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TEMA 3. MODELO SIMPLIFICADO DE SHARPE
Dr. Borja Amor Tapia
Área de Economía Financiera
GESTIÓN DE CARTERAS Y PATRIMONIOS
1
William F. Sharpe
Premio Nobel de
Economía en 1990 junto
a Merton Miller y Harry
Markowitz por sus
aportaciones a la teoría
de la economía
financiera
2 Dr. Borja Amor Tapia [email protected]
1. El Modelo de Mercado: Análisis de los Activos
1.1. Rentabilidad y Riesgo
1.2. Covarianza entre Rentabilidades
1.3. Clasificación de los Activos según su Beta
3 Dr. Borja Amor Tapia [email protected]
Para aplicar el modelo de Markowitz es necesario disponer de un número elevado de estimaciones.
Con el objeto de simplificar el modelo, Sharpe publica en 1963 un nuevo modelo, denominado indistintamente “Modelo de Mercado”, “Modelo de Índice único” o “Modelo de Sharpe”.
Este modelo no solo simplifica el del Markowitz, sino que se introduce una importante descomposición del riesgo total de cualquier activo y de cualquier cartera, así como una clasificación de los títulos y carteras en función del impacto que tenga sobre su rendimiento esperado una modificación en un determinado índice bursátil que se tome como referencia.
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1,2,...,i i i M ir a r u i n
• En general, para cualquier momento t del tiempo:
1,2,..., ; 1,2,...,it i i Mt itr a r u i n t T
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1.1. Rentabilidad y Riesgo
En el modelo se introducen un conjunto de hipótesis, propias del modelo de regresión lineal simple, y relacionadas con las perturbaciones aleatorias. Así, para cada título i y en cualquier período de tiempo t, tenemos: • 1. Su esperanza matemática es nula, ya que se supone que en el error
aleatorio se incluyen múltiples factores individualmente irrelevantes y estadísticamente independientes, que actúan de forma aditiva y compensándose unos con otros:
• 2.Las perturbaciones aleatorias no dependen de la rentabilidad del mercado, por lo que ambas variables se distribuyen de forma estadísticamente independiente, siendo, pues, su covarianza nula:
(u ) 0iE
cov(u ,r ) (r ) 0ii M uM i M ME u E
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• 3. Las perturbaciones aleatorias de dos activos cualesquiera no influyen entre sí, por lo que no están correlacionadas. Por tanto su covarianza es nula:
Esta hipótesis implica que la única razón para que las rentabilidades de los títulos varíen conjuntamente es un movimiento conjunto con el mercado.
• 4. La perturbación aleatoria de un período temporal no influye ni está influenciada por la de otro período, por lo que son independientes:
cov(u ,u ) (u ,u ) 0i ji j u u i jE
'' 'cov(u ,u ) (u ,u ) 0 'it itit it u u it itE t t
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• 5. La perturbación aleatoria sigue una distribución independiente de t con varianza constante:
• 6. La perturbación aleatoria sigue una distribución normal:
2 2(u ) 1,2,..., ; 1,2,...,Tiit uE i n t
2u 0, 1,2,...,ii uN i n
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Interpretación del riesgo de activo mediante su descomposición en dos sumandos:
• riesgo de mercado, y
• riesgo específico
2 2 2 2i i M ui
2 2 2i si ui
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La matriz de varianzas-covarianzas del modelo de mercado es:
2
2 2 2 21 1 2 1 3 1
2 2 2 22 1 2 2 3 2
2 2 2 23 1 3 2 3 3
2 2 2 21 2 2 3
; ,
...
...
...
... ... ... ... ...
...
M ij ij i j M
M M n M
M M n M
M M n M
n M M n M n
S i j
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1.2. Covarianza entre Rentabilidades
2. El Modelo de Mercado: Análisis de las Carteras
2.1. Rentabilidad y Riesgo
2.2. Determinación de las Carteras Eficientes y selección de la Cartera Óptima
2.3. Las Carteras Mixtas en el Modelo de Mercado
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2.1. Rentabilidad y Riesgo
La rentabilidad esperada de una cartera verifica:
1
n
p i ii
E r x E r
• En notación matricial: 'EpE X
2; , M ij ij i j MS i j
2 'Sp MX X
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El riesgo total de una cartera, medido por la varianza, se puede descomponer en dos sumandos: • Riesgo sistemático o de mercado
• Riesgo propio o específico
2 2 2p sp up
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1
2
...u
n
p
x
x
X
x
21
22
2
2
0 ... 0 0
0 ... 0 0
... ... ... ... ...
0 0 ... 0
0 0 ... 0
u
u
u
un
M
S
Por tanto, recordando la multiplicación de matrices, tenemos:
2p u u uX S X
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2.2. Determinación de las Carteras Eficientes y selección de la Cartera Óptima
En el modelo de mercado, de acuerdo con las expresiones correspondientes al mismo, relativas a la rentabilidad y al riesgo de una cartera, son aplicables los conceptos ya estudiados previamente sobre carteras eficientes y selección de la cartera óptima.
Se denomina grado de diversificación de una cartera al porcentaje que representa su riesgo sistemático sobre el riesgo de la misma:
2 2 2
2 2
sp p Mp
p p
d
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2.3. Las Carteras Mixtas en el Modelo de Mercado
2
2
0
0
0
f f
f
uf
f
a r
• La cartera óptima arriesgada T para combinar con el activo libre de riesgo, es la de máxima prima relativa al riesgo.
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En las carteras mixtas se verifica:
(1 )rp T fr yr y
• La rentabilidad de la cartera arriesgada T verifica:
rT T T M Tr a u
1
n
T i ii
a x a
1
n
T i ii
x
1
n
T i ii
u x u
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Al sustituir tenemos
r (1 )rp T T M T fr ya y yu y
• Por tanto
r (1 )rp p p M p fr a u y
p T
p T
p T
a ya
y
u yu
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Por tanto, la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera mixta p, verifican:
r (1 )rp p p M fE a y
22 2 2 2 2 2 2 2 2
p p M T M T M sTy y y
2 2 2up uTy
• En consecuencia:
2 2 2 2 2 2 2p sp up Ty y y
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