tema 3. introducción a los circuitos...

Tema 3. Introducción a los circuitos eléctricos.

Objetivo : El alumno analizará elcomportamiento de circuitos eléctricosresistivos, en particular, calculará lasresistivos, en particular, calculará lastransformaciones de energías asociadasy obtendrá el modelo matemático querelaciona las variables involucradas .

Tema 3.

3.1 Conceptos y definiciones de:corriente eléctrica, velocidad media decorriente eléctrica, velocidad media delos portadores de carga libre y densidadde corriente eléctrica .

Corriente eléctrica

La existencia de uncampo eléctrico en elcampo eléctrico en elinterior de unconductor provoca elmovimiento de losportadores de cargalibre de éste.


En general, dichos portadores se pueden mover bajo laacción de un campo eléctrico no uniforme, en el espaciotridimensional, y la fuerza eléctrica que actúa sobrecada portador es

EqFrv

=donde q es la carga de cada portador y es el campoeléctrico que actúa sobre dicho portador .

Er


De acuerdo con las Leyes de Newtonla fuerza debería producir unaaceleración a cada partícula, sinaceleración a cada partícula, sinembargo, esto solo ocurre si loselectrones se desplazaran en elvacio .


En el conductor los portadores se veninfluenciados por efectos térmicosasociados con la energía interna lo cualasociados con la energía interna lo cualproduce que el movimiento de laspartículas no sea uniforme debido a quechocan constantemente con la estructuradel metal debido a dicha agitacióntérmica .


Una simulación del movimiento de laspartículas es el siguiente.partículas es el siguiente.Carga en un conductor


Es posible considerar que el campoeléctrico aplicado desplaza a los electronescon una velocidad promedio constante,ésta es un promedio de la velocidad con laésta es un promedio de la velocidad con lacual se mueven las partículas cargadas enla línea de acción del campo eléctricoaplicado, y para sustancias homogéneas esdirectamente proporcional a dicho campo


Velocidad promedio de los electrones Vp o velocidad dederiva


Es decir . La relación anterior sepuede expresar como una igualdad,introduciendo una constante de

Evp

rr ∝

introduciendo una constante deproporcionalidad denominada, movilidadde los portadores de carga libre, que escaracterístico para cada sustancia .

⋅⋅

sN

mCµPor lo tanto Evp

rr ⋅µ= (1)


Los electrones que son losportadores de carga libre en losmetales se ven atraídos por lametales se ven atraídos por laplaca positiva de la fuente,dejando la orbita de valencia deun átomo vacía.


Este movimiento de electrones dedenomina corriente eléctrica real porque efectivamente lo que se mueve enlos metales son los electrones, sinlos metales son los electrones, sinembargo este hecho se conoce en 1913cuando Bohr reveló su visión del átomoy propone el modelo del átomosemejante a un sistema solar enminiatura .


Niels Henrik David Bohr(Copenhague ,Dinamarca , 7 de octubrede 1885 - Copenhague,Dinamarca, 18 dede 1885 - Copenhague,Dinamarca, 18 denoviembre de 1962) fueun físico danés querealizó importantescontribuciones para lacomprensión de laestructura del átomo y lamecánica cuántica .


Conferencia Solvay 1927.


Pero todo el fundamento de laelectricidad ya se conocía desde el sigloXIX pero al no conocer la estructura delXIX pero al no conocer la estructura delátomo supusieron que lo que se movíaeran cargas positivas y este movimientode cargas se le conoce como corrienteconvencional. Que dicho sea de paso esla corriente que seguimos utilizando en laactualidad .


Una manerasencilla deentender estemovimiento demovimiento decargaspositivas es lasiguiente :


En la figura se muestran tres átomoscon su órbita de valencia, loselectrones se mueven de la terminalelectrones se mueven de la terminalnegativa a la terminal positiva esdecir de abajo hacia arriba .


Podemos pensar que al momento que elelectrón superior entra en la terminalpositiva se queda una órbita vacía las cualatrae al electrón que esta debajo de ésteátomo, el cual se queda con su órbita vacíay atrae al último electrón quedando el átomocon su órbita vacía. Lo que se observa esque al momento que los electrones sedesplazan hacia arriba los “huecos” uórbitas vacías se desplazan hacia abajo .


Recordando que la cantidad de carga neta quecruza una superficie por unidad de tiempo es:

[ ]∫rr

(a)

Donde: es la densidad de corriente en[A/m^ 2] y se define como :

[ ]AAdJ∫ ⋅=rr

φ

=2m

AVJ pL

rrρ

Jr


Donde: ρL es la densidad de portadores decarga por unidad de volumen en [C/m^ 3] y sedefine como el número de portadores porunidad de volumen en el material por la cargaunidad de volumen en el material por la cargade cada uno de ellos

=3m

CnqLρ


Por lo tanto :

=2m

AVnqJ p

rr

m

A su vez el número de portadores por unidadde volumenenel material, n, se define como:


=3

0)1(m

átomos

M

Nn ρ

donde:ρ es la densidaddel material [kg/m^ 3]No es el número de Avogadro=6.023x10^23[átomos/mol]M es la masa atómica [kg/mol]


La densidad de corriente es una cantidadvectorial cuya dirección esla dirección de lavectorial cuya dirección esla dirección de lavelocidad promedio cuando los portadoresde carga sonpositivos y es contraria cuandolos portadores de carga sonnegativos.


Por otro lado cuando evaluamos el flujodel campo vectorial a través de unasuperficie cualquiera, obtendremos lacarga neta que cruza en la unidad decarga neta que cruza en la unidad detiempo la superficie escogida . Engeneral, si esta cantidad de carga varíaen cada instante, se cumple :

(b)

==∆∆=

→∆A

s

C

dt

dq

t

q

tlim

0

φ


Por lo tanto, comparando lasecuaciones (a) y (b) se tiene :

[ ]∫∫ =⋅= Adq

AdJrr

φ [ ]∫∫ =⋅= Adt

dqAdJφ

Históricamente la magnitud escalar φse conoce como la corriente eléctrica y se representa con la letra [ ]Ai φ=


Por lo tanto la expresión paraobtener la corriente eléctrica es

∫∫ ∫∫ ⋅=⋅= dAvnqAdvnqi rrr ∫∫ ∫∫ ⋅=⋅= dAvnqAdvnqi PPrr

En el caso en que no varié a través de la superficie considerada la ecuación anterior se reduce a

Pvr

θcos⋅⋅= Anqvi P


donde θ es el ángulo que forma lavelocidad promedio con el vector deárea A.Cuando la corriente eléctrica a través deuna superficie es un ampere [A], se debeentender que a través de dicha superficiecruza un coulomb de carga neta cadasegundo .

Ejercicio de corriente eléctrica

Determine la velocidad promedio en [mm/min] de loselectrones libres de un conductor de cobre de área desección transversal a = 1 [mm^2] (calibre 17), por elcual circula una corriente eléctrica i = 1 [A] . Considerecual circula una corriente eléctrica i = 1 [A] . Considereun electrón libre por cada átomo de cobre, por lo que:

M

Nn 0)1( ρ=

Donde:ρ = densidad del cobre = 8.9 [g/cm3]N0 = número de Avogadro

= 6.023 × 10^23 [átomos/mol]M = masa atómica = 63.54 [g/mol].

Respuesta

Vp=4.45[mm/min]Calibres de alambres en AWG ( American Wire Gauge)

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Calibre_de_alamb re_estadounidenseidense

http://www.solostocks.com.ar/

Ejercicio de corriente eléctrica

Si el alambre de cobre tiene un radio r=0.815[mm], ¿cuál es la velocidad de desplazamientode los electrones en [mm/s]?de los electrones en [mm/s]?

×= −

s

mmVp

21054.3

Ley de Ohm.

Para materiales sólido homogéneos, sepueden relacionar las expresiones (1) y(2).

r(2).

(1)

=s

mEvp

rr µ

)2(2

=m

AvnqJ p

rr

Ley de Ohm.

Sustituyendo la ecuación (1) en la (2)

EqnJrr

⋅⋅⋅= µpara los metales la cantidad esuna constante llamada conductividady esrepresentada por la letra griegaσ, es decir:

µ⋅⋅ qn

⋅=

⋅⋅⋅⋅=

mV

A

sN

mCC

mqn

3

1µσ

Ley de Ohm.

por lo tanto : EJrr

⋅= σEcuación conocida como expresión vectorial Ecuación conocida como expresión vectorial de la ley de Ohm, en honor del físico alemán George Simon Ohm (1789-1854).

Ley de Ohm.

Algunas veces seusa el recíproco dela conductividad σ,al que se le conoce

Metal Resistividad ρ a 20 [°C] [Ω m] x

10^(-8)

Plata (Ag) 1.63al que se le conocecomo resistividady se representacon la letra ρ,entonces

⋅=A

mV

σρ 1

Plata (Ag) 1.63

Cobre (Cu) 1.72

Oro (Au) 2.22

Aluminio (Al) 2.83

Tungsteno (W) 5.5

Níquel (Ni) 7.7

Hierro (Fe) 9.8

Ley de Ohm.

la expresión vectorialde la ley de Ohm seescribe en formaescribe en formaequivalente como

⋅=m

VJErr

ρProblema 1. Serie 3.

Ley de Ohm.

Cuando se conectan lasterminales de un alambreconductor a una diferenciade potencial, como semuestra en la figura, semuestra en la figura, seproducen en el interior deéste un campo eléctrico, yla existencia del campoprovoca a su vez unacorriente eléctrica a travésde cualquier seccióntransversal del alambre.

Ley de Ohm.

Lo anterior describe una situación noestática, ya que se tiene un flujo constantede carga de una terminal a otra, mientras sede carga de una terminal a otra, mientras setenga aplicada la diferencia de potencialVab. La razón es que esta última mantieneun campo eléctrico, en el interior delalambre conductor.

Ley de Ohm.

En este caso losportadores decarga libre sonelectrones que seelectrones que semueven a lo largodel alambre de laterminal negativahacia la terminalpositiva .

Ley de Ohm.

Si el área de la sección transversal esconstante y el conductor es homogéneo, larelación entre la corriente y la densidad de

JAi =relación entre la corriente y la densidad decorriente se expresa como : JAi =

y recordando que el campo y la diferencia depotencial se relacionan por medio de laexpresión:

L

VE ab=

Ley de Ohm.

Sustituyendo estas dos últimasexpresiones en ;JE ρ=Se obtiene

A

i

L

Vab ρ=

Y por lo tanto

]V[A

iLVab

⋅ρ=

Ley de Ohm.

Se denomina la resistencia eléctrica alfactor

Ω==⋅⋅⋅= VmmVL

R ρ

Cuya unidades enel SI sonlos ohm. Por lotanto la ley de ohm en forma escalar seexpresa como:

Ω==⋅⋅⋅=A

V

m

m

A

mV

A

LR

2ρ

IRV ⋅= [ ]AI][R]V[V ⋅Ω=Incluyendo sus unidades

Ley de Ohm.

Cuando a un metal se le aplica unadiferencia de potencial de un volt circulaun ampere de corriente si su resistenciaeléctrica es de un ohm .eléctrica es de un ohm .Por ejemplo, en el laboratorio se midió laresistencia del cable caimán - caimánque nos sirve para realizarinterconexiones y fue de 0.3[ohm].Ley de ohm

Ley de Ohm.

También en ellaboratorio se realiza unexperimento donde seaplica una corriente de

I(A) V(V)

0 0

0.04 1aplica una corriente decierto valor a un resistory se mide el voltaje enlos extremos. Se repitela operación condistintos valores y elresultado se muestra enla siguiente tabla.

0.04 1

0.08 2

0.12 3

0.16 4

0.20 5

0.25 6

0.30 7

Ley de Ohm.

Al realizar la gráfica se obtiene:

Ley de Ohm

02468

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Corriente [A]

Vol

taje

[V]

Ley de Ohm.

El modelo matemático es:V=(23.43I+0.1)[V]Se observa que la ordenada al origen esdespreciable y que la pendiente tiene undespreciable y que la pendiente tiene unvalor m=23.43 [V/I] que representa a laresistencia.La manera de verificar si el valor de laresistencia es correcto es midiendo elresistor con un ohmétro o determinando elvalor por medio del código de colores.

Ley de Ohm.

Un resistor es el elemento físico queposee la propiedad eléctrica denominadaresistencia .Los resistores son fabricados en unaLos resistores son fabricados en unagran variedad de formas y tamaños . Enlos más grandes, el valor de laresistencia se imprime directamente enel cuerpo de la resistencia, pero en lasmás pequeñas no se puede hacer.

Ley de Ohm.

Sobre estas resistencias se pintan unasbandas de colores. Cada color representa unnúmero que se utiliza para obtener el valorfinal de la resistencia . Las dos primerasfinal de la resistencia . Las dos primerasbandas indican las dos primeras cifras delvalor de la resistencia, la tercera banda indicacuantos ceros hay que aumentarle al valoranterior para obtener el valor final de laresistencia. La cuarta banda nos indica latolerancia.

Ley de Ohm.

El símbolo del resistor fijo se muestra enla parte superior y en la parte inferior semuestra el resistor variable y su símbolo .

Ley de Ohm.

Código de colores.(http ://www 1.freewebs.com/hen 85/electronicahttp ://www .pagaelpato .com/tecno/resistencias/resistencia .htmresistencia .htm

Código de colores

Ley de Ohm.

1

Ley de Ohm.

Ley de Joule.

Los electrones libres de los sólidos, aldesplazarse por efecto del campo eléctricoaplicado, ganan energía cinética, que estransmitida a la estructura del material altransmitida a la estructura del material alchocar éstos con ella . Este intercambio deenergía entre los electrones, acelerados porel campo eléctrico y los átomos que lareciben por choque, da por resultado unincremento de la temperatura del material.

Ley de Joule.

El estado estable se obtiene cuando elmaterial transfiere a su ambiente unacantidad de energía en forma de calorcantidad de energía en forma de calorpor segundo, igual a la energía eléctricaque recibe, manteniéndose así latemperatura constante .

Ley de Joule.

De la definición de potencial eléctrico

dUUV ==

[ ]WiRdt

dqiR

dt

dU

dqiRdqVdU

dqqV

2⋅=⋅⋅=

⋅⋅=⋅=

==

Ley de Joule.

La última expresión esconocida como “ley deJoule” en honor al físicoinglés James PrescotJoule (1818-1889) yinglés James PrescotJoule (1818-1889) yrepresenta la energíaeléctrica que setransforma en calor porsegundo en un dispositivode resistencia R, por elcual circula una corrientei.

Potencia eléctrica.

En un resistor toda la energía eléctricaque recibe en un segundo y setransforma en calor se denominapotencia eléctrica y se representa por lapotencia eléctrica y se representa por laletra P, entonces :

[ ]WR

ViViR

dt

dUP 2 =⋅=⋅==


La potencia en los resistores se indicapor el tamaño de los mismos . En lafigura se muestran resistores de 1/4 [W].


Los de ½ [W] sonmás grandes y asísucesivamente .

Efecto de la variación de la temperatura en las resistencias

En las resistencias la energía en formade calor se traduce en un incremento detemperatura desde el punto de vistatemperatura desde el punto de vistamacroscópico debido al incremento deenergía cinética de las partículas queconstituyen el material desde el punto devista microscópico .


Este incremento de la temperatura sedebe a un decremento en la movilidad delos portadores de carga ya que aumentalos portadores de carga ya que aumentala posibilidad de choques internos y porlo tanto se produce un incremento en laresistividad del material.


Para temperaturas entre -50[ °C] a 400[°C] lafunción de resistividad tiene uncomportamiento aproximadamente linealdefinido por la siguiente expresión

[ ])TT(1 ifi1f −α+ρ=ρDonde:ρf es la resistividad después de incrementarse la temperaturaρi es la resistividad ambiente o de referenciaαi es el coeficiente de variación de la resistividad a una temperatura de referencia.Tf y Ti son las temperaturas final e inicial respectivamente.


En la industria se considera como referencia la temperatura de 20 [ °C] y los parámetros se indican a esa temperatura.temperatura.En la siguiente tabla se muestra la resistividad y el coeficiente de variación de la resistividad de algunos metales


Metal Resistividad ρ a 20 [°C] [Ω m] x 10^(-8)

Coeficienteα a 20[°C]°C^-1

x10-^-3

Plata (Ag) 1.63 3.9

Cobre (Cu) 1.72 3.9

Oro (Au) 2.22 3.8

Aluminio (Al) 2.83 4.1

Tungsteno (W) 5.5 4.6

Níquel (Ni) 7.7 6.5

Hierro (Fe) 9.8 6.3


Como la relación de la resistividad y laresistencia es directamente proporcionalpara un cierto material con la misma áreatransversal y la misma longitud,transversal y la misma longitud,entonces también se cumple :

[ ])TT(1RR ifi1f −α+=

Bibliografía.

Gabriel A. Jaramillo Morales, Alfonso A. Alvarado Castellanos.Electricidad y magnetismo.Electricidad y magnetismo.Ed. Trillas. México 2003

Sears, Zemansky, Young, FreedmanFísica UniversitariaEd. PEARSON. México 2005

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