a presentar en un resumen al final de cada captulo.

Mentalidad de ingenieros La ingeniera es una disciplina apasio-nante que requiere creatividad e imaginacin, as como conocimientos yuna manera de pensar sistemtica. En este libro tratamos de mostrar elpapel que desempea la mecnica dentro del contexto ms amplio de laprctica de la ingeniera. Los ingenieros de la industria y la Junta parala Acreditacin de la Ingeniera y la Tecnologa (ABET, Accrediting Boardfor Engineering and Technology) fomentan en los profesores la inclusindel diseo en las primeras etapas del currculo de ingeniera. En muchosde los ejemplos y problemas incluimos ideas sencillas sobre diseo y seguri-dad sin sacrificar el nfasis en la mecnica fundamental. Muchos proble-mas se plantean en funcin de consideraciones de diseo y seguridad (p.ej., vanse los Probs. 3.101 y 3.102, pg. 136); en algunos casos se pidea los estudiantes que escojan un parmetro de diseo de entre un conjuntode valores posibles con base en un criterio especificado (p. ej., vanse losProbs. 4.118, pg. 180, y 4.125, pg. 181). Nuestros estudiantes han res-pondido positivamente a estos elementos motivantes y han desarrolladouna conciencia de cmo se aplican esas ideas esenciales en la ingeniera.

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Caractersticas pedaggicasCon base en nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas,hemos incluido varios aspectos pedaggicos para ayudar a los estudiantesa aprender y a ampliar su perspectiva de la mecnica.

libro sea ms fcil de leer y entender para los estudiantes (vase p. ej., la Fig. 7.16 a la izquierda). Adems, el realismo de las ilustraciones motiva a los estudiantes (vanse las Figs. 3.7 de la pg. 117 Y 5.13 de la pg. 202, Y las ilustraciones de los problemas a lo largo del libro). nfasis en los principios bsicos Nuestro objetivo principal en este libro es ensear a los estudiantes los conceptos y mtodos fundamentales. En vez de presentar la dinmica como una secuencia de mtodos indepen-dientes, subrayamos su coherencia al demostrar que las tcnicas de energa y de cantidad de movimiento se pueden derivar de la segunda ley de New-ton. Aplicamos el mismo enfoque a un sistema de partculas para obtener las ecuaciones que describen la dinmica de los cuerpos rgidos, y al expli-car el movimiento de estos cuerpos empleamos de manera consistente el vector de la velocidad angular y las ecuaciones vectoriales que describen los movimientos relativos de los puntos. Por tradicin, los textos de din-mica tratan los cuerpos rgidos antes de mostrar que la suma de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo es igual al producto de su masa por la aceleracin de su centro de masa. Aqu presentamos este sencillo resulta-do inmediatamente despus de explicar la segunda ley de Newton, en el Cap. 3, porque hemos comprobado que nuestros alumnos adquieren con-fianza en sus soluciones cuando no necesitan decidir si un cuerpo dado puede modelarse como partcula o no; saben que deben determinar el mo-vimiento de su centro de masa. Para ayudar a los estudiantes a identificar resultados importantes, se destacan las ecuaciones clave (p . ej., vase la pg. 18), y los conceptos analizados en cada captulo se refuerzan volvin-dolos a presentar en un resumen al final de cada captulo .

Mentalidad de ingenieros La ingeniera es una disciplina apasio-nante que requiere creatividad e imaginacin, as como conocimientos y una manera de pensar sistemtica. En este libro tratamos de mostrar el papel que desempea la mecnica dentro del contexto ms amplio de la prctica de la ingeniera. Los ingenieros de la industria y la Junta para la Acreditacin de la Ingeniera y la Tecnologa (ABET, Accrediting Board for Engineering and Technology) fomentan en los profesores la inclusin del diseo en las primeras etapas del currculo de ingeniera. En muchos de los ejemplos y problemas incluimos ideas sencillas sobre diseo y seguri-dad sin sacrificar el nfasis en la mecnica fundamental. Muchos proble-mas se plantean en funcin de consideraciones de diseo y seguridad (p. ej., vanse los Probs. 3.101 y 3.102, pg. 136); en algunos casos se pide a los estudiantes que escojan un parmetro de diseo de entre un conjunto de valores posibles con base en un criterio especificado (p. ej., vanse los Probs. 4.118, pg. 180, y 4.125, pg. 181). Nuestros estudiantes han res-pondido positivamente a estos elementos motivantes y han desarrollado una conciencia de cmo se aplican esas ideas esenciales en la ingeniera.

Caractersticas pedaggicas Con base en nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos incluido varios aspectos pedaggicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva de la mecnica.

PREFACIO V


vi PREFACIO

Estrategia para la resolucin de problemas Los ejemplos re-sueltos y los problemas de tarea constituyen la piedra angular de un cursode mecnica. A lo largo del libro proporcionamos descripciones de losmtodos usados en los ejemplos, que los estudiantes encontrarn de utili-dad al plantear y resolver los problemas. No damos recetas para que losestudiantes las sigan rgidamente, ms bien, describimos lneas generalesde anlisis aplicables a una amplia gama de problemas, damos consejostiles y avisos sobre dificultades comunes, que equivalen a la informacindada a nuestros estudiantes durante las horas de consulta (p. ej., vanselas pgs. 33, 242, 262 y 311).

Aplicaciones Muchos de nuestros ejemplos y problemas son tomadosde la prctica de la ingeniera y comprenden desde artculos caseros fami-liares hasta aplicaciones bastante exticas de la ingeniera. Adems, losejemplos titulados" Aplicaciones a la ingeniera" proporcionan estudiosde casos ms detallados de diferentes ramas de la ingeniera. Estos ejem-plos muestran cmo los principios aprendidos en el texto son directamenteaplicables a problemas actuales y futuros de la ingeniera. Nuestra metaes ayudar a los estudiantes a ver la importancia de la mecnica en esasaplicaciones y motivarlos para que la aprendan (vanse, p. ej., las pgs.79, 118 y 218).

Problemas con computador Las encuestas indican que la mayorparte de los profesores hace algn uso de los computadores, pero no hayconsenso sobre la manera en que deberan hacerlo. Nosotros damos alprofesor la oportunidad de iniciar a los estudiantes en las aplicaciones de lacomputacin a la dinmica (incluido el empleo de las diferencias finitaspara integrar las ecuaciones del movimiento) sin imponer una metodologaparticular. Las secciones llamadas' 'Ejemplo con computador" contienenejemplos y problemas adecuados al uso de una calculadora programableo de un computador (vanse, p. ej., las pgs. 128y 174). El profesor puedeescoger cmo deben resolver los estudiantes esos problemas: usando un len-guaje de programacin, una hoja de clculo o un ambiente de alto nivel parala resolucin de problemas. Esas secciones son independientes y completas.

Principio de captulos Comenzamos cada captulo con una ilustra-cin que muestra una aplicacin de las ideas estudiadas en el captulo,a menudo escogiendo objetos familiares a los estudiantes. Al mostrar alos estudiantes cmo los conceptos de este curso se relacionan con el diseoy funcionamiento de objetos familiares, ellos pueden empezar aapreciarla importancia y lo atractivo de la ingeniera como carrera (vanse las pgs.98, 230 y 302).

Compromiso con los estudiantes y profesoresHemos tomado precauciones para asegurar la exactitud de este libro. Losrevisores examinaron cada parte del manuscrito tratando de detectar posi-bles errores. Cada uno de nosotros resolvi los problemas para asegurar-nos de que sus respuestas fuesen correctas y que los problemas tuvieranun nivel apropiado de dificultad. James Whitenton examin el texto com-pleto en busca de errores que se pudieran haber introducido durante elproceso tipogrfico.

vi PREFACIO

Estrategia para la resolucin de problemas Los ejemplos re-sueltos y los problemas de tarea constituyen la piedra angular de un curso de mecnica. A lo largo del libro proporcionamos descripciones de los mtodos usados en los ejemplos, que los estudiantes encontrarn de utili-dad al plantear y resolver los problemas. No damos recetas para que los estudiantes las sigan rgidamente, ms bien, describimos lneas generales de anlisis aplicables a una amplia gama de problemas, damos consejos tiles y avisos sobre dificultades comunes, que equivalen a la informacin dada a nuestros estudiantes durante las horas de consulta (p. ej., vanse las pgs. 33, 242, 262 y 311).

Aplicaciones Muchos de nuestros ejemplos y problemas son tomados de la prctica de la ingeniera y comprenden desde artculos caseros fami-liares hasta aplicaciones bastante exticas de la ingeniera. Adems, los ejemplos titulados" Aplicaciones a la ingeniera" proporcionan estudios de casos ms detallados de diferentes ramas de la ingeniera. Estos ejem-plos muestran cmo los principios aprendidos en el texto son directamente aplicables a problemas actuales y futuros de la ingeniera. Nuestra meta es ayudar a los estudiantes a ver la importancia de la mecnica en esas aplicaciones y motivarlos para que la aprendan (vanse, p. ej., las pgs. 79, 118 y 218).

Problemas con computador Las encuestas indican que la mayor parte de los profesores hace algn uso de los computadores, pero no hay consenso sobre la manera en que deberan hacerlo. Nosotros damos al profesor la oportunidad de iniciar a los estudiantes en las aplicaciones de la computacin a la dinmica (incluido el empleo de las diferencias finitas para integrar las ecuaciones del movimiento) sin imponer una metodologa particular. Las secciones llamadas' 'Ejemplo con computador" contienen ejemplos y problemas adecuados al uso de una calculadora programable o de un computador (vanse, p. ej., las pgs. 128 y 174). El profesor puede escoger cmo deben resolver los estudiantes esos problemas: usando un len-guaje de programacin, una hoja de clculo o un ambiente de alto nivel para la resolucin de problemas. Esas secciones son independientes y completas.

Principio de captulos Comenzamos cada captulo con una ilustra-cin que muestra una aplicacin de las ideas estudiadas en el captulo, a menudo escogiendo objetos familiares a los estudiantes. Al mostrar a los estudiantes cmo los conceptos de este curso se relacionan con el diseo y funcionamiento de objetos familiares, ellos pueden empezar aapreciar la importancia y lo atractivo de la ingeniera como carrera (vanse las pgs. 98, 230 y 302).

Compromiso con los estudiantes y profesores Hemos tomado precauciones para asegurar la exactitud de este libro. Los revisores examinaron cada parte del manuscrito tratando de detectar posi-bles errores. Cada uno de nosotros resolvi los problemas para asegurar-nos de que sus respuestas fuesen correctas y que los problemas tuvieran un nivel apropiado de dificultad. James Whitenton examin el texto com-pleto en busca de errores que se pudieran haber introducido durante el proceso tipogrfico.


PREFACIO vii

Cualesquiera errores son responsabilidad de los autores. Damos labienvenida a los comunicados de estudiantes y profesores respecto a erro-res o partes que puedan ser mejoradas. Nuestra direccin es Departmentof Aerospace Engineering and Engineering Mechanics, University of Te-xas at Austin, Austin, Texas 78712. Nuestra direccin electrnica [email protected].

tetaass.

Suplementos de softwareEdicin para estudiantes de WorkingModel El software Work-ing Model'" (Knowledge Revolution, Inc.) es un programa de modeladoy simulacin que permite al estudiante visualizar problemas de ingeniera.El programa calcula la interaccin de fuerzas sobre un cuerpo (o cuerpos),anima los resultados y proporciona datos de salida como fuerza, momen-to, velocidad, aceleracin, etc. en forma digital o grfica. La edicin estu-diantil de este potente programa lo hace accesible a estudiantes de losprimeros semestres. Est disponible tanto para Windows como para Ma-cintosh. Contacte al representante de Addison-Wesley de su ciudad paramayor informacin (vase pg. ii).

orayalla

Simulaciones con Working Model Existe un disquete con aproxi-madamente 100 problemas y ejemplos del texto listos para trabajar conellos en Working Model" . Estas simulaciones se han elaborado para per-mitir al estudiante cambiar variables y ver los resultados. El estudianteexplora diferentes situaciones fsicas motivado por la duda de "qu pasa-ra si ... " y, as, desarrolla una agudeza conceptual ms profunda que laadquirida con la sola resolucin cuantitativa de los problemas. Para obte-ner una copia gratuita de este disquete, escriba a Addison-Wesley Ibero-americana (vase pg. ii).

Reconocimientos

ra-lo,r aoiargs.

, Agradecemos a nuestros profesores, colegas y estudiantes lo que hemosaprendido sobre la mecnica y su enseanza. Muchos colegas revisaronel manuscrito y compartieron generosamente sus conocimientos y expe-riencia para mejorar nuestro libro. Ellos son:

Nick AltieroMichigan StateUniversity

Mark FrisinaWentworth Institute

V. J. LopardoU.S. Naval Academy

J ames G. AndrewsUniversity 01 Iowa

Robert W. FuessleBradley University

Frank K. LuUniversity 01 Texas,Arlington

Gautam BatraUniversity 01 Nebraska

John GigerRose Sta te College

Rathi BhatacharyaBradley University

Robert A. HowlandUniversity 01 NotreDame

Donald L. MargolisUniversity 01 California,Davis

Clarence CalderOregon State University

David B. JohnsonSouthern MethodistUniversity

George MaseMichigan StateUniversity

William W. SetoSan Jose University

Cualesquiera errores son responsabilidad de los autores. Damos la bienvenida a los comunicados de estudiantes y profesores respecto a erro-res o partes que puedan ser mejoradas. Nuestra direccin es Department of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics, University of Te-xas . at Austin, Austin, Texas 78712. Nuestra direccin electrnica es [email protected].

Suplementos de software Edicin para estudiantes de Working Model El software Work-ing Model (Knowledge Revolution, Inc.) es un programa de modelado y simulacin que permite al estudiante visualizar problemas de ingeniera. El programa calcula la interaccin de fuerzas sobre un cuerpo (o cuerpos), anima los resultados y proporciona datos de salida como fuerza, momen-to, velocidad, aceleracin, etc. en forma digital o grfica. La edicin estu-diantil de este potente programa lo hace accesible a estudiantes de los primeros semestres. Est disponible tanto para Windows como para Ma-cintosh. Contacte al representante de Addison-Wesley de su ciudad para mayor informacin (vase pg. ii).

Simulaciones con Working Model Existe un disquete con aproxi-madamente 100 problemas y ejemplos del texto listos para trabajar con ellos en Working Model . Estas simulaciones se han elaborado para per-mitir al estudiante cambiar variables y ver los resultados. El estudiante explora diferentes situaciones fsicas motivado por la duda de "qu pasa-ra si ... " y, as, desarrolla una agudeza conceptual ms profunda que la adquirida con la sola resolucin cuantitativa de los problemas. Para obte-ner una copia gratuita de este disquete, escriba a Addison-Wesley Ibero-americana (vase pg. ii).

Reconocimientos , Agradecemos a nuestros profesores, colegas y estudiantes lo que hemos aprendido sobre la mecnica y su enseanza. Muchos colegas revisaron el manuscrito y compartieron generosamente sus conocimientos y expe-riencia para mejorar nuestro libro . Ellos son:

Nick Altiero Mark Frisina v. J. Lopardo Michigan State Wentworth Institute U.S. Naval Academy University

Robert W . Fuessle Frank K. Lu James G. Andrews Bradley University University al Texas, University al Iowa Arlington

John Giger Gautam Batra Rose Sta te College Donald L. Margolis University al Nebraska University al California,

Robert A. Howland Davis Rathi Bhatacharya University al Notre Bradley University Dame George Mase

Michigan State Clarence Calder David B. Johnson UniversilY Oregon Slate Universily Soulhern Melhodisl

Universily William W. Seto San Jase Universily

PREFACIO vii

I http://carlos2524.jimdo.com/

viii PREFACIO

Anthony DeLuzioMerrimack College

Charles M. KrousgrillPurdue University

Francis M. ThomasUniversity o/ Kansas

Xiaomin DengUniversity o/ SouthCarolina

Richard LewisLouisiana TechnologicalUniversity

Mark R. VirklerUniversity o/ Missouri,Columbia

James DentMontana Sta teUniversity

Brad S. LiebstUniversity o/ Minnesota

William H. Walston, Jr.University o/ Maryland

Robert W. FitzgeraldWorcester Polytechniclnstitute

Bertram LongNortheastern University

Julius P. WongUniversity o/ Louisville

Agradecemos particularmente a Eugene Davis, Serope Kalpakjian y EricSandgren la sugerencia de incluir muchos problemas basados en su amplioconocimiento de aplicaciones de la mecnica a la ingeniera. Agradecemosal personal de Addison- Wesley su amistad y generosa ayuda, especialmen-te a Bette Aaronson, Jennifer Duggan, Don Fowley, Joyce Grandy, StuartJohnson, Laurie McGuire y Jim Rigney. Estamos muy agradecidos connuestro editor David Chelton y con el artista James Bryant por haber lleva-do este trabajo ms all de nuestra modesta concepcin. Agradecemosa nuestro presidente Richard Miksad su continuo apoyo, que hizo posibleel proyecto. Por supuesto, agradecemos tambin a nuestras familias suvalioso apoyo en todo momento.

Anthony Bedford y Wallace L. FowlerJulio de 1994Austin, Texas

Nota acerca de la edicin en espaolLa ciencia de la mecnica, as como la meta ms elevada de la ingeniera-la aplicacin de la tecnologa para beneficio de la humanidad-, es uni-versal y trasciende los idiomas y las fronteras. As, nuestro libro va dirigidoa todos los estudiantes de ingeniera, aunque algunas aplicaciones y enfo-ques de la ingeniera sean caractersticos de diferentes regiones. En el siste-ma de la University of Texas tenemos la fortuna de contar con muchosestudiantes de ingeniera provenientes de Mxico, Amrica Central y Suda-mrica, y hemos procurado tener presentes sus enfoques e intereses al escri-bir este texto. Nuestro traductor, Ing. Jos de la Cera, yel revisor tcnico,Ing. Antonio Martn-Lunas, ambos de la Universidad Autnoma Metro-politana, Unidad AzcapotzaIco, Mxico, han efectuado adaptaciones afin de mejorar el libro en este aspecto. Agradecemos mucho sus contribu-ciones y nos sentimos complacidos y honrados por la traduccin de nuestrolibro a la lengua espaola.

I

Anthony Bedford y Wallace FowlerSeptiembre de 1995

Austin, Texas

viii PREFACIO

Anthony DeLuzio Merrimack College

Xiaomin Deng University 01 South Carolina

James Dent Montana Sta te University

Robert W. Fitzgerald Worcester Polytechnic lnstirute

Charles M. Krousgrill Purdue University

Richard Lewis Louisiana Technological University

Brad S. Liebst University 01 Minnesota

Bertram Long Northeastern University

Francis M. Thomas University 01 Kansas

Mark R. Virkler University 01 Missouri, Columbia

William H. Walston, Jr. University 01 Maryland

Julius P. Wong University 01 Louisville

Agradecemos particularmente a Eugene Davis, Serope Kalpakjian y Eric Sandgren la sugerencia de incluir muchos problemas basados en su amplio conocimiento de aplicaciones de la mecnica a la ingeniera. Agradecemos al personal de Addison-Wesley su amistad y generosa ayuda, especialmen-te a Bette Aaronson, Jennifer Duggan, Don Fowley, J oyce Grandy, Stuart Johnson, Laurie McGuire y Jim Rigney. Estamos muy agradecidos con nuestro editor David Chelton y con el artista James Bryant por haber lleva-do este trabajo ms all de nuestra modesta concepcin. Agradecemos a nuestro presidente Richard Miksad su continuo apoyo, que hizo posible el proyecto. Por supuesto, agradecemos tambin a nuestras familias su valioso apoyo en todo momento.

Anthqny Bedford y Wal/ace L. Fow/er Julio de 1994 Austin, Texas

Nota acerca de la edicin en espaol La ciencia de la mecnica, as como la meta ms elevada de la ingeniera -la aplicacin de la tecnologa para beneficio de la humanidad-, es uni-versal y trasciende los idiomas y las fronteras. As, nuestro libro va dirigido a todos los estudiantes de ingeniera, aunque algunas aplicaciones y enfo-ques de la ingeniera sean caractersticos de diferentes regiones. En el siste-ma de la University of Texas tenemos la fortuna de contar con muchos estudiantes de ingeniera provenientes de Mxico, Amrica Central y Suda-mrica, y hemos procurado tener presentes sus enfoques e intereses al escri-bir este texto. Nuestro traductor, Ing. Jos de la Cera, yel revisor tcnico, Ing. Antonio Martn-Lunas, ambos de la Universidad Autnoma Metro-politana, Unidad Azcapotzalco, Mxico, han efectuado adaptaciones a fin de mejorar el libro en este aspecto. Agradecemos mucho sus contribu-ciones y nos sentimos complacidos y honrados por la traduccin de nuestro libro a la lengua espaola.

Anthony Bedford y Wal/ace Fow/er Septiembre de 1995

Austin, Texas

I


/PREFACIO ix

Reconocimientos a los colaboradoresde la edicin en espaolAddison-Wesley Iberoamericana desea agradecer las valiosas aportacio-nes de los profesores que evaluaron esta obra durante la preparacin dela versin en espaol. Ellos fueron: Ing. Jaime Martnez Martnez (Univer-sidad Nacional Autnoma de Mxico), Ing. Antonio Martn-Lunas (Uni-versidad Autnoma Metropolitana, unidad Azcapotzalco, Mxico), Fs.Manuel B. Tienza Caballero (Universidad Iberoamericana, Mxico), Ing.Javier Arjona Bez (Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores deMonterrey, campus Monterrey, Mxico) y Dr. Luis Neri Vitela (InstitutoTecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de M-xico). As mismo, agradecemos a los siguientes profesores sus comentarios:

Luis Eduardo Bentez H.Universidad Nacional deColombia

Mximo FioravantiUniversidad Nacional deBuenos Aires

de Ingenieros IndustrialesBarcelona, Espaa

Toms Alberto del CarrilUniversidad Nacional deBuenos Aires

Carlos E. Muoz R.Pontificia UniversidadJaverianaSantaf de Bogot,Colombia

Lanzier Efran TorresOrtizUniversidad NacionalAutnoma de Mxico

Sergio Daz B.Universidad Simn BolivarCaracas, Venezuela

Jos Navarro SolEscuela Tcnica Superior

Alfredo Zatarain T.Universidad Autnoma deChapingoChapingo, Mxico

Reconocimientos a los colaboradores de la edicin en espaol Addison-Wesley Iberoamericana desea agradecer las valiosas aportacio-nes de los profesores que evaluaron esta obra durante la preparacin de la versin en espaol. Ellos fueron: Ing. Jaime Martnez Martnez (Univer-sidad Nacional Autnoma de Mxico), Ing. Antonio Martn-Lunas (Uni-versidad Autnoma Metropolitana, unidad Azcapotzalco, Mxico), Fs. Manuel B. Tienza Caballero (Universidad Iberoamericana, Mxico), Ing. Javier Arjona Bez (Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey, Mxico) y Dr. Luis Neri Vitela (Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de M-xico). As mismo, agradecemos a los siguientes profesores sus comentarios:

Luis Eduardo Bentez H. Universidad Nacional de Colombia

Toms Alberto del Carril Universidad Nacional de Buenos Aires

Sergio Daz B. Universidad Simn Bolivar Caracas, Venezuela

Mximo Fioravanti Universidad Nacional de Buenos A ires

Carlos E. Muoz R. Pontificia Universidad Javeriana Santaf de Bogot, Colombia

Jos Navarro Sol Escuela Tcnica Superior

de Ingenieros Industriales Barcelona, Espaa

Lanzier Efran Torres Ortiz Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Alfredo Zatarain T. Universidad Autnoma de Chapingo Chapingo, Mxico

PREFACIO ix

/

./ http://carlos2524.jimdo.com/

x NDICE GENERAL

indicegeneral

1 Introduccin1 , 1 Ingeniera y mecnica 2

1,2 El aprendizaje de la mecnica 2

Resolucin de problemas 3 / Calculadoras y computadores 3 /Aplicaciones a la ingeniera 3

1,3 Conceptos fundamentales 4

Espacio y tiempo 4 / Leyes de Newton 4 /La gravitacin de Newton 5 / Nmeros 6

1,4 Unidades 7

Sistema Internacional de Unidades 7 / Sistema ingls de unida-des 8 / Unidades angulares 8 / Conversin de unidades 9

2 Movimiento de un punto 152,1 Posicin, velocidad y aceleracin 16

2,2 Movimiento en lnea recta 17

Descripcin del movimiento 17 / Anlisis del movimiento 18

2,3 Movimiento curvilneo 40

Coordenadas cartesianas 40 / Movimiento angular 49 /Componentes normal y tangencial 55 / Coordenadas polares ycilndricas 66

x NDICE GENERAL

indice general

1 Introduccin 1 , 1 Ingeniera y mecnica 2

1,2 El aprendizaje de la mecnica 2 Resolucin de problemas 3 / Calculadoras y computadores 3 / Aplicaciones a la ingeniera 3

1,3 Conceptos fundamentales 4

Espacio y tiempo 4 / Leyes de Newton 4 / La gravitacin de Newton 5 / Nmeros 6

1,4 Unidades 7

Sistema Internacional de Unidades 7 / Sistema ingls de unida-des 8 / Unidades angulares 8 / Conversin de unidades 9

2 Movimiento de un punto 15 2,1 Posicin, velocidad y aceleracin 16

2,2 Movimiento en lnea recta 17

Descripcin del movimiento 17 / Anlisis del movimiento 18

2,3 Movimiento curvilneo 40 Coordenadas cartesianas 40 / Movimiento angular 49 / Componentes normal y tangencial 55 / Coordenadas polares y cilndricas 66


NDICE GENERAL xi

2.4 Mecnica de rbitas 74

APLICACIN A LA INGENIERA: SATLITES DE COMUNICACIONES 79

2.5 Movimiento relativo 82

EJEMPLO CON COMPUTADOR 91

Resumen del captulo 93

Problemas de repaso 96

3 Fuerza, masa yaceleracin 993.1 Segunda ley de Newton 100

3.2 Marcos de referencia inerciales 100

3.3 Ecuacin de movimiento para el centro de masa 101

3.4 Aplicaciones 103

Coordenadas cartesianas y movimiento en lnea recta 103 /Componentes normal y tangencial 115 / Coordenadas polares 124

APLICACIN A LA INGENIERA: DINMICA DE VEHCULOS 118

Coordenadas polares 124




NDICE GENERAL xi

2.4 Mecnica de rbitas 74 APLICACIN A LA INGENIERA: SATLITES DE COMUNICACIONES 79

2.5 Movimiento relativo 82




3 Fuerza, masa yaceleracin 99 3.1 Segunda ley de Newton 100

3.2 Marcos de referencia inerciales 100

3.3 Ecuacin de movimiento para el centro de masa 101

3.4 Aplicaciones 103 Coordenadas cartesianas y movimiento en lnea recta 103 / Componentes normal y tangencial 115 / Coordenadas polares 124

APLICACIN A LA INGENIERA: DINMICA DE VEHCULOS 118

Coordenadas polares 124





xii NDICE GENERAL

4 Mtodos energticos 139Trabajo y energa cintica 140

4.1 Principio del trabajo y la energa 140

4.2 Trabajo y potencia 141

Evaluacin del trabajo 141/ Trabajo realizado por varias fuerzas 147/Potencia 149

Energa potencial 1604.3 Conservacin de la energa 160

4.4 Fuerzas conservativas 161

Energas potenciales de varias fuerzas 162 / Relaciones entre lafuerza y la energa potencial 167




5 Mtodos de la cantidad de movimiento 1855.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 186

5.2 Conservacin de la cantidad de movimiento lineal 195

5.3 Impactos 198

Impactos centrales directos 199 / Impactos centrales oblicuos 200

5.4 Momento angular 209

Principio del impulso angular y del momento angular 209 /Movimiento bajo una fuerza central 210

5.5 Flujos de masa 215

APLICACIN A LA INGENIERA: MOTORES DE REACCIN 218



xii NDICE GENERAL

4 Mtodos energticos 139 Trabajo y energa cintica 140

4.1 Principio del trabajo y la energa 140 4.2 Trabajo y potencia 141

Evaluacin del trabajo 141 / Trabajo realizado por varias fuerzas 147 / Potencia 149

Energa potencial 160 4.3 Conservacin de la energa 160

4.4 Fuerzas conservativas 161 Energas potenciales de varias fuerzas 162 / Relaciones entre la fuerza y la energa potencial 167




5 Mtodos de la cantidad de movimiento 185 5 .1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 186

5.2 Conservacin de la cantidad de movimiento lineal 195

5.3 Impactos 198 Impactos centrales directos 199 / Impactos centrales oblicuos 200

5.4 Momento angular 209 Principio del impulso angular y del momento angular 209 / Movimiento bajo una fuerza central 210

5.5 Flujos de masa 215 APLICACIN A LA INGENIERA: MOTORES DE REACCIN 218




NDICE GENERAL xiii

6 Cinemtica plana de cuerpos rgidos 2316.1 Cuerpos rgidos y tipos de movimiento 232

6.2 Rotacin respecto a un eje fijo 235

6.3 Movimientos generales: velocidades 239

Velocidades relativas 239 / Vector de velocidad angular 240 /Centros instantneos 254

6.4 Movimientos generales: aceleraciones 260

6.5 Contactos deslizante s 271

6.6 Sistemas coordenados en rotacin 281

Movimiento de un punto respecto a un sistema coordenado enrotacin 281 / Marcos de referencia inerciales 286



7 Dinmica bidimensional de cuerposrgidos 303

7. 1 Revisin previa de las ecuaciones de movimiento 304

7.2 Principios de la cantidad de movimiento para un sistemade partculas 305

Principio de la fuerza y cantidad del movimiento lineal 305 /Principios del momento y momento angular 306

7.3 Deduccin de las ecuaciones de equilibrio 309

Rotacin alrededor de un eje fijo 309 / Movimiento plano general310

7.4 Aplicaciones 311

Traslacin 312/ Rotacin alrededor de un eje fijo 314 /Movimiento plano general 318

APLICACIN A LA INGENIERA: FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN

VIGAS 324

7.5 Principio de D' Alembcrt 327


Apndice: Momentos de inercia 344

Cuerpos simples 345 / Teorema de los ejes paralelos 350



NDICE GENERAL xiii

6 Cinemtica plana de cuerpos rgidos 231 6.1 Cuerpos rgidos y tipos de movimiento 232

6.2 Rotacin respecto a un eje fijo 235 6 .3 Movimientos generales: velocidades 239

Velocidades relativas 239 / Vector de velocidad angular 240 / Centros instantneos 254

6.4 Movimientos generales: aceleraciones 260

6.5 Contactos deslizantes 271

6.6 Sistemas coordenados en rotacin 281 Movimiento de un punto respecto a un sistema coordenado en rotacin 281 / Marcos de referencia inerciales 286



7 Dinmica bidimensional de cuerpos rgidos 303

7. 1 Revisin previa de las ecuaciones de movimiento 304

7.2 Principios de la cantidad de movimiento para un sistema de partculas 305 Principio de la fuerza y cantidad del movimiento lineal 305 / Principios del momento y momento angular 306

7.3 Deduccin de las ecuaciones de equilibrio 309 Rotacin alrededor de un eje fijo 309 / Movimiento plano general 310

7.4 Aplicaciones 311 Traslacin 312 / Rotacin alrededor de un eje fijo 314 / Movimiento plano general 318

APLICACIN A LA INGENIERA: FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN VIGAS 324

7.5 Principio de D' Alembert 327


Apndice: Momentos de inercia 344 Cuerpos simples 345 / Teorema de los ejes paralelos 350 Resumen del captulo 360



xiv NDICE GENERAL

8 Energa y cantidad dfl_ movimiento en ladinmica plana de cuerpos rgidos 367

8.1 Principio del trabajo y la energa 368

Sistema de partculas 368 / Cuerpo rgido en movimiento plano 369

8.2 Trabajo y energa potencial 372

8.3 Potencia 374

8.4 Principios del impulso y la cantidad de movimiento 389

Cantidad de movimiento lineal 389 / Momento angular 390

8.5 Impactos 397

Conservacin de la cantidad de movimiento 397 / Coeficiente derestitucin 398



9 Cinemtica y dinmica tridimensionales decuerpos rgidos 421

9.1 Cinemtica 422

9.2 Momento angular 430Rotacin alrededor de un punto fijo 430 / Movimiento general432

9.3 Momentos y productos de inercia 433

Cuerpos simples 433 / Teoremas de los ejes paralelos 436 /Momento de inercia respecto a un eje arbitrario 437 / Ejesprincipales 438

9.4 Ecuaciones de Euler 448Rotacin respecto a un punto fijo 448 / Movimiento general 450

9.5 ngulos de Euler 464

Cuerpos con un eje de simetra 464 / Cuerpos arbitrarios 468



xiv NDICE GENERAL

8 Energa y cantidad d~_ movimiento en la dininica plana de cuerpos rgidos 367

8. 1 Principio del trabajo y la energa 368 Sistema de partculas 368 / Cuerpo rgido en movimiento plano 369

8.2 Trabajo y energa potencial 372 8.3 Potencia 374

8.4 Principios del impulso y la cantidad de movimiento 389 Cantidad de movimiento lineal 389 / Momento angular 390

8.5 Impactos 397 Conservacin de la cantidad de movimiento 397 / Coeficiente de restitucin 398



9 Cinemtica y dinmica tridimensionales de cuerpos rgidos 421

9.1 Cinemtica 422

9.2 Momento angular 430

Rotacin alrededor de un punto fijo 430 / Movimiento general 432

9 .3 Momentos y productos de inercia 433 Cuerpos simples 433 / Teoremas de los ejes paralelos 436 / Momento de inercia respecto a un eje arbitrario 437 / Ejes principales 438

9.4 Ecuaciones de Euler 448 Rotacin respecto a un punto fijo 448 / Movimiento general 450

9.5 ngulos de Euler 464 Cuerpos con un eje de simetra 464 / Cuerpos arbitrarios 468 Resumen del captulo 476



NDICE GENERAL XV

10 Vibraciones 48310.1 Sistemas conservativos 484

Ejemplos 484 / Soluciones 486

10.2 Vibraciones amortiguadas 499

Amortiguamiento subcrtico 500 / Amortiguamientos crtico ysupercrtico 501

10.3 Vibraciones forzadas 508

Funcin de excitacin oscilatoria 509 / Funcin de excitacinpolinomial 510

APLICACIN A LA INGENIERA: TRANSDUCTORES DEDESPLAZAMIENTO 516

EJEMPLOS CON COMPUTADOR 521



ApndicesA Repaso de matemticas 529

B Propiedades de reas y lneas 532

e Propiedades de volmenes y cuerpos homogneos 534D Coordenadas esfricas 536

Respuestas a los problemas pares 537ndice de materias 546

NDICE GENERAL XV

10 Vibraciones 483 10.1 Sistemas conservativos 484

Ejemplos 484 / Soluciones 486

10.2 Vibraciones amortiguadas 499

Amortiguamiento sub crtico 500 / Amortiguamientos crtico y supercrtico 501

1 0.3 Vibraciones forzadas 508 Funcin de excitacin oscilatoria 509 / Funcin de excitacin polinomial 510

APLICACIN A LA INGENIERA: TRANSDUCTORES DE DESPLAZAMIENTO 516

EJEMPLOS CON COMPUTADOR 521



Apndices A Repaso de matemticas 529

B Propiedades de reas y lneas 532

e Propiedades de volmenes y cuerpos homogneos 534

D Coordenadas esfricas 536

Respuestas a los problemas pares 537 ndice de materias 546


~~E l primer vuelo de un

r..'. transbordador espa-~jcial fue el12 de abril de

de 1981. El transbordador lb'1; espacial Columbia entr en

rbita a 271 km sobre la ~iTierra. Para entrar en rbi-ta tuvo que alcanzar unavelocidad relativa al centrode la Tierra de aproximada-mente 8 km/s. Despus dedos das de vuelo, con el co-mandante John Young enlos controles, aterriz en la

~..base Edwards de la Fuerza ~Area en California. If! "-

.:..,'.


I Captulo 1 I

Introduccin

EL transbordador espacial se concibi como un mto-do econmico para poner en rbita personal y equipo.Durante su desarrollo, los ingenieros usaron principiosde dinmica para predecir su movimiento durante el des-pegue, en rbita y al aterrizar. Estas predicciones fueronesenciales para el diseo de su configuracin aerodinmi-ea y estructura, as como de los motores y del sistema decontrol. La dinmica es una de las ciencias en que se basael diseo de todos los vehculos y mquinas .

...

Captulo 1

Introduccin

EL transbordador espacial se concibi como un mto-do econmico para poner en rbita personal y equipo. Durante su desarrollo, los ingenieros usaron principios de dinmica para predecir su movimiento durante el des-pegue, en rbita y al aterrizar. Estas predicciones fueron esenciales para el diseo de su configuracin aerodinmi-ca y estructura, as como de los motores y del sistema de control. La dinmica es una de las ciencias en que se basa el diseo de todos los vehculos y mquinas.


2 CAPTULO 1 INTRODUCCiN

1.1 Ingeniera y mecnicaCmo se disean los sistemas para predecir sus caractersticas antes deconstruirlos? Los ingenieros confan en su conocimiento y experiencia,en experimentos, el ingenio y la creatividad para producir nuevos diseos.Los ingenieros modernos cuentan con una poderosa tcnica: desarrollanecuaciones matemticas basadas en las caractersticas fsicas de los obje-tos que disean. Con estos modelos matemticos, predicen el comporta-miento de sus diseos, los modifican y los prueban antes de construirlos.Los ingenieros civiles usaron modelos matemticos para analizar larespuestas a cargas de la estructura de acero de la Torre Sears. y los inge-nieros aeroespaciales usan modelos matemticos para predecir las trayec-torias que los transbordadores espaciales seguirn en su vuelo.

Los ingenieros son responsables de disear, construir y probar los ob-jetos que usamos, desde sillas y afiladores de lpices hasta presas, auto-mviles y aeronaves. Deben tener un profundo conocimiento de la fsicaque sustenta tales sistemas y deben poder usar modelos matemticos parapredecir el comportamiento de estos sistemas. Los estudiantes de ingenie-ra aprenden a analizar y predecir el comportamiento de los sistemasfsicos mediante el estudio de la mecnica.En su nivel ms elemental, la mecnica es el estudio de las fuerzas y

sus efectos. La mecnica elemental se divide en esttica, que es el estudiode los objetos en equilibrio, y dinmica, que estudia los objetos en movi-miento. Los resultados obtenidos en la mecnica elemental se aplican di-rectamente a muchos campos de la ingeniera. Los ingenieros civiles ymecnicos que disean estructuras usan ecuaciones de equilibrio obteni-das por medio de la esttica. Los ingenieros civiles que analizan las res-puestas de edificios frente a sismos y los ingenieros aeroespaciales quedeterminan las trayectorias de satlites, usan las ecuaciones de movi-miento contenidas en la dinmica.La mecnica fue la primera ciencia analtica; por ello los conceptos

fundamentales, los mtodos analticos y las analogas de la mecnica seencuentran virtualmente en todas las ramas de la ingeniera. Por ejem-plo, los estudiantes de ingeniera qumica y elctrica comprenden mejorlos conceptos bsicos de temas como el equilibrio, la energa y la estabili-dad aprendindolos en sus contextos mecnicos originales; al estudiarmecnica vuelven a trazar el desarrollo histrico de esas ideas.

1.2Aprendizaje de la mecnicaLa mecnica consiste en principios amplios que rigen el comportamientode los cuerpos. En este libro describimos esos principios y damos ejem-plos que muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial quese resuelvan problemas similares a esos ejemplos, nuestro objetivo esayudar a entender estos principios suficientemente bien para aplicarlosa las nuevas situaciones que se presenten. Cada generacin de ingenierosse enfrenta a nuevos problemas.


1 . 1 Ingeniera y mecnica Cmo se disean los sistemas para predecir sus caractersticas antes de construirlos? Los ingenieros confan en su conocimiento y experiencia, en experimentos, el ingenio y la creatividad para producir nuevos diseos. Los ingenieros modernos cuentan con una poderosa tcnica: desarrollan ecuaciones matemticas basadas en las caractersticas fsicas de los obje-tos que disean. Con estos modelos matemticos, predicen el comporta-miento de sus diseos, los modifican y los prueban antes de construirlos. Los ingenieros civiles usaron modelos matemticos para analizar la respuestas a cargas de la estructura de acero de la Torre Sears. y los inge-nieros aeroespaciales usan modelos matemticos para predecir las trayec-torias que los transbordadores espaciales seguirn en su vuelo.

Los ingenieros son responsables de disear, construir y probar los ob-jetos que usamos, desde sillas y afiladores de lpices hasta presas, auto-mviles y aeronaves. Deben tener un profundo conocimiento de la fsica que sustenta tales sistemas y deben poder usar modelos matemticos para predecir el comportamiento de estos sistemas. Los estudiantes de ingenie-ra aprenden a analizar y predecir el comportamiento de los sistemas fsicos mediante el estudio de la mecnica.

En su nivel ms elemental, la mecnica es el estudio de las fuerzas y sus efectos. La mecnica elemental se divide en esttica, que es el estudio de los objetos en equilibrio, y dinmica, que estudia los objetos en movi-miento. Los resultados obtenidos en la mecnica elemental se aplican di-rectamente a muchos campos de la ingeniera. Los ingenieros civiles y mecnicos que disean estructuras usan ecuaciones de equilibrio obteni-das por medio de la esttica. Los ingenieros civiles que analizan las res-puestas de edificios frente a sismos y los ingenieros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satlites, usan las ecuaciones de movi-miento contenidas en la dinmica.

La mecruca fue la primera ciencia analtica; por ello los conceptos fundamentales, los mtodos analticos y las analogas de la mecnica se encuentran virtualmente en todas las ramas de la ingeniera. Por ejem-plo, los estudiantes de ingeniera qumica y elctrica comprenden mejor los conceptos bsicos de temas como el equilibrio, la energa y la estabili-dad aprendindolos en sus contextos mecnicos originales; al estudiar mecnica vuelven a trazar el desarrollo histrico de esas ideas.

1.2 Aprendizaje de la mecnica La mecnica consiste en principios amplios que rigen el comportamiento de los cuerpos. En este libro describimos esos principios y damos ejem-plos que muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que se resuelvan problemas similares a esos ejemplos, nuestro objetivo es ayudar a entender estos principios suficientemente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada generacin de ingenieros se enfrenta a nuevos problemas.


,.

yio

1.2 APRENDIZAJEDE LA MECNICA 3

Resolucin de problemasEn el estudio de la mecnica se aprenden procedimientos para resolverproblemas que se usarn en cursos posteriores y a lo largo de la carrera.Aunque diferentes tipos de problemas requieren distintos mtodos, lossiguientes pasos se aplican a muchos de ellos:

Identifique la informacin dada y la informacin, o respuesta, quese debe determinar. Suele ser til que .usted reformule el problemaen sus propias palabras. Cuando sea apropiado, asegrese de queentiende el sistema fsico o el modelo implcito.

Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique losprincipios y ecuaciones aplicables y diga cmo los usar. Si es posi-ble, dibuje diagramas para visualizar el problema.

Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollarsu intuicin y lo ayudar a reconocer una respuesta incorrecta.

Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resulta-dos y comprelos con su prediccin. El ltimo paso se llama verifi-cacin realista. Es razonable su respuesta?

Calculadoras y computadoresEn este libro la mayora de los problemas se disearon para que conduz-can a una expresin algebraica con la cual se calcule la respuesta en fun-cin de cantidades dadas. Una calculadora con funciones trigonomtri-cas y logartmicas es suficiente para determinar el valor numrico de talesrespuestas. Es conveniente contar con una calculadora programable o uncomputador con programas para .resolver problemas, como el Mathcado el TK! Solver, pero no confe demasiado en herramientas de las queno dispondr en los exmenes.En las secciones Ejemplos con computador hay ejemplos y problemas

adecuados para resolverse con calculadora programable o computador.

Aplicaciones a la ingenieraSi bien los problemas estn diseados principalmente para apoyar elaprendizaje de la mecnica, muchos de ellos ilustran el uso de esta cienciaen la ingeniera. Las secciones llamadas Aplicacin a la ingeniera descri-ben cmo se aplica la mecnica en varios campos de la ingeniera.Algunos problemas destacan dos aspectos esenciales de la ingeniera:

Diseo. En algunos problemas se pide escoger valores de parme-tros que satisfagan criterios especficos de diseo.

Seguridad. En algunos problemas se pide evaluar la seguridad dedispositivos y escoger valores de parmetros que satisfagan requisi-tos especficos de seguridad.

Resolucin de problemas En el estudio de la mecnica se aprenden procedimientos para resolver problemas que se usarn en cursos posteriores y a lo largo de la carrera. Aunque diferentes tipos de problemas requieren distintos mtodos, los siguientes pasos se aplican a muchos de ellos:

Identifique la informacin dada y la informacin, o respuesta, que se debe determinar. Suele ser til que .usted reformule el problema en sus propias palabras. Cuando sea apropiado, asegrese de que entiende el sistema fsico o el modelo implcito.

Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principios y ecuaciones aplicables y diga cmo los usar. Si es posi-ble, dibuje diagramas para visualizar el problema.

Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollar su intuicin y lo ayudar a reconocer una respuesta incorrecta.

Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resulta-dos y comprelos con su prediccin. El ltimo paso se llama verifi-cacin realista. Es razonable su respuesta?

Calculadoras y computadores En este libro la mayora de los problemas se disearon para que conduz-can a una expresin algebraica con la cual se calcule la respuesta en fun-cin de cantidades dadas. Una calculadora con funciones trigonomtri-cas y logartmicas es suficiente para determinar el valor numrico de tales respuestas. Es conveniente contar con una calculadora programable o un computador con programas para .resolver problemas, como el Mathcad o el TK! Solver, pero no confe demasiado en herramientas de las que no dispondr en los exmenes.

En las secciones Ejemplos con computador hay ejemplos y problemas adecuados para resolverse con calculadora programable o computador.

Aplicaciones a la ingeniera Si bien los problemas estn diseados principalmente para apoyar el aprendizaje de la mecnica, muchos de ellos ilustran el uso de esta ciencia en la ingeniera. Las secciones llamadas Aplicacin a la ingeniera descri-ben cmo se aplica la mecnica en varios campos de la ingeniera.

Algunos problemas destacan dos aspectos esenciales de la ingeniera:

Diseo. En algunos problemas se pide escoger valores de parme-tros que satisfagan criterios especficos de diseo.

Seguridad. En algunos proble~as se pide evaluar la seguridad de dispositivos y escoger valores de parmetros que satisfagan requisi-tos especficos de seguridad.

1.2 APRENDIZAJE DE LA MECNICA 3



1.3 Conceptos fundamentales

LEX 1

Corpus omne perseverare in statu suoquiescendi vel movendi uniformiter indirectum, nisi quatenus iIIud a viribusimpressis cogitur statum suum mutare.

LEX 11

Mutationem motis proportionalem esse vimotrici impressae et fieri secondumIineam rectam qua vis iIIa imprimitur.

LEX III

Actioni contrariam semper et aequalemesse reactionem: sive corporum duorumactiones in se mutuo semper esseaequales et in partes contrarias dirigi.

Algunos temas de la mecnica le sern familiares debido a la experienciadiaria o por haberlos estudiado en cursos previos de fsica. En esta sec-cin repasamos brevemente los fundamentos de la mecnica elemental.

Espacio y tiempoEl espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivi-mos. Nuestras experiencias diarias nos dan una nocin intuitiva del espa-cio y de las posiciones de los puntos en l. La distancia entre dos puntosen el espacio es la longitud de la lnea recta que los une.Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una uni-

dad de longitud. Usaremos tanto el Sistema Internacional de Unidades (SI)como el sistema ingls. En unidades SI, la unidad de longitud es el metro(m); en el sistema ingls es el pie.El tiempo nos es muy familiar, pues nuestra vida se mide por l. Los

ciclos diarios de luz y oscuridad y las horas, minutos y segundos medidospor un reloj nos dan una nocin intuitiva del tiempo. ste se mide porlos intervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del pndulode un reloj o las vibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. En los dossistemas que usaremos la unidad de tiempo es el segundo (s). Los minutos(min), las horas (h) y los das tambin son de uso comn.Si la posicin de un punto en el espacio en relacin con algn punto

de referencia cambia con el tiempo, la razn del cambio de su posicinse llama velocidad, y la razn del cambio de su velocidad se denominaaceleracin. En unidades SI, la velocidad se expresa en metros por segun-do (m/s) y la aceleracin en metros por segundo cuadrado (m/s-). Enlas unidades del sistema ingls, la velocidad se expresa en pies por segun-do (pie/s) y la aceleracin en pies por segundo cuadrado (pie/s-).

Leyes de NewtonLa mecnica elemental se estableci sobre una base slida con la publica-cin, en 1687, de Philosophiae naturalis principia mathematica de IsaacNewton. Aunque sumamente original, este trabajo se bas en conceptosfundamentales desarrollados durante una larga y difcil lucha por enten-der la naturaleza. Newton estableci tres "leyes" del movimiento que,expresadas en trminos modernos, son:

1. Cuando la suma de las fuerzas que actan sobre una particula esigual a cero, su velocidad es constante. En particular, si inicialmen-te la partcula se halla en reposo, permanecer en reposo.

2. Cuando la suma de las fuerzas que actan sobre una partcula noes igual a cero, la suma de las fuerzas es igual a la razn de cambiode la cantidad de movimiento de la partcula. Si la masa es constan-te, la suma de lasfuerzas es igual al producto de la masa de lapart-cula y su aceleracin.

3. Las fuerzas ejercidas por dos partculas entre sson iguales en mag-nitud y opuestas en direccin.

Observe que no definimos fuerza ni masa antes de enunciar las leyesde Newton. La concepcin moderna es que estos trminos se definen con

ar1;san

pe,t:dteelCl

rrIJn:laCli

nO f::...t ' (2.1)

donde el vector r(t + M) - r(t) es el cambio de posicin, o desplazamiento de P, durante el intervalo de tiempo At (Fig. 2.1c). As, la vTocidad es la razn de cambio de la posicin de P respecto a O.

p

o (e)

Las dimensiones de una derivada se determinan como si se tratara de una proporcin, por lo que las dimensiones de v son (distancia)/(tiernpo). El punto de referencia usado suele ser obvio, y simplemente llamamos v a la velocidad de P. Sin embargo, se debe recordar que la posicin y la velocidad de un punto se pueden especificar slo con respecto a un punto de referencia.

Observe en la Ec. (2.1) que la derivada de un vector con respecto al tiempo se define exactamente igual que la derivada de una funcin escalar. Por ello, comparte algunas propiedades de la derivada de una funcin escalar. Usaremos dos de esas propiedades: La derivada respecto al tiempo de la suma de dos funciones vectoriales u ms w es

d du dw -(u+w) = - +-, dt dt dt

y la derivada respecto al tiempo del producto de una funcin escalar f por una funcin vectorial u es

dUu) = d u+ duo dt dt dt


fLa aceleracin de P respecto a O en un tiempo I se define como

a = dv = lm v(t +M) - v(t) ,dt M-+O !1t

(2.2)

donde v(t + M) - v(t) es el cambio en la velocidad deP durante el intervalode tiempo M (Fig. 2.2). La aceleracin es la razn de cambio de la veloci-dad de P en el tiempo I (la segunda derivada respecto al tiempo del despla-zamiento), y sus dimensiones son (distancia)/(tiempo)2.

2.2 Movimiento en lnea recta

..J 2.2 MOVIMIENTO EN LNEARECTA 17

V~V(t + Ilt) - v(t)

v(t)

Figura 2.2Cambio en la velocidad de P entre t yt + M.

Analizamos este tipo simple de movimiento para que usted obtenga expe-riencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sinembargo, en muchos casos prcticos los ingenieros deben analizar movi-mientos en lnea recta, como el movimiento de un vehculo sobre un cami-no recto o el movimiento del pistn de un motor de combustin interna.

Descripcin del movimientoPodemos especificar la posicin de un punto P sobre una lnea recta respec-to a un punto de referencia O por medio de la coordenada s medida alo largo de la lnea que va de O a P (Fig. 2.3a). En este caso definimoss como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P esta la derecha de O y negativa cuando P est a la izquierda de O. El desplaza-miento /1s respecto a O durante un intervalo de tiempo de lo a I es el cam-bio de posicin, !1s = s(t) - s(to)'

Incluyendo un vector unitario e paralelo a la lnea y que apunta en ladireccin positiva s (Fig. 2.3b), podemos escribir el vector de posicin deP respecto a O como

r = se.

Si la lnea no gira, el vector unitario e es constante y la velocidad de Prespecto a O es

dr dsv= - = -e.

dt dt

Podemos escribir el vector velocidad como v = ve y obtener la ecuacinescalar

dsv--- dt

La velocidad v de un punto P a lo largo de la lnea recta es la razn decambio de su posicin s. Observe que ves igual a la pendiente en un tiempoI de la tangente a la grfica de s en funcin del tiempo (Fig. 2.4).

La aceleracin de P respecto a O es

dv d dva= - = -(ve) = -e.

dt dt dt

o p--~.-----~.~----sf--S---1(a)

o p--~I-----r--~)H.~----s~(b)

Figura 2.3(a) Coordenada s de O a P.(b) Vector unitario e y vector de posicin r.

s

Figura 2.4La pendiente de la lnea recta tangente a lagrfica de s contra t es la velocidad en eltiempo t.

La aceleracin de P respecto a O en un tiempo I se define como

a = dv = lm v(t + M) - v(t) , dt M~O !1t

(2.2)

donde v(t + M) - v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo de tiempo M (Fig. 2.2). La aceleracin es la razn de cambio de la veloci-dad de P en el tiempo I (la segunda derivada respecto al tiempo del despla-zamiento), y sus dimensiones son (distancia)/(tiempo)2.

2.2 Movimiento en lnea recta Analizamos este tipo simple de movimiento para que usted obtenga expe-riencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin embargo, en muchos casos prcticos los ingenieros deben analizar movi-mientos en lnea recta, como el movimiento de un vehculo sobre un cami-no recto o el movimiento del pistn de un motor de combustin interna.

Descripcin del movimiento Podemos especificar la posicin de un punto P sobre una lnea recta respec-to a un punto de referencia O por medio de la coordenada s medida a lo largo de la lnea que va de O a P (Fig. 2.3a). En este caso definimos s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P est a la derecha de O y negativa cuando P est a la izquierda de O. El desplaza-miento Lls respecto a O durante un intervalo de tiempo de lo a I es el cam-bio de posicin, ~ = s(t) - s(to)'

Incluyendo un vector unitario e paralelo a la lnea y que apunta en la direccin positiva s (Fig. 2.3b), podemos escribir el vector de posicin de P respecto a O como

r = se.

Si la lnea no gira, el vector unitario e es constante y la velocidad de P respecto a O es

dr ds v = - = -e.

dt dt

Podemos escribir el vector velocidad como v = ve y obtener la ecuacin escalar

ds v--

- dt'

La velocidad v de un punto P a lo largo de la lnea recta es la razn de cambio de su posicin s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la tangente a la grfica de s en funcin del tiempo (Fig. 2.4).

La aceleracin de P respecto a O es

dv d dv a= - = -(ve) = -e.

dt dt dt

./ 2.2 MOVIMIENTO EN LNEA RECTA 17

Figura 2.2

- v(t)

v~v(t + M) - v(t) v(t)

Cambio en la velocidad de P entre t y t + M .

o p --~.----~.~----s f-- S---1

(a)

o p --~I----~r~--~~----s ~

(b)

Figura 2.3 (a) Coordenada s de O a P. (b) Vector unitario e y vector de posicin r.

s

L----------------'------t

Figura 2.4 La pendiente de la lnea recta tangente a la grfica de s contra t es la velocidad en el tiempo t.


18 CAPTULO 2 MOVIMIENTO DE UN PUNTO

Escribir el vector de aceleracin como a ae da la ecuacin escalar

dv d2sa=-=-.

dt dt2

La aceleracin a es igual a la pendiente en el tiempo t de la recta tangentea la grfica de v en funcin del tiempo (Fig. 2.5).

Figura 2.5La pendiente de la lnea recta tangente ala grfica de v contra t es la aceleracin

en el tiempo t.

v

Con el vector unitario e obtuvimos ecuaciones escalares que describenel movimiento de P. La posicin queda especificada por la coordenadas, y la velocidad y la aceleracin estn regidas por las ecuaciones

dsv=-,

dt(2.3)

dva=-.

dt(2.4)

p

Anlisis del movimientoEn algunos casos se conoce la posicin s de algn punto de un cuerpocomo funcin del tiempo. Los ingenieros usan mtodos como el radar yla interferometra de lser para medir posiciones en funcin del tiempo.En este caso, con las Ecs. (2.3) y (2.4) se pueden obtener por diferenciacinla velocidad y la aceleracin como funciones del tiempo. Por ejemplo,si la posicin del camin de la Fig. 2.6 durante el intervalo de tiempo det = 2 s a t = 4 s est dada por la ecuacin

d~p

e

Figura 2.6La coordenada s mide la posicin del

centro de masa del camin respecto a unpunto de referencia.

Elao


Escribir el vector de aceleracin como a ae da la ecuacin escalar

dv d2s a =-=-.

dt dt 2

La aceleracin a es igual a la pendiente en el tiempo t de la recta tangente a la grfica de v en funcin del tiempo (Fig. 2.5).

Figura 2.5 La pendiente de la lnea recta tangente a la grfica de v contra t es la aceleracin

en el tiempo t.

v

Con el vector unitario e obtuvimos ecuaciones escalares que describen el movimiento de P. La posicin queda especificada por la coordenada s, y la velocidad y la aceleracin estn regidas por las ecuaciones

ds v= - ,

dt (2.3)

dv a=-.

dt (2.4)

Anlisis del movimiento En algunos casos se conoce la posicin s de algn punto de un cuerpo como funcin del tiempo. Los ingenieros usan Oltodos como el radar y la interferometra de lser para medir posiciones en funcin del tiempo. En este caso, con las Ecs. (2.3) y (2.4) se pueden obtener por diferenciacin la velocidad y la aceleracin como funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posicin del camin de la Fig. 2.6 durante el intervalo de tiempo de t = 2 s a t = 4 s est dada por la ecuacin

Figura 2.6 La coordenada s mide la posicin del

centro de masa del camin respecto a un punto de referencia .


te

nda

.3)

.4)

rpoar ypo.inplo,de

2.2 MOVIMIENTO EN LNEA RECTA 19

su velocidad y aceleracin durante ese intervalo de tiempo son

ds 2V = - = t mis,

dt

dva = - = 2t mls2.

dt

Sin embargo, es ms comn conocer la aceleracin de un cuerpo quesu posicin, porque la aceleracin de un cuerpo se puede determinar conla segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actan sobrel. Una vez conocida la aceleracin, con las Ecs. (2.3) y (2.4) se puedendeterminar por integracin la velocidad y la posicin. En las siguientessecciones analizaremos tres casos importantes.

Aceleracin especificada como funcin del tiempo Si la ace-leracin es una funcin conocida del tiempo a(t), podemos integrar la rela-cin

dv- = a(t)dt

(2.5)

con respecto al tiempo para determinar la velocidad en funcin del tiempo,

v = f a(t) dt + A, (2.6)donde A es una constante de integracin. Luego podemos integrar la relacin

ds-=vdt

(2.7)

para determinar la posicin en funcin del tiempo,

s = f vdt+B,donde B es otra constante de integracin. Para determinar las constantesA y B se necesita informacin adicional acerca del movimiento, por ejem-plo los valores de v y s en un tiempo dado.

En vez de usar integrales indefinidas, la Ec. (2.5) se puede escribir como

(2.8)

dv = a(t) dt

e integrar en trminos de integrales definidas:

-r dv = t a(t) dt.i; ltoEl lmite inferior Vo es la velocidad en el tiempo lo Yel lmite superior esla velocidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral izquierdaobtenemos una expresin para la velocidad en funcin del tiempo:

v=vo+ ta(t)dt. (2.9)i:

su velocidad y aceleracin durante ese intervalo de tiempo son

ds 2 V = - = t mis,

dt

dv a = - = 2t mls2 .

dt

Sin embargo, es ms comn conocer la aceleracin de un cuerpo que su posicin, porque la aceleracin de un cuerpo se puede determinar con la segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actan sobre l. Una vez conocida la aceleracin, con las Ecs. (2.3) y (2.4) se pueden determinar por integracin la velocidad y la posicin. En las siguientes secciones analizaremos tres casos importantes.

Aceleracin especificada como funcin del tiempo Si la ace-leracin es una funcin conocida del tiempo a(t), podemos integrar la rela-cin

dv - = a(t) dt

(2.5)

con respecto al tiempo para determinar la velocidad en funcin del tiempo,

v = f a(t) dt + A, (2.6)

donde A es una constante de integracin. Luego podemos integrar la relacin

ds -=v dt

(2.7)

para determinar la posicin en funcin del tiempo,

s=fVdt+B, (2.8)

donde B es otra constante de integracin. Para determinar las constantes A y B se necesita informacin adicional acerca del movimiento, por ejem-plo los valores de v y s en un tiempo dado.

En vez de usar integrales indefinidas, la Ec. (2.5) se puede escribir como

dv = a(t) dt

e integrar en trminos de integrales definidas:

-V ir dv = a(t) dt. Vo lo

El lmite inferior Vo es la velocidad en el tiempo lo Y el lmite superior es la velocidad en un tiempo l cualquiera. Evaluando la integral izquierda obtenemos una expresin para la velocidad en funcin del tiempo:

v=vo+ ta(t)dt. (2.9) llo




Podemos escribir la Ec. (2.7) como

ds = v dt

e integrar en trminos de integrales definidas,

I' ds = t vdt,i. 110donde el lmite inferior So es la posicin en el tiempo lo Yel lmite superiors es la posicin en un tiempo 1arbitrario. Evaluando la integral izquierda,obtenemos la posicin en funcin del tiempo:

S = So + r vdt. (2.10)110

Aunque hemos mostrado cmo determinar la velocidad y la posicincuando se conoce la aceleracin en funcin del tiempo, no deberan memo-rizarse resultados como las Ecs. (2.9) y (2.10). Como demostraremos enlos ejemplos, recomendamos que los problemas de movimiento en lnearecta se resuelvan empezando con las Ecs. (2.3) y (2.4).

Algunas observaciones tiles sobre las Ecs. (2.9) y (2.10) son las siguientes:

El rea definida por la grfica de la aceleracin de P en funcin deltiempo de lo a 1 es igual al cambio en la velocidad de lo al (Fig. 2.7a).

El rea definida por la grfica de la velocidad de P en funcin deltiempo de lo a 1 es igual al desplazamiento, o cambio de posicin, delo a 1 (Fig. 2.7b).

a v

(a) (b)

Figura 2.7Relaciones entre reas definidas por lasgrficas de la aceleracin y la velocidad

de P, y cambios en su velocidad yposicin. A menudo se pueden usar esas relaciones para obtener una apreciacin

cualitativa del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso sepueden usar para determinar su movimiento.

En algunas situaciones, la aceleracin de un cuerpo es constante, o casiconstante. Por ejemplo, si se lanza un cuerpo denso, como una pelota degolf o una roca, y ste no cae muy lejos, se puede ignorar la resistenciadel aire y suponer que su aceleracin es igual a la aceleracin de la gravedadal nivel del mar.


a

(a)

Figura 2.7 Relaciones entre reas definidas por las grficas de la aceleracin y la velocidad

de P, y cambios en su velocidad y

Podemos escribir la Ec. (2.7) como

ds = vdt

e integrar en trminos de integrales definidas,

t ds = t vdt, lso lto donde el lmite inferior So es la posicin en el tiempo lo Y el lmite superior S es la posicin en un tiempo 1 arbitrario. Evaluando la integral izquierda, obtenemos la posicin en funcin del tiempo:

s = So + t vdt. (2.10) l to Aunque hemos mostrado cmo determinar la velocidad y la posicin

cuando se conoce la aceleracin en funcin del tiempo, no deberan memo-rizarse resultados como las Ecs. (2.9) y (2.10). Como demostraremos en los ejemplos, recomendamos que los problemas de movimiento en lnea recta se resuelvan empezando con las Ecs. (2.3) y (2.4).

Algunas observaciones tiles sobre las Ecs. (2.9) y (2.10) son las siguientes: El rea definida por la grfica de la aceleracin de P en funcin del

tiempo de lo a 1 es igual al cambio en la velocidad de lo al (Fig. 2.7a). El rea definida por la grfica de la velocidad de P en funcin del

tiempo de lo a 1 es igual al desplazamiento, o cambio de posicin, de lo a 1 (Fig. 2.7b).

v

(b)

posicin. A menudo se pueden usar esas relaciones para obtener una apreciacin cualitativa del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para determinar su movimiento.

En algunas situaciones, la aceleracin de un cuerpo es constante, o casi constante. Por ejemplo, si se lanza un cuerpo denso, como una pelota de golf o una roca, y ste no cae muy lejos, se puede ignorar la resistencia del aire y suponer que su aceleracin es igual a la aceleracin de la gravedad al nivel del mar.


e'nse

sideiaad

2.2 MOVIMIENTO EN LNEARECTA 21

Sea la aceleracin una constante conocida ao. De las Ecs. (2.9) y(2.10), la velocidad y la posicin como funciones del tiempo son

v = va + ao(t - lo), (2.11)

1 2S = So+ vo(t - lo) + 2ao(t - lo) , (2.12)

donde So Y Uo son la posicin y la velocidad, respectivamente, en el tiem-po to. Observe que si la aceleracin es constante, la velocidad es unafuncin lineal del tiempo.

Podemos usar la regla de la cadena para expresar la aceleracin en tr-minos de una derivada respecto a s:

dv dv ds dvao = - = -- = -v.

dt ds dt ds

Escribiendo esta expresin como udu aods e integrando,

Vvdv =1saods,va So

obtenemos una ecuacin para la velocidad en funcin de la posicin:

(2.13)

Probablemente el lector se encuentra familiarizado con las Ecs. (2.11)a (2.13). Aunque esos resultados pueden ser de utilidad cuando se sabeque la aceleracin es constante, hay que tener cuidado de no usarlas cuan-do esto no sea as.

Los siguientes ejemplos ilustran cmo usar las Ecs. (2.3) y (2.4)para obte-ner informacin sobre movimientos de cuerpos en lnea recta. Quiz seanecesario elegir elpunto de referencia y la direccin positiva de s. Cuandose conoce la aceleracin como funcin del tiempo, se puede integrar laEc. (2.4) para determinar la velocidad y luego integrar la Ec. (2.3) paradeterminar la posicin.

Sea la aceleracin una constante conocida ao. De las Bcs . (2.9) y (2.10), la velocidad y la posicin como funciones del tiempo son

v = Vo + ao(t - to), (2.11)

1 2 S = So + vo(t - to) + 2ao(t - to) , (2.12)

donde So Y Uo son la posicin y la velocidad, respectivamente, en el tiem-po too Observe que si la aceleracin es constante, la velocidad es una funcin lineal del tiempo.

Podemos usar la regla de la cadena para expresar la aceleracin en tr-minos de una derivada respecto a s:

dv dv ds dv ao = - = -- = - v. dt ds dt ds

Escribiendo esta expresin como udu aods e integrando,

U vdv = t aods, va Jso

obtenemos una ecuacin para la velocidad en funcin de la psicin:

(2.13)

Probablemente el lector se encuentra familiarizado con las Bcs. (2.11) a (2.13). Aunque esos resultados pueden ser de utilidad cuando se sabe que la aceleracin es constante, hay que tener cuidado de no usarlas cuan-do esto no sea as.

Los siguientes ejemplos ilustran cmo usar las Ecs. (2.3) y (2.4) para obte-ner informacin sobre movimientos de cuerpos en lnea recta. Quiz sea necesario elegir el punto de referencia y la direccin positiva de s. Cuando se conoce la aceleracin como funcin del tiempo, se puede integrar la Ec. (2.4) para determinar la velocidad y luego integrar la Ec. (2.3) para determinar la posicin.




Ejemplo 2.1

Durante la prueba de un vehculo que va a ser lanzado por paracadas se calculaque su velocidad al tocar el suelo ser de 20 pie/s. Si se suelta el vehculo desdeel bastidor de prueba de la Fig. 2.8, a qu altura h se debe soltar para simularla cada con paracadas?

Figura 2.8

h

ESTRATEGIASuponemos que la aceleracin del vehculo durante su corta cada es

mecánica para ingeniería dinámica [anthony bedford, wallace fowler]

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