tema 1 sistemas de ecuaciones. método de...

Tema 1 Sistemas de Ecuaciones. Método de Gauss

1. Transforma en escalonados y resuelve:

a) b)

62

2

43

zyx

zyx

zyz

83

4

6

zyx

zyx

zyx

a)

62

2

43

zyx

zyx

zyx

ª1

ª1

ª3

ª2

ª1

1043

622

43

zy

zy

zyx

2:

ª3

ª2

ª1

1043

3

43

zy

zy

zyx

ª2.3ª3

ª2

ª1

1

3

43

z

z

z

y

yx

13

2

4

3

1

zy

z

x

y

z

Solución: , , 1x 2y 1z

Para resolver los ejercicios de este tema, sólo tenemos que seguir los siguientes pasos:

1. Vamos a la pestaña ‘Operaciones’, y dentro de ella, a ‘Resolver sistema’ como vemos

marcado en la imagen:

Figura 1.

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II – Tema 1 .

2. Cuando hayamos pinchado en ‘Resolver sistema’, nos aparecerá la siguiente ventana, en la

que debemos indicar el número de ecuaciones que tiene nuestro sistema:

Figura 2.

3. En este caso, nuestro sistema tendrá 3 ecuaciones, así que lo indicamos, pinchamos en

aceptar, y obtenemos lo siguiente:

Figura 3.

4. Este será el esquema de nuestro sistema. Ahora sólo tendremos que rellenar los huecos como

queramos, pulsar el botón de igual y obtendremos nuestro resultado.

Ahora resolveremos el problema con Wiris: 1. Planteamos el sistema de ecuaciones, pulsamos el botón igual y obtenemos nuestro resultado:

2

Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato

Figura 4.

Enlace con el ejercicio resuelto en la web:

b)

83

4

6

zyx

zyx

zyx

ª1.3

ª1

ª3

ª2

ª1

1022

1022

6

zy

zy

zyx

)2(:ª2 ª1

(Podemos prescindir de la 3ª, pues es igual que la 2ª)

zy

zyx

5

6

156

5

6 zzy

zy

zx

Soluciones: ,1x ,5 y z

Ahora resolveremos el problema con Wiris:

1. Planteamos el sistema de ecuaciones, pulsamos el botón igual y obtenemos nuestro resultado:

3


Figura 5.

Wiris resuelve el ejercicio y expresa las soluciones en función de la variable z en lugar de landa,

pero hemos de tener en cuenta que tanto z como landa toman cualquier valor real, luego el

sistema tiene infinitas soluciones, se trata de un sistema de ecuaciones compatible

indeterminado.


2. Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss:

a) b) c)

222

423

2

zyx

zyx

zyx

55

232

1243

zyx

zyx

zyx

452

432

32

zyx

zyx

yx

a)

2

4

2

212

123

111

222

423

2

zyx

zyx

zyx

ª1

ª1

.

.

2

3

ª3

ª2

ª1

6

2

2

430

450

111

4


5

3.ª25

)1(

.

.

ª3

ª2

ª1

12

25

423

242

245

2

24

2

2

8

4

1

zyx

zy

z

z

zy

zyx

00

50

11

Solución: ,1x ,2y 3z



Figura 6.


b)

55

232

1243

zyx

zyx

zyx

5

2

1

115

132

243

ª3.

ª3

2

ª3

ª2

ª1

5

3

9

115

027

027

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.




Figura 7.

No se obtiene solución con Wiris ya que se trata de un sistema de ecuaciones incompatible.


c)

452

432

32

zyx

zyx

yx

4

4

3

512

132

021

ª1

ª1

.

.

2

2

ª3

ª2

ª1

10

2

3

550

110

021

ª2.5ª3

ª2

ª1

0

2

3

000

110

021

yx

2

32

zy

yx

yz

2

23

Solución: ,23 x ,y 2z



Figura 8.

6





indeterminado.


3. Discute, en función del parámetro k, estos sistemas de ecuaciones:

a) b)

1

2

24

zykx

zyx

kyx

0

2

24

zykx

zyx

kyx

a)

zykx

zyx

kyx

1

2

24

1

2

11

111

024 k

k

ª2ª3

ª2

ª1

3

2

021

111

024 k

k

ª1ª3

ª2

ª1

k

k

k 3

2

003

111

024

Si ,3k queda:

24

3

4

23

234

2

324

2

0

2

000

111

024yy

xyx

yzx

yx

zyxk

24

5

4

252

4

232

yyy

yyxz

7


Sistema compatible indeterminado.

Soluciones:

4

5,2,

4

3zyx

Si ,3k es compatible determinado. Lo resolvemos:

)2()3(

24

2

kxk

kyx

zyx

13

3

k

kx

2

22

4

2

4 kkxky

2

122

212kk

yxz

Solución: 2

1,2

2,1k

zk

yx


1. Planteamos el sistema de ecuaciones, en este caso para k=3, pulsamos el botón igual y

obtenemos nuestro resultado:

Figura 9.

8




Figura 10.


b)

0

2

24

zykx

zyx

kyx

0

2

11

111

024 k

k

ª2ª3

ª2

ª1

2

2

021

111

024 k

k

ª1ª3

ª2

ª1

k

k

k 2

2

003

111

024

Si ,3k queda:

1

2

3

000

111

024

El sistema es incompatible.


9


)2()3(

24

2

kxk

kyx

zyx

3

2

k

kx

62

8

2

4 2

k

kkxky

62

852

32

8

3

22

22

k

kk

k

kk

k

kyxz

Solución: 62

85,

62

8,

3

2 22

k

kkz

k

kky

k

kx




Figura 11.

No se obtiene solución porque el sistema es incompatible.



10


Figura 12.

Para k=2 el sistema es compatible determinado.

Se pueden hacer mas intentos con distintos valores de k y los distintos sistemas resultantes serán

compatibles.


4. Discute estos sistemas de ecuaciones en función del parámetro k:

a) b)

kzx

zyx

zykx

2

0

8

kyx

kzy

zyx

2

1

1

a)

kzx

zyx

zykx

2

0

8

k

k

0

8

102

111

11

ª2

ª3

ª2

ª1

k

k

0

8

102

111

201

ª3.2

ª3

ª2

ª1

k

kk

0

28

102

111

003

11


Si ,3k queda:

3

0

2

102

111

000

Sistema incompatible.


zkx

zyx

kxk

2

0

28)3(

3

162

2

k

kkxkz

)3(

82

k

kkzxy

Solución: 3

16,

)3(

8,

3

28 22

k

kkz

k

kky

k

kx


1. Planteamos el sistema de ecuaciones, en este caso para k=-3, pulsamos el botón igual y


Figura 13.

12





Figura 14.



compatibles.


b)

kyx

kzy

zyx

2

1

1

k

k 1

1

021

10

111

ª1ª3

ª2

ª1

1

1

1

110

10

111

k

k

ª2ª3

ª2

ª1

2

1

1

100

10

111

kk

k

Si ,1k queda:

13


3

1

1

000

110

111

Sistema incompatible.


2)1(

1

1

kzk

kzy

zyx

k

k

k

kz

1

2

1

2

k

kk

k

kkk

k

kky

k

kky

1

1

1

21

1

211

1

2 222

k

kk

k

kkkk

k

k

k

kkzyx

1

32

1

211

1

2

1

111

222

Solución: k

kz

k

kky

k

kkx

1

2,

1

1,

1

32 22


1. Planteamos el sistema de ecuaciones, en este caso para k=-1, pulsamos el botón igual y


Figura 15.

14





Figura 16.



compatibles.


5. Estudia y resuelve estos sistemas por el método de Gauss:

a) b)

1742

524

23

zyx

zyx

zyx

232

1

1

zyx

yx

zy

c) d)

322

322

4325

zyx

zyx

zyx

06533

0322

0143

tzyx

tzyx

tzyx

15


a)

1742

524

23

zyx

zyx

zyx

1

5

2

742

124

311

ª1

ª1

.

.

2

4

ª3

ª2

ª1

3

3

2

160

1160

311

ª2ª3

ª2

ª1

0

3

2

1200

1160

311

Sistema compatible determinado

Lo resolvemos:

0

3116

23

z

zy

zyx

2y

1

223 zyx

3

Solución:

0,

2

1,

2

3



Figura 17.


16


b)

232

1

1

zyx

yx

zy

2

1

1

321

011

110

ª3

ª2

ª1

2

1

1

321

110

011

ª1ª3

ª2

ª1

2

1

1

321

011

110

ª2.3ª3

ª2

ª1

0

1

1

000

110

011

Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

y

yz

yx

zy

yx1

1

1

1

Soluciones: 1,,1



Figura 18.




indeterminado.


17


c)

322

322

4325

zyx

zyx

zyx

3

3

4

221

122

325

ª3

ª2

ª1

4

3

3

325

122

221

ª1

ª1

.

.

5

2

ª3

ª2

ª1

19

9

3

7120

360

221

ª2.2

3:

ª3

ª2

ª1

1

3

3

100

120

221

Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

1223

1

1

1

32

322

xyx

y

z

z

zy

zyx

Solución: 1,1,1



Figura 19.


18


d)

x y 3z 14t 0

2x 2y 3z t 0

3x 3y 5x 6t 0

0

0

0

6533

1322

14311

ª1

ª1

.

.

3

2

ª3

ª2

ª1

0

0

0

48400

29300

14311

ª3.3ª2.4

ª2

ª1

0

0

0

28000

29300

14311

Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

y

yx

z

t

t

tz

tzyx0

0

028

029`3

0143

Soluciones: 0,0,,



Figura 20.

Wiris resuelve el ejercicio y expresa las soluciones en función de la variable y en lugar de landa,

pero hemos de tener en cuenta que tanto y como landa toman cualquier valor real, luego el

19



indeterminado.


6. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas para los valores de m que lo hacen

compatible:

a) b)

myx

yx

yx

34

12

32

mxyx

zx

zyx

zyx

52

33

132

22

a)

myx

yx

yx

34

12

32

m

1

3

34

12

21

ª1

ª1

.

.

4

2

ª3

ª2

ª1

12

5

3

50

50

21

m

ª2

5:

ª3

ª2

ª1

7

1

3

00

10

21

m

Si 7m Sistema compatible determinado

1231

32

yxy

yx

Solución: 1,1

Si 7m Sistema incompatible

20



1. Planteamos el sistema de ecuaciones, en este caso para m=7, pulsamos el botón igual y


Figura 21.



Figura 22.


b)

mzyx

zx

zyx

zyx

52

33

132

22

m

3

1

2

521

103

312

211

ª1

ª1

.

.

ª1

3

2

ª4

ª3

ª2

ª1

2

3

3

2

730

730

730

211

m

21


ª2

ª2

ª4

ª3

ª2

ª1

1

0

3

2

000

000

730

211

m

Si 1m Sistema compatible indeterminado.

312

3

71222

3

71

3

73

373

22z

zz

zyx

zzy

zy

zyx

Haciendo :3z

Soluciones: 3,71,1

Si 1m Sistema incompatible.




Figura 23.

El sistema es incompatible para todo valor de m que sea distinto de -1

22


2. Planteamos el sistema de ecuaciones, en este caso para m=-1, pulsamos el botón igual y


Figura 24.




indeterminado.


7. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en total hay 36

euros. El número de monedas d A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras

dos cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendrá el doble de

monedas que B. Averigua cuantas monedas había en cada caja.

Llamamos x al nº de monedas que hay en la caja A, al nº de monedas que hay en la

caja B, y al nº de monedas que hay en la caja C. Tenemos que:

y

z

121

2

36

yx

zyx

zyx

221

2

36

yx

zyx

zyx

32

2

36

yx

zyx

zyx

Sumando las dos primeras ecuaciones: 19382 xx

23


24

De la 3ª ecuación 112

3

xy

636 xyz

Solución: Había 19 monedas en la caja A, 11 en la B y 6 en la C.



Figura 24.


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