sistemas de ecuaciones solo gauss
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Sistemas de Ecuaciones lineales
PROFESORA YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO
Definición
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
mecuaciones
n incógnitas
Coeficientes del sistema
incógnitas
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x ba x a x a x a x b
a x a x a x a x b
términosindependientes
A: matriz de los coeficientes
Expresiónmatricial del
sistema
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x ba x a x a x a x b
a x a x a x a x b
El sistema puede ser escrito de la siguiente manera:
Matriz ampliada
X: matriz de las incognitas
B: matriz de los términos independientes
AX=B
nmnmmm
n
n
n
x
xxx
aaaa
aaaaaaaaaaaa
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
................
......
......
......
=
mb
bbb
3
2
1
A* =
mmnmmm
n
n
n
baaaa
baaaabaaaabaaaa
..................
......
......
......
321
33333231
22232221
11131211
Expresión matricial: ejemplo
El sistema 2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = –2
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =
2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =
2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:
2 5 –3
1 –4 1
x
y z
=
1
– 2
Solución de un sistema de ecuaciones
Una solución del sistema:
es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que se verifican todas las ecuaciones:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x ba x a x a x a x b
a x a x a x a x b
mnmnmmm
nn
nn
bsasasasa
bsasasasabsasasasa
332211
22323222121
11313212111
Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo
1 3
3
zyx
• Los valores
• Los valores
1 1
3
zyx
son una solución del sistema por que:
Consideramos el sistema:
3 3222 1
yxzyxzyx
son una solución del sistema por que:
3 )1(3322)1()1(2 311)1(3
3 )3(3)3(22)1(32 31)1(33
Clasificación de un sistema según el número de soluciones
Sistemas deecuaciones lineales
Incompatible o inconsistente
Compatible o consistente
Sin solución
Con solución
Determinado
Indeterminado
Solución única
Infinitas soluciones
• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.
I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.
Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:
III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos.
Sistemas equivalentes: ejemplo
442213
322
zyxzyxzyx
2213
322
zyxzyxzyx
3221322
zyxzyxzyx
12552
22
zyzyzyx
3552
22
zzyzyx
33 21EE
13 EE
122 3EEE
133 2EEE
233 2 EEE
Sistemas equivalentes
Sistemas de ecuaciones escalonados
Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.
53432
yyx
233245324
zzyzyx
2234532
zyzyx
14432
zyxzzx
Ejemplos:
Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.
Resolución de sistemas de ecuaciones
Métodos de resolución: 1. Método de Gauss.
3. Método de Cramer.
3. Método de la matriz inversa.
2. Método de Gauss Jordan.
Resolución de un sistema escalonado: ejemplo
521483
92
zzyzyx
25
z
Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:
6259 x
23
2014
y
Resolución de sistemas: método de Gauss
Se pueden dar los siguientes pasos:
I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.
II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.
III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).
IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.
un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.
El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener de un sistema:
,;
;
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
Método de Gauss: posibilidades
En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes posibilidades:
Incompatible
• Si no es incompatible, se considera el número de filas e incógnitas que quedan:
nº de ecuaciones = nº de incógnitas
compatible determinado
nº de ecuaciones < nº de incógnitas
compatible indeterminado
50 1483 92
zyzyx
52 1483 92
zzyzyx 92
1483 zyxzy 123 zyx
• Si alguna de las filas está formada por todos ceros menos el término independiente.
Método de Gauss: sistema compatible determinado
162442
92
zyxzyxzyx
Se despejan incógnitas hacia arriba
25
231420
6529
z
yx
RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS
Método de Gauss: sistema incompatible
142442
92
zyxzyxzyx
50 1483
92
zzyzyx
La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible.
RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS
Método de Gauss: sistema compatible indeterminado
tz
ty
ttx
3
148
314829
8824442
92
zyxzyxzyx
tz
ty
tx
38
314
32
313
Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t
RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS
Para resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones
1. Se identifican las incógnitas.
2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.
3. Se resuelve el sistema.
4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.