Tema 3: Potencias y Raíces

1. Observa los ejemplos y escribe como se leen las siguientes potencias.

71 : siete a la uno. 81 :

32 : tres al cuadrado. 42 :

53 : cinco al cubo. 103 :

84 : ocho a la cuarta. 94 :

65 : seis a la quinta. 75 :

916 : nueve a la decimosexta. 617 :

1428 : catorce a la vigésimo octava. 1836 :

2. Observa los ejemplos e indica cuáles son los términos de las potencias siguientes.

32 : La base es 3 y el exponente es 2. 57 : La base es …. y el exponente es …..

84 : La base es …. y el exponente es …. 136 : La base es …. y el exponente es …..

75 : La …...…. es 7 y el ……………. es 5. 120 : La ………… es 12 y el …...……. es 0.

49 : ………………………………………... 27 : ………………………………………...

3. Observa los ejemplos y calcula.Para calcular una potencia se multiplica la base tantas veces como indica el exponente.

a) 32 = 3 · 3 = 9 g) 05 =

b) 53 = 5 · 5 · 5 = 125 h) 73 =

c) 71 = 7 (observa que el exponente 1 i) 41 =no sirve de nada y por eso no se pone)

d) 84 = 8 · 8 · 8 · 8 = 4096 j) 34 =

e) 92 = k) 25 =

f) 63 = l) 17 =

Indica la diferencia que hay entre las expresiones 44 y 4 · 4

Indica cuáles de las siguientes igualdades son ciertas:a) 32 = 6 b) 23 = 8 c) 102 = 20 d) 63 = 216

4. Observa los ejemplos y calcula.Cualquier potencia de exponente 0 es 1, salvo 00 que no se puede calcular.

90 = 1 70 = 1 60 = 80 = 40 = 120 = 9270 =

00 = No se puede 00 = 00 = 00 =

5. Observa los ejemplos y expresa como única potencia.Producto (multiplicación) de potencias con la misma base: se deja la base y se suman los exponentes.

a) 54 · 52 = 56 b) 73 72 = 75 c) 37 · 3 = 38 (si no hay exponente es porque es 1)

d) 85 · 84 = e) 13 14 = f) 25 · 2 =

g) 39 · 37 = h) 210 · 213 = i) 8 845 =

j) 23 · 25 · 22 = k) 72 · 73 · 74 = l) 32 · 3 · 34 =

6. Observa los ejemplos y expresa como única potencia.Cociente (división) de potencias con la misma base: se deja la base y se restan los exponentes.

a) 58 : 52 = 56 b) 73 : 70 = 73 c) 36 : 3 = 35 (si no hay exponente es porque es 1)

d) 85 : 82 = e) 19 : 14 = f) 25 : 2 =

g) 39 : 37 = h) 257 : 210 = i) 85 : 84 = (el exponente 1 no se pone)

j) k) l)

m) n) ñ)

7. Observa los ejemplos y expresa como única potencia.Potencia de una potencia: se deja la base y se multiplican los exponentes.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) d)

8. Utiliza las propiedades de las potencias, vistas en los 3 ejercicios anteriores (estate atento a cuál de las tres corresponde en cada caso) y expresa como única potencia:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

9. Utiliza las propiedades de las potencias para escribirlo como única potencia y luego calcula:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

10. Utiliza las propiedades de las potencias (puedes tener que utilizar más de una en cada apartado) y expresa como única potencia:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

11. Observa los ejemplos y expresa como única potencia.Producto (multiplicación) de potencias con el mismo exponente: se multiplican las bases y se deja el exponente.

a) 54 · 34 = 154 b) 73 23 = 143 c) 37 · (-8)7 = (-24)7 d) 85 · 45 =

e) 16 76 = f) (-2)5 · 35 = g) 39 · (-4)9 = h) 910 · 210 =

i) (-8) 4 (-6)4 = j) 23 · 53 · 73 = k) 42 ·(-5)2 · 32 = l) (-3)5 · (-2) 5 · (-4)5 =

12. Observa los ejemplos y expresa como única potencia.Cociente (división) de potencias con el mismo exponente: se dividen las bases y se deja el exponente.

a) 85 : 25 = 45 b) 212 : 72 = 32 c) 156 : (-3) 6 = (-5)6 d)

e) 89 : 19 = f) 245 : 25 = g) (-20)9 : 59 = h) (-30)7 : (-6)7 =

i) 84 : (-4)4 = j) k) l)

m) n) ñ) o)

13. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) (3 + 4)2 d) (12 -10)3

b) (2 + 3)3 e) (6 - 3)4

c) (6 + 4)5 f) (10 – 9)7

14. Halla el valor de las siguientes expresiones con sumas y restas de potencias:a) 32 + 23 - 42 b) 7 + 52 – 25

c) 42 - (32 - 23) d) 30 - (22 + 1)2

15. Indica, sin hallar el valor de las potencias, cuáles de las siguientes expresiones son ciertas:a) (3 + 2)2 = 32 + 22 f) (8 : 2)2 = 42b) 43 · 23 = 83 g) 62 + 22 = 82

c) 62 : 32 = 22 i) (a : b)3 = a3 : b3

e) (10 - 5)2 = 102 – 52 j) x2 · y2 = (x · y)2

16. los siguientes problemas y fíjate en qué se parecen sus enunciados. Observa cómo está resuelto el primero y resuelve los demás.

a) En una habitación de un museo hay tres paredes con tres cuadros en cada una de ellas y en cada cuadro aparecen tres personas con tres flores cada una. ¿Cuántas flores habrá en total? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo.

3 paredes con 3 cuadros con 3 personas con 3 flores.

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 flores habrá en total.

b) En un parque hay cinco lagos con cinco patos en cada lago. ¿Cuántos patos habrá en total? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo.

c) Pedro tiene seis bolsillos con seis llaveros en cada uno y en cada llavero hay seis llaves. ¿Cuántas llaves tiene Pedro? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo.

d) Un granjero posee dos pocilgas con dos cerdos en cada una, ¿cuántos jamones obtendrá? Expresa el resultado como potencia y calcúlalo. (Recuerda que los jamones se obtienen de las patas traseras de los cerdos).

17. Lee los siguientes problemas, ¿en que se parecen sus enunciados?Observa cómo está resuelto el primero y resuelve los demás.

a) Calcula el área de un cuadrado de lado 5 cm.

A = l2 (Área del cuadrado = lado al cuadrado) 5 cm

A = 52= 5 · 5 = 25 cm2 (Observa que si el lado te lo dan en cm 5 cm el área será en cm2 )b) Calcula el área de un cuadrado de lado 8 cm.

c) Sabiendo que el lado de un cuadrado mide 12 cm, ¿cuánto medirá su área?

d) Halla el área de un cuadrado de 10 m de lado. (Atento: si el lado viene dado en m, ¿en qué vendrá dado el área?)18. Calcula e intenta memorizar los resultados:

a) g) m) r) x)

b) h) n) s) y)

c) i) ñ) t) z)

d) j) o) u) A)

e) k) p) v) B)

f) l) q) w) C)

19. Observa los siguientes ejemplos de raíces exactas y completa.

a) porque e) …. porque …………. i) ……………………..

b) porque …. f) ……………………… j) ……………………..

c) porque …. g) …………………….. k) ……………………..

d) …. porque …. h) …………………….. l) ……………………..

20. Observa los siguientes ejemplos de raíces no exactas y completa.

a) porque y de resto 2 (observa que ya se pasaría)

b) porque y de resto …. e) ………………………………….

c) porque ……….. y de resto …. f) ………………………………..….

d) …. porque ……….. y de resto …. g) ………………………………….

21. Calcula y si no es exacta indica el resto:

a) d)

b) e)

c) f)

22. Vuelve a mirar el ejercicio 11 y lee los siguientes problemas ¿qué observas?En el ejercicio 11 me dan el lado y me piden el área (elevando el lado al cuadrado), y estos problemas son ‘al revés’ me dan el área y me piden el lado, por lo tanto tendré que hacer lo contrario de elevar al cuadrado que es calcular la raíz cuadrada.

Observa cómo está resuelto el primero y resuelve los demás.

a) Calcula el lado de un cuadrado de o 36 m2.

(lado = raíz cuadrada del área) ¿x?

m (Observa que si el área te lo dan en m2

¿x? el lado será en m )

b) Sabiendo que el área de un cuadrado mide 400 cm2, ¿cuánto medirá su lado?

c) Javier es un coleccionista de sellos. Tiene ya 81 y quiere colocarlos en una vitrina formando un cuadrado, ¿cuántos sellos debe colocar en cada lado?

23. En un almacén se han dispuesto 12 filas de cajas cuadradas iguales formando un cuadrado;¿cuántas Cajas se han colocado?

24. Quince cajas de bombones contienen 15 estuches cada una. Estos tienen, a su vez, 15bombones, cada uno de los cuales pesa 15 g. ¿Cuántos kilos de bombones hay en las 15 cajas?

25. Calcula el valor de estas expresiones:a) 12 - d) 32 + b) 3 · 2 + e) 30 - ( + 15) + 2 · c) + 3 · 22 f) (3 + 2) · - (2 + 1)2

26. Calcula el valor de estas expresiones:a) 10 - b) 3 · + 4c) 3 + 2 · d) 10 : - 2e) 62 - 3 ·

f) 2 · (16 - 2 · )g) · (6 - 4 ) + 2 · 32

h) 3 · + 4 - (22 + 5)i) 23 + 12 : - (2+1)2

27.. Halla el valor de las siguientes expresiones:a) 32 + (5 - 1)2 f) 38 – 32 · 22 b) 3 + 4 · 23 g) 50 + 18 : 32 · 5c) (3 + 1)2 : 23 h) 33 · (3 · 22 - 3)d) 6 + 23 - 3·22 i) (32 - 23)5 · (3-1)3

e) 23 : 22 + 82 : 23 j) (22 + 1)2 : (32 - 22)

28. Reduce a una sola potencia y calcula:

a) (32)4 · (36 : 32) : (35)2 c) (32 + 42)2 : 125b) (52 · 102) : (52)2 d) (82 : 4)3 : 43

29, Calcula las siguientes operaciones:

30, Calcula:

a) 4 + (7 -5 )2 - ( - 42 - 18 : ) :2 b) [(42 - 102 - 82 ) 2 : ( 5 · ( -

2)) ] 2 ·

c) ( -4 ) · 2 - ( - 6 )3 : 12 d) 42 : 8 + 23 +(– 12) : -

d) (- 3 ) 5 : ( - 3 ) 3 + . 5 2 = e) . (5 – 3 3 ) + 4 0 + =

4. Calcula los siguientes productos:a) 4 · 100 b) 120 · 10 c) 300 · 10000 d) 15 · 1000000

5. Escribe la expresión de cada apartado en forma de potencia cuando se pueda:a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 c) 10 + 10 + 10d) 10 · 10 · 10 e) 3 · 3 · 3 · 3 f) 3 + 3 + 3 + 3g) a · a · a h) a + a + a

6. Expresa estas potencias en forma de producto y calcula su valor:a) 42 b) 35 c) 28

7. Lee las siguientes potencias y calcula su valor:a) 32 f) 103

b) 24 g) 25

c) 43 h) 33

d) 62 i) 34

e) 18 j) 53

8.Lee estas potencias y calcula su valor con ayuda de la calculadora:a) 56 b) 314 c} 125 d) 225

9. Indica el valor de cada una de estas potencias:a) 104 b) 106 c) 109 d) 1010 e) 1012

10. Expresa estos números como potencias de 10:a) 1000 b) 100000 c) 10000000

11. Lee los siguientes números y exprésalos después empleando potencias de 10:3000000 80000000000www.cienciaspuras.com

16. Calcula el valor de las siguientes expresiones:a) 5 + 3 · 23

b) 12 : 22 + 3c) 18 + 2 · 42 - 45: 32

d) 3 + 2 · 32 - 32 : 23

17. Opera y compara los resultados:a) 32 · 22 c) 102 : 52

(3 · 2)2 (10 : 5)2

b) 22 · 52 d) 123 : 43

(2 · 5)2 (12 : 4)3

18. Calcula mentalmente:a) 152 : 32 e) 23 · 53

b) 203 : 43 !) 253 · 43

c) 307 : 37 g) 83 : 43 · 23

d) 85 : 45 h) 64 · 54 : 104

19.

20. Expresa en forma de una única potencia:a) 43 · 45 c) 53 · 510 e) 103 · 10b) 24 · 26 · 2 d) 33 · 3 · 32 f) 7 · 7 · 74 · 72

21. Escribe en forma de una sola potencia:a) 35 : 32 c) 57 : 5 e) 68 : 66

b) 43 : 42 d) 85 : 85 f) (37 : 32) : 3

22. Reduce a una sola potencia:a) (32)3 c) (102)5

b) (43)4 d) (74)2

e) (28)3 f) (95)6

23. Calcula el valor de cada expresión, poniéndola previamente en forma de una única potencia:a) (3 · 32) : 33 e) (2 · 24 · 23) : 22

b) 22 · (27 : 25) f) 77 : (72 · 7 · 72)c) [(42)3 · 4] : 47 g) (52 · 53) : (5 · 52)d) (33 · 3)2 : 35 h) (3 · 37) : (32 · 33)

24. Di cuál de las dos igualdades es la correcta:a) 32 · 3 · 33 = 35 b) 63: 6 = 62

32 · 3 . 33 = 36 63 : 6 = 63

25. Escribe los exponentes que faltan:a) 32 · 3□= 35 c) (34)□= 38

b) 44 : 4□= 1 d) 6□: 67 = 62

26. ¿Por cuánto hay que multiplicar 35 para que el producto valga 38?

27. ¿Entre cuánto hay que dividir 37 para que el cociente sea 32?

28. Reduce a una sola potencia:a) a3 · a2 b) (m2)3 c) b8 : b7

d) a6 : a6 e) m · m3 f) x · (x3)2

29. Calcula las raíces cuadradas exactas de los siguientes números:a) d) g) j) b) e) h) k) c) f) i) l)

30.

31. Calcula el lado de un cuadrado que tiene una superficie de 81 cm2.

32. Completa las siguientes igualdades:a) = 5 b) = 8 c) = 23

33. Un número natural termina en 3; ¿puede ser exacta su raíz cuadrada?

34. Escribe con cifras las siguientes potencias y calcula su valor:a) Dos al cubo.b) Tres al cuadrado.c) Cuatro al cuadrado.

d) Diez a la cuarta.e) Dos a la séptimaf) Tres al cubo.

35.Escribe y calcula el valor de las potencias descritas a continuación:a) Base 3 y exponente 3b) Base 4 y exponente 2e) Base 2 y exponente 4

36. Completa la siguiente tabla:POTENCIA BASE EXPONENTE VALOR SE LEE

35

6 34 16

Dos a la quinta

37. Calcula el valor de estas potencias de 10:a) 102 c) 107

b) 104 d) 1015

38. Escribe en forma de potencia de 10:a) Un millón. e) Un billón.b) Mil millones. d) Cien billones.

39. Escribe los exponentes:a) 10□= 10000 e) 10□= 1 000 000 000b) 10□= 1000000 d) 10□ = 10000000000

40. Escribe los siguientes números con todos los ceros y, después, indica cómo se leen:a) 2 · 106 e) 12 · 1012

b) 23 · 108 d) 3 · 1014

41. Averigua el valor de n en cada caso:a) n. · 106 = 32000000b) 23 · 10n = 230000000000c) n · 1012 = 3000000000000d) 8 · 10n = 8000000000000000

42. Expresa las cantidades indicadas como el producto de un número natural por una potencia de 10:a) Una persona sana puede llegar a tener 20 billones de glóbulos rojos en su sangre.b) El océano Pacífico tiene una superficie aproximada de 180 millones de kilómetros cuadrados.c) El planeta Tierra se formó hace unos 4 500 millones de años.d) La masa de la Tierra es aproximadamente de seis mil trillones de toneladas.

43. Calcula el número expresado en cada caso:a) 3· 105 + 2 · 104 + 3 · 103 + 6 · 102 + 2 · 10 + 1b) 4 · 106 + 3 · 103 + 6 · 10 + 3c) 2 · 108 + 5 · 105 + 3 · 103 + 2 · 102 + 6d) 107+ 2 ·106 + 103 + 3e) 106+103+102+10+1f) 7 · 106 + 5 · 104 + 3 · 102 + 8 · 10 + 2

44. Indica, sin calcular el valor de las potencias, si las siguientes igualdades son correctas o incorrectas:a) 32 · 22 = 62

b) 42: 42 = 4° c) (6+2)2 = 62

d) (8: 2)3 = 43

e) 34 · 33 = 96 f) (4 · 3)3 = 43 · 33

45.Calcula mentalmente:a) 32 · 3 e) 75 : 73

b) 28 : 23 f) (22)3

c) 22 · 22 g) (13)2

d) 85 : 84 h) 54 : 54

46 Reduce a una sola potencia:a) x2 · x3 b) x2 · x5 c) a5 : a4

d) b3 : b2 e) (a2)3 f) (n3)3

47. Expresa en forma de una sola potencia y calcula su valor:a) 2 · 22 · 23

b) (34 · 3) : 32

c) (4 · 42 · 4) : 43

d) 56 : 52 : 5e) (2 · 23)2

f) (26 : 23) · 22

g) (124 · 12) : (12 · 122)h) (6 · 62)2 : (6 · 62 · 63)

48. Calcula mentalmente:a) 24 · 54 d) 63 : 33

b) 43 · 253 e) 182 : .22

c) 63 · 53 f) 422 : 72

49. Calcula mentalmente:a) (64 : 24) : 34 c) (25 · 65) : 45

b) (56· 66) : 36 d) (35 · 45) : 65

51. Completa:a) 32 = ________ ↔ = ________b) 52 = ________ ↔ = ________c) 102 = ________ ↔ = ________d) 122 = ________ ↔ = ________

52. Halla las raíces de los siguientes números:a) 25 b) 64 c) 81 d) 100 e) 121f) 169 g) 400 h) 625 i) 900

53. Establece, en cada caso, el valor de x:a) = 4 d) = 15b) = 16 e) = 40c) = 10 f) = 100

54. Averigua el valor de a como en el ejemplo:a2 = 16 → a = 16 = 4a) a2 = 36 → a = _ ____ = ________b) a2 = 81 → a = __ ___ = ________c) a2 = 100 → a = __ ___ = ________

55. Clasifica las siguientes raíces en exactas y enteras:

a) c) e) b) d) f)

56.

57. Escribe siguiendo el ejemplo:24 = 2.2.2.2 =16 33 = 32·23 =54 = 62 =

58. Observa el ejemplo y completa: ax . ay = ax+y

22·23·24 = 29 4-9·45·46·45 = 35·3-3·35·36 =33·34·3-9 = 5612·568 =59. Observa el ejemplo y completa: ax : ay = ax-y

2-5 : 24 = 145 : 146 = 3-5 : 34 =6-7 : 68 = 33 : 35 =

60. Recuerda lo siguiente: (32)3 = 33·2 = 36

[ (ab)-2 ]-3 : [ (ab)-3 ]6 =

61. Observa el ejemplo y completa: ax : ay = ax-y

2-5 : 24 = 145 : 146 = 3-5 : 34 =6-7 : 68 = 2-2 : 24 = 33 : 35 =5-6 : 590 = 63 : 26 = 3-3 : 3 -9 =

62. Escribe en forma de potencia de 10:12300000000000000000000=34560000000000000000000=12350000000000=23098000000000=344450980000000000000=155657746500000000000000=344435288980000000000000=9987675564000000=99231000=12300=12980=

63. Escribe mediante ceros lo que se indica:123 x 1013 =5467 x 1024=234,4 x 1015=6754 x 1023=12,6 x 103=567,89 x 104=44368 x 109=24468 x 1020=577,56 x 102=35788 x 1010=

64. Completa lo siguiente:45 x = 4500000000000123 x = 1230000000000000

x 109= 7890000000000x = 23400000000000000

45,67 x = 456700000x = 6676000000000000000000000

67. En un vivero se quieren plantar 529 cipreses en hileras, formando un cuadrado. ¿Cuántoscipreses hay que plantar en cada hilera?

68. Un terreno cuadrado tiene 900 m2 de superficie. Cuántos metros de tela metálica se necesitanpara cercarlo?

69. ¿Cuántos metros de moldura se necesitan para bordear con ella el techo de una habitacióncuadrada de 25 m2 de superficie?

70. Un tablero cuadrado tiene una superficie de 900 cm2. Si se corta otro cuyo lado mide la mitadque el lado del anterior, ¿cuál será la superficie del nuevo tablero? ¿Se habrá reducido también a lamitad?

71. Marta tiene 300 azulejos cuadrados para hacer mosaicos. ¿Cuántos puede emplear comomáximo para formar un cuadrado? ¿Cuántos le sobran?

72.Ramón ha barnizado dos tableros cuadrados: uno de 30 cm de lado y otro de 40 cm de lado.¿Hubiera empleado la misma cantidad de barniz en un tablero cuadrado de 70 cm de lado?