Tema 3. Electromagnetismo *Fuerza magnética sobre cargas y corrientes.Aplicaciones: -Botella magnética-Espira-Efecto Hall-Selector de velocidades-Ciclotrón-Relación e/m*Campo magnético creado por corrientes. Ley de Biot-Savart. Aplicaciones:-Conductor rectilíneo-Espira,-Fuerza entre conductores paralelos (definición de amperio)-Solenoide*Ley de Ampère. Aplicaciones: -Cilindro-Solenoide-Plano infinito cargado*Inducción magnética. Leyes de Faraday y Lenz.Aplicaciones:- f.e.m. debida al movimiento, -Corrientes de Foucault*Inductancia.*Energía magnética

Juan JiménezGdS OptronlabDto Física de la Materia CondensadaEIIUniversidad de Valladolid

• El magnetismo se conoce desde la antigúedad, pues existe un mineral llamado magnetita (óxido ferroso-férrico, Fe3O4) que constituye un imán permanente.

• En 1269, Pierre de Maricourt observó que una aguja sobre un imán permanente se alinea a lo largo de determinadas líneas, las cuales convergen en dos puntos del imán, llamados polos.

• En 1600 Gilbert descubrió que la tierra era un imán natural.

• A diferencia de las cargas eléctricas, las cargas negativas y positivas pueden aparecer independientemente, los imanes siempre presentan los dos polos

• Campo magnético es una propiedad del espacio en torno a un imán.Ese campo se manifiesta porque ejerce una fuerza sobre una carga eléctrica en movimiento. El efecto del campo es la fuerza magnética, posteriormente nos centraremos en las causas ( fuentes)

del campo magnético.* Fuerza sobre una carga puntual en movimiento

F=q vxB

El campo magnético se mide en Teslas, T.N=culb.m/s.TT=N/AmEl campo magnético terrestre es ≈ 10-4 T= 1 gauss

• Fuerza sobre un conductor rectilíneoSea un conductor cilíndrico por el que circula una corriente I. Al haber cargas en movimiento el campo

magnético actúa sobre ellas, siendo la fuerza resultante la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada una de las cargas:

F=q vxB (nAL)

n concentración volúmica de cargaA sección, L longitud

La corriente que circula por el conductor es:

I=qvnA F=I LxB Fuerza debida al campo magnético, que actúa sobre un conductor rectlíneo de longitud L por el que circula una corriente I

Cuando el conductor tiene una geometría arbitrariase utiliza la fuerza sobre un elemento de dicho conductor

dF=IdlxB

Fuerza debida al campo magnético, que actúa sobre un elemento de corriente dl

Las líneas de campo magnético son perpendiculares a la fuerza magnética.Las líneas de campo entran por el polo sur y salen por el polo norte

• Movimiento de una carga puntual en un campo magnético.Una partícula cargada en movimiento en un campo magnético se ve sometida a una fuerza, y por consiguiente describe una trayectoria acorde a esa fuerza, para ello resolvemos la ecuación del movimiento:

F=ma, qvB=mv2/r, describe una trayectoria circular en el plano perpendicular a B,

frecuencia ciclotrón

Cuando la partícula cargada se mueve en un plano que no es perpendicular a B, hay que resolver las distintas componentes. En concreto la componente paralela a B no sufre ninguna fuerza, mientras que la componente perpendicular a B sufrirá una fuerza como la estudiada anteriormente de modo que la trayectoria de la partícula es una espiral con el eje en la dirección de B

qBmvr =

mqB

TqBm

vrT ====

πυππ 2;22

Trayectoria de los electrones enuna cámara de niebla

• Movimiento en campos magnéticos no uniformes (Confinamiento magnético)

• Cinturones de Van Allen

El campo es débil en el centro y más intenso en los extremos,como consecuencia de ello, la partícula cargada describe unatrayectoria, que son espirales de ida y vuelta, de forma quelas partículas cargadas quedan espacialmente confinadas.Se utiliza para confinar plasma

Estos cinturones de radiación se originan debido al intenso campo magnético de la tierra, que atrapa las partículas cargadas (plasma) proveniente del sol (viento solar). Dado que el campo magnético aumenta cerca de los polos de la Tierra, las partículas se mueven de un lado a otro en recorridos helicoidales entre los polos norte y sur de la Tierra. Por consiguiente el campo magnético de la tierra nos protege de la radiación solar

• Selector de velocidades

En presencia de un campo eléctrico y otro magnético:

F=qE+qvxB

Se pueden disponer los campos de forma que las dos fuerzas se cancelen entre sí:

qE=qvB

predomina la fuerza eléctrica

predomina la fuerza magnética

BEv =

Las partículas que lleven esta velocidad, independientemente de su masa ó carga, atravesaránel sistema sin desviarse, lo que significa que mediante el uso de campos eléctricos y magnéticosadecuados se puede hacer un filtro de partículas por su velocidad ( selector de velocidades)

BEv ≤

BEv =

BEv ≥

Experimento de Thomson

Thomson demostró que los rayos catódicos se desviaban mediante campos eléctricos y magnéticos, y por consiguiente estaban constituidos por partículas cargadas.

Además demostró, que todas las partículas constituyentes tenían la misma relación carga/masa, y eran iguales para cualquier cátodo, por lo que debíanser un constituyente fundamental de la materia.

Los rayos catódicos se generan en el cátodo y son acelerados por elpotencial negativo entre C y A. La velocidad de las partículas seselecciona mediante un campo magnético B, ajustado para que laspartículas no se desvíen. Una vez seleccionada la velocidad, v0,se elimina el campo magnético. Se observa el destello en la pantallay se mide la desviación debida al campo eléctrico entre D y F.

vx

vxEtvy

vxEtay

vxEtEtav

mq

mq

mq

mq

yy

yy

yyyy

0

2

0

122

0

2

1

2

1

0

111

1

21

21

==∆

==∆

===

xxvExv

Eyym

q

m

q yy212

0

2

12

021 2

1+=∆+∆

xxvExv

Eyyyym

q

212

0

2

12

0

21

21

+

∆+∆=

Espectrómetro de masas (F.W.Aston-1919)

Permite medir las masas de los isótopos.Un campo eléctrico acelera los iones producidos en la fuente de iones. Estos llegan acelerados al campo magnéticodonde se desvían y describen una trayectoria circular, y son detectados en la pantalla.

Las ecuaciones que rigen el movimiento de los iones son:

El radio depende de la relación masa/carga. Los isótopos tienen distinta relación masa/carga.

qBmvr

Vqmv=

∆=2

21

Vqm rB

∆=

2

22

Ciclotrón (E.O.Lawrence, M.S.Livingston-1934)Las partículas cargadas se mueven en el interior de dos recipientesmetálicos con forma de D. sometidos a un campo magnético. Entre las dos Ds se mantiene un potencial electrostático, cuyosigno se alterna con un período igual a T/2 ( cámara de aceleración):

T= 2πm/qB

Este potencial crea un campo eléctrico entre las Ds que acelera las partículas. En el interior de las Ds el blindaje metálico apantalla el campo eléctrico, y por consiguienteno hay campo eléctrico.Las partículas se generan en una fuente de iones S, cerca del centro del espacio entre las Dsse mueve describiendo una semicircunferencia en D1 y llega al espacio entre las Ds en un tiempo T/2, al llegarahí el campo eléctrico la acelera hasta la otra D, D2, ganando una energía cinética q|∆V|. Al llegar a la otra D describeuna semicircunferencia de radio mayor como consecuencia de la mayor velocidad. El périodo se mantiene, pues nodepende de la velocidad, ni del radio. Cada vez que la partícula llega al hueco aumenta su energía en q|∆V|, ypor consiguiente el radio de la trayectoria. La energía se puede calcular a partir del radio de las Ds, r.

Se producen alrededor de 100 vueltas, y se consiguen energías de hasta varios centenares de MeV. Cuando las energíasse hacen muy altas, en el límite relativista la masa varía, por consiguiente el período empieza a depender de la velocidad,y hay que ir corrigiendo el período del potencial aplicado entre las Ds, a medida que la m varía.

r2mB2q2

21

v2m21K

mqBrv;

qBmvr

==

==

• La cámara de aceleración del primer ciclotrón tenía 5 pulgadas de diámetro y permitió acelerar iones de hidrógeno (protones) hasta una energía de 80,000 electron voltios(eV).

• 27-pulgadas 5 MeV. • 1936, 37-pulgadas acelera deuterones hasta 8 MeV y partículas alpha hasta 16 MeV, se utilizó para crear

radioisótopos y el primer elemento artificial: technetium. • 1939, 60-pulgadas, sus imanes pesaban 220 Tm. • 1939- premio Nobel (Ernest Lawrence), 184 pulgadas, imanes de 4000Tm, hasta 100 MeV. Para albergar

semejante máquina se construyó un edificio de 48 m de diámetro. Hoy en día alberga la fuente avanzada de luz (sincrotrón).

Esquema de un laboratorio sincrotrón. Una partícula cargada al cambiarsu trayectoria emite radiación electromagnética, a elevadas velocidadesemite Rayos X

Efecto Hall

Cuando un conductor por el que circula una corrienteestá en presencia de un campo magnético, este actúa sobre las cargas libres, que se desvían y generan un potencial eléctrico transversal, tensión Hall, VH, que actúa sobrelas cargas neutralizando la fuerza magnética sobre ellas.

qvB=qEH, vB =VH/w VH=vBw

Mediante la medida del voltaje Hall, se pueden determinar el signo de la carga de los portadores,la concentración de los mismos, n, y su movilidad, µ ( velocidad por unidad de campo eléctrico).

I=qvnA; A=wd, sección transversal del conductor; q es la carga

H

I I IBnqvA qvwd dqV

= = =

El efecto Hall es la base de las sondas de medida del campo magnético:

H

IBndqV =

;

H

v I nq EAE

wBEV

µ µ

µ

= =

=

• Fuentes del campo magnético

Una carga puntual en movimiento genera un campo magnético en el punto P:

(1)

µo=4πx10-7 Tm/A=4πx10-7NA-2 permeabilidad magnética del espacio libre

ur vector unitario en la dirección de r, vector que une q y P.

Puesto que una carga en movimiento genera un campo campo magnético, una corriente debe tambien generar un campo magnético.

Generalizando la ec. 1, podemos poner que el campo magnético generado por un elemento de corriente, Idl, en un punto del espacio cuyo vector posición con respecto a dl es r, viene dado por:

r02

μ q4π r

×=

v uB

02

μ4π

Iddr×

= rl uB Ley de Biot y Savart

La ley de Biot-Savart es equivalente a la ley de Coulomb que describe el campo eléctrico, el campo magnético es tambiénproporcional a 1/r2, como el campo eléctrico, pero direccionalmente no es radial.

Experimento de Oersted

Dipolo magnético

Un dipolo eléctrico eran dos cargas iguales y opuestas situadas a una cierta distanciadando la distribución de campo eléctrico de la figura.

Podemos pensar en un dipolo magnético como dos polos, norte y sur dispuestosde manera similar. El dipolo magnético lo llamamos m.

¿ Cómo se consigue esa distribución de campo magnético?La respuesta es mediante una espira de corriente.

Al igual que el dipolo eléctrico un dipolo magnético es una magnitud vectorial, que deberesponder a un campo magnético orientándose en la dirección del campo

• Interacción campo magnético/dipolo magnético. Momento de la fuerza magnética sobre una espira.

• Las fuerzas que actúan sobre una espira por la que circula una corriente Ien presencia de un campo magnético están representadas en la Fig.

dF=IdlxB; F1=F2=IaB

la fuerza neta es nula, pero forman un par de fuerzascuyo momento es:

τ=F2bsenθ=IaBbsenθ= IAB senθ

Este momento tiende a girar la espira situando n paralelo a B.

Podemos expresar el momento como:τ=mxBDonde m=IAn, es el momento dipolar magnético de una espira.Si tuviéramos N espiras enrolladas:

m=NIAn

• Campo magnético debido a una espira

R20 Idlsenπ4

dBμ ϑ

=

RIR

RIdl

RI

RIdlB

22

4440

20

20

20 µπ

πµ

πµ

πµ

==== ∫∫

En el centro de la espira

En un punto del eje

( )

( ) ( ) ( )

( )

RImzm

zRI

zRI

Bz

RzRz

RI

RRz

IRdlRz

IR

Rz

IRdlBzdBz

Rz

IRdl

zR

RRz

IdldBsenBzd

RzIdl

rxdI

d

2

33

2

3

2

23

2

232323

2322 2

2 22

24

024

0240

2 220

22 24

02 24

02 24

0

2 240

240

40

40

ππ

µππ

µµ

µ

ππ

µπ

µπ

µ

πµ

πµ

ϑ

πµ

πµ

=

===

>>+

=

=+

=+

=+

==

+=

++==

+==

∫∫∫

ulB r

02

μ4π

Iddr×

= rl uB

Momento dipolar magnético

Campo magnético debido a un solenoide

Campo magnético debido a un solenoide con n espiras por unidad de longitud

( )

( ) ( )

2

3 2

2 2

3 2 3 2

02 22

' '0 02 22 22 2( ') ( ')

z

I RBzRz

di nIdzR Rd BR Rz z z z

µ

µ µ

=

+

= =

+ +− −

( )

2

2

1

1

2 23 2

1 2

1 2

1 ' 1 '0 02 2 22 22 2( ')( ')

102 2 22 2( ) ( )

1z

z dz z znI nIB R RzRz z zRz z R z

z zz znI

R Rz zz z

µ µ

µ

−= = =

−+−

− −

− + +− −

∫ +

Bz=µ0nI

z

Cuando el solenoide es muy largo L>> , z1, z2>>El primer término del paréntesis tiende a 1,y el segundo a -1

Campo magnéticocreado por una espira

Campo magnéticocreado por

dos espiras

Campo debido a una espira en un punto z del eje

Campo magnético debido a una corriente rectilínea

0 0 02 2 2

( ) cos4 4 4

Idx Idx IdxdB senr r r

µ µ µϕ ϑπ π π

×= = =x ru u

ϑϑϑϑ

ϑ

dRrd

RrRdRdx

Rtgx2

2

22sec ===

=

2 2

1 1

0 0 02 12

cos cos ( )4 4 4

x

x

Idx I IB d sen senR Rr

ϑ

ϑ

µ µ µϑ ϑ ϑ ϑ ϑπ π π

= = = −∫ ∫

Cuando el conductor rectilíneo es muy largo: θ1= -π/2 y θ2=π/2

Este resultado permite calcular los campos magnéticos creados por espiras cuadradas ó rectangulares

RIB 2

40

πµ

=

Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes I1 e I2

RII

ldFd 210

2

12

2πµ

=

BlF 12212 ×= dId

RIldIBldIdIFd

πµ2

102212212212 ==×= Bl

El conductor rectilíno 1 crea un campo magnético, B1, que actúa sobre el conductorrectilíneo 2. Resultando la fuerza:

La fuerza por unidad de longitud del conductor 2 es:

En general podemos escribir que la fuerza entre dos corrientes es:

FF 2112 dd −=

∫ ∫××

=1 2

211220

12)(

4 ρπµ ρull

FdIdI dl1

z1

O

dl2

z2

ρ

r

R

Fuerzas entre conductores

Ley de Ampère

O

r1r2

ρ

I1 I2

Leyes de Gaus y Ampère del magnetismo

Las líneas de campo de los campos eléctricos y magnéticos son muy diferentes. Las líneas delcampo eléctrico son abiertas, mientras las del campo magnético son cerradas. Esto tiene una influencia determinante en el flujo de ambos campos a través de una superficie cerrada.

En el caso del campo magnético, las líneas entran y salen de dicha superficie,por consiguiente el flujo a través de ella es nulo.

0=•=Φ ∫S

mneto dSB

Id cc∫ =• µ0lB

Ley de Gauss del magnetismo

Ley de Gauss del campo eléctrico

Ley circuital de Ampère

φ−∇=⇒=•∫ ElEc

d 0

C es cualquier curva cerrada

El campo eléctrico es conservativo

La inducción magnética

El flujo magnético a través de una superficie se define como:

Faraday y Henry, observaron que la variación temporal del flujo magnético a través de una espirainducía una corriente eléctrica en dicha espira. Es decir que una variación de flujo magnético a través de la

espira equivale a una f.e.m.. Este fenómeno se conoce como inducción magnética.

Ley de Faraday

dtd mΦ−=ε

Unidad de flujo magnético:1Weber=1Tesla.m2

dtdd m

Cnc

Φ−=•= ∫ lEεLey de Lenz: la corriente inducida tiende aoponerse a la variación que la produjo. Es decir esa corriente genera un campo magnético que restituye el flujo original

Los generadores de electricidad y los motores eléctricos son consecuencia de la inducción magnética

nmS S S

d dA dAB= • = • =Φ ∫ ∫ ∫B A B n

En presencia de un campo magnético variable con el tiempo,el camp eléctrico generado es no conservativo

Generador de corriente alternaUna bobina girando en un campo magnético genera una f.e.m. sinusoidal. La bobina se hace girar mediante otro tipo de energía:e.g. mecánica

Motor eléctrico

Una corriente alterna a través de la bobina la hace giraralrededor de su eje.

NBA

tsentNBAsendt

d

ftNBAtNBA

t

NBA

m

m

mm

m

ω

ωωω

πω

ωϑ

ϑ

εε

φε

φφ

φ

=

==−=

===

=

=

max

2coscos

cos

La inductancia

Cuando una corriente circula por una bobina induce un campo magnético, B. El flujo magnético a travésde la bobina es proporcional a I, el factor de proporcionalidad es lo que se conoce como autoinducción de la bobina:

Φm=LI

L se expresa en Henry, 1 Henry=1 W/1amp=Tm2/A

En el caso de un solenoide la autoinducción se expresa como:

220

0 0

20

m

m

m

IANNBA N nIA IAlnl

L AlnI

d dILdt dt

µµ µ

µ

ε

= = = =Φ

Φ= =

Φ= − = −

y la ley de Faraday toma la forma

Inductancia mutua

Es la inductancia que un circuito induce sobre otro próximo a él.

El campo magnético en el circuito 2 es el debido a I2 y el debido a I1,el debido a I2 ya lo conocemos.

El debido a I1 depende de cómo estén dispuestoslos circuitos y de su forma, en cualquier caso es proporcional a I1,siendo el factor de proporcionalidad la inductancia mutua.

El flujo magnético a través de 2 debido al campo generado por 1se expresa como:

Φm12=M12I1Igualmente:

Φm21=M21I2

Al coeficiente M se le llama coeficiente de inductancia mutua

Energía magnética

Como se recordará los condensadores almacenaban energía eléctrica. Las bobinas ( inducciones), a su vez, almacenanenergía magnética.

Vamos a considerar un circuito sencillo formado por una resistencia, una inducción, y una f.e.m.,además hay un interruptor, S.

Inicialmente no circula corriente; entonces se cierra el interruptor y pasa una corriente I por el circuito.

Se produce una caída de potencial IR en la resistencia, y una caída de potencial en L, que será iguala la fuerza electromotriz inducida por el paso de la corriente.

Potencia suministradapor la f.e.m.

020 =−−

dtdILIRIIε

Potencia disipadaen la resistencia

Potencia en la inducción

ILU

CILULIdIUddtdILI

dtUd

m

mmm

2

2

21

21;;

=

+=⇒=⇒=

Energía almacenada en la inducción

En el caso de un solenoide

B=µ0nI, L=µ0n2Al

2

02

0

2

2

m

m

B AlU

Bu

µ

µ

=

=

Energía magnética almacenada

Densidad de energía magnética

Cocina de inducción

Tomás Pollán

El magnetismo en la materiaMomento dipolar magnético de un electrón en su órbita

Momento dipolar magnétivo de spin

Magnetización

Acorde a la respuesta frente a un campo magnético, podemos clasificar la materia en:

Diamagnética

Paramagnética

Ferromagnética

Diamagnetismo

No hay dipolos se inducen dipolos

χm suceptibilidad magnética ( adimensional)

µ=µ0(1+χm) permeabilidad magnética de un medio material

χm <0

Paramagnetismoχm >0

Levitación magnética

Ferromagnetismo

Ciclo de histéresis

La relación entre M y Bap no es lineal

Grabación

Lectura

Memoria magnética

Tren Maglev