la probabilitat al casino...2013/07/03 · la probabilitat al casino en aquest problema, pacioli...

La probabilitatal casino

La probabilitatal casino

Marcel Montanyès

Tutora: Mònica ManjarinCurs 2012-2013

IES Josep Pla

La probabilitat al casino

ÍNDEXAGRAÏMENTS.................................................................................4

INTRODUCCIÓ................................................................................5

PART I – LA PROBABILITAT

1. HISTÒRIA DE LA PROBABILITAT............................................7

2. LA DEFINICIÓ DE PROBABILITAT.........................................17

3. LES BASES MATEMÀTIQUES...............................................19

3.1. EL LLENGUATGE DE L'ATZAR.......................................19

3.2. LA LLEI DE LAPLACE......................................................20

3.3. LA LLEI DELS GRANS NOMBRES.................................21

3.4. COMBINATÒRIA..............................................................21

3.5. PROPIETATS DE LA PROBABILITAT..............................25

3.6. PROBABILITAT CONDICIONADA...................................27

3.7.EL TEOREMA DE BERNOUILLI.......................................30

4. PROBLEMES CURIOSOS.....................................................32

PART II – EL CASINO

1. EL CASINO.............................................................................39

2. L'ESPERANÇA MATEMÀTICA D'UN JOC D'ATZAR.............41

3. RULETA EUROPEA................................................................42

3.1. APOSTES.........................................................................43

3.2. GUANYS DEL CASINO....................................................46

2


3.3. GUANYAR DEINERS A LA RULETA................................47

4. CRAPS....................................................................................55

4.1. APOSTES.........................................................................55

5. BLACKJACK...........................................................................74

5.1. PROBABILITATS..............................................................76

5.2. COMPTAR CARTES.........................................................81

6. LUDOPATIA............................................................................83

CONCLUSIONS.............................................................................83

ANNEX A – PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES.........................85

BIBLIOGRAFIA..............................................................................88

3


AGRAÏMENTS

Vull agrair la col·laboració de les persones que m'han ajudat en aquest treball,

oferint-me recursos, possibilitats i orientació de treball.

Agrair a la Sonia Gómez la idea del treball, que em va entusiasmar molt. També

donar gràcies a la Laia Montanyès per l'ajut a l'hora de la confecció estètica del

treball. I per descomptat agrair a la Mònica Manjarin, tutora d'aquest treball, tot el

suport que m'ha donat per poder fer possible tota aquesta feina i la seva ajuda en

molts aspectes, ja que m'ha aportat moltes idees i coneixements, m'ha ajudat a

donar forma a aquest treball i sobretot per les ganes que m'ha transmès a l'hora de

realitzar la feina.

Moltes gràcies!

4


INTRODUCCIÓ

Segur que més d'una persona s'ha imaginat com seria la seva vida si un dia entrés

en un casino i en sortís ric. Apostem unes monedes i, de sobte, ja no ens caben a

les butxaques. De ben segur que aquest fet ens canviaria la vida. Però, el casino

està disposat a tenir les pèrdues suficients per a què a tu se't solucioni la vida? La

resposta és no. Es tracta d'un negoci i, com tots, té la finalitat de guanyar diners.

Per això, la pregunta hauria de ser: fins a quin punt tenim opcions de guanyar al

casino?

L'objectiu d'aquest treball és estudiar des del punt de vista matemàtic alguns dels

jocs del casino, concretament els més populars: la ruleta europea, els craps i el

blackjack. Al llarg del treball veurem el funcionament d'aquests jocs i de les seves

apostes i alguns mètodes que ens podrien ajudar a guanyar.

Una professora del centre em va proposar que fes aquest treball sobre la

probabilitat al casino. Per una banda em va semblar un tema interessant perquè

podria estudiar profundament el funcionament d'alguns jocs (cosa que dubto que la

majoria d'usuaris dels casinos o sales de jocs hagi fet mai), i, per l'altra, divertit pel

fet que tractés d'un àmbit del casino.

Inicialment he introduït el món de la probabilitat en l'àmbit històric. Per poder

comprendre els diferents càlculs també és necessari comprendre el funcionament

d'alguns càlculs bàsics com les operacions amb conjunts, la combinatòria o altres

conceptes bàsics de probabilitat. Aquestes informacions es troben a la part I del

treball. A la part II hi trobem l'explicació dels jocs i de les seves corresponents

apostes, juntament amb els càlculs que ens permeten treure conclusions. També hi

he inclòs un apartat breu sobre la ludopatia, una malaltia psicològica que es basa

en el desig d'apostar.

5


PART 1 – LA PROBABILITAT

6


1. HISTÒRIA DE LA PROBABILITAT

A l'antiga Grècia, una de les civilitzacions més sorprenents per la seva capacitat

intel·lectual, els grans pensadors intentaven trobar la veritat absoluta. Però en

canvi, a l'hora d'estudiar el que ara anomenem probabilitat, tenien una barrera

mental insuperable aleshores. Tot i que els grecs tenien una gran afició als jocs,

sobretot relacionats amb daus i astràgals (amb ossos), la seva fe en els deus els

feia pensar que en el resultat dels llançaments, es revelava la voluntat dels deus i

que no tenia cap sentit intentar comprendre el que podia passar.

A més d'aquest impediment basat en les seves creences, també s'hi afegeix un altre

inconvenient, el seu sistema numèric dificultava molt alguns càlculs.

En temps romans, tot i que el pensament d'aquests era semblant al dels grecs, la

finalitat de les matemàtiques al món romà era trobar-ne una utilitat per mesurar,

comptar i calcular.

Ciceró, jurista, polític, orador i un dels més grans escriptors de prosa de Roma, va

qüestionar la intervenció directa dels deus en el resultat d'una tirada de daus. Ciceró

amb aquests fets va posar en qüestió l'astrologia, que aleshores tenia molts

seguidors i que segueix tenint-los. Finalment el que ens va deixar aquest autor es la

paraula “probabilitat” (probabilis).

Més endavant, ja a l'Edat Mitjana, seguint amb la creença de què no hi havia cap fet

deixat a l'atzar, sinó que es tractava de la intervenció divina, el rei Lluís XI de

França, va prohibir els jocs d'atzar.

Però no va ser fins al Renaixement on realment es va començar a parlar de

probabilitat.

Aquest període destaca per una activitat artística, intel·lectual, industrial y científica.

A partir del pensament humanista, es desperta una gran confiança per el

pensament racional. Les matemàtiques es converteixen en la principal ajuda per

l’art i la concepció de la bellesa.

A partir d’aquesta etapa les matemàtiques, juntament amb la filosofia, comencen a

donar coherència a molts fets amb un patró aleatori.

7


En algunes experiències, es comptabilitzen els possibles resultats i la seva

freqüència relativa, quants cops apareixia un resultat en N tirades, com per exemple

tirant els daus o de formes més útils en la vida quotidiana per resoldre problemes de

joc i coneixen algunes estratègies.

Autors italians de l'època com Tartaglia, Pacioli, Galileo o Cardano es van començar

a plantejar problemes de divisió de diners.

Luca PacioliFra Luca Bartolomeo de Pacioli va ser un frare de la família franciscana i un

matemàtic de finals del segle XV, realitzador de grans aportacions a la comptabilitat

i precursor de càlculs de probabilitat.

Fra Luca va resoldre el següent problema de repartició:

Dos grups juguen a pilota i s'ha acordat que el primer

que arribi a 60 punts guanyarà. L'aposta és de 22

ducats per equip, en total 44 ducats (els ducats van

ser unes monedes d'or que es van trobar en diferents

èpoques per Europa). Per qualsevol motiu no es pot

acabar el joc i el resultat en el moment en què

s'interromp el joc és de 50 per l'equip A i 30 per l'equip

B. Com s'haurien de repartir els diners?

El raonament de Pacioli per a distribuir els diners es va basar en els punts de cada

equip: 50 punts l'equip A i 30 punts l'equip B. Per tant la repartició s'hauria de fer en

proporció 50:20, el mateix que 5:2. Per tant per repartir els diners s'havia de dividir

l'aposta en 80 parts, corresponents al total de punts obtinguts pels dos equips:

44ducats80 punts . Aleshores l'equip A s'emportaria 50 punts · 44ducats

80 punts= 552=27,5ducats

i l'equip B s'emportaria 30 punts · 100 ducats80 punts

=332=16,5ducats .

8

Luca Pacioli


En aquest problema, Pacioli només té en compte el que ha succeït fins el moment

en què s'interromp el joc i no té en compte les probabilitats de cada equip per

guanyar.

Niccolò Fontana

Niccolò Fontana, més conegut com Tartaglia pel seu

tartamudeig, va viure durant la primera meitat del

segle XVI. Tot i que va quedar orfe de petit i sense

medis d'aprenentatge, pel que va ser autodidacta, va

arribar a ser un dels més grans matemàtics de l'època.

Va ser el descobridor d'un mètode per resoldre

equacions de tercer grau i va fer estudis matemàtics

sobre artilleria.

En la seva obra Trattato generale di numeri et mesure, Tartaglia va abordar entre

d'altres, el mateix problema que Paccioli:

Un joc a 60 punts amb una aposta de 22 ducats per equip. El joc s'interromp i les

puntuacions són: equip A 50 punts i equip B 30 punts. Com s'haurien de repartir els

ducats?

La solució de Tartaglia és la següent:

L'equip A té un avantatge de 50-30=20 punts sobre l'equip B; i si comparem aquest

avantatge amb el total de punts requerit 2060

= 13 , A s'hauria d'emportar la seva

meitat de l'aposta inicial, 22 ducats, i l'avantatge que té sobre B, què seria

22 · 13=71

3 aleshores el jugador A guanya 22713=29· 1

3 i el jugador B, 22

ducats menys la part corresponent a l'avantatge d'A 22−713=14 · 2

3 .

Com que l'avantatge d'A sobre B és d' 1/3, l'aposta es reparteix en una proporció

2:1, 2/3 per A i 1/3 per B.

Balanç final: A s'emporta 29 ducats (29,3) i B 14 ducats (14,6).

9

Niccolò Fontana


Girolmao Cardano

Cardano va ser un filòsof, metge, astròleg i un estudiós de l'atzar del segle XVI a

Itàlia. El seu pare també va ser un aficionat a les matemàtiques i amic de Leonardo

Da Vinci.

Va ser el primer teòric italià que va realitzar estudis

matemàtics sobre alguns jocs d'atzar i va escriure una obra

relacionada amb el càlcul de probabilitat al 1565, El llibre

dels jocs a l’atzar, on ens parla de conceptes que ara fan

referència a la probabilitat, però ell no ens els defineix.

Aquesta obra, va contribuir més tard en els estudis d’altres

matemàtics com Pascal i Fermat.

Cardano demostra l’error de Pacioli i Tartaglia en els seus

problemes de repartiment i proposa un sistema per

resoldre el problema que té en compte la part del joc que mai s'arriba a jugar degut

a una interrupció. Cardano proposa el càlcul següent, que, de fet, tampoc és

correcte des del punt de vista probabilístic:

Part d ’ A=[123 ...n−q] i Part de B=[123...n− p] ; on n és el

nombre de punts a jugar, que són 60, i p i q són el nombre de punts guanyats pels

jugadors A i B, respectivament ( 50 i 30). Aleshores la proporció correcta de

repartiment ésPartAPartB .

De totes formes, aquesta resolució és incorrecta i només és vàlida per a

determinats casos, és a dir, per a determinades condicions (punts i apostes).

Galileo Galilei

Va ser un filòsof, astrònom, físic i matemàtic de finals del segle XVI que va estar

estretament relacionat amb la revolució científica. Uns dels seus màxims èxits van

ser la millora del telescopi, varies observacions astronòmiques i aportacions a la

teoria heliocèntrica (els planetes giren entorn al sol).

Galileo va estudiar i resoldre problemes plantejats per Cardano i va fer estudis

relacionats amb daus com el nombre de resultats possibles al llençar tres daus

10

Girolamo Cardano


63=216 . Però la contribució més important de Galileo a la probabilitat va ser la

teoria de la mesura d'errors, on deia que els errors de mesura són inevitables i que

n'hi ha de dos tipus: sistemàtics, deguts al mètode i les eines de mesura; i aleatoris,

que varien de forma imprescindible.

Un dels problemes que va resoldre relacionat

amb daus, li va proposar el príncep de Toscana:

Per què quan llancem tres daus, obtenim amb

més freqüència la suma de 10 que la de 9, tot i

que en els dos casos es poden obtenir de 6

maneres diferents? Galileo va veure clarament

que el príncep cometia un error en pensar que les

dos sumes s'obtenien a partir de 6 possibles

combinacions.

Suma de 9:

1+2+6 1+3+5 1+4+4 2+2+5 2+3+4 3+3+3

Suma de 10:

1+3+6 1+4+5 2+2+6 2+3+5 2+4+4 3+3+4

Però amb això només hem trobat les sumes que formaran cada nombre i com que

tenim tres daus diferents, no és el mateix obtenir: 1+2+6 que 1+6+2 ni 6+2+1 ni

2+1+6...

Per tant la diferència es trobe en les diferents possibles combinacions dels nombres

per obtenir la suma:

Dau 1 Dau 2 Dau 3 Suma Dau 1 Dau 2 Dau 3 Suma1 2 6 9 1 3 6 101 3 5 9 1 4 5 101 4 4 9 1 5 4 101 5 3 9 1 6 3 101 6 2 9 2 2 6 102 1 6 9 2 3 5 102 2 5 9 2 4 4 102 3 4 9 2 5 3 10

11

Galileo Galilei


2 4 3 9 2 6 2 102 5 2 9 3 1 6 102 6 1 9 3 2 5 103 1 5 9 3 3 4 103 2 4 9 3 4 3 103 3 3 9 3 5 2 103 4 2 9 3 6 1 103 5 1 9 4 1 5 104 1 4 9 4 2 4 104 2 3 9 4 3 3 104 3 2 9 4 4 2 104 4 1 9 4 5 1 105 1 3 9 5 1 4 105 2 2 9 5 2 3 105 3 1 9 5 3 2 106 1 2 9 5 4 1 106 2 1 9 6 1 3 10

25 possibilitats6 2 2 10

6 3 1 10

27 possibilitats

Per tant la idea del príncep de Toscana era errònia ja que no tenia en compte que

les diferents combinacions per a cada suma no són només 6, ja que no és el mateix

6+1+3 que 1+3+6 ja que no és el mateix que a un dau surti 6 que 1. Al contrari

3+3+3 no té més possibles combinacions, ja que ha de sortir 3 en tots els daus.

La conclusió és que com que hi ha més possibles combinacions per a formar el 10,

sortirà amb més freqüència que el 9.

12


Blaise Pascal i Pierre Fermat

L'inici de la teoria de la probabilitat, però, la trobem cap al 1652 amb Blaise Pascal,

escriptor, físic, filòsof, teòleg i matemàtic francès del segle XVII, i Pierre Fermat, un

dels principals matemàtic del segle XVII, també francès.

Pascal era de viatge amb un amic apassionat dels jocs, Antoine Gombauld, també

conegut com el cavaller de Meré. Aquest amic va observar que era més fàcil obtenir

6 amb un dau, que no pas amb la suma de dos daus, però ell pensava que hi havia

d’haver una relació proporcional entre el nombre de jugades per aconseguir el 6, fet

que és erroni. A partir d’aquest fet, Pascal va començar a escriure's amb Pierre

Fermat, el primer era de París, el segon de Tolouse, però mai es van arribar a

conèixer personalment. En la correspondència van anar resolent diversos

problemes de joc que se li plantejaven a Meré i van iniciar càlculs de probabilitat.

Pascal i Fermat resolien molts cops els problemes de forma diferent, però arribaven

a la mateixa resposta.

A més, també van sorgir una sèries d'estudis de combinatòria que van ser publicats

per Pascal.

Veiem també un problema de repartició de Pascal en una carta a Fermat:

Volem conèixer el valor de repartició en un joc de dos participants a cara o creu

amb una moneda ideal. El joc s'acaba quan un guanya 3 tirades. L'aposta es de 32

monedes per cap. Suposem que el primer jugador té dos punts i l'altre un. Trobem

dos formes de decidir la repartició:

13

Blaise Pascal Pierre Fermat


En la propera tirada poden passar dues coses, que el primer jugador guanyi les 64

monedes o que empatin i que si decidissin acabar cadascú es tornaria a emportar

les seves 32 monedes. Ara posem per cas que s'interromp el joc i s'han de repartir

els diners. El primer jugador té 32 monedes assegurades passi el que passi i per

tant pot assegurar que 32 monedes són seves. Ara queden les altres 32 monedes i

com que hi ha les mateixes possibilitats de què empatin com que guanyi el primer

jugador es divideixen en 2 i es reparteixen.

Per tant el primer jugador es quedarà amb 32+16=48 monedes i el segon 16

monedes. Es repartiran les 64 monedes amb una proporció 3:1.

L'altra forma d'enfocar-ho és contemplant que passaria si juguessin fins que un dels

dos jugadors guanyés. Podem assegurar que com a màxim és necessitarien 2

tirades, ja que al primer jugador li queda una tirada bona per guanyar, i al segon

dues. Contemplem els possibles successos: direm 1 quan aquella tirada la guanyi

el primer jugador i 2 quan guanyi el segon (recordant que el primer guanya amb una

tirada i el segon amb dues).

Casos possibles:

Aleshores hi ha ½ de possibilitats que 1 guanyi en la primera tirada; ½ ·½=¼ que

guanyi l'1 en la segona tirada; ½ ·½=¼ que guanyi el 2 en la segona tirada.

Aleshores és lògic que, igual que en l'altra explicació, les monedes es reparteixin

amb una proporció 3:1 a favor del primer jugador.

Christiaan Huygens

Christiaan Huygens, astrònom, físic i matemàtic holandès,

va fer diversos treballs de mecànica i òptica, a més de

tallar lents per a telescopis amb els que va descobrir el

satèl·lit Tità i estudiar la Nebulosa d'Orió. També va

construir microscopis per estudiar les partícules més

diminutes.

Cap al 1655 l'holandès va contactar amb Pascal i Fermat i

14

12

12

Christiaan Huygens


va començar a treballar en càlculs de probabilitat resolent diferents problemes. Va

explicar l'esperança matemàtica a partir de l'esperança de vida humana.

Huygens va proposr formes de resolució per a alguns problemes iniciats per Pascal

i Fermat, i els va complicar una mica afegint-hi, per exemple, un tercer jugador en

els problemes de repartició, aportant no tan sols una solució als problemes tractats,

sinó també una metodologia capaç de donar solucions precises per a gran part dels

problemes proposats fins llavors.

“De ratiociniis in ludo aleae” es desenvolupa en catorze pàgines i consta de catorze

proposicions. Veurem la proposició I.

Proposició I: Si puc obtenir amb la mateixa facilitat, a o b, aleshores la meva

expectatio (del llatí expectativa, esperança o possibilitat d'obtenir una cosa) és:

ab2 .

Huygens va provar la seva afirmació. La demostració consta de dos parts. En la

primera determina el valor de la expectatio per a les condicions de l'afirmació; en la

segona part verifica la solució.

Huygens suposa que la expectatio és x i que pot arribar a ella mitjançant un joc

equitatiu. En el joc hi participen Huygens i un adversari. Cadascú col·loca x com a

aposta i acorden que el que guanyi li donarà la quantitat a al que perdi, ja que hi ha

la mateixa probabilitat de guanyar a que de guanyar 2x-a.

Sent 2x-a=b se segueix que x=ab2 .

En la segona part mostra la comprovació. Com que cada jugador ha posat la

mateixa quantitat, l'aposta total és a+b. Si ara un guanya donarà al seu adversari la

part a i ell es quedarà la part b. Si perd, es quedarà a i el seu adversari b. Els dos

successos tenen la mateixa probabilitat i es pot guanyar amb la mateixa facilitat a

que b. Per tant es comprova que ab2 és la expectatio.

Un exemple numèric que dona Huygens és: Si puc obtenir igualment 3 que 7, la

meva expectatio serà de 5: x=372

=5 .

15


Entre Pascal, Fermat i Huygens van assentar les bases de la teoria de la

probabilitat. A finals del segle XVII ja existien amplis coneixements sobre successos

aleatoris. Però tots aquests coneixements es trobaven en l'àmbit dels jocs d'atzar, i

fins aleshores ningú havia donat una definició de la probabilitat. Els teoremes bàsics

que van fer possible el desenvolupament de la probabilitat tal com la coneixem, no

van ser ideats per Fermat, Pascal o Huygens, però tot i això, ells ja els havien

utilitzat d'una forma implícita, i el que és més important, correcta.

16


2.Definicions de probabilitat

Definició del diccionari de la llengua catalana

El concepte que permet d’expressar quantitativament el caràcter aleatori d’un

esdeveniment o fenomen que hom creu que pot succeir. Càlcul de probabilitats.

Teoria de les probabilitats.

Definició segons Fernando Corbalán i Gerardo Sanz, autors de “La conquista del azar”

Un número que ens indicarà lo plausible que es observar un resultat d'un fenomen o

experiment aleatori. Ara bé, l'assignació d'aquesta probabilitat és quelcom que pot

ser intuïtiu en molts casos, però absolutament críptic en d'altres.

Definició clàssica

Considerant un experiència aleatòria amb un espai mostral E, format per un nombre

finit N 1 de possibles resultats diferents amb la mateixa possibilitat d'esdevenir. Si

l'experiència es repeteix N cops, aleshores N 1 és el nombre de cops que apareix

l'esdeveniment S1 , N 2 el nombre de cops que apareix l'esdeveniment S2 i

així successivament, tal que: N 1N 2N 2 ...N k=N I les probabilitats dels

esdeveniments: P S1=N1

N; P S2=

N 2

N; P S k =

N k

N.

Definició a partir de la llei dels grans nombres

En un experiment amb espai mostral E, on S es qualsevol esdeveniment i repetim

l'esdeveniment N vegades . Sabent que N(S) és el nombre de vegades que es dóna

l'esdeveniment S en N cops: P S =limN ∞N S

N .

17


Les probabilitats dels successos es quantifiquen amb nombres d'entre el 0 i l'1,

ambdós inclosos. Quan un esdeveniment té probabilitat 1 vol dir que sempre passa.

Si la probabilitat és propera a 1, vol dir que gairebé sempre passa. Per exemple

P=0,9 (90%), passa 9 de cada 10 cops. En canvi probabilitat propera a 0 vol dir que

gairebé mai passa. Per exemple P=0,1 (10%), passa 1 cops de cada 10 en promig.

Si un esdeveniment té probabilitat 0 vol dir que mai passa.

18


3. LES BASES MATEMÀTIQUES

3.1. EL LLENGUATGE DE L'ATZAR

Per poder parlar de probabilitat, primer hem de conèixer uns conceptes bàsics,

sense els quals ens resultaria difícil poder comprendre i seguir algunes

explicacions.

Una experiència aleatòria és un acte o un fet del qual el resultat depèn de l'atzar,

tal com tirar un dau.

En tirar aquest dau, poden produir-se diferents resultats possibles que s'anomenen

esdeveniments. Per exemple podem treure parell.

Dins els esdeveniments, hi trobem els esdeveniments elementals, que serien els

més simples: treure 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

El conjunts dels esdeveniments elementals d'una experiència aleatòria, s'anomena

espai mostral. L'espai mostral d'un dau és E={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Com que qualsevol

esdeveniment ha de poder-se expressar amb l'espai mostral, entenem que els

esdeveniments són subconjunts de l'espai mostral, com en el cas de treure >3, que

correspon al subconjunt E={4,5,6} de l'espai mostral .

La freqüència absoluta és el nombre de cops A que es dóna un esdeveniment si

repetim una experiència aleatòria N cops: F(A).

La freqüència relativa és el quocient entre la freqüència absoluta i el nombre de

cops que es dona l'experiència aleatòria: f(A)=F(A)/N. Si repetim N cops un

experiment aleatori la suma de les freqüències relatives dels esdeveniments

observats ha de ser 1. Per exemple, al tirar un dau 3 cops es donen els següents

esdeveniments: treure 4, treure 2 i treure 6. Hem repetit 3 vegades l'experiència

19


aleatòria i hem obtingut un cop 4, un 2 i un 6, per tant, la freqüència relativa de cada

esdeveniment és: f(4)=1/3; f(2)=1/3; f(6)=1/3. Si fem la suma de les tres freqüències

1/3+1/3+1/3=1.

3.2. LA LLEI DE LAPLACE

Ens diu que si tots els esdeveniments de l'espai mostral són equiprobables, és a dir,

tenen la mateixa probabilitat, aleshores la probabilitat d'un esdeveniment és:

P s= casos favorablescasos possibles

EXEMPLE 1:

Tenim un dau, i volem saber la probabilitat de què surti parell i la probabilitat de què

surti 3 al tirar aquest dau.

Experiment aleatori: Tirar un dau

Espai mostral: E={1,2,3,4,5,6}

Esdeveniments: S1:Sortir parell S2:Sortir 3

P s1=36 P s2=

16

EXEMPLE 2:

Tenim una baralla de 52 cartes, una baralla completa, i volem calcular la probabilitat

de que al treure una carta qualsevol surti un 7 i la probabilitat de què surti una carta

de piques.

Experiment aleatori: Treure una carta

Espai mostral: E={A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K}

Esdeveniments: S1:Sortir 7 S2:Sortir piques

P s1=452 P s2=

1352

20


3.3. LLEI DELS GRANS NOMBRES

Recordem que la freqüència relativa és el quocient entre la freqüència absoluta i el

nombre de cops que es dona l'experiència aleatòria. Aleshores si repetim una

experiència aleatòria A en la que la probabilitat d'un esdeveniment es P(A), no

necessàriament al cap d'N repeticions la freqüència relativa coincidirà amb P(A). La

llei dels grans nombres diu que com més cops repetim l'experiment, més s'apropara

a aquesta probabilitat. Així direm que P(A) és el resultat d'un limit anomenat

probabilitat de l'esdeveniment A.

limN ∞f AN

=P A

EXEMPLE 1:

En tirar una moneda ideal hi ha un 50% de probabilitats de què surti cara i un 50%

que surti creu. Pot ser que en deu tirades surtin 9 cares i 1 creu i veiem que no es

compleix la probabilitat; però com més cops repetim l'experiència aleatòria, més

s'aniran igualant el nombre de cares i creus que apareixen i per tant cada cop els

valors dels resultats d'aquests s'aniran apropant al 50%.

3.4. COMBINATÒRIA

A vegades comptar els casos favorables i els casos possibles pot ser complicat i

llarg de fer, per això utilitzem la combinatòria i les permutacions.

La combinatòria ens permet comptar les diferents possibilitats de subconjunts que

es poden formar a partir d'un conjunt donat. Alguns cops tenint en compte el nombre

i l'ordenació dels seus elements.

Per entendre millor el funcionament de la combinatòria, farem servir alguns

exemples:

EXEMPLE 1:

De quantes maneres diferents ens podem vestir si tenim 2 pantalons i 3

21


samarretes?

Cada pantaló pot anar amb qualsevol de les 3 samarretes, per tant el primer pantaló

pots combinar-lo de 3 formes diferents i el segon de 3 més. Per tant el nombre de

combinacions possibles és de: 2·3=6 combinacions.

Multipliquem 2·3 perquè tenim 2 pantalons possibles a combinar amb 3 samarretes

possibles, com podem veure en el següent esquema:

EXEMPLE 2:

De quantes maneres diferents podem asseure'ns 6 persones en una taula que no

sigui rodona?

Com que inicialment tenim 6 posicions on asseure la primera persona posem un 6;

després ens queden 5 posicions on asseure la segona persona, multipliquem 6·5;

ara queden 4 llocs on seure la següent persona, doncs multipliquem 6·5·4; i així fins

arribar a multiplicar per 1 ja que a l'ultima persona en asseure's només li quedarà un

lloc:

6·5·4·3·2·1 o el que és el mateix 6! (sis factorial)

22


Arribem a la conclusió de que tenim 6·5·4·3·2·1=720 maneres diferents d'asseure 6

persones en una taula!

EXEMPLE 3 :

Diferents formes d'ordenar 5 llibres.

Fem el mateix que en l'exemple anterior: 5!=5·4·3·2·1=120 formes d'ordenar 5

llibres.

Però ara ho farem tenint en compte que dos d'aquests llibres són el mateix, és a dir,

en tenim un de repetit.

Farem el mateix procés que fins ara: Inicialment tenim 5 posicions pel primer llibre;

pel segon ens queden 4 posicions; pel tercer tenim 3 posicions; ara ens queden els

dos llibres repetits i dos posicions, però com que és indiferent on col·loquis un i on

col. loquis l'altre, ja que són el mateix, els col·locarem un a cada posició de les

restants, ens és igual quina, ja que el resultat serà el mateix, i per això no

multipliquem (o és com si multipliquéssim per 1): 5·4·3

També podem posar-ho com 5!, però com que en aquest cas no multipliquem per 2

ni per 1, hem de dividir entre 2!=2·1.

5· 4 ·3=5 !2 !

=60 Maneres d'ordenar 5 llibres dels quals un està repetit.

EXEMPLE 4:

Experiència aleatòria: tirar dos daus i sumar-ne el resultat.

L'espai mostral és {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Esdeveniment: S: Sortir 5 amb la suma dels dos daus.

Casos possibles: tenim dos daus amb 6 cares cadascun, per tant tindrem 6·6=36

casos possibles.

Casos favorables: Distingim entre els dos daus ja que les tirades entre ells són

independents.

23


Suma dels daus Combinacions possibles de cada nombre2 1+13 1+2; 2+14 1+3; 3+1; 2+25 1+4; 4+1; 2+3; 3+26 1+5; 5+1; 2+4; 4+2; 3+3 7 1+6; 6+1; 2+5; 5+2; 3+4; 4+38 2+6; 6+2; 3+5; 5+3; 4+49 3+6; 6+3; 4+5; 5+410 4+6; 6+4; 5+511 5+6; 6+512 6+6

Per tant tenim 4 casos favorables de 36 possibilitats de treure 5.

Aleshores la probabilitat de treure 5 en tirar dos daus és:

P S = casos favorablescasos possibles

= 436

=0,11111

EXEMPLE 5:

Experiència aleatòria: treure 4 cartes d'una baralla de 52 cartes.

Espai mostral: {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} .

Esdeveniment: S: treure 4 Ks.

Casos possibles: 52·51·50·49 .

Com que com menys Ks queden a la baralla, la probabilitat de treure'n una és més

petita, aquest cas no es tracta d'esdeveniments equiprobables.

En començar tenim 52 cartes per treure, quan en traiem una ens en queden 51, en

traiem una altra i en queden 50 i traiem una quarta carta i en queden 49.

Casos favorables: 4!=4·3·2·1.

Quatre factorial (4!): tenim 4 Ks quan traiem la primera ens en queden 3, en traiem

una altra i en queden 2 i en traiem una altra i només en queda 1.

P S2= 4 !52 ·51·50 ·49

=3,7·10−6=0,00037

24


3.5. PROPIETATS DE LA PROBABILITAT

Operacions amb conjuntsLes operacions amb conjunts són necessàries per a fer alguns càlculs amb

probabilitats i seran necessàries més endavant.

Un conjunt és una agrupació, classe o col·lecció d'objectes als quals anomenem

elements del conjunt. Així, quan un element pertany al conjunt S, diem que el

conjunt S conté l'element a: a ∈ S .

Definició:Siguin A i B dos subconjunts d'un conjunt S. Aleshores definim:

·Unió de subconjunts A i B: A∪B , format pels elements que pertanyen o bé a A o

bé a B.

·Intersecció de subconjunts A i B: A∩B , format pels elements que pertanyen a A i

a B.

·Conjunt diferència entre A i B: A/B , el conjunt d'elements que pertanyen a A

però no a B.

·Complementari de A: AC , si A és un subconjunt de S, AC és el conjunt dels

elements que pertanyen a S però no a A..

Teoremes:Siguin A i B dos subconjunts d'un conjunt S. Aleshores

P A∪B=P AP B−P A∩B

Demostració:

Restem P A∩B perquè si féssim

P A∪B=P AP B estaríem repetint

P A∩B 2 cops, un per P(A) i un per P(B).

□

25


EXEMPLE 1:

Tenim 10 cartes numerades de l'1 al 10 on les cartes de valor senar són vermelles i

les de valor parell són negres. Quina és la probabilitat de treure una carta vermella

o major de 7?

P vermell = 510 Tenim l'1, el 3, el 5, el 7 i el 9. En total 5 possibilitats de 10 cartes.

P major de7= 310 Tenim el 8, el 9 i el 10. 3 possibilitats de 10 cartes.

P vermell∩major de7= 110 Tenim el 9, l'única carta major de 7 i vermella. 1

possibilitat de 10 cartes.

Ara apliquem el teorema:P vermell∪major de7=P vermell P major de 7−P vermell∩major de7

P vermell∪major de7= 510

310

− 110

= 710

=0,7

Per tant tenim una probabilitat del 70% de treure una carta vermella o major de 7.

Propietats:

P AP AC =1

Demostració:

P AP AC =P A∪AC =1 per tant, si aïllem P(A) en P AP AC =1 ens

queda P A=1−P AC , aleshores podem dir que:

P AP AC =P A∪AC=1 P A=1−P AC

□

EXEMPLE 2:

Tirem un dau i guanyem sempre que no traiem 1 o 6. Quina és la nostra probabilitat

de guanyar?P guanyar =1−P perdre

P perdre =P 1∪6=P 1P 6=1616=13=0,3333

26


P guanyar =1− 13=23=0,6666

Per tant tenim una probabilitat de guanyar de 0,6666 és a dir del 66,66%.

EXEMPLE 3:

Tirem un dau amb sis cares igualment probables. Quina és la probabilitat de què en

aquesta tirada surti un 1 o un 2?

Experiència aleatòria: Tirar un dau.

Esdeveniments: treure 1 o treure 2.

P 1∪2=P 1P 2=1616=26=13=0,3333 .

Per tant la probabilitat de treure 1 o 2 en tirar el dau des del 33,33%.

3.6. PROBABILITAT CONDICIONADA

Donats dos esdeveniments A i C, s'anomena probabilitat de A condicionada a C

P(A/C) a:

P A/C =P A∩C

P C

Mesura les vegades que ocorre A entre les que ocorre C. És a dir, per cada X cops

que es doni C, quants se'n donarà A.

EXEMPLE 1:

En un experiment aleatori fem girar la ruleta europea. Sabent que el 7 és vermell,

tenim els següents esdeveniments:

A: sortir 7 C: sortir vermell

P A= 137 P C = 18

37 aleshores:

27


P A/C =P A∩C

P C =

1371837

=118

Per tant arribem a la conclusió que per cada 18 cops que surti vermell, de mitjana

sortirà un 7.

EXEMPLE 2:

En el curs de 2n de Batxillerat tenim la següent situació:

Treballa No treballa TotalNois 24 27 51Noies 16 33 49Total 40 60 100

Si esculls una noia a l'atzar, quina és la probabilitat que aquesta treballi?

On N és noia i T que treballa:

P N /T =P N∩T

P T =

1610040100

=1640=0,4 .

La probabilitat d'escollir una noia i que aquesta treballi és del 40%.

Definició:Dos esdeveniments A i C són independents quan:

P A/C =P A i P C /A=P C .

Quan A i C són independents, la probabilitat de la seva intersecció és igual al

producte de les seves probabilitats.

P A=P A∩C

P C P A∩C=P A· P C

28


EXEMPLE 3:

Tirem dos daus alhora i volem saber quina és la probabilitat de treure un doble 5.

Les dues tirades són independents, ja que el resultat d'un no intervé en el de

l'altre.

Per tant tenim els esdeveniments A i C:

A: Treure un 5.

C: Treure un 5.

P treure5∩treure5=P treure5 ·P treure5=16

· 16= 136

=0,0278

La probabilitat de treure un doble 5 és de 0,0278 és a dir del 2,78%.

EXEMPLE 4:

Tenim una moneda i volem calcular la probabilitat de què en tirar-la dos cops, als

dos surti cara, quina és aquesta probabilitat? Com que les dues tirades són

independents, la probabilitat de treure dues cares és:

P creu∩creu=P creu · P creu=12

· 12= 14=0,25 .

Per tant la probabilitat de treure dos creus és de 0,25, del 25%.

EXEMPLE 5:

En un curs de 100 alumnes triem un alumne a l'atzar. D'aquests alumnes, n'hi ha 20

que juguen a futbol, 15 que juguen a bàsquet i 10 que practiquen els dos esports.

Per tant tenim els següents esdeveniments:

A:Jugui a futbol

B:Jugui a bàsquetA∩B : Jugui a futbol i a bàsquet

Sabem que:

P A= 20100

=0,2 Probabilitat de què jugui a futbol.

P B= 15100

=0,15 Probabilitat de què a bàsquet.

29


P A∩B= 10100

=0,10 Probabilitat de què jugui a futbol i a bàsquet.

Per tant els esdeveniments no són independents. Ara calculem la probabilitat

d'escollir un nen a l'atzar i que aquest jugui a futbol però no a bàsquet.

P A/BC =P A∩BC P BC

= P A−P A∩B1−P B P A/BC =

20100

− 10100

1− 85100

=217=0,1176

Per tant la probabilitat d'escollir un nen que jugui a futbol però no a bàsquet és de

0,1176.

3.7. EL TEOREMA DE BERNOUILLI

Suposem que tenim un experiment aleatori i un esdeveniment A amb probabilitat

p0∈0,1 . Volem saber si repetim l'experiment N vegades, quina probabilitat

tenim que la freqüència relativa del succés sigui molt propera a p0 . La freqüència

relativa de l'esdeveniment A, f(A), és la freqüència absoluta (nombre d'èxits en N

intents) dividida entre N. Com que la probabilitat d'èxit és p0 aleshores la

probabilitat de fracàs q0 (que no es produeixi l'esdeveniment) és 1− p0 . Triem

un nombre real positiu , que pot ser tant petit com vulguem.

El Teorema de Bernouilli afirma que P ∣ f A− p0∣≥1−p0 · qo

N ·2. Observem que

f A∈ po− , po si i només si ∣ f A− po∣ (és a dir que si es compleix la

primera condició la segona també i viceversa).

EXEMPLE 1:

En un experiment aleatori fem girar la ruleta. Com a esdeveniment tenim sortir el

número 17. Com què hi ha 37 nombres possibles a sortir i només un ens és

favorable, el 17, direm que la probabilitat d'èxit p0=137 i la probabilitat de fracàs,

30


qualsevol altre nombre que no sigui el 17, qO=3637 . Establim N i : N=1000 i

=0,01

Ara apliquem el teorema:

P ∣ f A− p0∣≥1−p0· qo

N ·2

P ∣ f A− 137∣0,01≥1−

137

· 3637

1000 ·0,012=0,737 Per tant un 73,3% de les vegades es

complirà que:

∣ f A− 137∣0,01 i si recordem que f A= F A

N aleshores fem

∣F A1000

− 137∣0,01

1000 ·∣F A1000

− 137∣0,01=∣F A−1000

37 ∣10 (On 100037

≈27 és el nombre de

vegades que s'espera que surti 17).

Per tant en un 73,7% es complirà que F A∈27−10,2710 = F A∈17,37 .

En un 73,7% dels casos, casi en ¾ parts dels casos, trobarem que en tirar 1000

vegades una ruleta el 17 sortirà entre 17 i 37 vegades.

31


4. PROBLEMES CURIOSOS

L'aposta de Pascal Pascal; Blaise va plantejar la següent qüestió amb el seu raonament. Existeix

realment Déu? Pots pensar que si o pots pensar que no. Podríem dir que hi ha un

50% de probabilitat que existeixi i un 50% que no. Però són les mateixes les

pèrdues que els beneficis en les dues eleccions?

Blaise Pascal es va plantejar aquesta qüestió i va utilitzar la probabilitat i el

raonament per trobar l'opció que més el podia beneficiar.

En el cas que decidim no creure en Déu poden passar dues coses: que si que

existeixi i que per tant ens espera el sofriment després de la vida; o que realment no

existeixi, la qual cosa no implicaria cap canvi.

Si escollim creure en Déu poden passar dues coses: que no existeixi i aleshores

visquis amb la il·lusió falsa; o que si que existeixi i per tant després de la vida

estaràs eternament al paradís.

Seguint aquest raonament, la millor opció, comparant els possibles beneficis i

pèrdues, seria creure en Déu, ja que el pitjor que pot passar és que no existeixi i

hagis viscut enganyat, la qual cosa un cop mort seria igual, en canvi si existeix,

després de la vida t'espera el paradís etern.

Però cadascú és lliure de pensar el que vulgui.

Partint del raonament de Pascal podem trobar una relació amb el món de la loteria o

algun altre joc on la probabilitat de guanyar és molt petita, però el premi és molt

important, d'aquí en surt l'èxit d'aquest tipus de jocs. La probabilitat d'encertar en el

premi és molt petita, però si et toca, passes a ser molt ric. La decisió social és que

val la pena arriscar-se, per això quest tipus de jocs són dels més populars.

L'alumne que no té ganes d'estudiar

Corbalán; Fernando i Sanz; Gerardo (2010) en el seu llibre La conquista del azar:

La teoria de probabilidades, presenten i resolen aquest problema. La Marta té un

examen de 10 temes, però només hi sortiran preguntes de 3 temes. La Marta ha

32


estudiat 8 temes; quina probabilitat té d'haver estudiat els temes que tocaven?Per

saber això hem d'observar el resultat de les preguntes dels 3 temes que sortiran. Si

el tema l'ha estudiat, aprovarà (A), si no l'ha estudiat suspendrà el tema (S).

Per veure les possibles resultats de l'examen fem un diagrama en arbre.

Com que és indiferent l'ordre dels temes, només ens hem de fixar en si el tema

l'havia estudiat (A) o no (S).

En el primer tema que es troba té probabilitats de 8/10 (A) i 2/10 (S). Suposem que

havia estudiat el primer tema. Com que es tracta d'una experiència dependent i per

tant el resultat d'un tema influeix en els altres, ara queden 9 temes més, dels quals

n'ha estudiat 7. Les probabilitats són de 7/9 (A) i 2/9 (S). Tornarem a suposar que la

Marta ha estudiat pel segon tema també i que per tant només li queda un tema. Ja

ha fet 2 temes i els dos els havia estudiat, pel que ens queden unes probabilitats de

6/8 (A) i 2/8 (S) i donarem per fet que ha aprovat els 3 temes (AAA). Ara toca

respondre a la pregunta inicial: quina probabilitat té la marta d'aprovar els 3 temes?

Per calcular la probabilitat en proves compostes es multipliquen les probabilitats de

cada succés del vèrtex anterior. Per tant la probabilitat que la Marta aprovi els 3

temes és: P= 810

· 79

· 68≃0,47 (47%).

1r TEMA 2n TEMA 3r TEMA Probabilitat d'aprovar

33

8/10

A

2/10S

7/9

2/9

8/9

1/9

A

S

A

S

A

S

A

S

6/8

2/8

7/8

1/8

A

S

A

S

7/8

1/8

1

0

AAA p1=0,47

AAS p2=0,15

ASA p3=0,16

ASS p4=0,02

SAA p5=0,16

SAS p6=0,02

SSA p7=0,02

SSS p8=0


El concurs de televisió En un concurs televisiu, el guanyador ha d'escollir d'entre tres, una porta. Darrere la

qual hi pot trobar en dos casos una cabra i en un, un cotxe.

El presentador demana que el concursant seleccioni una porta entre la porta 1, la

porta 2 i la porta 3. Sigui quina sigui l'elecció del concursant, el presentador

eliminarà una de les portes que no ha escollit, mostrant que a l'interior hi ha una

cabra i per tant el cotxe es troba en la que ha escollit o en l'altra que queda, i donarà

l'opció de canviar de porta o mantenir-se en la mateixa. Quina seria la millor elecció

del concursant?

Des del punt de vista probabilístic trobem el següent raonament:

La probabilitat inicial de què el concursant guanyi el cotxe es d'1/3, ja que trobem

tres portes i només en una d'elles hi pot haver el cotxe. En el moment en que

s'elimina una porta, si tu et mantens en la mateixa porta, res ha canviat i per tant la

teva probabilitat de guanyar el cotxe segueix sent d'1/3; però si canvies de porta la

teva possibilitat es duplica, passant a ser de 2/3.

He marcat a l'esquema de color taronja el que passa quan et quedes la porta que

has escollit inicialment i de color groc el que passa quan canvies de porta.

Si observem l'esquema veiem que canviant de porta, aconseguirem guanyar el

cotxe 2 de cada 3 vegades, per tant tindrem una probabilitat de guanyar el cotxe de

2/3. En canvi si ens mantenim en la mateixa porta, tindrem una probabilitat de

guanyar el cotxe d'1/3 (la mateixa que inicialment). Per tant podem acabar dient que

34

Escollir una porta

Porta amb una cabra Porta amb una cabra Porta amb el cotxe

Te la quedes:Guanyes una cabra.

Te la quedes:Guanyes una cabra.

La canvies:Guanyes una cabra.

Te la quedes:Guanyes un cotxe.

La canvies:Guanyes un cotxe.

La canvies:Guanyes un cotxe.


la manera d'augmentar les nostres probabilitats de guanyar el cotxe seria canviar de

porta quan el presentador ens doni la possibilitat, ja que d'aquesta forma doblarem

les nostres probabilitats de guany.

Aquest problema, conegut com el problema de Monty Hall i va donar lloc a moltes

discussions no fa molt temps, amb intervencions de matemàtics destacats. Des del

1963 fins al 1990 es va emetre un concurs televisiu a Estats Units titulat “Let's Make

a Deal”. Al mateix temps, en els diaris hi havia un apartat titulat “Pregunta-ho a

Marilyn” on s'hi trobaven preguntes i respostes. Marilyn vos Savant era una dona

amb un alt quocient intel·lectual, de 228. Així doncs al setembre 1990 va publicar la

pregunta al problema anterior: “És un avantatge per al concursant canviar la porta

escollida inicialment?”

Marilyn va concloure que era millor canviar de porta. Això va causar una pluja de

cartes (unes 10.000) en les quals més del 90% deien que s'equivocava. Va rebre

cartes de professors matemàtics indignats. Deien coses com: “Deixa que m'expliqui:

si mostren una porta perdedora, aquesta informació canvia la probabilitat de

qualsevol elecció mantinguda, cap de les quals té cap raó per ser més probable que

½. Com a matemàtic professional, estic molt preocupat per la falta d'habilitat

matemàtica del públic, si us plau, ajuda confessant el teu error i sigues més prudent

en el futur.” Tal com hem vist, tots estaven equivocats i la senyora vos Savant tenia

raó.

Per tant podem concloure que la probabilitat a vegades no és tant intuïtiva com

creiem o pot semblar, la probabilitat és molt més complexa del que molts puguin

pensar.

El problema del caballer De Meré Un problema que De Meré va proposar a Pascal i Fermat és un basat en daus.

De Meré sabia que le probabilitat de que surti almenys un 6 en quatre tirades era de

P 6= 6711296

=0,5177 , ja que P no 6= 564

= 6251296

=0,4822 i P(6)=1-P(no6). Per

tant era favorable apostar que almenys en una de cada quatre tirades sortiria un 6.

Aleshores De Meré es va plantejar quantes tirades de dos daus es necessitarien per

35


obtenir com a mínim un doble 6.

Va pensar que com que un dau dóna sis possibilitats diferents i dos daus per tant en

donen trenta-sis (6·6=36), per conèixer el nombre de tirades dobles mínim que

s'havia de fer per a aconseguir un doble 6 era: com que amb un dau eren quatre

tirades, amb dos vint-i-quatre (6·4=24).

Per tant amb vint-i-quatre tirades, pensava que tenia més possibilitats de treure un

doble 6 que de no treure'l.

Aquests raonament van ser enviat sa Pascal, que va observar que no era correcte,

però amb la manca de temps i pensant que De Meré podria arribar a la solució,

Pascal no va enviar la seva solució al problema.

La solució correcta es troba en 25 tirades com a mínim per a aconseguir tenir la

probabilitat a favor per poder aconseguir doble 6: P doble 6=16

· 16= 136

=0,0278 , i

per tant P no doble6=1−P doble 6=1− 136

=3536

=0,9722 .

Comparem la probabilitat de treure un doble 6 en 24 tirades i en 25:

· P no doble 6en24 tirades =P nodoble 6nº tirades= 3536

24

=0,5086

P doble6en 24 tirades=1−P no doble6en 25 tirades =1−3536

24

=0,4914

· P no doble 6en25 tirades=P nodoble 6nº tirades= 3536

25

=0,4945

P doble6 en 25tirades =1−P nodoble 6en 25tirades =1− 3536

25

=0,5055

P(no doble 6) P(doble 6)En 24 tirades 0,5086 0,4914En 25 tirades 0,4945 0,5055Per tant veiem que el nombre de tirades mínimes en les que un doble 6 té més

probabilitats de sortir és 25 i no 24.

36


A partir d' aquí es conclou que el cavaller De Meré estava errat en el seu raonament

i tot i que les probabilitats són molt properes, hem vist que no és el mateix 24 que

25 tirades, ja que amb 25 la probabilitat juga lleugerament al teu favor per treure un

doble 6.

Probabilitats curioses

La National Safety Council (Consell Nacional de Seguretat, Estats Units) és una

entitat sense ànim de lucre amb 17.000 afiliats en més de 70 països que té la

finalitat d'atendre les necessitats públiques independentment de qualsevol

organització, i té com a missió protegir la vida, la salut ocupacional i la seguretat

industrial.

A partir d'informació que proporciona aquesta associació, podem comparar algunes

probabilitats:

P treure 4 A' s= 1270.725

*Amb una baralla sencera.

P morir per un llamp = 1134.906

P guanyar loteria de nadal = 1100.000

P accident aeri = 17.178

P morir incendi = 11.344

P que ensatropellin= 1701

P atac cardíac =16

P morir =1

37


38


PART II – EL CASINO

39


1.EL CASINO

Un casino és un establiment recreatiu que ofereix activitats recreatives relacionades

amb els jocs d'atzar, a més d'espectacles, concerts, balls i altres activitats d'oci.

Però l'activitat principal en els casinos són els jocs d'atzar.

Els jocs més populars dels casinos són la ruleta, el blackjack, el pòquer, el punt i

blanc i les màquines escurabutxaques.

El funcionament dels casinos es basa en l'aposta de diners: els jugadors que

participen en els diferents jocs aposten diners esperant guanyar la partida i amb

això diners. Però el casino és un establiment creat per al contrari, per perdre-hi

diners. Els casinos són una gran font d'ingressos, ja que hi juga molta gent a diari.

Els casinos són establiments dissenyats per estimular i excitar els sentits. És el cas

de Las Vegas, un dels principals destins turístics d'Estats Units gràcies a les zones

comercials i vacacionals, però sobretot gràcies als casinos, fet per el qual també es

coneix com “La Capital de l'Entreteniment Mundial” o “La Ciutat del Pecat”.

Actualment podem trobar també casinos en línia, ja que la indústria dels casinos

s'ha anat desenvolupant des de l'any 2000 amb l'ajut de la tecnologia, fins al punt

que avui en dia podem trobar més de 100.000 sales de casinos virtuals amb milions

de jugadors d'arreu del món.

40

Vista de la ciutat de Las Vegas


2. L'ESPERANÇA MATEMÀTICA D'UN JOC D'ATZAR

L'esperança de joc és una relació entre les probabilitats de guanyar en un joc i el

premi que sobte al guanyar. Ens permet calcular pèrdues o guanys mitjans d'un joc,

o de l'aposta d'un joc, per tant ens permet saber si a la llarga hi guanyarem diners o

n'hi perdrem.

Si juguéssim a un joc just, l'esperança de joc seria 0, ja que a la llarga ningú en

sortiria ni beneficiat ni perjudicat. Si l'esperança sortís negativa, hi sortiries perdent

a la llarga. Si l'esperança de joc és d'un valor positiu a la llarga hi sortiràs guanyant.

Per calcular l'esperança de joc multipliquem la probabilitat de guanyar pels guanys i

li sumem la probabilitat de perdre per les pèrdues (el valor de les pèrdues és

negatiu). E=P guanyar · guanysP perdre· pèrdues

EXEMPLE 1:

Posem per cas que juguem a tirar una moneda ideal, és a dir, que no està trucada

ni te cap tendència a cara o creu. Si surt cara t'emportes 1€, si surt creu la banca

s'emporta 1,5€. Per saber si el joc es just fem:

P guanyar =12=0,5 ; P perdre =1

2=0,5

Guanys=1€ Pèrdues=-1,5€

E=P guanyar · guanysP perdre· pèrdues=12

·1€12

·−1,5€=−0,25€

Per tant el joc no seria just ja que una de les parts sortiria beneficiada. En aquest

cas, com que l'esperança és negativa, nosaltres sortiríem perjudicats i la banca

beneficiada. Tindríem una pèrdua mitjana de 0,25€ per tirada.

41


3. RULETA EUROPEA

L'origen de la ruleta el trobem a l'antiga Grècia, on per passar el temps agafaven

escuts metàl·lics i els dividien en 10 parts per la cara interior, aleshores apostaven

als resultats i qui guanyava s'emportava els diners apostats.

El joc de la ruleta en si, apareix a França al segle XVII a mans de Blasie Pascal,

que intentava crear un dispositiu de moviment perpetu. Pascal va idear una ruleta

amb 36 nombres (no incloïa el 0).

A finals del segle XIX els germans Blanc van modificar la ruleta i l'hi van afegir el

número 0.

Aquest joc d'atzar el podem trobar fàcilment als casinos, ja que n'és amb diferència

el passatemps més popular i suposa aproximadament el 60% de les apostes totals

dels casinos.

Com podem deduir del nom, es tracta d'una roda amb 37 números, del 0 al 36. El

funcionament és simple, el crupier fa girar la roda i tira la bola de forma que giri en

direcció oposada a la roda. L'objectiu del joc es endevinar a quina casella caurà la

bola.

Cada nombre menor o igual a 18 té un nombre major a 18 a cada costat, amb

l'excepció del 5, el 10 i el 0 (l'últim just enfront dels dos anteriors).

Els nombres poden ser de 3 colors: verd, negre i vermell. El 0 és verd. Els nombres

els quals la suma de les seves xifres és parell (26: 2+6=8), els correspon una

casella negra, amb l'excepció del 10 (1+0=1) i el 29 (2+9=11), en els que la suma és

senar. La resta de nombres, els quals la suma de les seves xifres és senar, són

vermells.

Els nombres vermells i negres han d'estar de forma alternada en la roda.

42


Roda d'una ruleta europea

3.1. APOSTES

Per realitzar les apostes disposem d'un taulell on posarem les fitxes amb la quantitat

de diners que vulguem apostar en la casella de l'aposta que ens sembli. Per això

trobem diferents tipus d'apostes. En el cas que es guanyi et retornen els diners

apostats inicialment i la quantitat indicada segons l'aposta que s'ha efectuat.

A continuació veurem totes les apostes possibles amb la seva corresponent

esperança.

Recordem que l'esperança matemàtica (E) d'un joc d'atzar és el valor mitjà de

guanys per jugada, i s'expressa mitjançant la següent fórmula:

E=P(guanyar)·guanys+P(perdre)·pèrdues

43


Taula d'apostes de la ruleta europea

-Apostes internes:

Senzilla: apostem a 1 número de 37 possibles. 35 a 1.

E= 137

·353637

·−1=−137

=−0,027

Dividida: apostem entre 2 números de 37 possibles. 17 a 1.

E= 237

·17 3537

· −1=−137

=−0,027

Fila: apostem entre 3 números de 37 possibles. 11 a 1.

E= 337

·113437

·−1=−137

=−0,027

Quadre: apostem entre 4 números de 37 possibles. 8 a 1.

E= 437

·83337

· −1=−137

=−0,027

Línia: apostem entre 6 números de 37 possibles. 5 a 1.

E= 637

·53137

·−1=−137

=−0,027

44


-Apostes externes:

Columna: apostem a una de les 3 columnes en grups de 12 números, per tant

apostem a 12 números de 37 possibles. 2 a 1.

P columna =1237

E=1237

· 22537

· −1=−137

=−0,027

Dotzena: apostem a una de les 3 dotzenes, per tant apostem a 12 números de 37

possibles. 2 a 1.

P dotzena =1237

E=1237

· 22537

· −1=−137

=−0,027

Passa: apostem al grup d'entre l'1 i el 18, per tant apostem a 18 números de 37

possibles. 1 a 1.

P passa =1837

E=1837

·11937

· −1=−137

=−0,027

Falta: apostem al grup d'entre el 19 i el 36, per tant apostem a 18 números de 37

possibles. 1 a 1.

P falta = 1837

E=1837

·11937

· −1=−137

=−0,027

Parell: apostem als números parells (el zero no compte), per tant apostem a 18

números de 37 possibles. 1 a 1.

P parell =1837

E=1837

·11937

· −1=−137

=−0,027

45


Senar: apostem als números senars, per tant apostem a 18 números de 37

possibles. 1 a 1.

P senar=1837

E=1837

·11937

· −1=−137

=−0,027

Color: apostem al color blanc o al color negre, per tant apostem a 18 números de

37 possibles. 1 a 1.

P col.or =1837

E=1837

·11937

· −1=−137

=−0,027

Com que l'esperança de totes les apostes de la ruleta és de -0,027, perdràs una

mitjana de 27€ per cada 1000€ que apostis. Això no vol dir que quan hagis apostat

1000€ n'hagis d'haver perdut 27, però a la llarga, el normal és sortir-hi perdent, ja

que l'esperança afavoreix a la banca.

3.2. GUANYS DEL CASINOHem calculat l'esperança de joc de cada una de les apostes de la ruleta i hem

obtingut que per a totes les apostes l'esperança és d' E=−0,027 i per tant per a

cada euro que apostem perdem de mitjana 0,027€. Pot ser que estiguem de sort i

un dia guanyem 100€, però hem de saber que coneixen l'esperança de joc a la

llarga hi sortirem perdent.

A partir de l'esperança de joc podem calcular quants diners cal que la gent aposti

perquè el casino en guanyi grans quantitats.

E=−0,027€€ apostat

= casino guanya0,027 €1€ apostat

46


Calculem ara quants diners s'han d'apostar perquè el casino tingui uns guanys

determinats:

Guanys del casino Diners apostats100€ 100 · 1

0,027=3.703,7€≈3.700€

1.000€ 1.000 · 10,027

=37.037,03 €≈37.000€

1.000.000€ 1.000.000 · 10,027

=37.037.037,04€≈37.000.000€

Per tant veiem que perquè el casino guanyi una quantitat de diners, s'ha d'apostar

aproximadament 37 vegades aquesta quantitat.

Però sigui com sigui, a la llarga el casino sempre acabarà sortint-hi beneficiat, i el

jugador perjudicat degut a l'esperança de joc.

Diuen que la ruleta és un dels jocs més justos. Veiem que l'esperança de joc ens

desfavoreix en qualsevol aposta, però dintre del món del casino és dels jocs més

justos que existeix ja que de mitjana perdrem 2,7€ per cada 100 que n'apostem. Tot

i això sabem que sempre hi sortirem perdent a la llarga, ja que és la finalitat del joc.

3.3. GUANYAR DINERS A LA RULETA

Observem alguna desviació?La coneguda família Pelayo, tal i com ens indiquen els seus autors, I.G. PELAYO i

G.G. PELAYO (2003), en “ La fabulosa historia de los Pelayos” es va fer rica

estudiant si les ruletes tenien alguna desviació, fet que feia que sortissin amb més

freqüència alguns números. Sabien que no és possible guanyar a la ruleta fent

servir mètodes matemàtics, per això ells van aprofitar les desviacions físiques de la

ruleta, ja que és pràcticament impossible construir-ne una de perfecta.

Podem observar una ruleta 10 tirades i veure que cau 3 cops en un nombre, però

com sabrem si aquest fet es cosa de l'atzar o d'una desviació? Per saber-ho, no és

47


suficient en observar només 10 tirades, hem d'anar a un nombre molt superior. Però

quan podrem estar gairebé al 100% segurs que la ruleta té una desviació?

La família Pelayo observava cada ruleta com a mínim 5000 tirades (7 hores diàries

durant 15 dies d'observar i anotar).

Quan tenien totes les dades de freqüències absolutes de cada número, es fixaven

en aquelles que tenien una probabilitat més alta, és a dir, que havien sortit més

cops que els altres. Aleshores, quan trobaven números amb P= 134 (el normal

seria 1/37) i apostaven a aquells números.

Si es fixaven en números amb P= 134 , vol dir que la freqüència absoluta en 500

tirades era:

F númeroen5000 tirades =5000 · 134

≈147

P númeroen5000 tirades =5000 · 137

≈135

Si comparem les dades, veiem que apostaven per aquells nombres que havien

sortit més d'onze vegades del que s'esperava, ja que la freqüència absoluta

esperada és de 135 i sabent que apostaven als números amb P= 134 (o major)

veiem que aposten a aquells números que han sortit amb una freqüència absoluta

de com a mínim 147 cops.

Als Pelayo els costava 34€ guanyar-ne 36, per tant era un procés lent i calia

paciència: tenien una avantatja del 6% i guanyaven 2€ nets de cada 34 que

n'apostaven. Però el que calia sobretot era una gran inversió inicial, ja que també hi

ha la possibilitat de perdre i has d'estar econòmicament preparat per poder

continuar jugant.

Tot i aquest lent benefici, la família Pelayo va guanyar 250.000.000 de pessetes

(aproximadament 1.500.500 euros) per casinos de tot el món.

Una forma de verificar si la ruleta té una desviació és el teorema de Bernouilli.

Recordem que el teorema de Bernoulli ens permet conèixer l'interval on s'espera

48


que estigui el número de cops que ha sortit un nombre en N tirades i també ens dirà

en quin tant per cent de probabilitat podem concloure, si el resultat observat està

fora de l'interval, és que la roda té una desviació. És a dir, obtindrem un interval i un

percentatge, i amb aquest percentatge de certesa es complirà que si el nombre de

cops que ha sortit un nombre no pertany a l'interval la ruleta està desviada.

La fórmula del teorema de Bernouilli és:

P ∣ f A− p0∣≥1−p0· qo

N ·2

On f(A) és la freqüència relativa; p0 és la probabilitat de guanyar; q0 és la

probabilitat de perdre; és l'error que acceptem i pot ser un nombre tan petit com

vulguem; N és el nombre de tirades.

Partint d'aquestes dades i utilitzant el teorema de Bernouilli podem fer un estudi de

la desviació d'una ruleta en 5000 tirades.

El teorema de Bernouilli diu que:

P ∣ f A− p0∣≥1−p0 · qo

N ·2

Nosaltres fixarem el nombre de tirades N=5000, i variarem . Farem que la

nostra aposta sigui sobre el número 17, per tant P guany =p0=137 i

P perdre =q0=3637 .

Per tant, si substituïm, la fórmula general de l'experiment serà:

P ∣ f A− 137∣≥1−

137

· 3637

5000 ·2.

El nombre de 17 esperats serà de 500037

≈135 .

Establim diferents :

1- =0,1

49


P ∣ f 17− 137∣0,1≥1−

137

· 3637

5000 ·0,12=0,9995

En un 99,95% dels casos es complirà que

5000 ·∣F 175000

− 137∣0,1 = ∣F 17−5000

37 ∣500F 17∈135−500,135500 = F 17∈0,635 (L'interval es 0,635 i no -365,635

perquè no pot sortir un nombre negatiu de 17).

Veiem que amb =0,1 les dades obtingudes no són de gran ajuda ja que amb

molta facilitat el 17 sortirà entre 0 i 635 cops, així que haurem d'utilitzar un

diferent. Però si el nombre de 17 fos major de 635, pràcticament segur que la

ruleta estaria desviada, ja que en només un 0,05% dels casos és donarà aquest fet

però la ruleta no tindrà cap desviació.

2- =0,01

P ∣ f 17− 137∣0,01≥1−

137

· 3637

5000 ·0,012=0,9474


5000 ·∣F 175000

− 137∣0,01 = ∣F 17− 5000

37 ∣50F 17∈135−50,13550 = F 17∈85,185

En aquest cas ja ens apropem a un nombre que ens pot ser més d'ajuda: si el

nombre de 17 que surten no pertany a l'interval (85,185), amb un 94,47% de

certesa, la ruleta està desviada, és a dir, podríem estar gairebé segurs de què

estaria desviada, ja que només en un 5,53% dels casos en què el nombre de 17 no

pertanyés a l'interval no es deuria a una desviació de la ruleta. Tot i això l'interval

encara és força gran.

3- =0,007

P ∣ f 17− 137∣0,007≥1−

137

· 3637

5000·0,0072=0,8927


50


5000 ·∣F 175000

− 137∣0,007 = ∣F 17− 5000

37 ∣35Per tant: F 17∈135−35,13535 = F 17∈100,170

Amb un 90% de certesa es complirà que si el nombre de 17 que han sortit

en 5000 tirades no es troba en l'interval (100,170), la ruleta tindrà una desviació.

4- =0,005

P ∣ f 17− 137∣0,005≥1−

137

· 3637

5000 ·0,0052=0,7896


5000 ·∣F 175000

− 137∣0,005 = ∣F 17−5000

37 ∣25On el nombre esperat de 17 que ocorrin es de 5000/37=135, per tant:

F 17∈135−25,13525 = F 17∈110,160

L'interval és molt petit i només es complirà que amb una certesa del 78,96% la

ruleta estarà desviada si el nombre de 17 que surten en 5000 tirades no es troba en

l'interval (110,160), ja que el percentatge de casos en el que es donarà que la ruleta

tingui una desviació no arriba al 80% i en un 20% dels casos el nombre de 17 no

pertanyerà a l'interval degut a l'atzar.

Podem arribar a la conclusió de què l ' òptim es trobarà en uns valors d'entre

0,007 i 0,01, ja que l'interval al qual haurà de pertànyer el nombre de vegades que

ha sortit el 17 i el percentatge en què es complirà aquest fet són força bons:

l'interval no és molt gran i el percentatge és elevat.

Comparació amb els Pelayo La família Pelayo es va dedicar a fer simulacions de ruletes absolutament aleatòries

i sense cap tendència amb un programa d'ordinador. Ells no van fer servir el

teorema de Bernouilli, van fer estudis experimentals. Simulaven 200 vegades el

llançament de 100, 200, 300 i fins a 30000 boles.

A partir d'algunes dades dels seus experiments podem comparar el teorema de

51


Bernouilli amb els seus resultats de les simulacions.

En les simulacions dels Pelayo, es va obtenir que en 5000 tirades el número que

més cops havia sortit ho feia 31 cops més del que hauria de ser si la ruleta fos

físicament perfecta, si havia de sortir F a=500037

=135 cops, va sortir

135+31=166 cops.

A partir d'aquesta dada podem calcular l ' corresponent a aquest interval en

N=5000 tirades.

Com que per guanyar diners el que interessa es conèixer els números que surten

més, els Pelayo no nombren aquells que surten menys vegades, en aquest cas 31

més, però si en quan a valors positius l'interval és de 31, en negatius també ho

serà.

Calculem l ' que correspondria a les simulacions dels Pelayo.

L'interval en el qual ha de pertànyer un nombre si la ruleta no té una desviació és de

(135-31,135+31) = (104,166). Per tant si recordem la fórmula del teorema de

Bernouilli:

P ∣ f A− p0∣≥1−p0· qo

N ·2

On P guany = p0=137 , P perdre=q0=

3637 i N=5000.

P ∣ f A− p0∣

Calculem :

Com que

F A= 500037

− ·5000, 500037

·5000 = F A=135−31,13531

·5000=31 i = 315000

=6,2 ·10−3=0,0062

Ara calculem en quin percentatge de vegades passarà que amb =0,0062 si F(A)

no pertany a l'interval (104,166) serà perquè té una desviació física.

P ∣ f A− p0∣≥1−p0· qo

N ·2

52


1−

137

· 3637

5000 ·0,00622=0,8632

Per tant en un 86,32% de les vegades que F(A) d'un número, en 5000 tirades

totals, no pertanyi a l'interval (104,166) serà perquè la ruleta te una desviació o bé

serà un dels successos que només ocorren un 13,68% dels casos.

Segons els Pelayo això es complia en un 95% dels casos. Però amb els càlculs del

teorema de Bernouilli surt en un percentatge una mica inferior.

Això es pot deure a dos fets:

El primer és que les dades dels Pelayo eren d'un experiment que només s'havia

repetit 200 cops, que no és un nombre molt alt i per tant pot ser que els hagués

sortit favorable.

També es pot deure a què el teorema de Bernouilli només et dona una acotació per

poder orientar-te, però potser en la realitat es compleixi més que el que el teorema

ens diu.

Mètodes matemàticsCom ja he dit, no és possible guanyar en la ruleta fent servir mètodes matemàtics.

Un exemple clar és la Martingala. La Martingala és una forma d'apostar en la ruleta

que consisteix en apostar sempre al mateix color i en cada nova aposta, doblar

l'anterior. El funcionament seria el següent: Suposem que el teu objectiu és guanyar

1€. Comencem apostant a un color, per exemple, 1€ al color negre i posem per cas

que perdem l'aposta. A la següent tirada tornem a apostar al color negre i ara

apostem 2€, diguem que tornem a perdre. Aleshores tornem a doblar l'aposta i

apostem 4€ al negre. Així successivament fins a guanyar.

Com que és pràcticament impossible que no surti color negre mai, algun cop

guanyaràs i passarà el següent: posem que l'aposta inicial ha estat de 1€ i guanyes

en el moment en què, després de doblar varis cops, l'aposta és de 16€. Si comptem

tots els diners apostats fins al moment tenim que hem apostat 1€+2€+4€+8€=15€ i

com que has guanyat 16€, has guanyat un total de 16€-15€=1€. Així doncs amb el

sistema de la Martingala sempre t'assegures guanyar com a mínim 1€, ja que també

53


es pot donar que no perdis totes les apostes.

Però en la pràctica aquest sistema no és tant efectiu. Primer, pot ser que passin

varies tirades fins que guanyis, pel que has d'estar econòmicament preparat. Per

altra banda, els casinos tenen unes apostes màximes i per tant no podràs apostar

fins al moment en què guanyis, ja que potser arribes abans a l'aposta màxima que a

guanyar. És per això que el mètode de la Martingala no és efectiu i serveix com a

exemple de què no es pot guanyar a la ruleta amb mètodes matemàtics, però en

canvi si que es pot amb mètodes físics aprofitant que és gairebé impossible

construir una ruleta perfecta, el teorema de Bernouilli ens permet, doncs, detectar

aquest defecte físic.

54


4. CRAPS

Hi ha dos teories sobre l'origen dels craps.

La primera ens diu que aquest joc prové de l'antiga Roma. Els soldats, per tal

d'entretenir-se entre combats, esculpien els artells de porcs en forma de cub, i feien

apostes sobre els resultats.

La segona teoria ens diu que els craps provenen d'un joc anglès de l'Edat Mitjana,

cap al segle XII, inventat per Sir William Tyre amb la finalitat d'entretenir les seves

tropes al castell de Hazarth, d'on prové el nom del joc: Hazard.

Més endavant, cap als segles XVII i XVII, el Hazard és un joc molt apreciat a la

Gran Bretanya i a França on per diferenciar-se l'anomenen “Crabes” (cranc en

francès) i que ha anat evolucionant fins Craps.

Fos quin fos l'origen, la màxima popularitat del joc, que el va portar a ser conegut, la

va assolir durant la primera guerra mundial. Els soldats apostaven sobre la suma

que sortiria en tirar dos daus: si el jugador treia 7 o 11 guanyava, si treia 2, 3 o 12

perdia. En el cas que sortís una altra xifra, es tornava a tirar i s'havia de repetir

aquesta xifra abans de treure un 7, ja que aleshores perdies.

El craps és un joc d'atzar que consisteix en apostar als possibles resultats que

s'obtindran en tirar dos daus.

Es diu que ha sortit craps quan en tirar els dos daus la suma és de 2, 3 o 12.

Hi poden participar un o diversos jugadors. La banca no participa, és a dir, no

intervé en el funcionament del joc, només s'assegura d'un bon funcionament i de

gestionar les apostes.

4.1. APOSTES

A continuació trobarem les apostes del joc de craps, amb el seu funcionament, les

probabilitats de guanyar en cada aposta i l'esperança de joc.

55


A l'hora de fer les apostes en aquest joc, és favorable conèixer la probabilitat de

treure cada nombre, ja que no tots en tenen la mateixa. Depenent de les diferents

possibles combinacions de nombres que puguin formar-lo, és a dir, el dos només es

pot aconseguir amb 1+1, en canvi el 3 amb 1+2 i 2+1 (ja que pot sortir 1 al primer

dau i dos al segon, o al revés). Tenint en compte que per a cada combinació hi ha

una probabilitat de 1/36 les probabilitats de cada número seran

Nº de combinacions possibles· 136 diferents combinacions possibles per a cada

nombre, ens queden les següents probabilitats:

Suma dels daus Combinacions possibles de cada

nombre

Probabilitats

2 1+1 P(2)=1/36=0,02783 1+2; 2+1 P(2)=2/36=1/18=0,05564 1+3; 3+1; 2+2 P(4)=3/36=1/12=0,08335 1+4; 4+1; 2+3; 3+2 P(5)=4/36=1/9=0,11116 1+5; 5+1; 2+4; 4+2; 3+3 P(6)=5/36 = 0,13897 1+6; 6+1; 2+5; 5+2; 3+4; 4+3 P(7)=6/36 = 1/6 = 0,16678 2+6; 6+2; 3+5; 5+3; 4+4 P(8)=5/36 = 0,13899 3+6; 6+3; 4+5; 5+4 P(9)=4/36 = 1/9 = 0,111110 4+6; 6+4; 5+5 P(10)= 3/36 = 1/12 = 0,083311 5+6; 6+5 P(11)= 2/36 = 1/18 = 0,055612 6+6 P(12)= 1/36 = 0,0278

Depenent del casino trobarem algunes apostes que poden variar lleugerament el

pagament de les apostes i fins i tot podem trobar algunes apostes específiques

d'aquell casino, però el més corrent és trobar les següents apostes.

Apostes clàssiquesLínia de passePer poder començar en si la partida s'aposta i després s'ha de portar a terme una

aposta inicial anomenada “Línia de passe”, en la qual s'ha de treure un 7 o un 11

en tirar els dos daus; si treus craps, perds els diners apostats; si treus 4, 5, 6, 8, 9 o

56


10, has de tornar a treure la xifra obtinguda, i si treus un 7, perds. Es paga 1 a 1.

El funcionament de l'aposta és el següent:

Les probabilitats de guanyar, perdre o tornar a tirar són les següents:

En algunes apostes del joc dels craps, es podria donar un nombre il·limitat de

tirades sense que el jugador ni guanyi ni perdi, com per exemple el cas de la línia

de passe, on guanyes amb 7 o 11, perds amb 2, 3 o 12 i si treus un altre número,

l'aposta passa sobre aquell i l'has de tornar a treure per guanyar, si treus un 7

aleshores perds.

Podem trobar que per exemple, en la primera tirada traguéssim un 5, aleshores

l'aposta passaria sobre aquest, i es perdria amb un 7. Es podria donar el cas que en

un gran (o no tan gran) nombre de tirades no traguéssim ni un 5 ni un 7. Aleshores,

quina seria la probabilitat de guanyar? Aquí és on entra el paper de les progressions

geomètriques (podem trobar-ne l'explicació en l'Apèndix A a la pàgina 87).

Recordem que S N=s1· rn1−s1

r−1.

Si s1, s2,... , sn són els elements d'una progressió geomètrica de raó r tal que 0 < |r|

57

Treure 7 o 11 GUANYAR

Treure 2, 3 o 12 PERDRE

Treure 4, 5, 6, 8, 9 o 10 TORNAR A TIRAR

Treure 7 PERDRE

Tornar a treure el mateix númeroGUANYAR

Treure un altre númeroTORNAR A TIRAR




8/36

4/36

24/36


<1, aleshores: ∑i=1

∞

P guanyar =−s1r−1 .

Si sabem que: P 5= 436

=19 i P 7= 6

36=16

P no treure 5∩notreure 7=1−P treure 5∪treure 7=1− 436

636

=1318

Aleshores podem aplicar la suma d'una progressió geomètrica.

Recordem que si s1, s2,... , sn són els elements d'una progressió geomètrica de raó r

tal que 0 < |r| <1, aleshores: ∑i=1

∞

P guanyar =−s1r−1 i per tant .

s1 : P guanyar en1 tirada =P 5=19

s2:

P guanyar en 2 tirades=P no treure7∩no treure5 ·P 5=1318

· 19= 12162

=0,08024

(multipliquem les probabilitats perquè les tirades són independents)

s3:

P guanyar en3 tirades =P no treure 7∩no treure52· P 5=1318

2

· 19= 1692916

=0,0579

sN : P guanyar en N tirades =P no treure 7∩no treure5N−1 · P 5=1318

N−1

· 19

Si ens hi fixem, es dona una progressió geomètrica de raó 1318

Aleshores podem aplicar la fórmula de la suma de progressions geomètriques:

S N=s1 · rn1−s1

r−1si fem que n∞ aleshores

58


P guanyar =∑i=1

∞

P guanyar en i tirades=−s1r−1=

−19

1318−1

=25=0,4

Com ja hem dit, en els craps pots trobar-te davant la situació de què al cap de

certes tirades encara no hagis guanyat o perdut l'aposta, ja que en algunes

d'aquestes apostes, es dóna que si en la primera tirada dels daus no es guanya ni

es perd, l'aposta passa al nombre que ha sortit de la suma dels daus. Aleshores has

de tornar a treure aquesta suma per guanyar o la suma perdedora per finalitzar

l'aposta. La resta de combinacions que no siguin guanyadores o perdedores són

irrellevants ja que només hauràs de tornar a tirar, però l'objectiu seguirà sent el

mateix nombre. Per tant ens podem trobar davant aquesta situació de ni guanyar ni

perdre: aleshores, quina és la probabilitat de guanyar i quina la de perdre?

Hem vist l'exemple en què en una aposta de nou punt, en la primera tirada traiem 5.

Per tant l'aposta passa sobre aquest nombre i guanyarem l'aposta tornant a treure

un 5 i perdrem traient un 7. Amb els càlculs de progressions geomètriques hem

trobat que P guanyar =∑i=1

∞

P guanyar en i tirades=0,4 i per tant trobem que

P perdre =1−P guanyar =1−0,4=0,6 .

Volem saber quina és la probabilitat de guanyar en les apostes en les quals es

pugui donar aquest fet de no guanyar ni perdre en varies tirades.

Primer calculem la raó de la progressió geomètrica per a cada nombre:

Suma

dels daus

P(número)

(= s1 )

Raó r: P no treure número∩no treure7

4

P(4)=3/36=1/12 P no treure 4∩no treure 7=1−P treure 4∪treure7 =

1− 112

16=34=0,75

59


5

P(5)=4/36=1/9 P no treure 5∩notreure 7=1−P treure 5∪treure 7 =

1−1916=1318

=0,7222

6

P(6)=5/36 P no treure 6∩no treure7=1−P treure6∪treure7 =

1− 536

16=2536

=0,6944

8

P(8)=5/36 P no treure 8∩no treure 7=1−P treure 8∪treure 7 =

1− 536

16=2536

=0,6944

9

P(9)=4/36=1/9 P no treure 9∩no treure7=1−P treure9∪treure7 =

1− 436

636

=1318

=0,7222

10

P(10)=3/36=1/12 P no treure 10∩no treure7=1−P treure10∪ treure7

= 1− 112

16=34=0,75

Ara podem calcular la probabilitat de treure aquest número en un nombre i de

tirades:

Suma dels

daus∑i=1

∞

P treure númeroen i tirades =−s1r−1

4 ∑i=1

∞

P treure 4en i tirades =

−11234−1

=13=0,333

5 ∑i=1

∞

P treure 5eni tirades =

−19

1318−1

=25=0,4

6 ∑i=1

∞

P treure 6en i tirades=

−5362536−1

=511=0,4545

60


8 ∑i=1

∞

P treure 8eni tirades =

−5362536−1

=511=0,4545

9 ∑i=1

∞


−19

1318−1

=25=0,4

10 ∑i=1

∞


−11234−1

=13=0,3333

A partir d'aquestes dades podem calcular les probabilitats de guanyar d'algunes

apostes en que es podria donar un gran nombre de tirades sense guanyar o perdre,

com és el cas concret de: Línia de passe, línia en contra, nou punt i contra nou punt.

Probabilitats de guanyar o perdre depenent del resultat de la primera tirada en

apostes de: Línia de passe i Nou punt

Per tant la probabilitat de guanyar en les apostes de Línia de passe i Nou punt

61

2, 3 o 12 1

Guanyes

Guanyes

2/5

3/5

5/11

Perds

6 o 8

Perds6/11

4 o 101/3

2/3

Guanyes

Perds

Perds

7 o 11 Guanyes1

5 o 9

8/36

10/36

8/36

6/36

4/36

P guanyar amb 7∪11= 836

·1=29=0,2222

P guanyar amb4∪10= 636

· 13= 118

=0,0556


· 25= 445

=0,0889

P guanyar amb 5∪11=1036

· 511

= 25198

=0,1263


seran la suma de les probabilitats de guanyar amb cada número:

P guanyar =29 118

445

25198

=244495

=0,4929

E=244495

·1251495

· −1= −7495

=−0,0141

Línia en contraO també pots començar amb l'aposta de “Línia en contra” que consisteix en

apostar al contrari que en la línia de passe. Guanyes amb 2 o 3, perds 7 o 11 i el 12

es nul. Si treus qualsevol dels altres nombres, es converteix en el punt i per guanyar

has de treure un 7, si tornes a treure el punt perds. Es paga 1 a 1.

El funcionament de l'aposta és el següent:

Les probabilitats de guanyar, perdre o tornar a tirar són les següents:

Probabilitats de guanyar o perdre depenent del resultat de la primera tirada en

62


Treure 7 o 11 PERDRE


Tornar a treure el mateix número PERDRE


Treure 7 GUANYAR




24/36

8/36

3/36


apostes de: Línia en contra i Contra nou punt.

Per tant la probabilitat de guanyar en les apostes de Línia en contra i Contra nou punt seran la suma de les probabilitats de guanyar amb cada número:

P guanyar = 112

19 215

533

= 9491980

=0,4793

E= 9491980

·110311980

· −1=−41990

=−0,0414

A partir d'aquí ja pots escollir entre les següents apostes:

63

2 o 3

1

Guanyes

Guanyes

3/5

Perds

6 o 8

Perds5/11

6/11

4 o 101/3

2/3 Guanyes

Perds

2/5

Perds

Guanyes1

7 o 11

1

5 o 9

8/36

10/36

8/36

6/36

3/36


·1= 112

=0,0833


· 23=19=0,1111


· 35= 215

=0,1333

P guanyar amb6∪8=1036

· 611

= 533

=0,1515


Apostes de vàries tirades Gran 6: has de tirar fins obtenir un 6, només perds amb un 7. Es paga 1 a 1.

Per conèixer la probabilitat de guanyar en l'aposta de Gran 6 utilitzarem de nou les

progressions geomètriques.

Pot ser que guanyem a la primer tirada P guanyar en1 tirada=P 6= 536

=0,1389 ;

també pot ser que guanyem a la segona tirada, on la probabilitat és

P guanyar en 2tirades =P no treure 7∩no treure 6· P 6= 2536

· 536

= 1251296

=0,0964

El problema és que la probabilitat de guanyar en aquesta aposta és la suma de les

64

Treure 6 GUANYAR

Treure 7 PERDRE

Treure 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, o 12TORNAR A TIRAR

Tauler d'apostes i joc dels craps


probabilitats de guanyar en N tirades, és a dir, la suma de la probabilitat de guanyar

en una tirada, la probabilitat de guanyar en dos tirades, en tres, quatre...

Per conèixer la probabilitat de guanyar en l'aposta de Gran 6 utilitzarem les

progressions geomètriques.

Recordem que les progressions geomètriques deien què

P guanyar =∑i=1

∞

P guanyar en i tirades=−s1r−1 per tant sabent que en el cas

d'aquesta aposta s1=536 i r=25

36 podem aplicar la fórmula:

P guanyar =∑i=1

∞


5362536−1

=511=0,4545

Per tant el sumatori de les probabilitats de guanyar en N tirades és 0,4545. Doncs la

probabilitat de guanyar en l'aposta de Gran 6 serà P guanyar = 511

=0,4545 .

Aleshores l'esperança d'aquesta aposta serà:

E= 511

·1 611

·−1=−111

=−0,0909

Gran 8: has de tirar fins obtenir un 8, només perds amb un 7. Es paga 1 a 1.

Com que la probabilitat de treure 8 és igual que la probabilitat de treure 6

65

Treure 8 GUANYAR

Treure 7 PERDRE

Treure 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, o 12TORNAR A TIRAR


P treure6=P treure8= 536 , trobarem de la mateixa manera la probabilitat de

guanyar, que ens acabarà donant el mateix:

P guanyar =∑i=1

∞


5362536−1

=511=0,4545

Per tant de la mateixa forma que en l'aposta de Gran 6, en l'aposta Gran 8 tenim

una esperança de joc de:

E= 511

·1 611

·−1=−111

=−0,0909

Nou punt: guanyes amb 7 o 11, perds amb 2, 3 o 12. Si treus un altre número,

l'aposta passa sobre aquell i l'has de tornar a treure per guanyar, si treus un 7

perds. Es paga 1 a 1.

El funcionament de tota l'aposta és com el de línia de passe, és el següent:

Com que l'aposta funciona com la de línia de passe, les probabilitats de guanyar,

perdre o tornar a tirar són les mateixes:

66




Treure 7 PERDRE

Tornar a treure el mateix númeroGUANYAR





8/36

4/36

24/36


P guanyar =29 118

445

25198

=244495

=0,4929

E=244495

·1251495

· −1= −7495

=−0,0141

Contra nou punt: guanyes amb 2 o 3, perds amb 7 o 11 i el 12 és nul. Si surt

qualsevol altre número l'aposta passa a aquell, però si el treus perds, per guanyar

has de treure un 7. Es paga 1 a 1.

El funcionament de tota l'aposta és com el de línia en contra, és el següent:

Com que l'aposta funciona com la de línia en contra, les probabilitats de guanyar,

perdre o tornar a tirar són les mateixes:

P guanyar = 112

19 215

533

= 9491980

=0,4793

E= 9491980

·110311980

· −1=−41990

=−0,0414

67




Tornar a treure el mateix número PERDRE


Treure 7 GUANYAR




24/36

8/36

3/36


Durs:

Doble 2 (o hard 4). Guanyes amb un doble 2 (li direm gard 4) i perds amb un 7 o

amb una altra combinació que formi 4, en aquest cas només 3+1 o 1+3 (que els hi

direm easy 4). Amb la resta de números tornes a tirar. Es paga 7 a 1.

Com que en aquesta aposta, a l´ igual que en la resta de durs, es pot donar el cas

de vÀries tirades sense treure hard 4, 7 o easy 4, calcularem la probabilitat de

guanyar i utilitzarem de nou les progressions geomètriques.

Recordem que S N=s1· rn1−s1

r−1.

Si s1, s2,... , sn són els elements d'una progressió geomètrica de raó r tal que 0 < |r|

<1, aleshores: ∑i=1

∞

P guanyar =−s1r−1 .

Si sabem que: P hard 4=16

· 16= 136 ; P 7= 6

36=16

P easy 4= 236

P no treure hard 4∩notreure 7∩no treureeasy 4

= 1−P treure hard 4∪treure 7∪no treure easy 4 =1− 136

636

236

=34

Aleshores podem aplicar la suma d'una progressió geomètrica.

Recordem que si s1, s2,... , sn són els elements d'una progressió geomètrica de raó r

tal que 0 < |r| <1, aleshores: ∑i=1

∞

P guanyar =−s1r−1 i per tant .

s1 : P guanyar en1 tirada =P hard 4= 136

=0,02778

s2: P guanyar en 2 tirades

=

P no treure hard 2∩no treure 7∩no treureeasy 4 · P treurehard 4=34

· 136

= 148

=0,0208

(multipliquem les probabilitats perquè les tirades són independents)

s3:

P guanyar en3 tirades =P no treure hard 2∩no treure 7∩no treure easy 4 2 · P hard 4

68


= 342

· 136

sN : P guanyar en N tirades

= P no treure hard 4∩no treure7∩no treure easy 4N−1 · P hard 4=34

N−1

· 136

Si ens hi fixem, es dona una progressió geomètrica de raó 34

Aleshores podem aplicar la fórmula de la suma de progressions geomètriques:

S N=s1· rn1−s1

r−1si fem que n∞ aleshores

P guanyar =∑i=1

∞


− 13634−1

=19=0,1111

Per tant la probabilitat de guanyar en l'aposta de doble 2 és de

P guanyar =19=0,1111 i aleshores podem calcular l'esperança de l'aposta:

E=19

·7 89

·−1=−19=−0,1111 .

Doble 3 (o hard 6).Guanyes amb un doble 3 (li direm hard 6) i perds amb un 7 o

amb una altra combinació que formi 6, en aquest cas 1+5;5+1;2+4;4+2 (que els hi


De forma anàloga a la del doble 2, calcularem la probabilitat de guanyar i

l'esperança de joc amb les progressions geomètriques.

P guanyar = 111

=0,0909

E= 111

·91011

· −1=−111

=−0,0909 .

69


Doble 4 (o hard 8). Guanyes amb un doble 4 (li direm hard 8) i perds amb un 7 o

amb una altra combinació que formi 8, en aquest cas 2+6;6+2;3+5;5+3 (que els hi


De forma anàloga al del doble 2, calcularem la probabilitat de guanyar i l'esperança

de joc amb les progressions geomètriques. Com que el nombre de combinacions

per guanyar i per perdre son les mateixes que en el doble 3, la probabilitat de

guanyar i l'esperança seran la mateixa.

P guanyar =19=0,1111

E=19

·7 89

·−1=−19=−0,1111 .

Doble 5 (o hard 10). Guanyes amb un doble 5 (li deirem hard 10) i perds amb un 7

o amb una altra combinació per formar 10, en aquest cas 4+6;6+4 (que els hi direm

easy 10). Amb la resta de números tornes a tirar. Es paga 7 a 1.

De forma anàloga a la del doble 2, calcularem la probabilitat de guanyar i

l'esperança de joc amb les progressions geomètriques. Com que el nombre de

combinacions per guanyar i per perdre son les mateixes que en el doble 2, la

probabilitat de guanyar i l'esperança seran la mateixa.

P guanyar =19=0,1111

E=19

·789

·−1=−19=−0,1111

Apostes d'una tirada:(Podem comprovar les probabilitats de cada nombre en el de la pàgina 56).

Camp: guanyes amb 2, 3, 4, 9, 10 i 12 (es paguen 1 a 1), 2 i 12 les apostes valen

doble (es paguen 2 a 1). Perds amb 5, 6, 7, 8 i 11.

E=1636

·12036

· −1=−16=−0,1667

70


Qualsevol craps: guanyes amb 2, 3, o 12. Es paga 7 a 1.

P 2∪3∪12= 136

236

136

= 436

E= 436

·83236

·−1=−19=−0,1111

Craps 2: guanyes amb un 2. Es paga 30 a 1.

P 2= 136

E= 136

·303536

· −1=−536

=−0,1389

Craps 3: guanyes amb un 3. Es paga 15 a 1.

P 3= 236

E= 236

·153436

·−1=−19=−0,1111

A qualsevol 7: guanyes amb un 7. Es paga 4 a 1.

P 7= 636

E= 636

· 43036

·−1=−16=−0,1667


P 11= 236

71

Treure 2, 3, 4, 9, 10 o 12GUANYAR

Treure 5, 6, 7, 8 o 11PERDRE


E= 236

·153436

·−1=−19=−0,1111


P 2= 136

E= 136

·303536

·−1=−536

=−0,1389

Sota 7: guanyes amb una xifra inferior a 7. Es paga 1 a 1.

P 2∪3∪4∪5∪6= 136

236

336

436

536

=1536

E=1536

·12136

·−1=−16=−0,1667

Sobre 7: guanyes amb una xifra superior a 7. Es paga 1 a 1.

P 8∪9∪10∪11∪12= 536

436

336

236

136

=1536

E=1536

·12136

·−1=−16=−0,1667

En aquesta taula és recull la informació de totes les apostes dels craps:

Aposta P(guanyar) Es paga Esperança de jocLínia de passe 244/495 1 a 1 -0,0141Línia en contra 9494/1980 1 a 1 -0,0414Gran 6 5/11 1 a 1 -0,0909Gran 8 5/11 1 a 1 -0,0909Doble 2 1/9 7 a 1 -0,1111Doble 3 1/11 9 a 1 -0,0909Doble 4 1/11 9 a 1 -0,0909Doble 5 1/9 7 a 1 -0,1111Camp 16/36 1 a 1

(2 i 12, 2 a 1)

-0,1667

Qualsevol craps 4/36 7 a 1 -0,1111

72


Craps 2 1/36 30 a 1 -0,1389Craps 3 2/36 15 a 1 -0,1111Qualsevol 7 6/36 4 a 1 -0,1667Qualsevol 11 2/36 15 a 1 -0,1111Qualsevol 12 1/36 30 a 1 -0,1389Sota 7 15/36 1 a 1 -0,1667Sobre 7 15/35 1 a 1 -0,1667

Després d'haver vist les apostes dels craps podem concloure que la probabilitat

juga en contra teva. A més les esperances de gairebé totes les apostes superen el

-0,1, algunes arriben a -0,1667 i per tant podem arribar a perdre fins a 17 cèntims

per euro apostat, és queden gairebé una cinquena part de la nostra aposta! Per tant

el craps és un joc on s'hi han de donar grans pèrdues de diners per part dels

jugadors. L'aposta en la qual l'esperança afavoreix menys a la banca és línia de

passe ja que només perdrem 1 cèntim per euro apostat. Tot i això a la llarga ens

perjudicarà.

Si comparem les pèrdues dels craps i les de la ruleta, clarament la ruleta és un joc

molt més just que els craps. Tot i que en algunes apostes dels craps paguin grans

quantitats per guanyar, l'esperança de joc desfavoreix clarament d'una sola tirada.

73


5. BLACKJACK

Aquest joc de cartes té inici a partir d'un altre anomenat vint-i-u, que com tot seguit

veurem, indica la mateixa finalitat que en el blackjack. L'origen d'aquest joc és a

França al segle XVII, però la primera referència escrita la trobem en una obra de

Miguel de Cervantes, Rinconete y cortadillo, en el qual ens explica que al sud

d'Espanya juguen al vint-i-u, que consisteix en què la suma de les cartes sigui el

més proper a 21 sense passar-se.

El Blackjack és un joc de cartes propi de casinos al qual es juga amb la baralla

anglesa, la qual consta de 52 cartes dividides en 4 pals (piques, cors, diamants i

trèbols) en els quals i trobem cartes numerades del 2 al 10 i les figures de l'As, J, Q

i K.

Aquest joc consisteix en que la suma de les cartes s'apropi al màxim a 21 sense

passar-se. El valor de les cartes és el del número que li correspon. La J, la Q i la K

tenen un valor de 10, l'As té un valor de 11 o d'1 si amb l'11 et passes de 21 en la

jugada total.

Hi poden jugar aproximadament 7 jugadors i el crupier, que sempre juga.

El crupier reparteix 2 cartes a cada jugador, si amb aquestes dos ja es suma 21 es

blackjack i aquest jugador guanya automàticament. Si no és així, demanarà cartes

fins que cregui que la suma de les seves cartes és suficientment alta. En el cas que

es passi perd automàticament i guanyarà un altre jugador o el crupier.

El crupier ha de seguir unes normes: si la suma de les seves cartes es 16 o inferior,

ha de seguir jugant, si és 17 o major, s'ha de plantar. A més, la primera carta que es

reparteix a si mateix, queda descoberta, per tant això ens pot beneficiar, ja que

coneixem una de les seves cartes i podem fer-nos una idea de la suma que té i així

decidir si seguir jugant o plantar-nos.

Quan el jugador guanya, recupera el doble del que ha apostat, l'apostat és 1 a 1. En

el cas que ho fes amb blackjack es paga amb 3 a 2.

Per augmentar les possibilitats de guany o en qualsevol cas, reduir-ne les de

74


perdre, es poden portar a terme unes accions:

Doblar: posant una aposta addicional a la inicial, el crupier dóna una carta

addicional sobre les dos inicials. En alguns casinos només està permès en cas que

les dues primeres cartes sumin 9, 10 o 11.

Separar: si les dos cartes inicials són iguals, el jugador pot separar-les afegint una

aposta addicional. S'afegeix una segona carta sobre cada una de les inicials i es

segueix jugant, en el cas de què aquesta carta fos la mateixa un altre cop, es

podrien tornar a separar. Cada una de les cartes jugarà de forma independent.

Assegurar: consisteix en apostar que el crupier obtindrà blackjack quan la seva

primera carta sigui un as. No es pot apostar per sobre de la meitat de l'aposta

inicial. Si el crupier aconseguix blackjack, es paga al jugador amb dos cops l'aposta.

Rendir-se: si es considera que les dues primeres cartes no seran capaces de

guanyar al crupier, rendint-se només es perdrà la meitat de l'aposta inicial. En

alguns casinos no existeix aquesta opció.

75

Taula de joc de blackjack


5.1. PROBABILITATS

En el joc del blackjack és molt difícil calcular la probabilitat de guanyar, perquè es

pot guanyar amb moltes combinacions diferents. I no només es pot guanyar fent

blackjack, és a dir, traient 21, sinó que també guanyes sempre que treguis una

puntuació major que la banca mentre no et passis de 21.

Donada aquesta gran dificultat per calcular la probabilitat de guanyar, calcularem la

probabilitat de treure la suma d'un nombre amb dos cartes al principi de la partida,

és a dir, de quina probabilitat tens de què en treure dos cartes d'una baralla

completa, sumin un número i així ens podrem fer una idea sobre la dificultat des del

punt de vista probabilístic d'aquest joc:

Podem obtenir 2 amb: As +As.

P(2)=4 ·352·51

= 3663

=0,00452

Tenim 4 A's i si ens en toque un en queden 3 més que ens poden tocar, per tant

els casos possibles són 4·3. Com que inicialment tenim 52 cartes i després, en

treure'n una en queden 51, els casos possibles són 52·51. Com que en tots els

casos d'aquest càlcul, traurem dues cartes, els casos possibles sempre seran

52·51.

Podem obtenir 3 amb: As+2.

P(3)=4 ·4 ·252 ·51

= 8663

=0,01207

Hi ha 4 A's que ens poden tocar i 4 dosos, com que pot ser que primer toqui un

A's i després un dos o a l'invers, multipliquem per 2. Aleshores els casos possibles

són 4·4·2..

Podem obtenir 4 amb: As+3 ; 2+2.

P(4)=4 ·4 ·24 ·352 ·51

= 11663

=0,01659

Ens poden tocar 4 tresos i 4 A's, multipliquem per 2 per l'ordre; També ens poden

76


tocar dos dosos i farem 4·3. Per tant els casos possibles seran la suma dels dos

casos favorables: 4·4·2+4·3.

Podem obtenir 5 amb: As+4 ; 2+3.

P(5)=4· 4 ·2·252 ·51

= 16663

=0,02413

Hi ha 4 dosos i 4 tresos que ens poden tocar, multipliquem per 2 per l'ordre; també

ens poden tocar 4 quatres i 4 A's i també multipliquem per dos per l'ordre. Aleshores

tindríem que els casos favorables són 4·4·2+4·4·2 i ho simplifiquem fent (4·4·2)·2.

Podem obtenir 6 amb: As+5 ; 2+4 ; 3+3.

P(6)=4· 4 ·2·24 ·3

52·51= 19663

=0,02866

Hi ha 4 As i 4 cincs que ens poden tocar, multipliquem per 2 per l'ordre; també ens

poden tocar 4 dosos i 4 quatres, multipliquem per 2 per l'ordre; i també ens poden

tocar 4 tresos i després 3 tresos. Per tant ens queda que tenim

4·4·2+4·4·2+4·3=(4·4·2)·2+4·3 casos possibles.

Els altres càlculs és fan de forma anàloga.

Podem obtenir 7 amb: As+6 ; 2+5 ; 3+4.

P(7)=4· 4 ·2·352 ·51

= 24663

=0,03620

Podem obtenir 8 amb: As+7 ; 2+6 ; 3+5 ; 4+4.

P(8)=4· 4 ·2·34 ·3

52 ·51= 27663

=0,04072

Podem obtenir 9 amb: As+8 ; 2+7 ; 3+6 ; 4+5.

P(9)=4· 4 ·2·452 ·51

= 32663

=0,04826

Podem obtenir 10 amb: As+9 ; 2+8 ; 3+7 ; 4+6 ; 5+5.

P(10)=4· 4 ·2·44·3

52·51= 35663

=0,05279

77


Podem obtenir 11 amb: As+10 ; As+J ; As+Q ; As+K.

P(11)=4· 4 ·2·44·16 ·2

52·51= 64663

=0,09653

Podem obtenir 12 amb: As+11 (recordem que l'As pot prendre valor d'11) ; 2+10 ;

2+J ; 2+Q ; 2+K ; 3+9 ; 4+8 ; 5+7 ; 6+6.

P(12)=4· 4 ·2·44·34 ·16 ·2

52·51= 67663

=0,10105

Podem obtenir 13 amb: 2+11 ; 3+10 ; 3+J ; 3+Q ; 3+K ; 4+9 ; 5+8 ; 6+7.

P(13)=4· 4 ·2·44·16 ·2

52·51= 64663

=0,09653

Podem obtenir 14 amb: 3+11 ; 4+10 ; 4+J ; 4+Q ; 4+K ; 5+9 ; 6+8 ; 7+7.

P(14)=4· 4 ·2·34 ·34 ·16 ·2

52 ·51= 59663

=0,08899

Podem obtenir 15 amb: 4+11 ; 5+10 ; 5+J ; 5+Q ; 5+K ; 6+9 ; 7+8.

P(15)=4· 4 ·2·316 · 4· 2

52 ·51= 56663

=0,08446

Podem obtenir 16 amb: 5+11 ; 6+10 ; 6+J ; 6+Q ; 6+K ; 7+9 ; 8+8.

P(16)=4· 4 ·2·24 ·34 ·16 ·2

52 ·51= 51663

=0,07692

Podem obtenir 17 amb: 6+11 ; 7+10 ; 7+J ; 7+Q ; 7+K ; 8+9.

P(17)=4· 4 ·2·24 ·16 ·2

52·51= 48663

=0,07240

Podem obtenir 18 amb: 7+11 ; 7+10 ; 7+J ; 7+Q ; 7+K ; 9+9.

P(18)=4 ·4 ·24 ·16 ·24 ·3

52 ·51= 43663

=0,06486

Podem obtenir 19 amb: 8+11 ; 9+10 ; 9+J ; 9+Q ; 9+K.

78


P(19)=4 ·16· 252 ·51

= 32663

=0,04826

Podem obtenir 20 amb: 9+11 ; 10+10 ; 10+J ; 10+Q ; 10+K ; J+J ; J+Q ; K+K ; Q+Q

; Q+K ; K+K.

P(20)=4 ·4 ·26 ·416 ·15

52·51= 74663

=0,11161

Podem obtenir 21 amb: 10+As (valor d'11) ; J+As (valor d'11) ; Q+As (valor d'11) ;

K+As (valor d'11).

P(21)=4 ·16· 252 ·51

= 32663

=0,04826

Per tant hi ha moltes possibles combinacions per aconseguir blackjack amb només

dues cartes a partir d'una baralla completa.

El crupier ha d'obtenir 17 o més, i la probabilitat de què (de que) això passi és:

P 17omés=P 17∪18∪19∪20∪21= 48663

43663

32663

74663

32663

= 229663

=0,34539 .

i la probabilitat de blackjack és: P 21= 32663

=0,04826 .

Si volguéssim calcular la probabilitat de guanyar hauríem de calcular la probabilitat

de 21 amb qualsevol nombre de cartes i també la probabilitat d'acostar-nos més a

21 que la banca. Aquests càlculs són molt complexos i no els farem. Per comprovar-

ho veurem la probabilitat de 21 amb 3 cartes:

Primer trobar les possibles combinacions de 3 cartes per sumar 21:

11+9+As ; 11+8+2 ; 11+7+3 ; 11+6+4 ; 11+5+5 ; 10+10+1 ; 10+9+2 ; 10+8+3 ;

10+7+4 ; 10+6+5 ; J+10+1 ; J+9+2 ; J+8+3 ; J+7+4 ; J+6+5 ; Q+10+1 ; Q+9+2 ;

Q+8+3 ; Q+7+4 ; Q+6+5 ; K+10+1 ; K+9+2 ; K+8+3 ; K+7+4 ; K+6+5 ; 9+9+3 ;

9+8+4 ; 9+7+5 ; 9+6+6 ; 8+8+5 ; 8+7+6 ; 7+7+7.

Totes aquestes són les combinacions de 3 cartes que poden sumar 21. Després

també hem de tenir en compte que poden aparèixer en diferent ordre, és a dir, en el

cas de 11+9+As també pot ser 11+As+9, 9+As+11....

79


Ara ja tenim els casos possibles i podem calcular les probabilitats de cada cas:

P 119As= 4·3 ·4 ·3 !52 ·51·50

P 1182=4 ·4 ·4 ·3 !52 ·51 ·50

P 1173= 4 ·4 ·4 ·3!52·51 ·50

P 1164=4 · 4· 4 ·3!52 ·51·50

P 1155= 4 ·4 ·3·352 ·51 ·50

P 1010As=16 ·15· 4·352 ·51·50

P 1092=16 ·4 ·4 ·3 !52 ·51·50

P 1083=16 ·4 ·4 ·3 !52 ·51·50

P 1074=16 ·4 ·4 ·3 !52 ·51·50

P 1065=16 · 4· 4 ·3 !52·51 ·50

En el cas de la J, Q i K, són les mateixes probabilitats que en el 10, ja que el valor i

el nombre de cartes és el mateix. El que faré és multiplicar per 4 les probabilitats en

les que el 10 hi apareix.

P 993= 4 ·3 ·4 ·352·51 ·50

P 984= 4 · 4· 4 ·3!52 ·51·50

P 975= 4 ·4 ·4 ·3 !52 ·51 ·50

P 966= 4· 4 ·4 ·352·51 ·50

P 885= 4 ·3· 4·352 ·51 ·50

P 876=4 ·4 ·4 ·3 !52 ·51 ·50

P 777= 4 !52·51 ·50

Ara ja tenim les probabilitats de cada possible combinació per a sumar 21. Per

saber la probabilitat de 21 amb 3 cartes sumem totes les probabilitats dels casos

possibles i el resultat final és:

P 21amb 3cartes= 5095525

=0,0921

Veient per tant la complexitat per fer aquests càlculs, podem imaginar la gran

dificultat de calcular la probabilitat de guanyar al blackjack, ja no només es pot

guanyar fent blackjack sinó que també traient puntuació més alta que la banca.

80


5.2. COMPTAR CARTES

Un sistema per incrementar les probabilitats de guany a l'hora de jugar al blackjack

és el de comptar cartes.

Als jugadors els afavoreix el fet de que hagin sortit les cartes amb puntuacions

baixes: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Si han sortit les cartes baixes, quedaran més cartes

amb puntuació alta per sortir i això augmentara la probabilitat de fer blacjack del

jugador.

Per exemple, calculem la probabilitat de blackjack amb dues cartes en dos casos.

Com que en tots dos només serà possible fer blackjack amb una carta amb valor 10

i una amb valor 11 els casos favorables seran: número de cartes amb valor 11 (4

cartes) multiplicat per número de cartes amb valor 10 (16 cartes) multiplicat per 2, ja

que és indiferent l'ordre en què ens les reparteixin.

Cas 1: Tenim totes les cartes a la baralla.

P 21amb dos cartes=4 ·16 ·252 ·51

= 32663

=0,0483

Cas 2: Han sortit la meitat de les cartes amb puntuacions baixes (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i

9), per tant tenim 36 cartes (52-16=36).

P 21amb dos cartes=4 ·16· 236 ·35

= 32315

=0,1016

Si comparem els dos casos, veiem que en el segon cas la probabilitat de blackjack

és més del doble que en el primer cas. Això es deu a què la proporció de cartes

altes (10, J, Q, K, A) en relació al nombre de cartes totals que queden per sortir és

major en el segon cas que en el primer, per tant augmenta la probabilitat de què et

surtin cartes altes.

El sistema bàsic de comptar cartes consisteix en atribuir una puntuació a les cartes:

Les cartes altes (10, J, Q, K i A) tenen una puntuació de -1.

Les cartes baixes ( 2, 3, 4, 5 i 6) tenen una puntuació de +1.

Les cartes mitjanes (7, 8 i 9) tenen una puntuació de 0.

81


A partir d'aquí comença el sistema de comptar cartes.

Es parteix d'una puntuació de 0. Quan surt una carta alta, es resta 1 i la puntuació

passa a ser de -1; si surt una carta baixa se suma 1 i la puntuació serà 0; si surt una

carta mitjana se suma 0 i la puntuació queda igual.

D'aquesta forma se sap la proporció de cartes altes respecte a les cartes totals que

queden per sortir. Quan la puntuació sigui alta, voldrà dir dir que hi ha una proporció

de cartes altes a la baralla i per tant serà el moment d'apostar.

Com més alt sigui el balanç de la taula, més t'afavorirà la probabilitat a l'hora

d'apostar.

A partir d'aquí es pode trobar sistemes de comptar cartes més complexes, però que

també requereixen una major concentració i pràctica, però que també incrementen

les probabilitats de guany.

Depenent de les normes particulars de cada casino el nostre avantatge variarà,

però generalment es de l'1%.

Quan més alt sigui el balanç de la partida, la banca, com nosaltres, tindrà

l'oportunitat d'aconseguir bones puntuacions. Però el desavantatge de la banca ja

que si recordem les normes de la banca: a diferència dels jugadors no pot dividir o

doblar, del que nosaltres ens podem beneficiar; a més nosaltres coneixem una

carta seva, ja que si recordem, la primera que es reparteix a si mateix ha de quedar

descoberta; la banca ha de demanar carta fins a tenir com a més de 16 i amb 17 o

més s'ha de plantar.

Els diferents sistemes de comptar cartes tenen una gran eficàcia. No estan

prohibits, perquè no fas cap mena de trampa ni cap manipulació del joc, però degut

a què incrementes les teves probabilitats de guanyar (si domines la tècnica), els

casinos tenen pèrdues. Per aquest motiu si algun treballador del casino s'adona

que algú està utilitzant el mètode de comptar cartes, és molt possible que el facin

fora i també que li prohibeixin l'entrada.

82


6. LUDOPATIA

L'addicció patològica als jocs d'atzar i apostes es coneix com ludopatia. Aquesta

addicció consisteix en un desig irreprimible de jugar, és a dir, participar en qualsevol

activitat en què s'arrisqui quelcom de valor sobre les bases d'un resultat

desconegut, tot i coneixent-ne les possibles conseqüències. Per això, en el sentit

tècnic, la ludopatia va més enllà d'una simple addicció; és un trastorn del control

dels impulsos. Aquest trastorn està reconegut per l'organització Mundial de la Salud

(OMS) des de 1992, tot i que abans ja s'havia plantejat com a patologia.

Els experts exposen que la ludopatia pot derivar en altres trastorns com l'ansietat,

depressió o fins i tot de problemes cardíacs derivats de l'estrès.

La ludopatia està estretament vinculada amb la dopamina, que és una hormona i

alhora un neurotransmissor. La dopamina porte a terme funcions molt importants en

el cervell: està estretament relacionada amb el comportament, l'aprenentatge,

l'activitat motora, el son, l'humor, l'atenció, la motivació i el plaer.

La dopamina és alliberada per neurones del cervell i participa en experiències com

l'alimentació, el sexe o les drogues (aquestes poden produir una alteració dels

nivells de dopamina que pot portar a malalties com Parkinson).

En experiments que s'han portat a terme, es mostra que, en pacients ludòpates, les

cèl·lules del cervell que contenen dopamina s'activa quan estan jugant. Aquí és on

es reflecteix que la ludopatia no és una simple addicció, sinó que és tracta d'una

malaltia psicològica, que pot fins i tot derivar en altres.

Tot i que no existeixen criteris universals per definir

un ludòpata, si que podem trobar trets generals que

en defineixen el comportament: la majoria

presenten distorsions del pensament,

comunicatives i emocionals, una gran dificultat per

controlar els impulsos i problemes d'ansietat.

Els ludòpates són addictes a jugar i a apostar, no a

guanyar, és per això els resulta tant difícil deixar

d'apostar, ja que el que realment els produeix plaer és el fet de jugar i no el de

83


guanyar. Per tant, en molts casos, quan guanyen diners apostant, automàticament

aquests són “reinvertits” en apostes. I dic reinvertits perquè poc a poc, els aniran

perdent a mida que continuïn apostant.

A l'igual que moltes altres addiccions com les drogues o l'alcohol, la ludopatia pot

portar a qui la pateix a una vida en condicions pèssimes i et pot afectar molt a nivell

psicològic, és per això que actualment es poden trobar moltes agències i centres de

rehabilitació i del tractament de la ludopatia, ja que tot i que de primera vista només

pugui semblar un vici, és una malaltia psicològica.

84


CONCLUSIONS

Després d'un estudi del funcionament d'una petita part dels casinos, concretament

els jocs de la ruleta europea, els craps i el blackjack, podem dir que el món dels

casinos i, en general, dels jocs d'atzar té l'objectiu d'enriquir-se gràcies als clients

que s'hi gasten els diners, ja que són establiments dissenyats per estimular i excitar

els sentits per tal que els usuaris s'engresquin i apostin.

Les diferents apostes de cada joc no s'han decidit a l'atzar (irònicament), com veiem

en les esperances dels jocs, tot està pensat perquè el client vegi que té una opció a

guanyar, i la hi té, però és tant petita, que el més segur és que a la llarga no hi

guanyi, sinó el contrari, que hi perdi fins a grans quantitats. Qualsevol tècnica que

pugui incrementar les seves possibilitat de guanyar o que el pugui ajudar en el joc

potser no estarà prohibida, però el casino no permetrà que s'emporti els seus

diners, així que no dubtaran en fer-lo fora.

Per això, afirmem que el casino és un establiment l'objectiu del qual és treure els

diners als usuaris. Pot ser que hi vagi un cop i hi guanyi, si és així, el millor consell

és que no hi torni, perquè el que farà és perdre-hi els diners, el temps i, fins i tot, la

salut mental! Només amb una ampli coneixement dels jocs i una gran preparació

seria possible guanyar grans quantitats de diners al casino.

Cada un dels jocs de casino tractats s'ha enfocat d'una forma molt diferent ja que el

funcionament d'aquests també és molt distint.

Hem comprovat que dins del casino, la ruleta europea és un dels jocs més justos,

amb una esperança de joc de -0,027. El teorema de Bernouilli ens ha permès veure

que amb paciència i els diners suficients es pot arribar a guanyar.

En els craps, en canvi, trobem esperances de joc molt variades: des de -0,0141 fins

a -0,1667. Per poder tenir una visió més àmplia del funcionament de les apostes

hem utilitzat les progressions geomètriques, ja que podíem trobar-nos en el cas de

ni guanyar ni perdre en vàries tirades.

85


En el joc de blackjack hem observat una gran dificultat a l'hora d'estudiar-ne el

funcionament, ja que es poden donar nombroses combinacions possibles per a

guanyar. És, en diferència, el joc més complex dels tres.

Com a part pràctica hauria estat interessant aplicar algun mètode per incrementar

les probabilitats de guany que s'han tractat, com ho són el comptar cartes o

l'aplicació del teorema de Bernouilli. Però a part de ser jo menor d'edat, els costos

podrien arribar a grans quantitats que segurament no podria assumir.

També hagués resultat interessant realitzar alguna simulació de la ruleta amb

l'ordinador per tal de comparar amb els estudis dels Pelayo, a partir d'uns resultats

més propers a la realitat que els del Teorema de Bernouilli.

Abans de començar el treball ja em semblava divertit i entretingut pensar que el

treball tractaria del casino. Però a mida que avançava el treball i se'm presentaven

més dificultats, la cosa s'ha fet més i més interessant.

Després de la realització d'aquest treball el meu consell és que si el que voleu és

guanyar diners, treballeu; i si el que voleu són emocions fortes, aneu en un parc

d'atraccions. Perquè les probabilitats al casino, juguen en contra vostra.

86


ANNEX A – Progressions geomètriques

Ens cal comprendre la probabilitat de les apostes de vàries tirades, pel que primer

hem d'entendre les progressions geomètriques.

Una progressió geomètrica és una successió de nombres s1 , s2 , s3 , ... , sn

anomenats termes de la progressió, en la qual cada terme s'obté multiplicant

l'anterior per un nombre constant r anomenat raó de la progressió: s2=s1 · r

s3=s2 · r sn=sn−1 · r

El terme n-èsim s'obté multiplicant el primer terme per n-1 cops r: sn=s1· rn−1

Per trobar la raó fem r=sn

sn−1.

EXEMPLE 1:

2, 18, 162, 1458

Són 4 termes de r=182=16218

=1458162

=9 , raó 9.

EXEMPLE 2:

Si ingressem 1000€ en un compte bancari al mes i tenim uns interessos del 2%

mensuals, quants diners tindrem passat un any?

Termes: 12 (els mesos d'un any)

Raó: 0,02+1=1,02 (cada més tenim els ingressos i els interessos)

sn=s1 · rn−1 s12=1000 ·1,0212−1=1.243,37€

Però per aplicar la progressió geomètrica als craps, hem de conèixer la suma dels

elements d'una progressió geomètrica.

Proposició:

Si s1, s2,... , sn són els elements d'una progressió geomètrica de raó r diferent de 1,

87


aleshores la suma dels n primers termes Sn=s1....sn és

S N=sn · r−s1

r−1

Demostració:

Volem calcular, S N=s1s1· rs1· r2...s1· rn sent S1,S 2,... , S n els termes una

progressió geomètrica, però ens interessa tenir-ho de la forma següent, pel que

recordem que s2=s1 · r :

S N=s1s1· rs1· r2...s1 · rn

Si multipliquem els membres de la igualtat per r tenim:

S N · r=s1· rs1 · r2s1 · r

3 ...s1 · rn1

I fem la resta S N · r−S N :

S N · r=s1 · rs1 · r2s1 · r

3 ...s1 · rn1

_ S N=s1s1 · rs1· r2...s1 · rn

__________________________________

S N · r−S N=−s100...s1· rn1

Per tant S N · r−S N=s1· rn1−s1 i si traiem factor comú: S N · r−1=s1 · rn1−s1 .

Ara aïllem S N : S N=s1· rn1−s1

r−1

□

Corol·lari:

limN ∞ S N=−s1r−1

EXEMPLE 3:

Si durant 5 anys, cada any dipositem 2000€ al 4% d'interessos anuals tenim que:

88


Termes: 5

Raó: 1+0,04=1'04

Per tant tindrem que: s1=2000 s2=2000 ·1,04 s3=2000 ·1,042

s4=2000·1,043 s5=2000 ·1,044

Si volem saber el total de la suma dels ingressos fem S N :

S N=s1· rn1−s1

r−1=2000 ·1,0441−2000

1,04−1=2000 ·1,045−2000

0,04=10832,65 €

(Què ens dóna el mateix que si féssim s1s2s3s4s5 , però per a progressions

llargues ens interessa la fórmula)

89


BIBLIOGRAFIA

GARCIA CRUZ, SAN ANTONIO, Revista Suma nº33, Historia de un problema: El

reparto de la apuesta, pàgines 25-36, Zaragoza, 2000.

SALINERO RUIZ, PABLO, Historia de las matemáticas: Historia de la teoría de la

probabilidad. Es pot trobar en el següent link:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/sali

nero_probabilida d.pdf (última consulta 20/02/2013)

HACKING, IAN, El surgimiento de la probabilidad, editorial Gedisa , Barcelona,

1995.

MAGNUS ENZENSBERGER, HANS, El dimoni dels nombres, editorial Barcanova,

1997.

CORBALÁN, FERNANDO I SANZ, GERARDO, La conquista del azar: La teoria de

probabilidades, RBA libros, Barcelona, 2010.

DU SAUTOY, MARCUS, Los misterios de los números, capítol 3: El secreto de la

racha ganadora, pàgines 135-202, editorial Acantilado, Barcelona, 2012.

HAIGH, JOHN, Matemáticas y juegos de azar: jugar con la probabilidad, Tusquets

editores, Barcelona, 2008.

COLERA, JOSÉ; OLIVERA, Mª JOSÉ i GARCÍA, ROSARIO, Matemàtiques

aplicades a les ciències socials (1r Batxillerat), pàgines 43-44 i 224-251, editorial

Barcanova, Barcelona, 2008.

GARCÍA PELAYO, IVÁN i GARCÍA PELAYO, GONZALO, La fabulosa historia de los

Pelayos, Debolsillo, Barcelona, 2003.

90

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/salinero_probabilidad.pdf




WEBGRAFIA

Història

http://amatema.webs.ull.es/anamat_p0304/Matematicas/Didactica%20de%20las

%20Matematicas%20II/historia_problema.pdf (última consulta 05/01/2013)

http://www.ugr.es/~eaznar/ (última consulta 05/01/2013)

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/probabilidades.htm (última

consulta10/10/2012)

http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html (última consulta

18/10/2012

http://studens-engineers.blogspot.com.es/2007/11/girolamo-cardano-fue-un-hombre-

que.html (última consulta15/12/2012)

http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-3-2-renacimiento.pdf

(última consulta 16/12/2012)

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ProbabilidadCalculo.htm (última consulta

18/10/2012)

http://es.wikipedia.org/wiki/Apuesta_de_Pascal (última consulta 12/10/2012)

Ruleta

http://www.juegodelaruleta.net/consejos/historia-de-la-ruleta-europea.html (última

consulta 20/10/2012)

http://www.onlinecasinoselite.com/es/ruleta.html (última consulta19/12/2012)

http://www.casino.es/ruleta/apuestas-ruleta/ (última consulta 19/12/2012)

http://es.wikipedia.org/wiki/Ruleta (última consulta 24/12/2012)

http://www.guiacasino.es/el-sistema-martingale-martingala-funciona-2480.shtml

(última consulta 16/11/2012)

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Yb_52R82SZ8 (última


91

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Yb_52R82SZ8

http://www.guiacasino.es/el-sistema-martingale-martingala-funciona-2480.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Ruleta

http://www.casino.es/ruleta/apuestas-ruleta/

http://www.onlinecasinoselite.com/es/ruleta.html

http://www.juegodelaruleta.net/consejos/historia-de-la-ruleta-europea.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Apuesta_de_Pascal

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ProbabilidadCalculo.htm

http://euler.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-3-2-renacimiento.pdf

http://studens-engineers.blogspot.com.es/2007/11/girolamo-cardano-fue-un-hombre-que.html

http://studens-engineers.blogspot.com.es/2007/11/girolamo-cardano-fue-un-hombre-que.html

http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html

http://dlc.iec.cathttp://www.profesorenlinea.cl/matematica/probabilidades.htm

http://www.ugr.es/~eaznar/

http://amatema.webs.ull.es/anamat_p0304/Matematicas/Didactica%20de%20las%20Matematicas%20II/historia_problema.pdf

http://amatema.webs.ull.es/anamat_p0304/Matematicas/Didactica%20de%20las%20Matematicas%20II/historia_problema.pdf


Craps

http://www.casinoarica.com/popup/craps.html (última consulta 02/01/2013)

http://www.craps777.com/es/apuestas-craps.php (última consulta (02/01/2013)

http://es.casino-lemonade.com/juegos/craps/historia.html (última consulta

20/10/2012)

http://es.casino-lemonade.com/juegos/craps/reglas.html (última consulta

20/10/2012)

http://en.wikipedia.org/wiki/Craps (última consulta 04/01/2013)

Blackjack

http://es.wikipedia.org/wiki/Blackjack (última consulta 28/12/2013)

http://www.bj21.com.ar/articulos/contar101.php (última consulta 04/01/2013)

Ludopatia

http://www.manantiales.org/psiquiatria_dopamina_cerebral_y_ludopatia.php (última


http://eldiario.deljuego.com.ar/submenuanalisisdelsector/292-la-dopamina-estimula-

el-placer-de-los-adictos-al-juego.html (última consulta 26/12/2012)

92

http://eldiario.deljuego.com.ar/submenuanalisisdelsector/292-la-dopamina-estimula-el-placer-de-los-adictos-al-juego.html

http://eldiario.deljuego.com.ar/submenuanalisisdelsector/292-la-dopamina-estimula-el-placer-de-los-adictos-al-juego.html

http://www.manantiales.org/psiquiatria_dopamina_cerebral_y_ludopatia.php

http://www.bj21.com.ar/articulos/contar101.php

http://es.wikipedia.org/wiki/Blackjack

http://en.wikipedia.org/wiki/Craps

http://es.casino-lemonade.com/juegos/craps/reglas.html

http://es.casino-lemonade.com/juegos/craps/historia.html

http://www.craps777.com/es/apuestas-craps.php

http://www.casinoarica.com/popup/craps.html%20

la probabilitat al casino...2013/07/03 · la probabilitat al casino en aquest problema, pacioli...

Documents