unidad 1: sistemas de ecuaciones. mÉtodo de gauss
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UNIDAD 1: SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS. Sistemas de ecuaciones. Tipos. Interpretación geométrica. Sistemas escalonados. Método de Gauss Sistemas homogéneos. Discusión de sistemas dependientes de uno o varios parámetros. 1. Sistemas de ecuaciones. Tipos. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1. Sistemas de ecuaciones. Tipos. Interpretación geométrica.
2. Sistemas escalonados. Método de Gauss3. Sistemas homogéneos.4. Discusión de sistemas dependientes de uno o
varios parámetros.
Dado un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas (nxm) de la forma:
atendiendo al número de soluciones que tiene , el sistema puede ser:
a)Compatible determinado: Cuando tiene una solución.b)Compatible indeterminado: Cuando tiene infinitas
soluciones, éstas vienen dadas en función de un parámetro.
c) Incompatible: Cuando no tiene ninguna solución.
nmnmnn
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
Cada ecuación con dos incógnitas se puede interpretar como una recta en el plano.
Así que cuando resolvemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas buscamos puntos de corte entre varias rectas del plano.
Cada ecuación con tres incógnitas se puede interpretar como un plano en el espacio. Así que cuando resolvemos un sistema de ecuaciones con tres incógnitas estamos buscando puntos de corte entre planos.
14
12
4
yx
yx
yx
Este sistema se puede interpretar como tres rectas en el plano que se cortan en un punto: Sistema compatible determinado cuya solución es x=3, y=1
2
3
z
zyx
Este sistema se puede interpretar como dos planos en el espacio que se cortan a lo largo de un recta: El sistema es compatible indeterminado, su solución: z=2, y=λ, x=- λ+1
Un sistema escalonado se puede resolver directamente:
63
42
1
232
z
tz
tzy
tzyx
2
632
zy
zyx
Con el método de Gauss, realizando ciertas operaciones en el sistema, lo iremos transformarlo sucesivamente en sistemas equivalentes a él hasta llegar a uno que sea escalonado, y lo podamos resolver, si se puede, directamente.
Podemos realizar las siguientes operaciones elementales: 1.Multiplicar una ecuación por un número.2.Sumarle a una ecuación una combinación lineal de otra.Además simplificamos el proceso si
prescindimos de las letras y trabajamos con los coeficientes en una “caja” (matriz), en la que separamos los términos independientes con una línea:
32
52
0
)
zyx
zyx
zyx
a
3
5
0
121
112
111
Realizando convenientemente las operaciones anteriores, vamos transformando cierto coeficientes en cero hasta llegar al escalonado:
3
5
0
121
112
111
13
12 2
FF
FF
3
5
0
030
310
111
Ahora recuperamos las incógnitas y podemos resolver el sistema escalonado que nos queda:3y=-3, y=-1 y-3z=5, z=-2x+1-2=0, x=1
El sistema es compatible determinado. Tres planos que se cortan en un punto P(1,-1,2)
23
32
42
)
zx
zyx
zyx
b
2
3
4
103
112
21121 CC
2
3
4
130
121
211
12 FF
2
7
4
130
130
21123 FF
5
7
4
000
130
211
El sistema es incompatible ¡0=-5! Por tanto no tiene solución. Se trata de tres planos en el espacio que no tienen ningún puto en común
743
532
32
)
zyx
zyx
zyx
c
7
5
3
431
321
211
13
12
FF
FF
4
2
3
220
110
211
23 2FF
0
2
3
000
110
211La tercera ecuación se puede eliminar por que es combinación lineal de las otras dos. El sistema es C. indeterminado y para hallar la solución debemos tomar un parámetro.
De la 2ª· y+z=2 z=λ y=2- λ
De la 1ª·x+2- λ+2 λ=3x=3- λ-2x=1- λ
Se trata de tres planos que coinciden a lo largo de una recta: x=1- λ, y=2- λ, z= λ
Un sistema es homogéneo cuando los términos independientes de todas sus ecuaciones son nulos: b1=b2=…=bn=0.
Un sistema homogéneo siempre es compatible, por que siempre va a tener la llamada “solución trivial” en la que todas las incógnitas toman el valor cero: x1=x2=…xm=0.
- Si es compatible determinado, u única solución será la trivial.
- Si es compatible determinado, sus infinitas soluciones vendrán dadas en función de un parámetro e incluirán a la solución trivial.
02
02
0
)
zyx
zyx
zyx
a
0
0
0
121
112
111
0
0
0
030
310
111
13
12 2
FF
FF
Es compatible determinado, y por tanto su única solución será la solución trivial: x=0, y=0, z=0
022
02
0
)
zyx
zyx
zyx
b
0
0
0
221
112
111
13
12 2
FF
FF
0
0
0
330
330
111
Es compatible indeterminado, su solución viene dada por un parámetro: z=λ, y=λ, x=0Observa que ésta solución incluye a la trivial cuando al parámetro le asignamos el valor cero.
Cuando uno o varios de los coeficientes dependen de un parámetro.
Se trata de ver para qué valores del parámetro el sistema es compatible determinado, para cuáles es compatible indeterminado y para cuales es incompatible.
2)2(
1
352
zk
zy
zyx
Si k=2 es compatible determinado.Si k≠2 es compatible determinado, ya que podremos despejar el valor de las tres incógnitas sin problemas de división por cero.