tema 1: oscilaciones

Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

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Tema 1: Oscilaciones

Fátima Masot Conde

Ing. Industrial 2006/07



1. Movimiento Armónico Simple.

• Características.

• Representación Matemática.

2. Energía del M.A.S.

3. Algunos Sistemas Oscilantes.

• Péndulo Simple.

• Péndulo Físico.

• Masa+Muelle

4. Oscilaciones Amortiguadas.

5. Oscilaciones Forzadas.

Tema 1: Oscilaciones

Índice:



Cuando un sistema

estable pierde su

posición de equilibrio.

Movimiento Armónico Simple

EjemplosEjemplos

• Cuerdas instrumentos musicales

• Oscilación de barcos sobre el agua

• Relojes de péndulo

¿Cuándo ocurre?¿Cuándo ocurre?



Es el más básico del Movimiento Oscilatorio

Movimiento

forzado

Sistemas Ideales

(sin rozamiento)

Sistemas Reales

Movimiento

amortiguado

Oscilador perfecto

sin pérdidas




Fx = −Kx

Ecuación diferencial, característica del M.A.S.

Fuerza

restauradora

2º grado

d2x

dt2= −K

mx = −ω2x


Características

desplazamiento

Cte del muelle (rigidez)

Ley de Hooke

−Kx = max = md2x

dt2(Newton)

Este sistema estable responde con

esta fuerza de recuperación cuando

se separa de su posición de

equilibrio:



Fase (inicial)Amplitud

x(t) = A cos(ωt+ δ)


Su solución:

verifica la ecuación del MAS. Comprobémoslo

donde

(ésta se saca directamente

de la ecuación dif.-es el

factor multiplicativo de x-.)

ω = =K

mes la ‘frecuencia angular’

,A δ = son ctes a determinar

y



Comprobación:

v(t) =

a(t) = = −ω2x

dxdt= −Aω sin(ωt+ δ)

d2xdt2

= −Aω2 cos(ωt+ δ)


A, δ, se determinan por las condiciones iniciales

¿Qué son las

condiciones

iniciales?

Las condiciones que se tienen de veloc.

y desplazamiento en el instante t=0

x(t)



t = 0


¿Cómo se determinan A y δde las condiciones iniciales?

0

0

22 0

0 2

-Aωsinδ=

x Acosδ

A= x +ω

tanω δ= −v

v

A sólo es condición

inicial (= x0 ) si v

0= 0

Cuidado:

x0 = x(t = 0) = A cos(ωt+ δ)

¯t=0

= A cos δ

v0 =dx

dt

¯t=0

= − Aω sin(ωt+ δ)

¯t=0

= −Aω sin δ

Dos ecuaciones con dos incógnitas, A

y δ, que se despejan, conocidas v0 y x0



El MAS es un movimiento periódico:

Período de repetición

T = 2πω

x(t) = x(t+ T )


El movimiento se repite en

las mismas condiciones de

desplazamiento y velocidad

-A ) = = - Asin( sin( )t t Tω ω δ ω ω ω δ+ + +…

x(t)= x(t +T)

x(t)= x(t +T)

[ ] ( )cos( cos ( ) cost t T t Tω δ ω δ ω ω δ+ + + + +A ) = A = A

Ambas se verifican si 2ω π=T

x(t)= = x(t +T)

x(t)= = x(t +T)



T = 2πω

Relación entre el período

y la frecuencia angular

f = 1T= ω

2π

Si sólo tenemos un MAS, siempre podemos tomar

D=0 , eligiendo adecuadamente nuestro origen de

tiempos. En ese caso:


(s)

rad/s

ciclosHz =

s

0δ =

La frecuencia lineal:

x(t) = A cosωt




Desplazamiento MAS







d2xdt2 = −Aω2 cos(ωt+ δ)a(t) =

v(t) = dxdt = −Aω sin(ωt+ δ)

x(t)



Partícula que se mueve sobre una

circunferencia, con velocidad cte.

x(t) = A cos(ωt+ δ)

θ = ωt+ δ

Es un MASEs un MAS

MAS y Movimiento Circular

La proyección sobre el eje x:La proyección sobre el eje x:



Energía potencial:

= 12KA

2 =Cte

Energía cinética:

=1

ETOTAL = U + Ec =12KA

2[cos2(ωt+ δ) + sin2(ωt+ δ)]

U = 12Kx

2 = 12KA

2 cos2(ωt+ δ)

Ec =12mv

2 = 12mA

2ω2 sin2(ωt+ δ)

−Kx

Energía del MAS

Para: -F = K x



En función del tiempo En función del espacio

Energía del MAS



• Péndulo simple

• Péndulo físico

• Objeto + Muelle vertical

• Péndulo simple

• Péndulo físico

• Objeto + Muelle vertical

Algunos sistemas oscilantes

Los sistemas oscilantes que vamos a ver:

En clase de

problemas



• En qué consiste

Ángulo desplazado

Longitud del

arco recorrido

Como s = Lφd2s

dt2= L

d2φ

dt2

Sistema IDEAL

“casi” MAS

Péndulo simple

Cuerda longitud L

Masa m

• Fuerzas que actúan: mg y T

−mg sinφ = md2s

dt2



Tampoco

es un M.A.S.

d2φ

dt2= − g

Lφ

(infinitésimos equivalentes)

M.A.S.

Conclusión:Conclusión:El movimiento de un péndulo es

aproximadamente armónico simple

para pequeños desplazamientos

angulares.

Péndulo simple

Sin embargo, para

ángulos pequeños,

sinφ φ

d2φ

dt2= − g

Lsinφ



Reescribiendo de la forma habitual

T no depende de la masa

Esto también sale por

análisis dimensional:

Péndulo simple

d2φ

dt2= −ω2φ

ω =

rg

L

T =2π

ω= 2π

sL

gEcuación de este sistema

Con:

Período del péndulo

[T ] = s,

s[L]

[g]= s



Solución: φ = φ0 cos(ωt+ δ)

Amplitud angular, [rd] ó grados

Fuera de esa aproximación, (oscilaciones de gran amplitud):

=

2πpL/g

T = T (φ0) M.A.S.

Péndulo simple

(para φ)

T = T0

"1 +

1

22sin2

1

2φ0 +

1

22

µ3

4

¶2sin4

1

2φ0 + · · ·

#



¿Qué es?Cuerpo rígido que gira

alrededor de un eje

que no pase por su C.M.

d2φ

dt2= −MgD

Isinφ ≈ −MgD

Iφ = −ω2φ

M.A.S.

τ = Iα

Péndulo físico

El momento de la

fuerza (Mg)

alrededor de ese eje:

−MgD sinφ = I d2φ

dt2



Comprobar que el péndulo

simple también lo verifica, con

Para oscilaciones de gran

amplitud, vale la misma

fórmula que dimos en el

péndulo simple, con:

T0 = 2π

sI

MgD

Péndulo físico

ω =

rMgD

I

T =2π

ω= 2π

sI

MgD

Para este sistema:

2I ML

D L

==



• Pierde energía por rozamiento.

• No mantiene su amplitud.

Ejemplo: Columpio que se para

(subamortiguamiento)

• Subamortiguamiento (amortiguamiento débil).

• Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte).

• Amortiguamiento crítico.

• Subamortiguamiento (amortiguamiento débil).

• Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte).

• Amortiguamiento crítico.

Oscilaciones amortiguadas

Casos:Casos:



Subamortiguamiento

La fuerza de amortiguación se modela con

una fuerza proporcional a la velocidad.

Cte > 0

(sistema con amortiguación lineal)

Ecuación diferencial

del movimiento

subamortiguado.

−Kx− bdxdt= m

d2x

dt2

F a = −bv




τ =m

b

Subamortiguamiento


Solución:

ω0 = ω0

s1 −

µb

2mω0

¶2

x(t) = A0e−( b

2m)t cos(ω0t+ δ)

donde:

amplitud instante inicial

frecuencia del caso no

amortiguado=

m

bτ =

A(t)

A(t) = A0e−t/2τ

cte de

tiempo

/K m



bc = constante de

amortiguamiento crítico

El sistema no oscila.

(sistema sobreamortiguado)

El sistema vuelve a su posición

de equilibrio, sin oscilar, en el

tiempo más breve posible.

AMORT. CRÍTICO

Si 0 'ω ω→cb < b DÉBILMENTE AMORTIGUADO

≥ cb bSi

cb = bSi


ω0 = 0 cuando b = 2mω0

El sistema oscila, con una

frecuencia algo menor que

la natural, ω0



E =1

2KA2 =

1

2mω2A2 =

1

2mω2A20e

−t/τ = E0e−t/τ

=E0

La Energía de un oscilador amortiguado

disminuye exponencialmente con el tiempo

La Energía de un oscilador amortiguado

disminuye exponencialmente con el tiempo

A = A0e−t2τ

Energía del oscilador amortiguado

Cuando t = τ, A2 =A20e

La energıa disminuyeen un factor 1/e



Factor de calidad del oscilador amortiguado

(adimensional)

interviene en la nueva frecuencia amortiguada:

ω0 = ω0

s1−

µ1

2Q

¶2Q = ω0τ

Y se puede relacionar con la pérdida de energía

por ciclo:

dE = −1τE0e

−t/τ dt = −1τE dt


El factor de calidad:



En un ciclo:

amortiguamiento débil

O sea:Q =

2π

(∆E/E)ciclo

Factor de calidad del oscilador amortiguado


Q es inversamente proporcional a la

pérdida relativa de energía por ciclo

Q es inversamente proporcional a la

pérdida relativa de energía por ciclo

µ∆E

E

¶ciclo

=T

τ' 2π

ω0τ=2π

Q



El sistema oscilante tiende

naturalmente a detenerse debido

a las pérdidas

Ejemplo: Un columpio

• Si no se le suministra energía

al mismo ritmo que la pierde, su

amplitud disminuye.

• Si se le suministra más energía de

la que pierde, su amplitud aumenta.

Oscilaciones forzadas



• Si se suministra la misma

energía que pierde (al mismo

ritmo), la amplitud se

mantiene constante (estado

estacionario)

Una forma de

suministrar la energía

Una forma de

suministrar la energía




Podemos modelar la fuerza impulsora como:

F (t) = F0 sen(ωt)

−Kx− bdxdt+ F0 sen(ωt) = m

d2x

dt2

Ecuación del movimiento oscilatorio forzado:

Opuestas al desplazamientoA favor del desplazamiento

F (t)

Fuerza

recuperadora Amortiguamiento Fuerza impulsora

(Newton)XF = ma




Comparativa de movimientos

F (t) − bv −

• No tiene amortiguación y

no necesita ser forzada

• Su frecuencia es la

frecuencia 'natural'

• Su amplitud es constante

• No tiene amortiguación y

no necesita ser forzada

• Su frecuencia es la

frecuencia 'natural'

• Su amplitud es constante

ω0 =pK/m

Oscilación ideal

Kx = ma




F (t)

• Tiende a pararse, debido al amortiguamiento

• Frecuencia

• Su amplitud disminuye exponencialmente

ω0 6= ω0; ω0 = ω0

s1−

µb

2mω0

¶2Oscilación

amortiguada

− Kx =bv ma−

depende de la

frecuencia natural





F (t) − Kx =bv ma−

• Sigue oscilando, mientras actúe F(t)

• Frecuencia, igual a la de la fuerza impulsora

• Su amplitud depende de y de ωω0

Oscilación

forzada



ω



Solución a este sistema (régimen estacionario):

x(t) = A cos(ωt− δ)

A =F0p

m2(ω20 − ω2)2 + b2ω2Su cte. de fase

Amplitud de la fuerza impulsora

masa del oscilador

frecuencia natural

frecuencia impulsora

El sistema oscila con la

misma frecuencia que la

fuerza impulsora

El sistema oscila con la

misma frecuencia que la

fuerza impulsora

cte. amortiguación


ω

Su amplitud:

tan δ =bω

m(ω20 − ω2)

menos



Interpretación de la solución. Curvas de resonancia

Diagrama de la

amplitud en función de

la frecuencia de la

fuerza impulsora.

Parámetro: Constante de

amortiguación, b.


Cuanto más grande es el amort. b, el pico viene a ensancharse, se

hace menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más bajas. Si

desaparece completamente

ω/ω0





Diagrama de la potencia

media transmitida en

función de la frecuencia

de la fuerza.

Parámetro: Factor de

calidad, Q.

QÀ (amort. pequeño) Resonancia alta y aguda

(amort. grande) Resonancia ancha y pequeñaQ¿



∆ω: Anchura de la curva de

resonancia, a la mitad de

la altura máxima.

QÀPara∆ω

ω0=1

Q

medida de la

agudeza de

la resonancia





• Caminar con un recipiente de agua

• Columpio

• Puentes (marchas marciales sobre puentes)

Ejemplo histórico: Puente de Angres (1880)

Ejemplos de resonancia

Esto no ocurre en la práctica, pero puede llegar a tener

un valor suficientemente grande como para que el sistema

se deteriore, 710 0P


Potencia del oscilador sin forzar

Cuando Q→∞ (sistema ideal), Pmax →∞



Bibliografía

•Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté

(vol. II)

•Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II)

•Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley.

•Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.

Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de

Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté

Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed.

Pearson Education

tema 1: oscilaciones

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