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OSCILACIONES.OSCILACIONES.--TEMA 3TEMA 3

Bases Físicas del Medio Ambiente2º de Ciencias AmbientalesProfesor: Juan Antonio Antequera Barroso

CURSO 2009CURSO 2009--20102010

2

Oscilaciones

KxF −=

Kxdt

xdmmaF −=== 2

2

Una oscilación ocurre cuando un sistema es perturbadoperturbado de su posición de equilibrio

mm

MOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)

xxEquilibrio

En el equilibrio no experimenta ninguna fuerza el objeto por parte del muelle.

LEY DE HOOKELEY DE HOOKE

K: constante recuperadora del muelle (N/m)

CondiciCondicióón del movimiento armn del movimiento armóónico simplenico simpleAplicando la segunda Ley de Newton

xmK

dtxda −== 2

2

““La aceleraciLa aceleracióón es proporcional al desplazamiento y de direccin es proporcional al desplazamiento y de direccióón negativan negativa””

2

3

OscilacionesMOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)

La ecuación general de este tipo de movimiento es:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+=

2cos πδωδω tAsentAtx

donde:

x(tx(t)): posición del objeto en cualquier instante.- ElongaciElongacióón n (m)(m)

AA: amplitudamplitud del movimiento (m), máximo desplazamiento del equilibrio.

ωω: frecuencia angular o pulsacifrecuencia angular o pulsacióónn (rad/s).

δδ: desfase o fase de oscilacidesfase o fase de oscilacióónn (rad)

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Oscilaciones

( ) ( ) ( )δωω +−== tsenAtvdt

tdx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )txAtAtadt

tdvdt

txd 222

2cos ωδωω −=+−=== m

K=ω


Comprobación de la ecuación anterior al movimiento armónico simple

A y δ se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales

( )δω

δsenAvstv

Axstx−===

===

0

0

)0(cos0

( ) ( ) ( )[ ] ( )TtATtATtxtx ωδωδω ++=++⇒+= coscos

El periodo TT es el tiempo en el cual se repite x(t).

3

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Oscilaciones

πω 2=TTπω 2

=

πω2

1==

Tf


La frecuencia f es:KmT

mKf

π

π

2

21

=

=

Independiente de A

¿Cuál de los dos objetos llegará primero a su posición de equilibrio si se sueltan a la vez?

5 cm

mm22

10 cm

m1

Objeto 1Objeto 2

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OscilacionesMOVIMIENTO ARMMOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLE (M.A.S)NICO SIMPLE (M.A.S)

Ejemplo:Ejemplo: Viajamos en un barco entre las olas. El desplazamiento vertical del barco en las olas viene dado por:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

62cos2.1 π

stmy

a) Encontrar la amplitud, la frecuencia, la pulsación, el periodo, las constante de fase.

b) ¿Dónde se encontrará el barco en el instante t=1 s?

c) Encontrar la velocidad y la aceleración en cualquier instante

d) Encontrar la posición, la velocidad y la aceleración en t=0 s

Ejemplo:Ejemplo: Un objeto oscila con una velocidad angular ω= 0.8 rad/s. En el instante t=0 s, el objeto se encuentra en x0 = 4 cm con una velocidad inicial v0 = -25 cm/s.

a) Encontrar la amplitud y constante de fase para el movimiento.

b) Escribir x(t)

4

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Oscilaciones

( )( )( ) tAta

tsenAtvtAtx

ωω

ωωω

cos

cos

2−=

−==


x(tx(t))

v(tv(t))

a(ta(t))

AA

00

--AA

AAωω

00

--AAωω

AAωω22

--AAωω22

00

T/4T/4 T/2T/2 3T/43T/4 TT

ππω

ππω

ππω

ππω

222

34

324

32

22

242

4

==⇒=

==⇒=

==⇒=

==⇒=

TT

tTt

TT

tTt

TT

tTt

TT

tTt

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Oscilaciones

δωθ += t( )δωθ +== tAAx coscos

( )δωθ +== tAsenAseny

EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMEJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLENICO SIMPLE

a) a) MOVIMIENTO CIRCULARMOVIMIENTO CIRCULAR

XX

YY

AA

AcosAcosθθθθ

b) b) PPÉÉNDULO SIMPLENDULO SIMPLE

φφ

TT

mgcosφmgsenφ

mgmg

LL

SS

∑ ==−= 2

2

2

2

dtdmL

dtSdmmgsenFt

φφ

φφLg

dtd

−=2

2

gLT π

ωπ 22==

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Oscilaciones

( ) ( )δω +== tKAKxtE P222 cos

21

21

( ) ( ) ( )δωδωω +=+== tsenKAtsenmAmvtEC222222

21

21

21 cteKAET == 2

21

ENERGENERGÍÍA DEL MOVIMIENTO ARMA DEL MOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLENICO SIMPLELas energías potencial y cinética del sistema varían con el tiempo, permaneciendo la energía total constante

++==

EETOTALTOTAL

EEPP

00

tttt

EEcc

EETOTALTOTAL

( ) ( ) TOTALCp EavEavE21

==

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Oscilaciones

--AA AA

00

ENERGENERGÍÍA DEL MOVIMIENTO ARMA DEL MOVIMIENTO ARMÓÓNICO SIMPLENICO SIMPLE

Ejemplo:Ejemplo: Un objeto de 3 Kg unido a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. a)a) ¿Cuál es la energía total del sistema? b)b)¿Cuál es la velocidad máxima del objeto? c)c) ¿En qué posición la velocidad es igual a la mitad del valor máximo?

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Oscilaciones

02

2=++ Kx

dtdx

dtxdm γ

OSCILACIONES AMORTIGUADASOSCILACIONES AMORTIGUADAS

( ) ( ) ( )δωδω τγ

+=+=−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛− teAtAtx a

ta

tm coscos 00

AA00: amplitud inicial

ττ: tiempo de relajación o amortiguamiento = 2m/γ

ωωaa: frecuencia angular modificada

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Oscilaciones

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= 2

02

220

220

2

2

22

411

411

411

41

ωγωγωγγω

mmKmKmK

mmK

a

OSCILACIONES AMORTIGUADASOSCILACIONES AMORTIGUADAS

2

020

2

2

0 14

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

Ca m γ

γωω

γωω

γγCC: : amortiguación crítica

a) γγ<<γγCC ⇒ Sistema subamortiguado

b) γγ==γγCC ⇒⇒ Sistema crSistema crííticamente amortiguadoticamente amortiguado

c) γγ>>γγCC ⇒ Sistema sobreamortiguado

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OscilacionesEjemploEjemplo: Algunos insectos mayores, especialmente dípteros e himenópteros, presentan del orden de 150 movimientos -o más-de las alas por minuto (Esto supone un ritmo superior al cambio de potencial debido a los impulsos nerviosos). Para explicar de modo simplificado este movimiento rápido se supone que las alas actúan como un oscilador débilmente amortiguado, dado por una ecuación del tipo

02

2=++ θθγθ K

dtd

dtdm

donde θθ es el ángulo que forma el ala con la horizontal, mm la masa del ala que es del orden de m=10-2 g, y γγ el coeficiente de rozamiento γ=0,4 gs-1 y KK la constante elástica K=1600π2 gs-2. a)a) Dibújese esquemáticamente la solución de la ecuación. Si suponemos que cuando la amplitud de oscilación decrece hasta un valor de 1/e, se dispara el impulso nervioso que devuelve la amplitud de la oscilación a su valor inicial. b)b) ¿Cuántos impulsos nerviosos se disparan por minuto, según los datos del problema?

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Oscilaciones

λπ2

=K

PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDASN DE ONDASLas ondas transportan energía y cantidad de movimiento a través del espacio sin transportar materia.

λλ

vvΔΔtt

x=0 x=λOndas Armónicas

λλ: longitud de onda: longitud de onda

K: nK: núúmero de ondamero de onda

v: velocidad de propagaciv: velocidad de propagacióónn

Kvf

Tv ω

πωλλλ

==⇒==2

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Oscilaciones

( ) kxytxy cos0, 0==

( )( )

( ) ( )txytkxyvtxky

kxytxy

,coscos

´cos´´,

0

0

0

=−==−===

ω

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=−=

λπωω x

Ttykxtytkxytxy 2coscoscos, 000

PROPAGACIPROPAGACIÓÓN DE ONDASN DE ONDASyy

t=0t=0

xx

vtvt

xx

tt

f(xf(x--vtvt))

( ) ( )tkxytxy ω+= cos, 0

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OscilacionesONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALESONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALES

Ondas TransversalesOndas Transversales: Perturbación perpendicular a la propagación.Ondas LongitudinalesOndas Longitudinales: Perturbación paralela a la propagación.

Ejemplo: TerremotoEjemplo: TerremotoMovimiento Sísmico que se propaga a través de ondas elásticas a partir del hipocentro. Distinguimos dos tipos ondas de cuerpo o interiores y ondas superficiales.

Ondas Longitudinales o primarias P:Ondas Longitudinales o primarias P:

• v= 8 - 13 Km/s.

• Circulan en el interior de la Tierra.

• Atraviesa líquidos y sólidos.

• Son las primeras en registrarse.

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OscilacionesOndas transversales o secundarias o S:Ondas transversales o secundarias o S:

• v=4 - 8 Km/s

• Atraviesa únicamente sólidos

Ondas Superficiales:Ondas Superficiales:

• Dos tipos: Rayleigh y Love

• Interacciones entre P y S.

• Son las más dañinas

RayleighRayleigh

LoveLove

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OscilacionesComportamiento animal ante un terremotoComportamiento animal ante un terremoto

Poseen sensor ultrasensible a las vibraciones. DaguanDaguan (China)

Detectan variaciones campo magnético y perciben el infrasonido

Reaccionan ante corrientes electromagnéticas débiles.

Perciben ultrasonidos previos al temblor, 20 minutos antes que el hombre

Olisquean las emanaciones de gases

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Oscilaciones

μFv =

ρBv =

ONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALESONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALESvv: : propiedades del medio e independencia del movimiento de la fuente

v=f(F,µ)

Ejemplo.Ejemplo.-- La tensión aplicada a una cuerda se obtiene colgando una masa de 3 Kg en uno de sus extremos, como se indica en la figura. La longitud de la cuerda es de 2,5 m y su masa de 50 g. ¿Cuál es la velocidad de las ondas de la cuerda?

Para un cuerda

Ondas sonoras en un fluido

Ondas sonoras en gasMRTv γ

= γ(O2,N2,H2)=1,4

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Oscilaciones

( ) ( ) ( )tkxsenAxdtdyxmvEc y ωωμμ −Δ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Δ== 222

22

21

21

21

( ) ( ) ( )tkxxsenAtkxsenkxAvxdxdyFE p ωμωωμ −Δ=−Δ=Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 2222222

2

21

21

21

( )tkxsenxAEEE PC ωμω −Δ=+=Δ 222

ENERGENERGÍÍA DE LAS ONDAS DE UNA CUERDAA DE LAS ONDAS DE UNA CUERDA

µµΔΔxx

xAEm Δ=Δ 22

21 μω

vAdt

dEP m

m22

21 μω==

Ejemplo.Ejemplo.-- Ondas de longitud de onda 35 cm y amplitud 1.2 cm se mueven a lolargo de una cuerda de 15 m que tiene una masa de 80 g y está sometida a una tensión de 12 N. a)a) Determinar la velocidad y la frecuencia angular de las ondas. b)b) ¿Cuál es la energía total media de las ondas de la cuerda? c)c) Calcular la energía total media transmitida por unidad de tiempo a lo largo de la cuerda.

11

21

Oscilaciones

( )11 cos Φ+−= tkxAy ω

( )22 cos Φ+−= tkxAy ω

( ) ( )ΔΦ+−Φ= tkxAy ωδ coscos2

SUPERPOSICISUPERPOSICIÓÓN DE ONDAS.N DE ONDAS.-- ONDAS ESTACIONARIASONDAS ESTACIONARIAS

Principio de SuperposiciPrincipio de Superposicióón: n: Cuando dos o más ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales

( )

( )21

21

2121

Φ+Φ=ΔΦ

Φ−Φ=Φδ

22

Oscilaciones

AAn 2021 =→=Φ⇒Φ=Φ δ


• En Fase • En Contrafase o Desfasada 180º

0221 =→=Φ⇒Φ−Φ= nAπδπ

Interferencia ConstructivaInterferencia Constructiva Interferencia DestructivaInterferencia Destructiva

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Oscilaciones

( )( )tkxAy

tkxAyωω+=−=

coscos

2

1


( ) ( )kxtAy coscos2 ω=

Onda estacionariaOnda estacionaria

No se produce propagación ni transmisión de energía. Ambas componentes temporal y espacial están desacopladas.

EjmEjm..-- Una cuerda fija por los extremos

• Puntos en que kx=0 (ó múltiplos de π) ⇒⇒OscilaciOscilacióón Mn Mááximaxima ⇒⇒ VIENTRESVIENTRES

• Puntos en que kx= π/2 (ó múltiplos de π/2) ⇒⇒No hay Oscilación ⇒⇒ NODOSNODOS

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Oscilaciones

L=2λ

L21 =λ

L32

3 =λ


LL

λλ

n=1n=1

LL

n=2n=2

n=3n=3

λλ λλ/2/2

Lnn2

=λ

1nffn =

Nodos en los extremos fijos

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Oscilaciones

L41 =λ

L43

2 =λ

124−

=n

Lnλ


Extremo fijo (nodo) y otro móvil (vientre)

λλ/4/4

n=1n=1

n=2n=2

λλ

1212 fnfn ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

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Oscilaciones

Ejemplo.Ejemplo.-- Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0,70 m entre sí y se ajusta la tensión de la cuerda hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 440 Hz. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales de la cuerda?

Ejemplo.Ejemplo.-- Una cuerda de 3 m de longitud y densidad másica 0,0025 Kg/m está sujeta por ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 252 Hz. La siguiente frecuencia de resonancia es 336 Hz.

a) ¿Qué armónico corresponde a la frecuencia de 252 Hz?

b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental?

c) ¿Cuál es la tensión de cuerda?

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OscilacionesREFLEXIREFLEXIÓÓN, REFRACCIN, REFRACCIÓÓN Y DIFRACCIN Y DIFRACCIÓÓNN

Rayo incidente

ii

Rayo refractado

rr

nn11

nn22

Leyes de Leyes de SnellSnell

Reflexión: ii=rrffRayo reflejado

rrff

Refracción:nn22sen ii=n1sen rr

vv22sen ii=v1sen rr

Difracción

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Oscilaciones

ee

r fvv

vf−

=

EFECTO DOPPLEREFECTO DOPPLER

Cuando un foco productor de ondas y un receptor se están moviendo uno con respecto al otro, la frecuencia observada por el receptor no es la emitida por el foco

a)a) Receptor en reposo y emisor móvil acercándose

b)b) Receptor en reposo y emisor móvil alejándose

ee

r fvv

vf+

=

Se acerca: ffrr>>ffee. El sonido recibido es más agudo.

Se aleja: ffrr<<ffee. El sonido recibido es más grave

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29

Oscilaciones

er

r fvvvf −

=

er

r fvvvf +

=

EFECTO DOPPLEREFECTO DOPPLERc)c) Receptor acercándose y emisor en reposo

d)d) Receptor alejándose y emisor en reposo ee

rr f

vvvvf

m

±=

R acerca

R aleja

E acercaE aleja

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OscilacionesEjemplo.Ejemplo.-- Un barco de estudio oceanográficos sitúa un receptor de sonido dentro del agua para captar el sonido de los delfines. Estos emiten frecuencias de 10000 Hz y se mueven a una velocidad de 10 m/s, paralelamente al barco. Hállese la variación de la frecuencia: a)a) cuando se acercan hacia el barco y b)b) cuando se alejan (vsonidoagua=1500 m/s)

Ejemplo.Ejemplo.-- Una persona se halla de pie en el andén cuando pasa, haciendo sonar su silbato, un tren rápido circulando a 120 Km/h. ¿Cuál será la variación relativa de la frecuencia cuando se acerca, respecto a cuando se aleja? (vsonido=344 m/s)

Ejemplo.Ejemplo.-- Un coche se desplaza a una velocidad de 10 m/s hacia una alarma que emite un sonido con una frecuencia de 5000 Hz. a)a) ¿Quéfrecuencia escucha cuando se acerca y b)b) ¿cuándo se aleja?

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Oscilaciones

ee vv

tvtvsen =ΔΔ

=α

ONDAS DE CHOQUEONDAS DE CHOQUE

vv

Mach e=

Ejemplo.Ejemplo.-- En el instante t=0, un avión supersónico se encuentra sobre un punto P volando hacia el este a una altura de 15 Km. El estampido sónico se oye en el punto P cuando el avión está a 22 Km al este de dicho punto. ¿Cuál es la velocidad de avión supersónico?

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