Universidad Nacional San Cristbal DeHuamangaFacultad De Ingeniera Minas, Geologa Y CivilEscuela De Formacin Profesional DeIngeniera Civil

Resolucin de Problemas

Mecnica para Ingeniera (Bedford-Fowler)

Cinemtica de Partcula y cuerpo Rgido Asignatura :Dinmica (IC-246)

Alumnos : z Caldern Quispe, Gilmer

z Navarro Bautista, Paul

z Maldonado Carlos, Juan Jos

z Infante Leva , Samuel

Docente : Ing. Cristian Castro Prez

Ayacucho - Peru - 2013

Problemas

1. Problema 2.33

Si =1 rad Y d/dt = 1rad/s, cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: se puede escribir la posicin de P respecto de O como:

s = (2pie) cos + (2pie) cos

Y luego calcular la derivada de esta expresin con respecto al tiempo para determinar la velocidad.

2 m 2 m

OP

s

Solucin

La ubicacin de P desde el punto O est dado por:

s = 2 cos + 2 cos = 4 cos

derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad

ds d dt = 4sen dt

dtEvaluando para = 1rad y ds = 1rad/s

Universidad Nacional san Cristbal de HuamangaEscuela de Formacin Profesional Ing. CivilDepartamento Acadmico de Ingeniera Minas y civil

Dinmica# 11 "DAIMC

2. Problema 2.53

dsdt = 4sen(1rad) = 3,37m/s

Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenada s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posicin cuando el resorte no esta estirado. Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleracin proporcional a s. Suponga que a = 4sm/s2 , y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posicin s = 0.

s

a) Qu distancia se mover la masa hacia la derecha antes de que el resorte se detenga?

b) )Qu velocidad tendr la masa cuando regrese a la posicin s = 0?

Solucin

como la aceleracion esta en funcion de S usaremos:

vdv = ads

Del datoa = 4s sustituyendo

vdv 4sds

integramos

v22 = v2

4s2+ C2

= 2s2 + C (1)2

Para v(0) = 1m/s y s = 0 en (1)

(1)2 1

22= 2(0)2 + C C =

Quedando la ecuacion (1) de la forma

v2

= 2s2 + 12 2

()a) La velocidad es cero cuando se detiene entonces.

(0)2 1

= 2s2 +2 2

quedara

1s = 2 m

la distancia que se mueve hacia la derecha

1 s = 2 m

b) La velocidad para s = 0

De la ecuacion

2v = 2(0)2 + 12 2v = 1m/s

como el mvil regresa

v = 1im/s

3. Problema 2.82

lllllllllllllllllllllllll

un automvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfil vertical se puede aproximar con la ecuacin mostrada. Cuando la coordenada horizontal del automvil es x = 400m, Cul es su aceleracin?

y

y = 0.0003x 2

x

Solucin

Datos

v = 100K m/h = 27 78m/s y = 0 0003x2 con c = 0 0003 y = cx2

sabemos que:

v = px 2 + y 2 (I )

derivando la ecuacin de la trayectoria

y = 2cxx

(I I )

Remplazando en la expresin(I)

q

2v = x 2 + (2cxx )

despejamos x

vx = q 1 + (2cx)2

(I I I )

remplazamos para x = 400m

x = 27 013m/s

Derivamos nuevamente (III)

2x = 4vcx (1 + (2cx))3/2

remplazamos para x = 400m

x = 0 099m/s2

Derivando la ecuacin (II )

y = 2c(x 2 + xx) Remplazando para x = 400m y = 0 414m/s2

La aceleracin ser

~a = 0 099i + 0 414j m/s2

4. Problema 2.107

un automvil incrementa su velocidad a una razn constante de 40mi/h en A y a 60mi/h enB. Cul es la magnitud de su aceleracin 2s despus de que pasa por el punto A?

y

120 pies

30 B Ax

80 pies

100 pies

30

80 pies

Solucin

Datos:

vA = 40mi/h 58 667pies/s vB = 60mi/h 88 0pies/s

Partamos de:

vdv = ads a=cte (condicin del problema)

Integrando

v2 = 2as + C para vA = 58 667pies/s; s = 0C = v2 2as = 3441 817

de v2 = 2as + C hallamos la aceleracin

v2 Ca =2s

s = 80(2) +

30180

(120 + 100)

Remplazando para vB = 88pies/ss = 275 192pies(88)2 3441 817a =2(275 192)a = 7 816pies/s2

La velocidad en funcion del tiempo

v(t) = vA + at 58 667 + (7 816)t1 2s(t) = vA + 2 at

1 58 667t + 2 (7 816)t2v(2) = 74 299pies/ss(2) = 132 966pies Ubicado en el primer arco

Hallando aceleracion normal

v2an = R

an =

(74 299)2120an = 46 003pies/s2q |a| =

(46 003)2 + (7 816)2|a| = 46 662pies/s2

5. Problema 2.132

La barra gira en el plano x y de la figura con velocidad angular constante 0 = 12rad/s. La componente radial de la aceleracin del collarn C es ar = 8r. Cuando r = 1m, la componente radial de la velocidad de C es vr = 2m/s. Determine la componente radial y transversal de la velocidad de C cuandor = 1,5m.

y

v 0

C

r

x

Solucin:

Usando la regla de la cadena y escribiendo en trminos de la aceleracin radial

d2r

dvr

dvr dr

dvr

Luego tenemos

d2 t =

= = vrdt dr dt dr

d2r

d 2ar = d2t r( dt )

= 8rd2r

d 2 2 2 2d2 t = ([ dt ]

Calculando la velocidad radial

8)r = (12

8 )r 136r rad/s

d2r

....d..v..rd2 t = vr dr = 136rvr 1 5Z Zvr dvr = 136

2 1

rdvr

v2r2

Resolviendo obtenemos

22= 136(2

1 52 122 2 )

vr = 13 2 m/s

Ademas tenemos

De esta manera tenomos:

dv = r dt = (1 5)(12) v = 18 m/s

V~ = 13 2er + 18e m/s

6. Problema 2.150

Dos automviles A y B se aproximan a una interseccin. A viaja a 20m/s y va desacelerando a 2m/s2 , y B viaja a 10m/s y va desacelerando a 3m/s2. En el sistema coordenado fijo a la tierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A.

Solucin:

Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria

~vA = 20i y ~vB = 10j

~vA/B esta dado por ~vA/B = ~vA ~vB

~vA/B = 20i 10jvA/B = p(20)2 + (10)2 vA/B = 22 36 m/s

De forma analoga para V~B/A

~vB/A = 10j (20i) = 10j + 20ivB/A = 500 vB/A = 22 36 m/s

7. Problema 2.171

Un ro fluye hacia el norte a 3m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar en lnea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10m/s respecto al agua, en qu direccin debe apuntar el bote? Cunto tarda en efectuar el cruce? ser

3 m/ s

D

400 m N

W E

S

C

500 m

Solucin:

Asumiendo un angulo medido desde el este

~vbote/tierra = ~vbote/agua + ~vagua/tierra~vbote/agua = 10(cosi + sinj)~vagua/tierra = 3m/sj~vbote/tierra = [(10cosi) + (3 + 10sinj)]

Queremos que el bote viaje en ngulo

tan =

400500

Por consiguiente tenemos:

3 + 10sin10cos

400=500

= 25 11

Calculando la velocidad absolutav = p(10cos)2 + (3 + 10sin)2 v = 11 60m/s

Por lo tanto el tiempo ser

t =

d 5002 + 4002=v 11 60t = 55 2 s

8. Problema 2.194

La velocidad v = 2m/s es constante. Cules son las magnitudes de la velocidad y aceleracin del punto P cuando x = 0,25m?

y

y = 0.2 sin x

P

x

1 m

Solucin:

Hallando el tiempo para x = 0,25

x = 2t (M RU )t = 0 125s

De la ecuacion y = 0 2sin(2t) derivamos

dy dtd2y

= 0 4cos(2t) (Velocidad)

2d2t = 0 8

sin(2t) (Aceleracin)

Remplazando para t = 0 125s y y = 0 141

dy dtd2y

= vy = 0 889 m/s

2d2t = ay = 5 58 m/s

POr consiguiente hallaremos los mdulos

|v| = v =

q v2 + v2

2 19 m/sx y|a| = a = pa2 + v2

5 58 m/s2x a

9. Problema 6.13

La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de(a) La placa rectangular (b) La barra AB

y

A xD10 rad/s

B C

Solucin:

Como se ve en la figura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD =BC yAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC .

= (porserunparalelogramo) = BC = 00

AB = AC = 10rad/s

De la figura

(I ) Y (II ) iguales hallando la parte a)

A~B = AB(cos, sin) (I )D~C = DC (cos, sin) (I I )

La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular y que apunta en la direccion de eje Z +

~ AB = 10krad/s

hallando la parte b)

~vB = w~ ~rAB (I )~vC = ~vB + w~ 00 ~rBC (I I )~vC = ~ ~rDC ; Ademas ~rAB = ~rDC (I I I )

De las ecuacones (I),(II) y (III)

~vB + w~ 00 ~rBC = ~ ~rDC

00w~ ~rAB + w~

~rBC = 10k ~rABw~ 00 ~rBC = 10k (~rAB ~rAB )w~ 00 ~rBC = (0, 0, 0)w~ 00 = (0, 0, 0)rad/s

10. Problema 6.41

En la fig. p6.41, si AB = 2rad/s y BC = 4rad/s, Cul es la velocidad del punto C, donde el cubo de la excavadora est conectado?

y

v A B

Bv B C C

5.5 m 5 m

A

1.6 m

4 m3 m2.3 mx

Solucin:

Hallando el radio vector

~rA/B = 3i + (5,5 1,6)j = 3i + 3,9j(m)

Calculando la velocidad ene el punto B

~vB = ~ AB ~rA/B i j

k ~vB = 0 0 23 3 9 0

= 7 8i + 6j(m/s)

Encontrando el radio vector BC que es:

~rC/B = 2 3i + (5 5 5)j = 2 3i 0 5i

Hallando la velocidad en el punto C

~vC = ~vB + ~ BC ~rC/B i j

k ~vC = 7 8i + 6j +

0 0 4 2 3 0 5 0~vC = 9 8i 3 2j m/s

11. Problema 6.83

En la fig. p6.85, si AB = 2rad/s, AB = 2rad/s2, BC = 1rad/s, y BC = 2rad/s2,Cul es la aceleracin del punto C donde se conecta el cucharn de la excavadora?

y

v A Ba A B

B

av B C CB C

5.5 m 5 m

A

1.6 m

4 m3 m2.3 mx

Solucin:

De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del extremo inferior izquierdo

~rA = 4i + 1 6j~rB = 7i + 5 5j~rC = 9 3i + 5j

Calculando los vectores de posicin relativos

~rB/A = rB rA = (7i + 5 5j) (4i + 1 6j) = 3i + 3 9j~rC/B = rC rB = (9 3i + 5j) (7i + 5 5j) = 2 3i 0 5j

Encontrando la aceleracin del punto B

AB~aB = ~ AB ~rB/A 2

~rB/A i j

k ~aB = 0 0 23 3 9 0

(22)(3i + 3 9j)~aB = 2(3 9i + 3j) 4(3i + 3 9j) = 19 8i 9 6j m/s2

La aceleracin del punto C en trminos de la aceleracin en el punto B es:

BC~aC = ~aB + ~ BC ~rC/B 2

~rC/B i j

k ~aC = 19 8i 9 6j +

0 0 4 12(2 3i 0 5j)2 3 0 5 0~aC = 24 1i 18 3j m/s2

12. Problema 6.110

La velocidad angular AC = 50 /s. Determine la velocidad angular del actuador hidrulicoBC y la razn a la que se extiende.

C

aA C

v A C

2.4 m

A B

1.4 m1.2 m

Solucin:

Transformando la velocidad angular

AC = 5( 180 ) = 0 0873 rad/s

La velocid del punto C est dado por

~vC = ~ AC ~rC/A i j

k ~vC =

0 0 AC2 6 2 4 0

= 2 2094i + 0 2269j m/s (I )

Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC

1 2i + 2 4j e = 1 22 + 2 42 = 0 4472i + 0 8944j

La velocidad del punto C en trminos de la velocidad del actuador est dado por:

~vC = vC rel~e + ~ BC ~rC/B i j

k ~vC = vC rel(0 4472i + 0 8944j) +

0 0 BC 1 2 2 4 0~vC = vC rel (0 4472i + 0 8944j) + BC (2 4i + 1 2j) (I I )

Comparando las ecuaciones (I ) y (II )

0 2094 = 0 4472vC rel 2 4BC (I I I )0 2269 = 0 8944vcrel + 1 2BC (I V )

Resolviendo las ecuacones (III ) y (IV )

BC = 0 1076 rad/s vC rel = 0 109 m/s

Que es tambin la velocidad de extensin del actuador

13. Problema 6.134

Un automvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientacin norte- sur a una velocidad constante . Determine las componentes X,Y,Z de la velocidad y aceleracin del automvil (a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra mostrado; (b) respecto a un sistema coordenado sin giro con su origen en el centro de la Tierra.N

y

xA LB RE

Solucin:

a) Hallando la velocidad y la aceleracin respecto al coordenado fijo a la tierra~vrel = vj

v2~arel = i El movimento que describe es un circuloRE

b) Hallando respecto a un sistema coordenado sin giro

~vA = ~vArel + ~ E ~rA/B + ~rB (~vB = 0)~va = vj + (E sinLi + E cosLj) REi~va = vj E RE cosLk~aA = ~aB + ~aArel + 2~ E ~vArel + ~ ~rA/B + ~ E (~ E ~rA/B )

donde E esta dado por:

~ E = E sinLi + E cosLj y ~rA/B = R~ E i v2~aA = 0 E

i + 2vE sinLk + (E sinLi + E cosLj) (E RE cosLk)

Rv2 2 2 2

R~aA = (E

+ E RE cos L)i + (E RE sinLcosL)j + 2vE sinLk