Cul es el rea de un cuadrado cuyo lado mide 4 cm? Expresa el resultado en forma de potencia.Potencias y Races. 100 Ejercicios para practicar con soluciones

1

Solucin:El rea de un cuadrado es: A = l2Por tanto, el rea es 42 = (2 2 )2 = 24 cm2

2Expresa los nmeros como multiplicacin de factores iguales y luego en forma de potencia:

333

a)

555

1

b) ( 5) ( 5) ( 5)

c) - 128

d) 1 625

Solucin:a)3333 3

=

5555

11-3

b)== (- 5 )

( 5) ( 5) ( 5)(- 5 )3

c) - 128 = (- 2 )7

d) 6251 = 14 = 545

3 Expresa como potencia nica:

a) 35 33 3

b) (- 5 )7 : ( 5)2

c) [(- 4)2 ]3

Solucin:

a) 35 33 3 = 39

b) ( 5)7 : ( 5)2 = ( 5)5

c) [(- 4 )2 ]3 = (- 4 )6

1

4Expresa en forma de una potencia que tenga como base un nmero primo:a) 5 5 5 5b) ( 3)( 3 )( 3)

c)1

22222

d) 81

e) 27

f) 1 25

Solucin:a) 5 5 5 5 = 54 b) ( 3)( 3)( 3) = ( 3)3

c)1=15

222222

d) 81 = 34

e) 27 = ( 3)3 f)1=1 2

255

5 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros.

a) 0,000 2

b) 0, 000 000 1 c) 0,03

Solucin:

a) 0,0002 = 2 104

b) 0,0000001 =1107

c) 0,03 = 3 102

6 Expresa las siguientes potencias como producto de factores:

a) (- 7 )3

b) (- 2 )5 32

c) 4-3

2

Solucin:

a) (- 7 )3 = ( 7) ( 7) (- 7 )

b) (- 2 )5 32 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 3 3

c) 4-3 = 4 41 4

7 Expresa el resultado como potencia nica:

a) [(- 7 )2 ]3

b) (- 2 ) 5 (- 2 ) 0 (- 2 ) - 3 (- 2 )

c) 62 ( 2)2 32

Solucin:]3 = (- 7 )6

a) [(- 7 )2

b) (- 2 )5 (- 2 )0 (- 2 )- 3 (- 2 ) = (- 2 )3

c) 62 ( 2)2 32 = [6 ( 2) 3]2 = ( 36)2

8 Escribe en forma de potencia las siguientes races:

a) 3

b) 3 5

c) 4 73

d) 7 29

Solucin:

1

a) 3 2 1b) 5 3

3

c) 7 4

9

d) 27

3

9Escribe en forma radical:

1e) 4 9

1

f) 6 4

3

g) 5 2

4

h) 3 5

Solucin:e)9 4

f)4 6

g) 53

h) 5 34

10 Expresa como potencia nica:

a) 35 33 3

b) (- 5 )7 : ( 5)2

c) [(- 4)2 ]3

Solucin:

a) 35 33 3 = 39

b) ( 5)7 : ( 5)2 = ( 5)5

c) [(- 4 )2 ]3 = (- 4 )6

11 Expresa el resultado como potencia nica:

3234

a)

4

222-5

b) 7 7

c) (- 6 )3 : ( 6)4

4

Solucin:23 4324

3

a)4=4

b)222-52 3

=

777

c) (- 6 )3 : ( 6) 4 = ( 6)3( 4) = ( 6)7

12 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros.

a) 3 000

b) 20 000 c) 5 000 000

Solucin:

d) 3000 = 3 103

e) 20000 = 2 104

f) 5000000 = 5 106

13 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros.

a) 25 millones de pesetas

b) Trescientos mil dlares c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros d) Treinta milmetros (en metros)

Solucin:

a) 25 millones de pesetas 2,5 107 ptas.

b) Trescientos mil dlares 3 105 dlares c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros 4,32 105 metros d) Treinta milmetros (en metros) 3 102 metros

14 Una fbrica produce 3 toneladas de hierro al da. Cuntos kilos de hierro fabricar en 5 das? Expresa el resultado en notacin cientfica.

Solucin:

1 tonelada son 1000 kg.3 toneladas son 3000 kg. En cinco das fabricar:

3000 5 = 15 000 = 1,5 104 kilogramos.

5

15 Escribe en notacin ordinaria los siguientes nmeros.

a) 3104

b) 1,2107 c) 2105 d) 0,25103

Solucin:

a) 3 104 = 30000

b) 1,2 107 = 12000000 c) 2 105 = 0,00002 d) 0,25 103 = 0,00025

16 Cul es el cubo del cociente que resulta de dividir 128 entre 32? Expresa las operaciones y el resultado en forma de potencia.

Solucin:

128 = 27

32 = 25

27 : 25 = 22

El cubo del cociente es:

(2 2 )3 = 26

17 Una persona haciendo un recorrido andando emplea 30 das y 5 horas. Cuntos segundos habr tardado en hacer el recorrido? Expresa el resultado en notacin cientfica.

Solucin:

1 hora son 3600 segundos30 das y 5 horas son 725 horas Por tanto, habr tardado:

725 3600 = 2 610 000 = 2,61106 segundos.

18 Expresa las siguientes races como potencias:

a) 3 5 4

b) 123

c) 4 72

d) 7 321

6

Solucin:

4

a)3 54 = 5

3

3

b) 123 = 12 2

2 1

c) 4 72 = 7 4 = 7 2 21

d)7 321 = 3= 33

7

19 En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia nica:

a) [(- 5 )2 ]3 (- 5 )5 : (- 5 )4

b) (6 3 62 ) 2 : (6 4 )2

Solucin:

a) [(- 5 )2 ]3 (- 5 )5 : (- 5 ) 4 = ( 5) 6 ( 5)5 : ( 5) 4 = ( 5)6 + 54 = ( 5)7b) (6 3 62 ) 2 : (6 4 ) 2 = (6 5 )2 : 68 = 610 : 68 = 610( 8) = 618

20 La masa de la tierra es 5,981024 kg, y la masa de la Luna, 7,341022. Cuntas Lunas se podran formar con la masa de la Tierra?

Solucin:5,981024 = 0,815102 = 81,5 Lunas7,341022

21 Escribe en forma de raz las siguientes potencias de exponente fraccionario:

3a) 4 5

5b) 3 2

1c) 9 4

5

d) 2 6

7

Solucin:

3= 5 43

a)4 5

5

b) 3 2 = 35

1= 4 9

c)9 4

5d) 2 6 = 6 25

22Espaa tiene una poblacin de 36,6106 habitantes y una superficie de 50,410 4 km2. Cul ser la densidad de la poblacin espaola? (Densidad=hab/ km2)

Solucin:

La densidad de la poblacin espaola es :

(36,6 106 ): (50,4 104 )= (36,6 : 50,4)(106 : 104 )= 0,726 102 = 7,26 10 h / km2

23 El rea de un terreno cuadrado es 625 m 2 . Cul ser el rea de otro terreno cuyo lado es el triple del primero? Expresa el resultado en forma de potencia.

Solucin:

Si l es el lado del primer terreno, entonces l2 = 625 .El lado del segundo terreno es: 3 l metros.

Y por tanto, el rea es: (3 l)2 = 32 l2 = 32 625 = 32 54 m2.

24 Expresa el resultado como potencia nica:

a) 24 2 8

b) (- 4)3 (- 4)5 16

1 21 31

c)

2216

Solucin:

a) 24 2 8 = 24 2 23 = 28

b) (- 4 )3 (- 4 )5 16 = ( 4)3 ( 4)5 ( 4)2 = ( 4)10

1213112131413

c)==

22162222

8

25 Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:

a) 7

b)5 24

c)12 37d)3 4 2

Solucin:

1

a)7 = 72

4

b)5 24 = 2

5

12 377

c)= 312

3 422

d)= 4 3

26 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros e indica su orden de magnitud.

a) 210 000 000 000

b) Dos billones y medio

c) 58 400 millones

Solucin:

a)210 000 000 000 = 2,11011 Orden de magnitud: 11

b)2 billones y medio = 2,5 1012Orden de magnitud: 12

c)58 400 millones = 5,84 1010Orden de magnitud: 10

9

27 Expresa el resultado como potencia nica:

a) 25 3 5 6 125 b) 812 37

c) 1682 22

Solucin:

a) 25 3 56 125 = (5 2 )3 5 6 53 = 59

b) 812 37 = (3 4 )2 37

c) 1682 22 = 24 (2 3 )3 22 = 23

28

29

La masa de la Tierra es 5,981024 kg. Cul sera la masa equivalente a 3 planetas iguales a la Tierra?

Solucin:

3 planetas equivalentes a la Tierra tendran una masa de:3 (5,98 1024 )= 17,94 1024 = 1,794 1025 kg

Expresa el resultado como potencia nica:

a)253 5

3

4

b)24 27 53

c)6232

:

510

Solucin:553 51 5

a)232

==

34342

b) 24 27 53 = 23 53 = 103 c)6 23263 26022

:=:== 4

51051015

30 Un lavavajillas dispone de 8 bandejas y en cada una de ellas caben 32 vasos. Cuntos vasos se podrn lavar de una sola vez? Expresa el resultado en forma de potencia.

Solucin:

La capacidad del lavavajillas es: 8 32 = 23 25 = 28 vasos

10

31 Escribe como potencia nica:

a) (- 7 ) -2 (- 7 ) 3 (- 7 )0

b) 83 (- 2 )3

c) (- 3 ) - 2 : (- 3 )3

Solucin:

a) (- 7 )-2 (- 7 )3 (- 7 )0 = ( 7)2 +3+0 = ( 7)

b) 83 (- 2 )3 = [8 ( 2)]3 = ( 16)3

c) (- 3 )- 2 : (- 3 )3 = ( 3) 2 3 = ( 3)5

32 La edad de Marcos es 14 aos. Cul es el cuadrado del doble de su edad dentro de 2 aos? Expresa el resultado en forma de potencia.

Solucin:

La edad de Marcos dentro de 2 aos ser: 14 + 2 = 16 = 24 aos.El doble de la edad dentro de 2 aos ser: 2 24 = 25 aos.Y el cuadrado de dicha edad es: (25 )2 = 210 aos.

33 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:

a) 4 6 , 6 4

b) 3 5 , 5 7 3 , 15 32

Solucin:

a)46,641263,1242

m.c.m.(4,6) =12

b)35 ,5315321555,1579,1532

7 ,

m.c.m.(3,5,15) =15

34 Simplifica los siguientes radicales:

a) 24

b) 3 315

c) 4 56

d) 12 78

11

Solucin:

a) 24 = 22

b) 3 315 = 35

c) 4 56 = 53

d) 12 78 = 3 72

35 Introduce en el radical los nmeros que estn fuera:

a) 2 3 3

b) 2 6 22

c) 3 3 3

d) 15 3 25

Solucin:

a) 23 3 = 3 23 3 = 3 24

b)26 22 = 6 26 22 = 6 28 = 6 256

c) 33 3= 3 33 3 = 3 34 = 3 81

d)1325 = 352= 31

5

535

36 Simplifica los siguientes radicales:

a) 4 26

b) 6 49

c) 30 212

Solucin:

63

a)4 26 = 2 4= 2 2= 23

9 3 b) 6 49 = 4 6 = 4 2 = 43 12 2 c) 30 212 = 230 = 25 = 5 22

37 En un tringulo rectngulo los catetos miden 3 cm y 4 cm respectivamente. Cunto medir la hipotenusa?

12

Solucin:

4 cm

h

3 cm

Aplicando el Teorema de Pitgoras: h2 = a2 + b2

h = 32 + 42 = 25 = 5 (La raz negativa no es solucin valida) La hipotenusa mide 5 cm

38 Calcula las siguientes races:

a) 25

b) 3 - 27

c) 4 81

d) 6 64

Solucin:

a) 25 = 52 = 5 y 25 = (5)2 = 5

b) 3 27 = 3 (3)3 = 3

c) 4 81 = 4 34 = 3 y 4 81 = 4 (3)4 = 3

d) 6 64 = 6 26 = 2 y 6 64 = 6 (2)6 = 2

39 Introduce en la raz todos los factores:

a) 5 3

b) 24 3

c) 3 6

d) 43 2

13

Solucin:

a) 5 3 = 523 = 75

b) 24 3 = 4 24 3 = 4 48

c) 3 6 = 326 = 54

d) 43 2 = 3 43 2 = 3 128

40 Expresa en forma de raz las siguientes potencias de exponente fraccionario:

3a) 251

b) 2 2 7

4

c) 9 5

Solucin:

3= 5 23

a) 2 5

212

2=

b)

7

7

4= 5 9 4

c) 9 5

41 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:

a) 3 , 5 2

b) 4 5 , 6 4

Solucin:

a) 3 = 10 35 , 5 2 = 10 22

b) 4 5 = 12 53 , 6 4 ? 12 42

42 Expresa como producto de un nmero entero y un radical los siguientes radicales:

a) 12

b) 45

c) 3 54

14

Solucin:

a) 12 = 22 3 = 2 3

b) 45 = 32 5 = 3 5

c) 3 54 = 3 233 = 33 2

43 Extrae todos los factores posibles de las siguientes races:

a) 27

b) 3 32

c) 4 162

d) 192

Solucin:

a) 27 = 32 3 = 3 3

b) 3 32 = 3 22 22 2 = 223 2 = 43 2

c) 4 162 = 4 23 4 = 34 2

d) 192 = (2 3 )2 3 = 23 3

44 El rea de un terreno de forma cuadrada es 169 m 2 . Cunto medir el permetro del terreno?

Solucin:

El lado del terreno mide 169 = 13 m (La raz negativa no es solucin vlida) El permetro es: 4 13 = 52 m.

45 Simplifica los siguientes radicales expresndolos previamente en forma de potencia:

a) 6 16

b) 12 33

c) 10 243

d) 4 78

15

Solucin:

a) 6 16 = 6 24 = 24 6 = 223 = 3 22

b) 12 33 = 3312 = 314 = 4 3

c) 10 243 = 10 35510 = 31

= 32 = 3

d) 4 78 = 78 4 = 72

46 El nmero 46 656 es igual al cubo de 36. Calcula la raz sexta de dicho nmero y explica cmo lo haces.

Solucin:

46656 = 363 = (6 2 )3 = 66 6 46656 = 6 66 (6 )

47 Escribe 3 radicales equivalentes a:

a) 7

b) 5 23

c) 12 64

d) 15 310

Solucin:

a) 7 = 4 72 = 12 76 = 6 73 b)5 23 = 10 26 = 15 29 = 30 218

c)12 64 = 6 62 = 3 6 = 18 66

d) 15 310 = 3 32 = 9 36 = 12 38

48 El volumen de un cubo es 1 000 m3. Cul es el rea de una de sus caras?

Solucin:

Como V = l3 , entonces l = 3 1000 = 3 103 = 10 m.

El rea de una de las caras es: A = l2 = 102 = 100 m2.

16

49 Escribe 3 radicales equivalentes a:

a) 6 34

b) 24 26

c) 9 5 6

d) 5 43

Solucin:a)6 34= 3 32 = 12 38 = 18 312

b)24 26 = 48 212 = 8 22 = 4 2

c)9 56= 3 52 = 18 56 = 27 518

d)5 43= 10 46 = 15 49 = 20 412

50 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:

a) 5, 5 23 ,15 72

b) 4 9, 6 11,15 13

Solucin:

a)5,53157230153018,3074

2 ,5 ,2

m.c.m.(2,5,15) = 30

b)49 ,611,151360330,6010,60134

11

m.c.m.(4,6,15) = 60

51 Simplifica los siguientes radicales:

a) 24 1136

b) 18 312

c) 6 625

d) 15 218 312

17

Solucin:a)24 1136= 113

b)18 312= 3 32

c)6 625 = 6 54 = 3 52

d) 15 218 312 = 5 26 3 4

52 Cul es la mxima distancia, en lnea recta, que podr recorrer un jugador en un campo de ftbol de 20 m de largo y 15 m de ancho?

Solucin:

La mxima distancia corresponde a la diagonal del terreno rectangular.

d15 m

20 m

Por el teorema de Pitgoras:d = 202 +152 = 625 = 25 m.

La distancia mxima es 25 m

53 Simplifica las siguientes potencias expresndolas previamente en forma radical:

15a) 2 30

6b) 8 24

8

c) 3 12 2

d) 27 18

18

Solucin:

15a) 230 = 30 215 = 2

6b) 824 = 24 86 = 24 218 = 4 23 8= 12 38 = 3 32 = 31

c)312

32

2d) 2718 = 18 272 = 18 36 = 3 3

54 Extrae factores de las siguientes races:

a) 36000

b) a 4 b7 c5

Solucin:

a) 36000 = 62 102 10 = 610 10 = 60 10

b) a4 b7 c 5 = a2 a2 b2 b2 bc 2 c 2 c = aabbbcc bc = a2 b3 c 2 bc

55 Introduce todos los factores en las races:

a) 33 6

b) 2 53

c) 3 1 4 2

Solucin:

a) 33 6 = 3 33 6 = 3 162

b)23=22 3=12

555

c)31=32 1=9

4242 232

56 La mitad del cuadrado de la distancia que recorre un ciclista en 30 minutos es 162 km. Cunto recorrer en 2 horas?

19

Solucin:

Si la mitad del cuadrado de la distancia es 162, el cuadrado de la distancia es: 2 162 = 324 km. Por tanto la distancia que recorre el ciclista en media hora es: 324 = 18 km.

En dos horas recorrer: 18 4 = 72 km.

57 Simplifica los siguientes radicales:

a)6 32 5 4

b)1259

26

Solucin:

a)6 32 54 = 3 352

b)1259= 453

2622

58 Se quiere construir un tablero cuadrado que tenga una superficie de 225 cm2 y que a su vez contenga 144 casillas iguales. Cunto medir el lado de cada casilla?

Solucin:

El lado del tablero medir: 225 = 15 cm

El nmero de filas y columnas que tendr el tablero ser: 144 = 12 Por tanto el lado de cada casilla medir: 15 : 12 = 1,25 cm.

59 Cmo se puede extraer la raz sptima de 1 280 000 000?

Solucin:

7 1280000000 = 7 214 57 = 5 27 27 57 = 225 = 20

60 Extrae de la raz todos los factores posibles:

a) 3 625

b) 4 288

c) 3 432

20

Solucin:

a)3 625= 3 53 5 = 53 5

b)4 288= 4 24 32 2 = 24 32 2 = 24 18

c)3 432= 3 23 33 2 = 233 2 = 63 2

61 Reduce a ndice comn los siguientes radicales:

a) 3 6, 6 2, 4 53

b) 23 , 4 3, 5 24

Solucin:a)3 6 = 12 64 , 6 2 = 12 22 , 4 53 = 12 (5 3 )2b) 23 = 20 210 , 4 3 = 20 35 ,5 24 = 20 (2 4 )4 = 20 216

62El rea de un cuadrado es 4096 cm2. Cunto medir el permetro de otro cuadrado cuyo lado es la raz cbica del lado del primero?

Solucin:

El lado del primer cuadrado mide: 4096 = 64 cm.

El lado del segundo cuadrado es: 3 64 = 4 cmPor tanto, su permetro medir: 4 4 = 16 cm.

63 Extrae factores de los siguientes radicales:

a)300

b)125

8

c)3 54

64

21

Solucin:

a) 300 = 22 52 3 = 25 3 = 10 3

b)125=525=55

8222

22

c)354= 333 2=33 2 =332

224

6423 23

64 Ordena de menor a mayor los siguientes radicales:

a) 3 5, 4 6, 7

b) 12 3,15 27, 30 81

Solucin:

a)35,46, 71254,1263,12761263