tema 1: vectores · halla las coordenadas de los vectores a &, b & y c & en esa base....

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

TEMA 1: VECTORES

ÍNDICE:

1. Introducción

2. Definiciones

3. Operaciones con vectores

4. Combinación lineal de vectores. Bases

5. Coordenadas de un vector. Operaciones

6. Sistema de referencia euclídeo

7. Producto escalar de vectores. Ángulo entre vectores


2


1. INTRODUCCIÓN


3



4



5



6


EJEMPLO:


7



8


2. DEFINICIONES

El conjunto de todos los vectores libres del plano se representa por .2V


9


Ejemplos:

a) ¿Cuántos vectores fijos y cuántos vectores libres distintos determinan los cuatro vértices de un

cuadrado ABCD?.

b) Sea ABCD un cuadrado, N el punto medio de AD y O el centro del cuadrado. Considera los

pares de vectores: NA

y CB

, NA

y ON

, OA

y AC

, NA

y DC

. En cada par, indica si los

vectores tienen o no la misma dirección, sentido o módulo.


10


3. OPERACIONES CON VECTORES

a) Suma y resta de vectores

Caso particular: suma y resta de vectores con la misma dirección


11


Propiedades de la suma:

a) Asociativa: wvu

,, 2V , wvuwvu

.

b) Conmutativa: vu

, 2V , uvvu

.

c) Elemento neutro: u

2V , O

2V / uOOu

.

d) Elemento opuesto: u

2V , )( u

2V / Ouu

)( .

Con estas propiedades, decimos que ,2V es un grupo conmutativo

b) Producto de un número por un vector


12


Propiedades del producto de un número por un vector.

a) vu

, 2V , k R , se tiene vkukvuk

b) u

2V , kk , R , se tiene ukukukk

c) u

2V , kk , R , se tiene ukkukk

d) u

2V , uu

1

Con estas propiedades tenemos, ,,2V es un espacio vectorial

Ejemplos:

I. Sea ABC un triángulo equilátero, u

y v

los vectores libres representados, respectivamente,

por BA

y CA

. Representa gráficamente los vectores:

a) vu

b) vu

c) v

2 d) u

2

1 e) vu

32

II. Simplificar la expresión aba

5532 , indicando claramente qué propiedades del cálculo

con vectores se utilizan.

III. Demuestra que si awv

y bwv

, entonces bav

2

1

2

1 y .

2

1

2

1baw


13


Ejercicios:

1.

2.

3.


14


4.

5.


15


4. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES. BASES.

¿Cómo expresar un vector como combinación lineal de otros dos?


16


Propiedades

a) El vector nulo O

es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores.

zyxO 0........00

b) Si un vector es combinación lineal de los vectores zyx

,......,, , entonces también es

combinación lineal de ellos junto con otro vector cualquiera w

.

zcybxap

......... wzcybxap 0.........

Definiciones

a) Diremos que un conjunto de vectores zyx

,......,, son linealmente independientes si al

poner el vector nulo O

como combinación lineal de ellos, los números correspondientes

han de ser todos a la fuerza nulos.

zcybxaO

......... 0..... cba

b) En caso contrario, diremos que son linealmente dependientes.

yx

2 Oyx

2 x

e y

linealmente dependientes

Proposición

Si un conjunto de vectores son linealmente dependientes, entonces al menos alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Ejemplo:


17


Definiciones

a) Un conjunto de vectores se dic que es un sistema generador si cualquier vector del plano

se puede poner como combinación lineal de ellos.

b) Se llama base de un espacio vectorial a un conjunto de vectores que cumple lo siguiente:

- Son linealmente independientes.

- Forman un sistema generador.

yxB

, base de .2V

Proposición

Dos vectores x

e y

no nulos con distinta dirección forman una base de .2V

Teorema

Todas las bases de un espacio vectorial están formadas por el mismo número de vectores.

A dicho número se le llama dimensión del espacio vectorial.

2)dim( 2 V

3)dim( 3 V

Definiciones

Diremos que una base es base ortogonal cuando los vectores que la forman son

perpendiculares.

Diremos que una base es base ortonormal cuando los vectores que la forman son

perpendiculares y, además, son unitarios (su módulo vale 1).


18


Ejercicios:

1. Los vectores wvu

,, y z

cumplen Ozwvu

5032 . Demostrar que u

depende de

zwv

,, . ¿Puede decirse lo mismo de w

con respecto a ?,, zvu

.

2. Sean wux

2 , wv

4 . Expresa w

como combinación lineal de u

y v

. Idem con x

.

3.

4. Observa los siguientes vectores:

a) ¿Son dependientes w

y v

? ¿Forman

base?

b) ¿Son dependientes u

y v

? ¿Forman

base?.

c) ¿Y u

y ?z

d) ¿Es w

combinación lineal de u

y v

?

e) ¿Es w

combinación lineal de u

y z

?

f) Demuestra que z

no puede ser

combinación lineal de w

y v

.

g) Demuestra que z

es combinación lineal

de u

y v

, hallando dicha combinación y,

a partir de ella, expresa u

como c.l. de v

y z

, y v

como c.l. de u

y z

.

h) Indica dos bases distintas que se podrían formar con esos vectores.


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5. COORDENADAS DE UN VECTOR. OPERACIONES

Sea yxB

, una base de 2V y sea ybxav

.

A los números a y b se les llama coordenadas del vector v

en la base B , y se

representa bav ,

o bien bav ,

.

Las coordenadas de un vector en una cierta base son únicas.

Coordenadas del vector nulo y el vector opuesto


20


Operaciones con coordenadas

Como consecuencia de estos resultados, será muy cómodo trabajar con los vectores a partir de sus coordenadas.

Ejemplos resueltos:

1.

2.


21


Un mismo vector tiene diferentes coordenadas según se refiera a una base u otra.

Realmente, cuando hablamos de las coordenadas de un vector cualquiera, sin darnos cuenta, estamos expresando ese vector respecto a la base canónica {(1, 0), (0, 1)}, que es la que utilizamos habitualmente. Ejemplo:

(4, -2) = 4·(1, 0) –2·(0, 1)

Ejercicios:

1.

2. Los vectores u

y v

de la figura adjunta constituyen una base de 2V . ¿Por qué?

Halla las coordenadas de los vectores a

, b

y c

en esa base.

3.

Determínense las coordenadas de los vectores x

e y

, solución del sistema

byx

ayx

252

323

sabiendo que )3,1(a

y ).0,3(b

Proposición

Los vectores 21, xxx

e 21, yyy

vienen dados por sus componentes en una base de 2V .

Sea yxB

, . Entonces:

B es base de 2V 1221 yxyx


22


Proposición

a) x

e y

forman una base de 2V x

e y

son linealmente independientes.

b) x

, y

y z

forman una base de 3V x

, y

y z

son linealmente independientes.

Es decir, en un espacio vectorial de dimensión “n”, cualquier conjunto de “n” vectores linealmente independientes forman base. No hace falta ver que constituye sistema generador. Proposición

a) En cualquier espacio vectorial, si un conjunto de vectores es un sistema generador, entonces si a ese conjunto de vectores se le añade un vector, el conjunto de vectores resultante también es un sistema generador.

b) En cualquier espacio vectorial, si un conjunto de vectores es linealmente independiente, entonces si a ese conjunto de vectores se le quita un vector, el conjunto de vectores resultante también es linealmente independiente.

Ejercicios:

1.

2.


23


3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. En

2V se consideran los vectores 1,1a

y 1,2b

, que forman base .B Sean los

vectores bau

, bav

. Demuestra que vuB

,´ es una base. ¿Qué

componentes tiene en la base B el vector ?32 vux

¿Y en ´B el vector bay

34 ?

10. Justifica que )3,2(),2,1(B es una base de

2V . Calcula las componentes del vector

)4.0( respecto de la base dada.

11. Sean 21,uuB

y 21,´ vvB

dos bases de 2V , donde 211 23 vvu

, 212 2vvu

.

a) ¿Cuáles son las componentes en ´B del vector cuyas componentes en B son )7,2

5( ?

b) ¿Y las componentes en B del vector cuyas componentes en ´B son )5,3( ?.

12. Justifica que )1,1,3(),0,2,0(),0,0,1(B es base de 3V . Calcula las coordenadas del

vector 1,5,2x

respecto de la base dada.

13. Dados los vectores ),1,1,1(a

)1,1,1( b

y )1,1,1( c

de 3V .

a) ¿Forman base de 3V ?

b) ¿Existe una única terna de escalares , y tal que ?)3,1,2( cba

14. Sean los vectores )0,1,0(x

, )0,2,0(y

, )1,0,1( z

.

a) Demuestra que no forman base de 3V .

b) Sea )1,2,0( m

, ¿forman base m

, x

y z

?

c) ¿Y x

, y

, z

y m

?

d) ¿Es x

, y

, z

y m

un sistema generador?


24


6. SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO

Llamamos sistema de referencia euclideo a una terna jiOR

,; formada por:

- Un punto fijo, O, llamado origen.

- Una base jiB

, para los vectores.

Sea P un punto cualquiera del plano. A dicho punto le asignamos el vector POp

, que

llamaremos vector de posición del punto P .

Dicho vector tendrá unas coordenadas en la base jiB

, . Llamaremos coordenadas del

punto P a las coordenadas de su vector de posición en la base .B

2V 2R

P un punto cualquiera del plano

POp

jbia

),( baP


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COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO


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SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO

Entonces, P es el punto medio del segmento ´.AA

Ejercicios:

1. Hallar el simétrico, ´,A del punto )7,2(A respecto de ).3,2(P

2. Dados los puntos )4,7(M y )1,2(N , hallar un punto P en el segmento MN tal que la

distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a .N


27


CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS


28


Ejercicios

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. Sea ABC un triángulo y M el punto medio del lado BC.

a) Halla las coordenadas de un punto G, situado sobre la mediana AM, de modo que

su distancia a A sea 3

2de la longitud total de la mediana.

b) ¿Qué punto hubiéramos hallado imponiendo análogas condiciones a cada una de las otras dos medianas?

10. Un vector tiene componentes )7,5( y origen en el punto )3,3( A . Determine su

extremo.

11. Sea ABCD un paralelogramo. Halla D , sabiendo que )5,3( A , )4,5(B , )7,8( C .

Represéntalo.

12. El vector fijo BA

tiene la misma dirección que el vector fijo DC

, sus sentidos son

opuestos, y la longitud de DC

es tres veces la de BA

. Halla D , sabiendo que )2,3( A ,

)1,6(B y ).5,5(C


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13. Halla las coordenadas de los puntos que dividen AB en tres partes iguales, siendo

)7,3(A y )2,12( B . Comprueba gráficamente el resultado.

14. )2,3(M , )1,1( N , )2,4( P son los puntos medios de los lados de un triángulo. Halla

las coordenadas de sus vértices.

15. Del triángulo ABC conocemos el baricentro )2,7( G y dos de sus vértices )3,10(A y

)9,8( B . Halla las coordenadas del vértice C.

16. De un triángulo ABC se conoce el baricentro )1,3( G , el punto medio del lado AB,

)1,1(M , y el punto medio del lado AC, )5,2(N . Halla los vértices del triángulo.

17. ABCD es un paralelogramo del que conocemos tres de sus vértices )1,1(A ,

),1,2( B )2,3(C . Se pide:

a) Determinar D. b) Comprobar que los baricentros de los triángulos ABD y BCD dividen a la diagonal

AC en tres partes iguales.


30


7. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES. ÁNGULOS ENTRE VECTORES

Propiedad fundamental:

Signo del producto escalar

Propiedades del producto escalar


31


Interpretación geométrica del producto escalar El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero. Demostración:

De forma análoga se haría la proyección de a

sobre .b

Ángulo de dos vectores

El ángulo entre dos vectores a

y b

puede determinarse a partir del producto escalar:

ba

baba

,cos

Definición

Se llama módulo de un vector a

al número real positivo siguiente: aaa

En efecto, 22º0cos,cos aaaaaaaa

aaa

En consecuencia, el producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo.


32


Coordenadas de un vector ortogonal a otro:

¿Qué es normalizar un vector x

y cómo se hace?

Normalizar un vector x

consiste en encontrar un vector con la misma dirección y sentido que x

,

pero que sea unitario, es decir, que tenga módulo 1.

xx

u

1

Ejemplos:


33


Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales

Demostración Módulo de un vector en una base ortonormal

Geométricamente,


34


Ángulo de dos vectores en una base ortonormal

Ejemplo:

Dados los vectores 1,5 a

y 6,2b

referidos a una base ortonormal. Se pide:

a) Módulo de a

y b

.

b) ba y ab

.

c) Proyección de a

sobre b

.

d) Ángulo que forman a

y b

.

e) Vector unitario de a

.

f) Vector ortogonal a a

.

g) Vector unitario ortogonal a b

.

h) Vector opuesto a b

.

i) Vector paralelo a a

y de módulo 6.

j) Vector ortogonal a b

y de módulo 2.

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