APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES-MÉTODO LORENTMORALES GALOC MIGUEL ANGEL

INTRODUCCIÓN

Muchos de los problemas que realmente se presentan en la ingeniería no se pueden resolver directamente, puesto que sólo algunos tipos de ecuaciones diferenciales admiten soluciones en términos de funciones elementales. 

Es posible modelar mediante una ecuación diferencial la distribución de temperaturas de un sólido, la velocidad de partículas en un fluido, las tensiones de un cuerpo que se deforma, el flujo alrededor del ala de un avión, el impacto de un automóvil contra un obstáculo, el crecimiento de especies animales con presas y depredadores o la evolución del precio de un artículo en el mercado financiero.

SISTEMA DEPREDADOR-PRESA:La selección natural (lucha en donde sobrevive el que tiene características más apropiadas para la circunstancias) ha conducido al establecimiento de grupos de especies que coexisten con un mínimo de competencia y explotándose al mismo tiempo unos a otros para sobrevivir. El resultado de estas luchas entre organismos ha originado las relaciones Depredador-Presa. La depredación comprende el uso de una especie llamada presa como alimento, por parte de otra llamada depredador. Por definición lleva consigo la muerte de la presa.

ORBITA: En física, una órbita es la trayectoria que describe un objeto alrededor de otro mientras está bajo la influencia de una fuerza central, como la fuerza gravitatoria.

SUMIDERO: Es como si todas las soluciones cayeran en un mismo punto.

ESTADO DE FASEEn mecánica clásica, el espacio fásico, espacio de fases o diagrama de fases es una construcción matemática que permite representar el conjunto de posiciones y momentos conjugados de un sistema de partículas. Más técnicamente, el espacio de fases es una variedad diferenciable de dimensión par, tal que las coordenadas de cada punto representan tanto las posiciones generalizadas como sus momentos conjugados correspondientes. Es decir, cada punto del espacio fásico representa un estado del sistema físico. Ese estado físico vendrá caracterizado por la posición de cada una de las partículas y sus respectivos momentos.

ATRACTORUn atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extraño. La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logros de la teoría del caos.

TEORÍA DEL CAOSEl término Caos se refiere a una interconexión subyacente que se manifiesta en acontecimientos de la vida cotidiana que son aparentemente aleatorios y desordenados. Por eso el  concepto de caos a menudo puede crear en nosotros una idea negativa, una visión de desorden en donde las cosas no funcionan bien, en un mundo en donde lo establecido y lo correcto es precisamente el orden.

ENFRIAMIENTO Y CALENTAMIENTOCuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio

ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

  SERPENTÍN 

Se denomina serpentín o serpentina a un tubo de forma frecuentemente espiral, utilizado comúnmente para enfriar vaporesprovenientes de la destilación en un calderín y así condensarlos en forma líquida. Suele ser de vidrio, cobre u otro material que conduzca

• ATRACTOR DE LORENT:

El comportamiento del modelo de Lorenz puede representarse trazando sus variables en el espacio de fase - es decir, para cada cálculo sucesivo de x, y, y z, trazamos el punto correspondiente en un espacio de ejes xyz. En un sistema lineal, este trazado puede dibujar una trayectoria conducente a un único punto de estabilidad, o alternativamente puede dibujar un bucle cerrado que indica una variación periódica. Sin embargo, en el modelo de Lorenz, la evolución de las variables traza una especie de doble espiral que nunca se repite a sí misma y nunca se intersecta a sí misma. Este patrón es conocido como el "atractor" de Lorenz y se ilustra a continuación.

http://www.youtube.com/watch?v=MJDMOXsU_iU

Donde a se conoce como Número de Prandtl y b como Número de Rayleigh. Tanto a como b y c > 0, pero usualmente a = 10, c = 8 / 3 y b varía. El sistema exhibe un comportamiento caótico para b = 28 pero muestra órbitas periódicas para otros valores de b. La forma de mariposa de la curva proyectada sobre el plano XY puede haber inspirado el nombre del efecto mariposa en la Teoría del Caos.

PROBLEMA: RESOLVER EL SISTEMA DE LORENZ CON LAS CONDICIONES INICIALES DADAS EN EL SIGUIENTE

LEY DE ENFRIAMIENTO Y CALENTAMIENTO DE NEWTON

PROBLEMA: SE UTILIZAN DOS TANQUES EN SERIE Y PROVISTOS DE SERPENTÍN DE ENFRIAMIENTO, POR EL CUAL CIRCULA AGUA EN CONTRACORRIENTE PARA ENFRIAR 10000 LB/HR DE ÁCIDO SULFÚRICO. LAS CONDICIONES DE OPERACIÓN SE MUESTRAN EN LA FIGURA. SI EN UN MOMENTO DADO FALLARA EL SUMINISTRO DE AGUA DE ENFRIAMIENTO, ¿CUÁL SERÁ LA TEMPERATURA DEL ÁCIDO SULFÚRICO T2 A LA SALIDA DEL SEGUNDO TANQUE DESPUÉS DE UNA HORA?

  LAS ECUACIONES QUE DESCRIBEN EL PROBLEMA SON:

3600 T0-3600 T1=2850 d T1/dt … (1)3600 T1-3600 T2=2850 d T2/dt …...(2)

  Donde T0 ,T1 , T2 están en °C y t en horas.

CONCLUSIONES

Las ecuaciones diferenciales llegan a ser muy útiles en el campo de la ingeniería para el desarrollo de problemas, y complementarlos con el uso de matlab hará que este sea mucho más sencillo de resolver que a cálculos hechos por nosotros mismos.

 Se concluye además que cualquier diferencia en las condiciones

iniciales, cambia de forma dramática los resultados. Se vio conveniente usar el método de Runge Kutta para el

desarrollo de los dos problemas de aplicación.