Tema 3. Electromagnetismo*Fuerza magnética sobre cargas y corrientes.Aplicaciones: -Botella magnética-Espira-Efecto Hall-Selector de velocidades-Ciclotrón-Relación e/m*Campo magnético creado por corrientes. Ley de Biot-Savart. Aplicaciones:-Conductor rectilíneo-Espira,-Fuerza entre conductores paralelos (definición de amperio)-Solenoide*Ley de Ampère. Aplicaciones: -Cilindro-Solenoide-Plano infinito cargado*Inducción magnética. Leyes de Faraday y Lenz.Aplicaciones:- f.e.m. debida al movimiento, -Corrientes de Foucault*Inductancia.*Energía magnética

• El magnetismo se conoce desde la antigúedad, pues existe un mineral llamado magnetita (óxido ferroso-férrico, Fe3O4) que constituye un imán permanente.

• En 1269, Pierre de Maricourt observó que una aguja sobre un imán permanente se alinea a lo largo de determinadas líneas, las cuales convergen en dos puntos del imán, llamados polos.

• En 1600 Gilbert descubrió que la tierra era un imán natural.

• A diferencia de las cargas eléctricas, las cargas negativas y positivas pueden aparecer independientemente, los imanes siempre presentan los dos polos

• Campo magnético es una propiedad del espacio en torno a un imán.Ese campo se manifiesta porque ejerce una fuerza sobre una carga eléctrica en movimiento. El efecto del campo es la fuerza magnética, posteriormente nos centraremos en las causas ( fuentes)

del campo magnético.* Fuerza sobre una carga puntual

F=q vxB

El campo magnético se mide en Teslas, T.N=culb.m/s.TT=N/A.mEl campo magnético terrestre es 10-4 T= 1 gauss

• Fuerza sobre un conductor rectilíneoSea un conductor cilíndrico por el que circula una corriente I. Al haber cargas en movimiento el campo

magnético actúa sobre ellas, siendo la fuerza resultante la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada una de las cargas:

F=q vxB (nAL)

n concentración volúmica de cargaA sección, L longitud

La corriente que circula por el conductor es:

I=qvnA F=I LxB Fuerza debida al campo magnético, que actúa sobre un conductor rectlíneo de longitud L por el que circula una corriente I

Cuando el conductor tiene una geometría arbitrariase utiliza la fuerza sobre un elemento de dicho conductor

dF=IdlxB

Fuerza debida al campo magnético, que actúa sobre un elemento de corriente dl

Las líneas de campo magnético son perpendiculares a la fuerza magnética.Las líneas de campo entran por el polo sur y salen por el polo norte

• Movimiento de una carga puntual en un campo magnético.Una partícula cargada en movimiento en un campo magnético se ve sometida a una fuerza, y por

consiguiente describe una trayectoria acorde a esa fuerza, para ello resolvemos la ecuación del movimiento:

F=ma, qvB=mv2/r, describe una trayectoria circular en el plano perpendicular a B,

frecuencia ciclotrón

Cuando la partícula cargada se mueve en un plano que no es perpendicular a B, hay que resolver las distintas componentes. En concreto la componente paralela a B no sufre ninguna fuerza, mientras que la componente perpendicular a B sufrirá una fuerza como la estudiada anteriormente de modo que la trayectoria de la partícula es una espiral con el eje en la dirección de B

qBmvr

mqB

TqBm

vrT

2;22

Trayectoria de los electrones enuna cámara de niebla

• Movimiento en campos magnéticos no uniformes (Confinamiento magnético)

• Cinturones de Van Allen

El campo es débil en el centro y más intenso en los extremos,como consecuencia de ello, la partícula cargada describe unatrayectoria, que son espirales de ida y vuelta, de forma quelas partículas cargadas quedan espacialmente confinadas

Estos cinturones de radiación se originan debido al intenso campo magnético de la tierra, que atrapa las partículas cargadas (plasma) proveniente del sol (viento solar). Dado que el campo magnético aumenta cerca de los polos de la Tierra, las partículas se mueven de un lado a otro en recorridos helicoidales entre los polos norte y sur de la Tierra.

• Selector de velocidades

En presencia de un campo eléctrico y otro magnético:

F=qE+qvxB

Se pueden disponer los campos de forma que las dos fuerzas se cancelen entre sí:

qE=qvB

predomina la fuerza eléctrica

predomina la fuerza magnética

BEv

Las partículas que lleven esta velocidad, independientemente de su masa ó carga, atravesaránel sistema sin desviarse, lo que significa que mediante el uso de campos eléctricos y magnéticosadecuados se puede hacer un filtro de partículas por su velocidad ( selector de velocidades)

BEv

BEv

BEv

Experimento de Thomson

Thomson demostró que los rayos catódicos se desviaban mediante campos eléctricos y magnéticos, y por consiguiente estaban constituidos por partículas cargadas.

Además demostró, que todas las partículas constituyentes tenían la misma relación carga/masa, y eran iguales para cualquier cátodo, por lo que debíanser un constituyente fundamental de la materia.

Los rayos catódicos se generan en el cátodo y son acelerados por elpotencial negativo entre C y A. La velocidad de las partículas seajusta mediante un campo magnético B, ajustado para que laspartículas no se desvíen, una vez seleccionada la velocidad, v0,se elimina el campo magnético. Se observa el destello en la pantallay se mide la desviación.

vx

vxEtvy

vxEtay

vxEtEtav

mq

mq

mq

mq

yy

yy

yyyy

0

2

0

122

0

2

1

2

1

0

111

1

21

21

xxvExv

Eyym

q

m

q yy212

0

2

12

021 21

xxvExv

Eyyyy

m

mq

212

0

2

12

0

21

21

Espectrómetro de masas (F.W.Aston-1919)

Permite medir las masas de los isótopos.Un campo eléctrico acelera los iones producidos en la fuente de iones. Estos llegan acelerados al campo magnéticodonde se desvían y describen una trayectoria circular, y son detectados en la pantalla.

Las ecuaciones que rigen el movimiento de los iones son:

El radio depende de la relación masa/carga

qBmvr

Vqmv

221

Vqm rB

2

22

Ciclotrón (E.O.Lawrence, M.S.Livingston-1934)

Las partículas cargadas se mueven en el interior de dos recipientesmetálicos con forma de D. sometidos a un campo magnético.

Entre las dos Ds se mantiene un potencial electrostático, cuyosigno se alterna con un período igual al período ciclotrón:

T= 2m/qB

Este potencial crea uin campo eléctrico entre las Ds que acelera las partículas. En el interior de las Ds el blindaje metálico apantalla el campo eléctrico, y por consiguienteno hay campo eléctrico.

Las partículas se generan en una fuente de iones S, cerca del centro del espacio entre las Dsse mueve describiendo una semicircunferencia en D1 y llega al espacio entre las Ds en un tiempo T/2, al llegarahí el campo eléctrico la acelera hasta la otra D, D2, ganando una energía cinética q|V|. Al llegar a la otra D describeuna semicircunferencia de radio mayor como consecuencia de la mayor velocidad. El périodo se mantiene, pues nodepende de la velocidad, ni del radio. Cada vez que la partícula llega al hueco aumenta su energía en q|V|, ypor consiguiente el radio de la trayectoria.

La energía se puede calcular a partir del radio de las Ds, r.

Se producen alrededor de 100 vueltas, y se consiguen energías de hasta varios centenares de MeV. Cuando las energíasse hacen muy altas, en el límite relativista la masa varía, por consiguiente el período emoieza a depender de la velocidad, hay que ir corrigiendo el período del potencial aplicado entre las Ds, a medida que la m varía.

r2mB2q2

21

v2m21K

mqBrv;

qBmvr

• La cámara de aceleración del primer ciclotrón tenía 5 pulgadas de diámetro y permitió acelerar iones de hidrógeno (protones) hasta una energía de 80,000 electron voltios(eV).

• 27-pulgadas 5 MeV. • 1936, 37-pulgadas acelera deuterones hasta 8 MeV y partículas alpha hasta 16 MeV, se utilizó para crear

radioisótopos y el primer elemento artificial: technetium. • 1939, 60-pulgadas, sus imanes pesaban 220 Tm. • 1939- premio Nobel, 184 pulgadas, imanes de 4000Tm, hasta 100 MeV. Para albergar semejante máquina

se construyó un edificio de 48 m de diámetro. Hoy en día alberga la fuente avanzada de luz (sincrotrón).

Efecto Hall

Cuando un conductor por el que circula una corrienteestá en presencia de un campo magnético, este actúa sobre las cargas libres, que se desvían y generan un potencial eléctrico transversal, tensión Hall, VH, que actúa sobrelas cargas neutralizando la fuerza magnética sobre ellas.

qvB=qEH, vB =VH/w VH=vBw

Mediante la medida del voltaje Hall, se pueden determinar el signo de la carga de los portadores,la concentración de los mismos, n, y su movilidad, ( velocidad por unidad de campo eléctrico).

I=qvnA; A=wt, sección transversal del conductor; q es la carga del electrón

V HtqIB

qvwtI

qvAIn

El efecto Hall es la base de las sondas de medida del campo magnético:

ntqIBV H

wBE

EAnqI

V H

• Momento de la fuerza magnética sobre una espira

Las fuerzas que actúan sobre una espira por la que circula una corrienteen presencia de un campo magnético están representadas en la Fig.

F1=F2=IaB

la fuerza neta es nula, pero forman un par de fuerzascuyo momento es:

=F2bsenIaBbsenIAB sen

A=axb, área de la espiraEste momento tiende a girar la espira situando n paralelo a B.

Podemos expresar el momento como:=mxBDonde m=IAn, se conoce como momento dipolar magnético de una espira.Si tuviéramos N espiras enrolladas:

m=NIAn

• Fuentes del campo magnético

Una carga puntual en movimiento genera un campo magnético en el punto P:

(1)

o=4x10-7 Tm/A=4x10-7NA-2 permeabilidad magnética del espacio libre

ur vector unitario en la dirección de r, vector que une q y P.

Puesto que una carga en movimiento genera un campo campomagnético, una corriente debe tambien generar un campo magnético.

Generalizando la ec. 1, podemos poner que el campo magnético generado por un elemento de corriente, Idl, en un punto del espacio cuyo vector posición con respecto a dl es r, viene dado por:

r02

μ q4π r

v uB

02

μ4πIddr

rl uB Ley de Biot y Savart

La ley de Biot-Savart es equivalente a la ley de Coulomb que describe el campo eléctrico, el campo magnético es tambiénproporcional a 1/r2, como el campo eléctrico, pero direccionalmente no es radial.

• Campo magnético debido a una espira

R20 Idlsenπ4

dBμ

RIR

RIdl

RI

RIdlB

22

4440

20

20

20

En el centro de la espira

En un punto del eje

22 2

2 3 22 2

3 2 3 2 3 2

2

3 2

22

3 3 3

2

0 04 4

0 04 42 22

0 0 0 24 4 42 2 22 2 2

02 22

2220 0 04 4 4

I d x IdldRr z

Idl R IRdld dBsenBz Rz R z Rz

IRdl IR IRd dl RB Bz zR R Rz z z

I R

Rz

z R

I I mRRBz z z zm I momento dR

rl uB

ipolar magnético

Campo magnético debido a un solenoide

Campo magnético debido a un solenoide con n espiras por unidad de longitud

2

3 22

2

3 222

2

3 2

02 2

'02

'02 22( ')

z

z

I RBzR

diRdBR

nIdzR

Rz z

z

Rzz

zz

Rzz

zznI

z

z

RnIz

z Rzz

dzRnIBz

Rzz

zzR

)( 2 2)( 2 202

1

2 22021

)'( 2 2'

021

2

2

1

1

223

2

)'(

'12

1

2

1

L>>, z1, z2 >> Bz=0nI

Campo debido a una espira en un punto z con respecto a la fuente

z

Dentro del solenoide ylejos de los extremos

-cos1 + cos2)

z1 z z2

1 2

Campo magnético debido a una corriente rectilínea

cos

44)(

4 20

20

20

rIdxsen

rIdx

r

IdxdB

uu rx

dRrd

RrRdRdx

Rtgx2

2

22sec

2 2

1 1

0 0 02 12

cos cos ( )4 4 4

x

x

Idx I IB d sen senR Rr

Cuando el conductor rectilíneo es muy largo: 1= -/2 y 2=/2

Este resultado permite calcular los campos magnéticos creados por espiras cuadradas ó rectangulares, descomponiéndolas en segmentos.

RIB 2

40

El campo describe una trayectoria circular en torno a la corriente

Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos paralelos por los que circulan corrientes I1 e I2

RII

ldFd 210

2

12

2

BlF 12212 dId

RIldIBldIdIFd

2

102212212212 Bl

El conductor rectilíno 1 crea un campo magnético, B1, que actúa sobre el conductorrectilíneo 2. Resultando la fuerza:

La fuerza por unidad de longitud del conductor 2 es:

En general podemos escribir que la fuerza entre dos corrientes es:

FF 2112 dd

1 2

211220

12)(

4 ull

FdIdI

dl1

z1

O

dl2

z2

r

R

Fuerzas entre conductores

Ley de Ampère

Leyes de Gaus y Ampère del magnetismo

Las líneas de campo de los campos eléctricos y magnéticos son muy diferentes. Las líneas delcampo eléctrico son abiertas, mientras las del campo magnético son cerradas. Esto tiene una influencia determinante en el flujo de ambos campos a través de una superficie cerrada.

En el caso del campo magnético, las líneas entran y salen de dicha superficie,por consiguiente el flujo a través de ella es nulo.

0Qd i

Seneto SE

0 S

mneto dSB

Id cc 0lB

Ley de Gauss del magnetismo

Ley de Gauss de la electrostática

Ley de Ampère

ElEc

d 0

C es cualquier curva cerrada

E es conservativo

La inducción magnética

El flujo magnético a través de una superficie se define como:

Faraday y Henry, observaron que la variación temporal del flujo magnético a través de una espirainducía una corriente eléctrica en dicha espira. Es decir que una variación de flujo magnético a través de la

espira equivale a una f.e.m.. Este fenómeno se conoce como inducción magnética.

Ley de Faraday

dtd m Unidad de flujo magnético:1Weber=1Tesla.m2

dtdd m

Cnc

lELey de Lenz: la corriente inducida tiende aoponerse a la variación que la produjo.

Es decir esa corriente genera un campo magnético que restituye el flujo original

Los generadores de electricidad y los motores eléctricos son consecuencia de la inducción magnética

nmS S S

d dA dAB B A B n

Generador de corriente alternaUna bobina girando en un campo magnético genera una f.e.m. sinusoidal. La bobina se hace girar mediante otro tipo de energía:

e.g. mecánica

Motor eléctricoUna corriente alterna a través de la bobina la hace giraralrededor de su eje.

NBA

tsentNBAsendt

d

ftNBAtNBA

t

NBA

m

m

mm

m

max

2coscos

cos

La inductancia

Cuando una corriente circula por una bobina induce un campo magnético, B. El flujo magnético a travésde la bobina es proporcional a I, el factor de proporcionalidad es lo que se conoce como autoinducción de la bobina:

m=LI

L se expresa en Henry, 1 Henry=1 W/1amp=Tm2/A

En el caso de un solenoide la autoinducción se expresa como:

220

0 0

20

m

m

m

IANNBA N nIA IAlnl

L AlnI

d dILdt dt

y la ley de Faraday toma la forma

Inductancia mutua

Es la inductancia que un circuito induce sobre otro próximo a él.

El campo magnético en el circuito 2 es el debido a I2 y el debido a I1,el debido a I2 ya lo conocemos.

El debido a I1 depende de cómo estén dispuestoslos circuitos y de su forma, en cualquier caso esproporcional a I1, siendo el factor de proporcionalidad la inductancia mutua.

El flujo magnético a través de 2 debido al campo generado por 1se expresa como:

m12=M12I1Igualmente:

m21=M21I2

Energía magnética

Como se recordará los condensadores almacenaban energía eléctrica. Los inductores, a su vez, almacenanenergía magnética.

Vamos a considerar un circuito sencillo formado por una resistencia, una inducción, y una f.e.m.,además hay un interruptor, S.

Inicialmente no circula corriente; entonces se cierra el interruptor y pasa una corriente I por el circuito.

Se produce una caída de potencial IR en la resistencia, y una caída de potencial en L, que será iguala la fuerza electromotriz inducida por el paso de la corriente.

Potencia suministradapor la f.e.m.

020

dtdILIRIIε

Potencia disipadaen la resistencia

Potencia en la inducción

ILU

CILULIdIUddtdILI

dtUd

m

mmm

2

2

21

21;;

Energía almacenada en la inducción

En el caso de un solenoide

B=0nI, L=0n2Al

2

02

0

2

2

m

m

B AlU

Bu

Energía magnética almacenada

Densidad de energía magnética

El magnetismo en la materiaMomento dipolar magnético de un electrón en su órbita

Momento dipolar magnétivo de spin

Magnetización

Acorde a la respuesta frente a un campo magnético, podemos clasificarm la materia en:

DiamagnéticaParamagnética

Ferromagnética

Diamagnetismo

No hay dipolos se inducen dipolos

m suceptibilidad magnética ( adimensional)

=0(1+m) permeabilidad magnética de un medio material

m <0

Paramagnetismom >0

Ferromagnetismo

Ciclo de histéresis

La relación entre M y Bap no es lineal

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