tema 4 fonaments de probabilitat - uv · 2010-02-05 · interpretacions de la probabilitat n f n a...

Estadística - Grau de Nutrició

Humana i Dietètica. Tema 4

TEMA 4

Fonaments de probabilitat

Dep. Estadística i Inv. Operativa

Univ. de València

Concepte de probabilitat• La probabilitat és la mesura de la incertesa dels esdeveniments.

• Jacob Bernoulli (1654-1705): La probabilitat és el grau de certesa,

el qual és a la certesa com una part ho és a un tot.

• COM MESUREM LA INCERTESA O EQUIVALENTMENT EL GRAU

DE CERTESA D‟UN ESDEVENIMENT?

• PRIMER CALDRÀ FORMALITZAR LA SITUACIÓ ON ES PRODUEIX

LA INCERTESA.



Definicions

Espai Mostral : Conjunt de tots els resultats possibles d‟un experiment

aleatori.

1. Llançament d‟una moneda =C,+

2. Loteria Primitiva =A1,2,..,49:|A|=6

3. Quiniela =(r1, r2,.., r15): ri1,x,2

4. Baralla francesa (52 cartes) =1,..,52 1=“As de”,..,52= “rei de ”

Esdeveniment : Subconjunt de resultats A .

1. A = “Traure cara”= C

2. E = “Encertar la combinació guanyadora” = 12,21,22,23,37,48

3. F = “Encertar els 15 resultats” = (2,1,1,x,1,1,2,2,x,1,1,2,x,1,1)

4. G = “Traure un as” = As de Pic, As de Cors, As de Diamants, As de Trèbol

Experiment Aleatori: És un experiment el resultat del qual desconeguem a

priori i que podem conèixer una vegada realitzat l‟experiment.



Interpretacions de la probabilitat

nAf n

r

A ocorre que vegades)()(

granent suficientm és quan )()( )( nAfAP n

r

srepeticion de nombren



Freqüencialista: La probabilitat d‟un esdeveniment A és una aproximació a

la freq. relativa d‟A després d‟una llarga sèrie de repeticions de l‟experiment

en idèntiques condicions.

Llançament d’una moneda. ¿P(C)?

Llancem n=10 vegades. Resultat observat: +CC+CCC++C

La freqüència relativa de cara després de 10 llançaments és 0,60

n freq.

1 0,00

2 0,50

3 0,67

4 0,50

5 0,60

6 0,67

7 0,71

8 0,63

9 0,56

10 0,60

Freq. de cara

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n

Serie1

Observem una

gran variabilitat en

les freqüències

relatives de cara.

Augmentem nLlancem n = 1000 vegades. (Simulació amb ordinador). Ho fem 2 vegades



freq. cara

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

1 101 201 301 401 501 601 701 801 901

n

Freq. de cara

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

1 101 201 301 401 501 601 701 801 901

n

Les gràfiques són diferents però s‟estabilitzen entorn a 0,50

Podem aproximar la probabilitat de cara per P(C)0,50, per aquesta

moneda.

Interpretacions de la probabilitat (2)



Subjectiva: Basada en l‟opinió d‟un expert, es a dir el seu grau de creença

sobre l‟ocurrència d‟un esdeveniment.

Exemple: Quina és la probabilitat que el PAMESA guanye la lliga ACB?

Notem que l‟experiment no es pot repetir amb idèntiques condicions.

El fet que una persona assigne un valor, per exemple 0.6, a aquesta

pregunta, reflexa únicament la seua opinió personal.

Diverses persones poden donar respostes distintes a aquesta pregunta i

és impossible fins i tot quan acabe la lliga saber qui tenia raó.

Exemple: Quina és la probabilitat que un conductor principiant ocasione

danys a tercers per més de 600 euros en un any?

Les companyes d’assegurances es basen en historials d’accidents i, en

funció de l’edat, sexe, cotxe/moto calculen la prima del segur.

L‟usuari sempre opina que la prima és excessiva.

Operacions entre esdeveniments

Són idèntiques a les que fem amb conjunts. El llenguatge amb

esdeveniments és diferent al dels conjunts però hi ha una analogia total.

Esdeveniment Conjunt Simbologia

Espai Mostral / Esdev. Segur Conjunt universal

Esdeveniment Subconjunt de A

Esdev. Impossible Conjunt buit

Complementari Complementari Ac, Ā

A ó B ocorren A unió B AB

A i B ocorren A interssecció B AB,AB

A,B incompatibles A i B disjunts AB=

Si A ocorre B també A subconjunt de B A B



Lleis de Morgan

BABAii

BABAi

)(

)(

A

B

La família de tots els esdeveniments, la representarem per A i ha de

ser tancada respecte de: (numerables) i Ā (complementari) i rep

el nom de -àlgebra d’esdeveniments.



ParticionsUna colecció d‟esdeveniments B1,B2,…,Bn és una partició de B si:

jiBB

BB

ji

n

i

i

.2

.11

Exemple: Traure una carta d‟una baralla espanyola.

= O C E B només pot ser d‟una de 4 classes

possibles (formen una partició).

O=“ors”, C=“copes”, E=“espases”, B=“bastos”

Exemple: Tipus de sang a l‟analitzar una mostra.

= A B ”AB” 0 només pot ser d‟un dels 4 tipus

anteriors (formen una partició).

B1

B2

B3

B4

B5

B



Donat el parell (,A) una distribució de probabilitat és una funció:

P: A R

B P(B)

Distribució de Probabilitat

Que cumpleix per a tot esdeveniment BA

1. P(B) 0 (no negativitat)

2. Si B1,B2,…,Bn és una partició de B, tenim que P(B)=P(B1)+ P(B2)+…+P(Bn)

(aditivitat)

3. P()=1

Els axiomes 1,2 i 3 es deuen a Kolmogorov (1933) i són extensions

naturals de les propietats de les freqüències.

És fàcil veure (a partir dels axiomes) que P(B) ≤ 1.

El TSAR DE L‟ATZAR



Propietats de les distribucions de probabilitat

)(1)( APAP c

)()( BPAPBA

•Complementari

•Monotonia

•Principi Inclusió-Exclusió

n

i

i

nn

i

n

i ji kji

kjijiii APAAAPAAPAPAPii

ABPBPAPBAPi

1

1

1 1

)()1()()()()()

)()()()()

TOTES LES PROPIETATS ANTERIORS ES PODEN DEDUIR

DELS AXIOMES DE KOLMOGOROV.



Exemples• Quina és la probabilitat de traure almenys un 5 al llançar un dau bén

construït 6 vegades?

A = “traure almenys un 5 al llançar un dau 6 vegades”

Ac = “no traure cap 5 al llançar un dau 6 vegades”

P(A) = 1 - P(Ac) = 1 - (5/6)6 = 0,5561

• En una loteria hi ha tiquets numerats 1…6000. S‟extrau un a l‟atzar .

Quina és la probabilitat que siga múltiple de 2,3 ó 5?

Ai = “ser múltiple de i” per i = 2,3,5

P(A2 A3 A5) =

= P(A2) + P(A3) + P(A5) - P(A2A3) - P(A2A5) - P(A3A5) + P(A2A3A5) =

=1/2 + 1/3 + 1/5 - 1/6 - 1/10 - 1/15 + 1/30 = 11/15 = 0,7333



Equiprobabilitat

• Si tots els resultats d‟un experiment aleatori tenen idèntica probabilitat

estem en una situació d‟equiprobabilitat.

• =w1,…,wn, P(wi)=1/n

• Fòrmula de Laplacetotal resultats en

( )total resultats possibles

A AP A

Exemples:

Jocs d‟atzar com ruleta, cartes, daus, llançaments de monedes,…

Mostreig Aleatori: Totes les mostres tenen idèntica probabilitat, tots

els individus de la població tenen idèntica probabilitat de ser triats.

D‟ara endavant, si no es diu el contrari suposarem que els daus,

monedes, baralles, etc… no estan trucats(des).



Equiprobabilitat - Exemples Es llancen dos daus. Quina és la probabilitat que la suma valga 5?

Siga A = “traure un total de 5” tenim 36 resultats possibles equiprobables i A=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), per tant P(A) = 4/36 = 1/9.

Es llancen 3 monedes i sense veure el resultat, han d‟elegir-se 2. Es guanya si les 2 elegides són cara. Quina és la probabilitat de guanyar?

Evidentment la moneda no elegida no compta. Siga B = “les dos monedes triades són cara”, tenim 4 resultats equiprobables, per tant P(B)=1/4=0,25.

Et donen una mà de cinc cartes a l‟atzar d‟una baralla francesa. Quina és la probabilitat d‟obtindre un “pòquer d'asos”?

La probabilitat d‟obtindre un pòquer qualsevol seria 13 vegades més gran.

48 4

1 4 48 1("pòquer d'asos")= 0,00001847

52 2598960 54145

5

P



Experiments probabilísticament equivalents

• Dos experiments aleatoris amb idèntica distribució de probabilitat es

diuen “probabilísticament equivalents”.

• És la base de la simulació. No és necessari tindre daus perfectes,

baralles ben barallades, etc…

• Un programa d‟ordinador pot simular qualsevol experiment aleatori

sempre que conegam la seua distribució de probabilitat.Exemple

Imaginem un dau deforme com el de la figura on t>0

Suposem que la

probabilitat de cada

cara és proporcional

a la seua àrea

t1

t1

11

t

tpppp

tpp

tST

42)6()5()3()1(

42

1)4()2(

6,5,4,3,2,142

Superfície

total del dau



Exemple (cont.)Tenim infinites distribucions de probabilitat possibles (una per a cada

valor de t>0. En particular per a t=1/2

Considerem ara una loteria on hi ha N=16 tiquets dels quals 4 són “2”, 4 són “4”

i hi ha 2 de cada “1”,”3”,”5” i “6”. Extraure un tiquet a l‟atzar és

probabilísticament equivalent a llançar el dau deforme ja que les distribucions

de probabilitat són idèntiques.

És molt més fàcil fabricar una loteria com l‟anterior que fabricar un dau

deformat.

Probabilísticament és equivalent un experiment o l‟altre.

8

1)6()5()3()1(

4

1)4()2(

6,5,4,3,2,14

pppp

pp

ST

Els valors „2‟ i „4‟

tenen el doble de

probabilitat d‟eixir

que la resta.



Probabilitat CondicionadaUna informació parcial sobre el resultat d‟un experiment aleatori pot

alterar les probabilitats.

Exemple: Llancem una moneda 3 vegades.

Informació:”El primer llançament és cara”

És a dir, sabem que l‟esdeveniment

B = CCC,CC+,C+C,C+C ha ocorregut.

Com s‟alteren les probabilitats, després d‟aquesta informació?

Quina és la probabilitat de, per exemple, l‟esdeveniment

A =“Han eixit almenys 2 cares” = CCC,CC+,C+C,+CC?

Sabem que sense la informació donada per B, P(A) = 0,5

La informació que disposem rep el nom de “condició” o “esdeveniment

que condiciona”.



Probabilitat Condicionada (cont.)Distingim entre: Probabilitat inicial/a priori i Probabilitat final/ a posteriori.

=CCC,CC+,C+C,+CC,C++,+C+,++C,+++ espai mostral inicial

A=CCC,CC+,C+C,+CC P(A) = 0,5 (prob. Inicial d‟A)

B=CCC,CC+,C+C,C++ P(B) = 0,5 (prob. Inicial de B)

P(A|B) (prob. d’A condicionada a B)

B és el nou espai mostral (resultats possibles després que ocorre B)

AB

AB (única part d’A que pot ocórrer)



Probabilitat Condicionada (cont.)

P(A|B) (prob. d‟A condicionada a B)

AB = CCC,CC+,C+C única part d‟A compatible amb B.

En aquest cas, B afavoreix la realització d‟A ja que P(A|B) > P(A).

Inicial Condicionat a B

Espai Mostral B = B

Esdeveniments A AB

Probabilitat P(A) P(A|B) = P(AB)/P(B)

33 ( ) 8( |D )

44 ( )e forma natural

8

P ABP A B

P B



Definició formal (Probabilitat Condicionada)

0)()(

)()|( BPsi

BP

ABPBAP

La probabilitat d‟A sabent que ha ocorregut B és:

Prob. d‟A

condicionada a B

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )

suposant ( ) 0, ( )

Forma multiplica i

0

t va: P AB P A B P B P B A P A

P A P B

Exemple300 persones estan classificades

depenent de si disposen o no

d‟ADSL en sa casa i de si tenen o no

ordinador portàtil, segons la taula

Portàtil

SI NO

ADSL

SI 27 84

NO 45 144

Experiment Aleatori: Seleccionar una persona a l‟atzar

Considerem A=“Tindre portàtil” B=“Tindre ADSL”

Calcular P(A|B),P(B|A),P(A),P(B) i P(AB). Interpretar-les.



ExerciciUn sistema de seguretat disposa de 2 alarmes. La primera falla amb probabilitat

0,10. Si la primera falla, la probabilitat que la segona falle és 0,20, però si no falla

la primera, la probabilitat que ho faça la segona és 0,05.

Calcular les probabilitats següents:

a) Almenys una alarma no falle.

b) Exactament una alarma no falle.

c) La segona alarma no falle.

Solucions

a) 0,98 b) 0,125 c) 0,935



Independència (2 esdev.)Dos esdeveniments A i B són independents si l‟ocurrència d‟un qualsevol d‟ells

no altera la probabilitat de l‟altre. En altre cas, direm que són dependents.

)()|( ó )()tsindependen , BPABPAPP(A|BBA

Forma multiplicativa

)()()tsindependen , BPAPP(ABBA

Propietat: Si A i B són independents, també ho són A,Bc; Ac,B, Ac, Bc.

Exemple: Es trau una carta a l‟atzar d‟una baralla de 40 cartes.

Determinar si A =“Traure as” i B=“Traure basto” són independents o no.

R: Són Independents.

Esdeveniments incompatibles no han de ser independents i vice-versa.

ABBA

BAAB

que implica no tsindependen ,

tsindependensiguen , que implica no bles)(incompati

Exemple: Se trau una carta a l‟atzar d‟una baralla de 40 cartes. B=“Traure

basto” i O=“Traure or” són incompatibles però dependents.



Independència (n esdeveniments)Direm que els esdeveniments Ai, i=1,…,n són independents si:

11

1) ( ) ( ) ( )

2) ( ) ( ) ( ) ( )

1) ( ) ( )

i j i j

i j k i j k

n n

i i

ii

P A A P A P A i j

P A A A P A P A P A i j k

n P A P A

Exemple: Esdeveniments 2 a 2 independents però dependents.

Es llança una moneda 2 vegades, considerar els esdeveniments:

E = “Idèntic resultat en els dos llançaments”

A1 = “Primer llançament és cara” A2 = “Segon llançament és cara”

Solució:

Notem que P(EA1A2) = P(A1A2) = ¼ però P(E) = P(A1) = P(A2) = ½ per tant

no es compleix la condició 2, d‟altra banda P(EA1)=P(E A2)=P(A1A2)=¼ i és

compleix la condició 1. Són 2 a 2 independents però en conjunt els tres no

són independents.



Siga Bi i=1,…,n una partició de i suposem que P(Bi)>0 i.

Considerem un esdeveniment A qualsevol.

Aleshores

Teorema de la Probabilitat Total

B1

B2

B3

B4

B6

A

B5

n

i

ii BPBAPAP1

)()|()(

Partició d‟A induïda per

una partició de Ω

Ω



Fórmula de Baies

Siga Bi i=1,…,n una partició de i suposem que P(Bi)>0 i.

Considerem un esdeveniment A qualsevol.

Aleshores:

ni

BPBAP

BPBAPABP

n

i

ii

iii ,...,1

)()|(

)()|()|(

1

Prob. “a posteriori” Prob. “a priori”

Conegut també per

“Teorema de les causes”



El denominador

val P(A)

Exemple

Tenim tres caixes amb distintes composicions

1 2 3

Ens diuen que la bola extreta és blanca. Quina és la probabilitat que vinga de la caixa 3?

S‟elegeix una caixa a

l‟atzar i es trau d‟ella

una bola també a

l‟atzar.

Tenim una partició d‟Ω formada per les boles de les caixes 1,2 i 3

P(1)=P(2)=P(3)=1/3. Siga B=“Traure una bola blanca”

3 1

( | 3) (3) 94 3(3 | ) 0,3911 1 2 1 3 1( |1) (1) ( | 2) (2) ( | 3) (3) 23

2 3 3 3 4 3

P B PP B

P B P P B P P B P

Notem que sense informació, seleccionar la caixa 3 té una probabilitat de 1/3.

La informació en aquest cas ha augmentat la probabilitat a 0,391

aproximadament (un 17,4% d‟augment).



Exemple (Falsos +)

Un test de laboratori per a detectar una malaltia pot donar dos resultats: (+)

indicant que la pateix i (-) indicant que no la pateix. El test no està lliure d‟errors

i pot donar “falsos +” i “falsos -”. Se sap que en un 2% de la gent que no té la

malaltia li dóna (+), i que al 95% de la gent que pateix la malaltia li dóna (+).

•Si aquest test s‟utilitza en una població on es pensa que aproximadament l‟1%

pateix la malaltia i agafem una persona a l‟atzar i el test li dóna +, quina és la

probabilitat que efectivament patisca la malaltia? Creus que aquest test és

recomanable?

•Contesta les preguntes anteriors per a una població amb el 75% de malalts.



Encadenament d‟esdevenimentsEn experiments composts de diverses fases, la fórmula de la probabilitat en forma

multiplicativa ens pot ajudar a resoldre situacions com la següent:

D‟una baralla de 52 cartes s‟extrau a l‟atzar una mà (5 cartes sense reemplaçament)

quina és la probabilitat que siguen totes del mateix pal? (En pòquer aquesta mà

s’anomena color)

Primer calculem la probabilitat de traure una mà amb 5 diamants, per exemple.

Definim Di=“La carta i-ésima és diamant” i=1,…,5

1 2 3 4 5 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3 5 1 2 3 4

4

( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )

13 12 11 10 9 1544404,95x10

52 51 50 49 48 311875200

P D D D D D P D P D D P D D D P D D D D P D D D D D



L‟explicació de la fórmula anterior és que P(D1)P(D2|D1) = P(D1D2). I ara encadenant

amb el següent terme P(D1D2)P(D3|D1D2) = P(D1D2D3) i així successivament

tema 4 fonaments de probabilitat - uv · 2010-02-05 · interpretacions de la probabilitat n f n a...

Documents