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Semestre

3-2009 Jos Luis Quintero

Octubre 2009

TEMA 1

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE

REAL

Clculo III (0253)

Semestre 3-2009

Funciones Vectoriales

de Variable Real

Prof. Jos Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CLCULO III (0253) - TEMA 1

Las notas presentadas a continuacin tienen como nico fin, el de prestar apoyo al

estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de funciones vectoriales de una variable

real.

La gua contempla un pequeo resumen de la teora correspondiente que sirve de

repaso a los contenidos tericos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y

propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guas redactadas por profesores,

tambin hay ejercicios tomados de exmenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo

ms didctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseanza del Clculo III en

Ingeniera.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora

del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente direccin de correo:

[email protected].

INDICE GENERAL Funciones Vectoriales

de Variable Real


1.1. Vectores

1.2. Cantidades escalares y vectoriales

1.3. Funcin vectorial de una variable real

1.4. Ejercicios resueltos

1.5. Parametrizacin de algunas curvas


1.7. Grfica de curvas paramtricas con Graphmatica

1.8. Longitud, magnitud o norma de un vector

1.9. Producto escalar

1.10. ngulo entre vectores

1.11. Producto vectorial

1.12. Lmite de una funcin vectorial

1.13. Continuidad de una funcin vectorial

1.14. Derivada de una funcin vectorial

1.15. Interpretacin geomtrica y fsica de la derivada

1.16. Integral de una funcin vectorial

1.17. Longitud de arco


1.19. Grficas de curvas paramtricas en R2


1.21. Vectores cannicos. Direcciones

1.22. Vectores ortogonales. Proyeccin ortogonal

1.23. Clculo de la proyeccin de un vector sobre otro

1.24. Formas de la ecuacin del plano

1.25. Sistema de coordenadas mvil


1.27. Curvatura

1.28. Curvatura para una recta. Curvatura para una circunferencia

1.29. Componentes tangencial y normal de la aceleracin

1.30. Circunferencia osculatriz y centro de curvatura

1.31. Torsin

1.32. Frmulas de Frenet

1

2

3

5

7

13

23

23

25

25

26

29

30

31

31

32

32

34

39

46

60

61

62

63

65

68

70

72

73

74

75

75

INDICE GENERAL Funciones Vectoriales

de Variable Real



1.34. Sistema de coordenadas polares

1.35. Representaciones de una curva en polares

1.36. Ecuacin polar de una recta

1.37. Ecuacin polar de una circunferencia

1.38. Distancias en coordenadas polares

1.39. Ecuacin polar de una cnica

1.40. Grficas en coordenadas polares

1.41. Interseccin de curvas en polares

1.42. Forma paramtrica de una curva en polares. Bsqueda de tangentes

1.43. Longitud de arco y rea en polares

1.44. Resumen de frmulas


1.46. Ejercicios propuestos

78

93

94

95

96

97

09

99

101

102

104

105

106

120

VECTORES Funciones Vectoriales

de Variable Real Pg.: 1 de 305


1.1. VECTORES

Definicin 1. Un vector es un objeto de la forma x 1 2 n(x ,x ,..., x )= con ix R, i 1,...,n= .

Un vector es una magnitud representada por un segmento dirigido (flecha). Se

caracteriza por poseer:

a. Una longitud, la que es representada por un valor numrico al que se llama mdulo,

norma o tamao del vector (ver figura 1).

Figura 1. Clculo del mdulo, norma o tamao de un vector

b. Una direccin, que es la recta a la que pertenece (ver figura 2).

c. Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos

+ para un lado y - para el otro (ver figura 2).

Figura 2. Direccin y sentido de un vector

VECTORES Funciones Vectoriales



Los vectores pueden situarse en el plano, (dos dimensiones) (ver figura 3), en el

espacio (tres dimensiones) (ver figura 4) y hasta en dimensiones mayores a tres. Los vectores

que se encuentren en el plano se llamarn pares, mientras los que se ubiquen en el espacio

se llamarn ternas.

Figura 3. Vector en dos dimensiones

Figura 4. Vector en tres dimensiones

1.2. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

Diversas medidas como la temperatura, distancia, masa, tiempo, densidad, energa,

rea, altura, etc, se pueden representar mediante un solo nmero real, estas se llaman

cantidades escalares. Otras como la fuerza que acta sobre un objeto, velocidad y

aceleracin de un cuerpo, necesitan, adems de la magnitud, describir una direccin y un

sentido. Estas se llaman cantidades vectoriales y se logra describirla mediante

coordenadas. Se estudiarn con detalle algunas caractersticas de estas ltimas cantidades.

CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

Funciones Vectoriales de Variable Real Pg.: 3 de 305


1.3. FUNCIN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL

Definicin 2. Se define una funcin vectorial de variable real como: r n: I R ,

r 1 nt (t) (r (t),...,r (t)) = , donde I es un intervalo en R, ir con i 1,...,n= es una funcin real de variable real con dominio iI . Las funciones ir se llaman funciones coordenadas de la funcin

r.

Definicin 3. El dominio de una funcin vectorial r es la interseccin de los dominios de

las funciones coordenadas, es decir,

rn

ii 1

D( ) I I=

= = .

Ejemplo 1. Dada la funcin r 3(t) ( t 3, t 3, t )= + , encuentre su dominio.

Solucin.

Las funciones coordenadas vienen dadas por:

1 1

2 2

33 3

r (t) t 3 D(r ) [3, )

r (t) t 3 D(r ) [ 3, )

r (t) t D(r ) R

= =

= + =

= =

.

Por lo tanto,

r3

ii 1

D( ) D(r) [3, )=

= = .

Definicin 4. El rango o imagen de una funcin vectorial r es un conjunto de puntos en nR . Muchas funciones vectoriales con imagen en 2R o 3R tienen como rango lugares

geomtricos conocidos.

Ejemplo 2. Dada la funcin r (t) (4 cos(t),4sen(t)), t [0,2 ]= ,

encuentre su rango o imagen.

Solucin.

La imagen de la funcin es una circunferencia de radio 4. En efecto llamando a sus funciones coordenadas x(t) 4 cos(t), y(t) 4sen(t)= = , se tiene

2 2 2 2x y 16 cos (t) 16sen (t) 16+ = + = .

FUNCIN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL



Ejemplo 3. Dada la funcin r (t) (2 t,3 2t,1 2t), t R= + + + , encuentre su rango o imagen.

Solucin.

Se puede observar que cada funcin coordenada corresponde a una ecuacin paramtrica de

una recta, en este caso, en 3R .

El rango o imagen de una funcin vectorial es un conjunto de puntos en nR , que se

llama curva. Una curva puede ser representada por una o ms funciones vectoriales.

Ejemplo 4. Las funciones vectoriales definidas como f (t) (1 2t,2 t) , t [0,1]= + y g (t) (3 2t,1 t) , t [0,1]= +

tienen el mismo conjunto imagen: el segmento de recta que une los puntos (1,2) y (3,1).

Observacin 1. Una funcin vectorial r lleva implcita dos caractersticas fundamentales: la

forma de la curva (imagen de la funcin) y la manera como se recorre sta (sentido de

recorrido y posicin).

Observacin 2. Si la funcin r es inyectiva, es decir, r r1 2 1 2 1 2t , t I, t t (t ) (t ) la curva

no tiene puntos de autointerseccin, se dir en este caso que es una curva simple. Si r r(a) (b)= se dir que la curva es cerrada en [a,b].

Ejemplo 5. La circunferencia f(t) (2cos(t),2sen(t))= con 0 t 2 , es una curva cerrada, ya que f f(0) (2 )= .

Ejemplo 6. La curva conocida con el nombre de estrofoide (ver figura 5) imagen de la funcin

r2 3

2 2

t 1 t t(t) ,

t 1 t 1

= + + ,

no es una curva simple, se autointersecta, en efecto: r r(1) ( 1).=

Figura 5. Representacin grfica de la estrofoide

EJERCICIOS RESUELTOS Funciones Vectoriales



1.4. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dada la funcin r 3(t) (t, t ), t R= , encuentre su rango o imagen.

Solucin. El rango o imagen en este caso viene dado por la grfica de 3y x= .

2. Encuentre los valores de t para los cuales la curva

r2

2

t t(t) ,

1 t t 1

=

se autointersecta.

Solucin. Sean 1t A= y 2t B= . Se tiene entonces:

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2A B A (1 B) B (1 A) A A B B B A A B B A A B 0

1 A 1 B(A B)(A B) AB(B A) 0 AB(B A) (B A)(B A) 0(AB A B)(B A) 0 A B o AB A B

= = = + =

+ + = + = = = = +

Por otro lado

2 2 2 2 2 22 2

A BA(B 1) B(A 1) AB A A B B AB A B B A 0

A 1 B 1AB(B A) (B A) 0 (AB 1)(B A) 0 A B o AB 1

= = = + =

+ = + = = =

Se puede concluir que A B 1 B (A 1)+ = = + de modo que

2 22 2 3 2 2

3 2 2 3 2 3 2

A (A 1)A (A 2) (A 1) (1 A) A 2A (A 2A 1)(1 A)

1 A A 2A 2A A A 2A 2A 1 A 2A 3A A 1 0

+= + = + + = + + +

+ = + + + =

Aplicando Ruffini se tiene

1 2 31 1 5 1 5

A , A , A2 2 2

+= = = .

Buscando los puntos se tiene: 1 1

A B2 2

= = (No dice nada).

1 5 1 5 1 5 1 5A B 1

2 2 2 2

+ + += = = =

punto de autointerseccin

Se concluye que

r r1 5 1 5

(1, 1).2 2

+ + = =




3. En la figura 6, la circunferencia de radio a es fija y para todo valor del ngulo t, 0 t< < ,

P es el punto de interseccin de la recta vertical que pasa por A y la recta horizontal que

pasa por B. Encuentre las ecuaciones paramtricas de la curva descrita por P sabiendo que el punto A siempre se encuentra sobre la recta y 2a= y el punto B siempre se encuentra

sobre la circunferencia.

Figura 6. Grfica del ejercicio 3

Solucin.

Se tiene que

x y x y(t) (P (t),P (t)) (A (t),B (t))= =P

Las coordenadas de la curva descrita por el punto A vienen dadas por A x y(t) (A (t), A (t)) (2a.ctg(t),2a)= =

Aplicando semejanza de tringulos se tiene que x yB (t) ctg(t).B (t)= . Como B siempre se

encuentra sobre la circunferencia, entonces 22 2

x y y yB (t) a B (t) a B (t) 2a B (t) = = .

Sustituyendo y elevando al cuadrado se tiene

22 2y y y y y

2y y

B (t) 2a B (t) ctg (t). B (t) 2a B (t) ctg (t).B (t)

B (t) 2asen (t) , B (t) 0

= = =

Las coordenadas de la curva descrita por el punto B vienen dadas por

B 2x y(t) (B (t),B (t)) (a.sen(2t),2a.sen (t))= =

De modo que 2

x y(t) (P (t),P (t)) (2a.ctg(t),2asen (t))= =P

PARAMETRIZACIN DE ALGUNAS CURVAS



1.5. PARAMETRIZACIN DE ALGUNAS CURVAS

a. Recta. La imagen de la funcin vectorial

f 0 1 0 0 1 0(t) (x (x x )t, y (y y )t)= + + , t R

es una recta que pasa por los puntos 0 0(x ,y ) y 1 1(x ,y ) recorrida en el sentido que va

desde el punto 0 0(x ,y ) al punto 1 1(x ,y ) . Si se desea cambiar el sentido, basta con

cambiar t por t . En tal caso se obtiene la funcin vectorial g 0 0 1 0 0 1(t) (x (x x )t,y (y y )t)= + + , t R

que resulta ser una recta que pasa por los puntos 0 0(x ,y ) y 1 1(x ,y ) recorrida en el

sentido que va desde el punto 1 1(x ,y ) al punto 0 0(x ,y ) .

Observacin 3. Si se desea parametrizar un segmento de recta de extremos 0 0(x ,y ) y

1 1(x ,y ) recorrido en el sentido que va desde el punto 0 0(x ,y ) al punto 1 1(x , y ) se

consigue usando la funcin vectorial f 0 1 0 0 1 0(t) (x (x x )t,y (y y )t)= + + , t 0,1

b. Circunferencia. La imagen de la funcin vectorial f(t) (h r cos(t),k rsen(t)),= + + t [0,2 ]

es una circunferencia de centro (h,k) y radio r recorrida en sentido antihorario.

La imagen de la funcin vectorial g(t) (h r cos(t),k rsen(t)),= + t [0,2 ]

es una circunferencia de centro (h,k) y radio r recorrida en sentido horario.

c. Elipse. La imagen de la funcin vectorial f(t) (h acos(t),k bsen(t)),= + + t [0,2 ]

es una elipse de ecuacin 2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

+ =

recorrida en sentido antihorario.

La imagen de la funcin vectorial g(t) (h acos(t),k bsen(t)),= + t [0,2 ]

es una elipse de ecuacin 2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

+ =

recorrida en sentido horario.




d. Parbola. La imagen de la funcin vectorial

f 2(t) (h 2pt,k pt ) , t R= + +

es una parbola de ecuacin 2(x h) 4p(y k) = con sentido de recorrido de izquierda a

derecha o de derecha a izquierda segn p sea positivo o negativo respectivamente.

La imagen de la funcin vectorial

f 2(t) (t,at bt c) , t R= + +

es una parbola de ecuacin 2y ax bx c= + + con sentido de recorrido de menor a mayor

valor de la variable x.


f 2(t) (at bt c, t) , t R= + +

es una parbola de ecuacin 2x ay by c= + + con sentido de recorrido de menor a mayor

valor de la variable y.

e. Hiprbola. La imagen de la funcin vectorial f (t) (h acosh(t),k bsenh(t)), t R= + +

es la rama derecha de la hiprbola de ecuacin 2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

= .

Observacin 4. La ecuacin cartesiana (en este caso la hiprbola) contiene ms puntos

de los que generan las ecuaciones paramtricas planteadas.

La imagen de la funcin vectorial g

2 2(t) (h asec(t),k b t g(t)) , t = + + < <

tambin es la rama derecha de la hiprbola de ecuacin 2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

= .


f 2 2a

(t) h b (t k) , t , t Rb

= + +

es la rama derecha de la hiprbola de ecuacin

2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

=

con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable y.


f 2 2a

(t) h b (t k) , t , t Rb

= +

es la rama izquierda de la hiprbola de ecuacin




2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

=

con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable y.


f 2 2b

(t) t,k a (t h) , t Ra

= + +

es la rama superior de la hiprbola de ecuacin 2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

+ =

con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable x.


f 2 2b

(t) t,k a (t h) , t Ra

= +

es la rama inferior de la hiprbola de ecuacin 2 2

2 2

(x h) (y k)1

a b

+ =

con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable x.

f. Cicloide. La cicloide es el lugar geomtrico descrito por un punto P sobre una

circunferencia de radio a que gira sin deslizar sobre el eje x. La funcin vectorial cuya

imagen es la cicloide es f ( ) (a asen( ),a acos( )) , 0 2 = .

La ecuacin rectangular de la cicloide es

2a yx aarccos 2ay y ,a =

en donde debe tomarse el signo positivo o el negativo segn que sea menor o mayor que radianes en el arco comprendido entre 0 = y 2 = .

g. Hlice. La hlice es la imagen de la funcin vectorial

fb

(t) r cos(t),rsen(t), t .2

=

Las funciones coordenadas satisfacen la ecuacin 2 2 2(x(t)) (y(t)) r+ = , ecuacin de la

circunferencia; b2z(t) t= levanta el punto a altura b2 t , por lo tanto la curva en

3R se

ver como en la figura 7. Cuando t aumenta la curva se recorre en sentido antihorario.

Observacin 5. Recuerde que en cada curva para cambiar el sentido de recorrido debe cambiar el parmetro t por t , adecuando el intervalo de recorrido.




Figura 7. Representacin grfica de la hlice

Ejemplo 7. Determine una parametrizacin de la curva dada por las ecuaciones

2 2

12

22

12

(x 2) (y 1) 4 1 y 3y (x 2) 0 y 1

xy 1 1 y 0

4y (x 2) 0 y 1

+ =

= +

+ = =

en sentido antihorario.

Solucin. 2 2

1C :(x 2) (y 1) 4 + = , 1 y 3 . 1r (t) (2 2cos(t),1 2sen(t))= + + , 0 t 1

2 2C : y (x 2)= + , 0 y 1 . 2r (s) (0 2s,1 s)=

0 s 1 s 1 t s s t + + = + = . 2r (t) ( 2(t ),1 t)= + , t 1 < + . 2

23

xC : y 1

4+ = , 1 y 0 . 3r (w) (2 cos(w),sen(w))=

w 2 1 1 w 1 2 t 1 w w t 1 + + + = + =

3r (t) (2cos(t 1), sen(t 1))= , 1 t 1 2+ < + 1

4 2C : y (x 2)= , 0 y 1 . 4r (z) (2 2z,0 z)= + +

0 z 1 1 2 1 2 z 2 2 t 1 2 z + + + + = + +

4r (t) (2 2(t 1 2 ), t 1 2 )= + , 1 2 t 2 2+ < +

Por lo tanto

r

(2 2cos(t),1 2sen(t)) 0 t( 2t 2 ,1 t) t 1

(t)(2cos(t 1),sen(t 1)) 1 t 1 2

(2t 4 , t 1 2 ) 1 2 t 2 2

+ + + + < + = + < + + < +

.




La grfica que corresponde es la que se muestra en la figura 8:

Figura 8. Representacin grfica de la curva del ejemplo 7

Ejemplo 8. 2y x 1 , 2 x 2= , de derecha a izquierda.

Solucin.

Forma alternativa de presentar la curva: 2

2

2

y x 1 2 x 1

y 1 x 1 x 1

y x 1 1 x 2

= = =

.

21C : y x 1 , 1 x 2=

1r 2a a

(a) , 1 4 a 2 0 a 4 2 t a 4 a t 42 4

= + + = + =

1r 2(t 4) (t 4)

(t) , 1 0 t 22 4

= +

22C : y 1 x , 1 x 1=

2r 2b 1(b) ,1 b 2 b 2 2 b 4 6 t b 4 b t 4

2 4 = + = + =

2r 21 (t 4)

(t) t 2,1 2 t 62 4

= + <

23C : y x 1 , 2 x 1=

3r 2c c

(c) ,1 2 c 4 6 c 4 8 t c 4 c t 42 4

= + = + =




3r 2(t 4) (t 4)

(t) ,1 6 t 82 4

=

Por lo tanto

r

2

2

2

(t 4) (t 4), 1 0 t 2

2 4

1 (t 4)(t) t 2,1 2 t 6

2 4

(t 4) (t 4),1 6 t 8

2 4

+ = + <

<

Otra forma:

21C : y x 1 , 1 x 2= , 1r 2(t) ( t, t 1) 2 t 1=

22C : y 1 x , 1 x 1= , 2r 2(t) ( t,1 t ) 1 t 1= <

23C : y x 1 , 2 x 1= , 3r 2(t) ( t, t 1) 1 t 2=

Por lo tanto

r

2

2

2

( t, t 1) 2 t 1

(t) ( t,1 t ) 1 t 1

( t, t 1) 1 t 2

= < <







1. Sea R la regin definida por

2

y x 2

y 4 x

+

.

Determine una parametrizacin de la curva frontera de la regin R en sentido horario.

Solucin.

Una forma equivalente de definir la regin R es 2y 4 x 1 x 1

y x 2 0 x 1y x 2 1 x 0

=

= + = +

.

Proceso de parametrizacin en el sentido indicado:

1 r 2 2

1C : y 4 x , 1 x 1 (t) (t,4 t ), 1 t 1= =

2

2

r

r 2C : y x 2, 0 x 1 (u) (1 u,3 u), 0 u 1 1 u 1 2 t u 1

(t) (2 t,4 t), 1 t 2

= + = + = + =

3

3

r

r 3C : y x 2, 1 x 0 (s) ( s,2 s), 0 s 1 2 s 2 3 t s 2

(t) (2 t, t), 2 t 3

= + = + + = + =

Una parametrizacin de la curva frontera de la regin R en sentido horario es:

r

2(t, 4 t ) 1 t 1(t) (2 t,4 t) 1 t 2

(2 t, t) 2 t 3

= < <

.

Al graficar la regin R se tiene (ver figura 10):

Figura 10. Representacin grfica de la curva del ejercicio 1




2. Sea la curva dada por 2

2

2 2

(y 2)(x 1) 1 2 y 4

4y 2(x 1) 0 y 2

x y 1 1 y 0y 2(x 1) 0 y 2

+ = = + + = =

.

Determine una parametrizacin en sentido antihorario.

Solucin.

Grfica de la curva (ver figura 11):

1r 1C : (t) (1 cos(t),2 2sen(t)) , 0 t= + +

2

2

r

r 2C : (s) ( s,2 2s) , 0 s 1 s 1 t 1 s t

(t) ( t,2 2(t )) , t 1

= + + + = = +

3

3

r ,

r 3C : (u) (cos(u),sen(u)) u 2 1 u 1 1 2 1 t 1 2 u t 1

(t) (cos(t 1),sen(t 1)) , 1 t 1 2

= + + + + + = = + +

4

4

r ,

r

4C : (s) (1 s,2s) 0 s 1

1 2 s 2 1 2 2 1 2 t 2 2 s t 2 1(t) (1 t 2 1,2(t 2 1)) , 1 2 t 2 2

= + + + + + + + =

= + + +


En conclusin se tiene

r

(1 cos(t),2 2sen(t)) 0 t( t,2 2(t )) t 1

(t)(cos(t 1),sen(t 1)) 1 t 1 2

(1 t 2 1,2(t 2 1)) 1 2 t 2 2

+ + < + = + < + + + < < +

.




3. Determine una parametrizacin en sentido antihorario y obtenga el grfico de la curva

2 2

2

x y 4 2 x 4

y 2 3 0 2 x 4

yx 2 4 2 3 y 2 3

3

= =

= +

.

Solucin. r 1 1C : (t) (2sec(t),2tg(t)) , / 3 t / 3=

r

r ,

2 2

2

C : (s) (4 6s, 2 3) , 0 s 1

/3 s /3 1 /3 /3 t 1 /3 s t /3

(t) (4 6(t / 3), 2 3) /3 t 1 /3

= + + + =

= +

r

r

3 3

3

C : (u) ( 2 2cos(u), 2 3sen(u)) , / 2 u / 2

/ 2 1 5 / 6 u 1 5 / 6 / 2 5 / 6 1 u t 1 5 / 6

(t) ( 2 2cos(t 1 5 / 6), 2 3sen(t 1 5 / 6)) , 1 / 3 t 1 4 / 3

= + + + + + + + =

= + + +

r

r

4 4

4

C : (w) ( 2 6w,2 3) , 0 w 1

1 4 /3 w 1 4 /3 2 4 /3 w t 4 /3 1

(t) ( 2 6(t 4 /3 1),2 3) , 1 4 /3 t 2 4 /3

= + + + + + =

= + + +

En conclusin se tiene

r

(2sec(t),2tg(t)) / 3 t / 3

(4 6(t / 3), 2 3) / 3 t 1 / 3(t)

( 2 2cos(t 1 5 / 6), 2 3sen(t 1 5 / 6)) 1 / 3 t 1 4 / 3

( 2 6(t 4 / 3 1,2 3) 1 4 / 3 t 2 4 / 3

< + = + + < +

+ + < < +

.

El grfico se presenta a continuacin en la figura 12:





4. Determine una parametrizacin en sentido antihorario y obtenga el grfico de la curva

2 2

2

2

x y 1 1 x 0y x 1 0 0 x 3

3 4 (y 2)x 2 y 4

2

x y 5y 4 1 y 4

+ =

+ =

=

= +

.

Solucin.

Curva 1: 2 2x y 1 , 1 x 0+ = .

1r 3

2 2(A) (cos(A),sen(A)) , A = .

Curva 2: y x 1 0 , 0 x 3 + = . 2r (B) (3B, 1 3B) , 0 B 1= + .

Curva 3: 23 4 (y 2)

x , 2 y 42

= .

3r 2(C) (3cos(C),2 2sen(C)) , 0 C= + .

Curva 4: 2x y 5y 4 , 1 y 4= + . 25 92 4x (y ) , 1 y 4= +

4r 2 9 5 3 3

4 2 2 2(D) ( D , D) , D= + .

Usando un solo parmetro se tiene: C1: 2 2x y 1 , 1 x 0+ = .

1r 3

2 2(t) (cos(t), sen(t)) , t = .

C2: y x 1 0 , 0 x 3 + = .

2r 3 3 3 32 2 2 2(t) (3(t ), 1 3(t )) , t 1 = + + .

C3: 23 4 (y 2)

x , 2 y 42

= .

3r 3 3 32 2 2(t) (3cos(t 1 ),2 2sen(t 1 )) , 1 t 1 2 = + + + .

C4: 2x y 5y 4 , 1 y 4= + .

4r 25 9 5 5

2 4 2 2(t) ( (t 2 ) , (t 2 )) , 1 2 t 4 2= + + + .

Por tanto:

1

2

3

4

r

rr

r

r

32 2

3 32 2

32

(t) t

(t) t 1(t)

(t) 1 t 1 2

(t) 1 2 t 4 2

+=

+ + + +

.

Su grfico se muestra a continuacin en la figura 13.





5. Determine una parametrizacin en sentido horario y obtenga el grfico de la curva

2 2

2

y x 1 2 x 1

x y 1 1 y 0

x 2y 4 0 x 2

+ + = = =

.

Solucin.

1C : y x 1= + , 1 x 0 .

1r (t) ( 1 t, t)= + , 0 t 1

2C : y x 1= + , 0 x 1 . 2r (s) (s,1 s)=

0 s 1 1 s 1 2 t s 1 s t 1 + = + = .

2r (t) (t 1,2 t)= , 1 t 2< 2

3C : x y 1= + , 1 y 0 . 3r2(w) ( w 1, w)= +

0 w 1 2 w 2 3 t w 2 w t 2 + = + = .

3r2(t) ( t 4t 5,2 t)= + , 2 t 3< 21

4 2C : y x 2= , 2 x 2 . 4r

212

(z) ( z, z 2)=

2 z 2 3 z 3 2 3 2 2 t z 3 2 z t 3 2 + + + = + + =

4r21

2(t) (3 2 t, (t 3 2) 2)= + , 3 t 3 2 2< +

25C : x y 1= + , 1 y 0 . 3r

2(w) ( w 1,w)= +

1 w 0 3 2 2 w 4 2 2 4 2 2 t w 4 2 2 w t 4 2 2 + + + + = + + = .

5r2(t) ( (t 4 2 2) 1, t 4 2 2)= + , 3 2 2 t 4 2 2+ < +

Por lo tanto




r2

212

2

(t 1, t) 0 t 1(t 1,2 t) 1 t 2

( t 4t 5,2 t) 2 t 3(t)(3 2 t, (t 3 2) 2) 3 t 3 2 2

( (t 4 2 2) 1, t 4 2 2) 3 2 2 t 4 2 2

< + < = + < +

+ + < +

.



6. Una curva C est definida por

2 22

y cos(x) x ,4 2

2 2y x x 0,

4

x y y ,04 16 4

=

= + =

.

Parametrice la curva C en sentido antihorario.

Solucin.


1 r 1 4 2 2 4C : y cos(x), x (t) ( t,cos(t)), t = =

2

2

r

r

2 2 2 22 4 4 4 2 2

4 4 4 4

2 24 4 4 2 2 4 4 4

C : y x, 0 x (u) ( u, u), 0 u 1

u 1 t u

(t) ( (t ), (t )), t 1

= =

=

= + +




3

3

r

r

22 23 4 16 4 4 4 4

5 3 54 4 4 4

5 54 4 4 4 4

C :(x ) y , y 0 (s) ( cos(s), sen(s)),

s 2 1 s 1 1 t s 1

(t) ( cos(t 1 ), sen(t 1 )),

+ = = +

+ + = +

= + + + 34 4

1 t 1 +

Una parametrizacin de la curva frontera de la regin R en sentido antihorario es:

r

2 4

2 24 4 4 2 2 4 4 4

5 5 34 4 4 4 4 4 4

( t, cos(t)) t

(t) ( (t ), (t )) t 1

( cos(t 1 ), sen(t 1 )) 1 t 1

= + + + + + +

.



7. Sea la curva cuya trayectoria viene definida por 2 2

2

2 2

x y 16y 60 8 y 102x y 4 0 y 8

y 4 x 4 y 0

16(x 2) (y 4) 16 2 x 1

+ =

=

+ = + + =

.

D una parametrizacin para la curva en sentido horario.

Solucin.

Proceso de parametrizacin en el sentido indicado: 2 2 2 2

1C : x y 16y 60 x (y 8) 4, 8 y 10

(t) (2 cos(t),8 2sen(t)), 0 t

+ = + = = + 1

r

Sentido horario: 1r (t) (2cos(t),8 2sen(t)), t 0=




2 32x y 4 4 y 8

C ,C :2x y 42x y 4 0 y 4

(s) (2,8) s( 2, 4) (2 2s,8 4s) , 0 s 1(w) (0,4) w(2, 4) (2w,4 4w) , 0 w 1

(t) (2 2t,8 4t) , 0 t 1 0 w 1 1 w 1 2 1 t 2

= = = +

= + =

= + = = +

2

3

2

r

r

r

t w 1 w t 1 = + =

3 r (t) (2(t 1),4 4(t 1)) (2t 2,8 4t) , 1 t 2= = 2 2 2

4

2

C : y 4 x y x 4, 4 y 0 (v) (v,v 4), 2 v 2

Sentido horario : (v) ( v,v 4), 2 v 2 2 v 4 6

t v 4 v t 4

+ = = =

= + = + =

4

4

r

r

4 r 2(t) ( (t 4),(t 4) 4), 2 t 6=

5

r

22 2 2

5

2 2 2

2 2

(y 4)C :16(x 2) (y 4) 16 (x 2) 1, 2 x 1

16(u) ( 2 cos(u),4 4sen(u)), u 6 u 6 6

t u 6 u t 6

+ + = + + =

= + + + + +

= + + =

5 r 2 2(t) ( 2 cos(t 6 ),4 4sen(t 6 )), 6 t 6 = + + +

Una parametrizacin de la curva en sentido horario es:

r2

2 2

(2 cos(t),8 2sen(t)) t 0(2 2t,8 4t) 0 t 1(2t 2,8 4t) 1 t 2(t)

( (t 4),(t 4) 4) 2 t 6( 2 cos(t 6 ),4 4sen(t 6 )) 6 t 6

= + + +

.

Al graficar la curva se tiene (ver figura 16):






2 2

y sen(x) x 0,

2y x 2 x 0,

x (y 1) 1 x 1,0

= = + + =

.

Parametrice la curva C en sentido horario.

Solucin.


1 r 1C : y sen(x), 0 x (t) (t,sen(t)), 0 t= =

2

2

r

r

22C : y x 2, 0 x (u) ( u , 2u), 0 u 1 u 1 t u

(t) ( (t ) , 2(t )), t 1= = + + = +

= +

3

3

r

r

2 23

3 5 52 2 2 2

5 52 2

C : x (y 1) 1, 1 x 0 (s) (cos(s), 1 sen(s)),

s 1 s 1 1 2 t s 1

(t) (cos(t 1 ), 1 sen(t 1 )), 1 t 1 2

+ = =

+ + + + = + +

= + +

Una parametrizacin de la curva frontera de la regin R en sentido horario es:

r5 52 2

(t,sen(t)) 0 t(t) ( (t ) , 2(t )) t 1

(cos(t 1 ), 1 sen(t 1 )) 1 t 1 2

= + + < +

.







2 2

y tg(x) x 0,4

(x 1) y 1 y 1,0

4y (x 2) y 0,1

8

=

+ = =

.

Parametrice la curva C en sentido antihorario.

Solucin.


1 r 1 4 4C : y tg(x), 0 x (t) ( t, tg(t)), t 0 = =

2

2

r

r

2 22C :(x 1) y 1, 1 y 0 (s) (1 cos(s), sen(s)),

s 2 0 s t s(t) (1 cos(t ),sen(t )), 0 t

+ = = + = = + + +

3

3

r

r

43 8 4

4

C : y (x 2), 0 y 1 (u) (2 u( 2),u), 0 u 1

u 1 t u

(t) (2 (t )( 2), t ), t 1

= = +

+ + = +

= + +

Una parametrizacin de la curva frontera de la regin R en sentido antihorario es:

r4

4

( t, tg(t)) t 0

(t) (1 cos(t ),sen(t )) 0 t(2 (t )( 2), t ) t 1

= + + + + +

.



GRFICA DE CURVAS PARAMTRICAS CON GRAPHMATICA



1.7. GRFICA DE CURVAS PARAMTRICAS CON GRAPHMATICA

La grfica de curvas dadas en forma paramtrica es sencilla usando el graficador

Graphmatica. Si se quiere graficar la circunferencia de ecuacin 2 2x y 9+ = , se deben indicar

sus ecuaciones paramtricas y el intervalo del parmetro tome los valores. En este caso: { } x 3 * cos(t); y 3 * sin(t) 0,2 *pi= =

El ambiente de trabajo de Graphmatica puede apreciarse en la figura 19. Para buscar

aspectos generales del uso de Graphmatica ingrese en la direccin www.joseluisquintero.com y

en el link docencia en la asignatura Clculo III descargar el archivo.pdf correspondiente.

Figura 19. Ambiente de trabajo de Graphmatica

1.8. LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR

Definicin 5. La longitud, magnitud o norma de un vector es una cantidad escalar

asociada con el tamao del vector y se puede calcular como

x 2 2 21 2 nx x ... x= + + + .

LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR



El teorema de Pitgoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R3

(ver figura 20). Si P (x, y,z)= , del teorema de Pitgoras se tiene que

OP OR2 2 2z= + ,

aplicando el teorema de Pitgoras al vector OR se obtiene

OR 2 2 2x y= +

y reemplazando esta ltima ecuacin en la primera:

OR 2 2 2 2x y z= + + .

Como la norma de un vector es no negativa se tiene que

P OP 2 2 2x y z= = + + .

TEOREMA 1. (PROPIEDADES DE LA NORMA) a. x x 00= =

b. x x 00>

c. x x = ( escalar real)

d. x y x y+ + (Desigualdad triangular)

Observacin 6. x se dice unitario si y slo si x 1= .

TEOREMA 2. Sea x nR , entonces xx

es unitario.

Figura 20. Norma de un vector en tres dimensiones usando el teorema de Pitgoras

PRODUCTO ESCALAR Funciones Vectoriales



1.9. PRODUCTO ESCALAR

Definicin 6. Dados los vectores x 1 2 n(x ,x ,..., x )= y y 1 2 n(y ,y ,..., y )= se define el producto escalar x y, por

x yn

1 1 n n i ii 1

x y ... x y x y=

= + + = .

TEOREMA 3. (PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR) a. x y y x = b. x y x y( ) ( ) = c. x y z x y x z( ) + = +

d. x x 0 e. x x x 00 = =

Observacin 7. x x x = .

1.10. NGULO ENTRE DOS VECTORES

Definicin 7. Sean A y B dos vectores de R3 o R2 no nulos, el ngulo entre los vectores

coordenados A y B es el ngulo entre los vectores fijos OA y OB y donde es un ngulo

entre 0 y 180 .

TEOREMA 4. Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces 2 2 2

cos( )2

+ =

A B B A

A B.

Demostracin.

Por la ley de los cosenos se tiene que 2 2 2

2 cos( ) = + B A A B A B .

(ver figura 21)

De modo que 2 2 2

cos( )2

+ =

A B B A

A B.

NGULO ENTRE DOS VECTORES



Demostracin.

Figura 21. ngulo entre dos vectores usando la norma de vectores

Si A 1 2 3(a ,a ,a )= y B 1 2 3(b ,b ,b )= son vectores de R

3, entonces

B A

B A

2 2 2 21 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

2 21 1 2 2 3 3

(b a ) (b a ) (b a )

(b b b ) (a a a ) 2(b a b a b a )

2(b a b a b a )

= + +

= + + + + + + +

= + + +

Reemplazando se tiene que 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 32(b a b a b a ) (b a b a b a )cos( )2

+ + + + + + = = =A B B A A B

A B A B A B

1.11. PRODUCTO VECTORIAL

Considere el problema de encontrar un vector X (x,y,z)= perpendicular a dos vectores no nulos y no paralelos A 1 2 3(a ,a ,a )= y B 1 2 3(b ,b ,b )= . Como A X B X 0 = = , el problema

se reduce a la solucin del sistema de ecuaciones dado por

1 2 3

1 2 3

a x a y a z 0

b x b y b z 0

+ + =+ + =

.

Se puede eliminar z multiplicando la primera ecuacin por 3b y la segunda por 3a y

luego sumndolas se obtiene

1 3 3 1 2 3 3 2(a b a b )x (a b a b )y 0 + = (*)

PRODUCTO VECTORIAL Funciones Vectoriales



De forma semejante, se puede eliminar y y

1 2 2 1 3 2 2 3(a b a b )x (a b a b )z 0 + = (**)

Se ve fcilmente que para cualquier constante k,

2 3 3 2x k(a b a b )= , 3 1 1 3y k(a b a b )= , 1 2 2 1z k(a b a b )=

es una solucin para el sistema formado por (*) y (**). Como se puede ver hay infinitas

soluciones a este sistema todas ellas mltiplos escalares. Cuando k 1= la solucin se define como el producto vectorial A B . Por lo anterior, A B es un vector perpendicular tanto a A como a B (ver figura 22).

Figura 22. Producto vectorial de dos vectores

Definicin 8. Para cualquier par de vectores A y B de R3 el producto vectorial de A por B se

define como A B 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1(a b a b ,a b a b ,a b a b ) = .

Observacin 8.

a. Si A o B es el vector nulo, entonces es claro que A B 0 = . b. Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces B A= para algn escalar , por

tanto




A B A A

1 2 3 1 2 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

( ) (a ,a ,a ) ( a , a , a )

(a ( a ) a ( a ),a ( a ) a ( a ),a ( a ) a ( a ))

( a a a a , a a a a , a a a a ) (0,0,0)

= = = = =

Se tiene entonces que si A B son vectores paralelos entonces A B 0 = . Usando

determinantes se tiene que i j k

A B 1 2 31 2 3

a a ab b b

= .

TEOREMA 5. (PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL) Sean A, B y C vectores de R3 y un nmero real. a. A A 0 = b. 0 A A 0 0 = =

c. B A A B = d. A B C A B A C( ) + = + e. A B A B A B( ) ( ) ( ) = =

Observacin 9. El producto cruz o vectorial en general no cumple la propiedad asociativa, es

decir, A B C A B C( ) ( ) .

Relacionando al producto vectorial con el producto escalar se tiene

A B A B A B2 2 22( ) + = .

(Identidad de Lagrange)

TEOREMA 6. Si A y B son vectores de R3 y es el ngulo entre los vectores A y B, entonces

sen( ) = A B A B .

Demostracin.

A B A B A B A B A B A B

A B

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2

( ) cos ( ) (1 cos ( ))

sen ( )

= = =

=

De modo que sen( ) = A B A B .




La frmula anterior para A B tiene una interpretacin geomtrica para lo cual se

construir el paralelogramo determinado por A y B (ver figura 23). El rea de dicho paralelogramo es base por la altura, donde la base es A y la altura es sen( )B , entonces el

rea del paralelogramo es sen( ) = A B A B .

Para el clculo del rea de un tringulo de vrtices a, b y c se tiene que

AB AC12REA = .

Figura 23. Aplicacin geomtrica del producto vectorial

1.12. LMITE DE UNA FUNCIN VECTORIAL

El lmite de una funcin vectorial en un punto 0t de su dominio es una simple

extensin vectorial del lmite de una funcin real.

TEOREMA 7. Sea r 1 n(t) (r (t),...,r (t))= , r L 1 nt t0

lm (t) (l ,...,l )

= = si y slo si i it t0lm r(t) l

= .

A efectos de clculo, se evala el lmite coordenada a coordenada, es decir.

r 1 nt t t t t t0 0 0lm (t) lm r (t),..., lm r (t)

=

.

LMITE DE UNA FUNCIN VECTORIAL



Ejemplo 9. Si

r 2sen(t)

(t) t , t,t

=

,

se tiene

r 2t 0 t 0 t 0 t 0

sen(t)lm (t) lm t , lm t, lm (0,0,1)

t = =

.

TEOREMA 8. Si f(t) y g(t) son funciones vectoriales de una variable real tales que f b

t t0l m (t)

= y g ct t0l m (t)

= ,

entonces:

a. f g f g b c

t t t t t t0 0 0l m[ (t) (t)] l m (t) l m (t)

= = + .

b. f g f g b ct t t t t t0 0 0l m( (t) (t)) l m (t) l m (t)

= = .

c. f g f g b ct t t t t t0 0 0l m( (t) (t)) l m (t) l m (t)

= = (para 3R solamente)

1.13. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIN VECTORIAL

Definicin 9. Sea r0t D( ) . Se dir que r es continua en 0t si y slo si

r r 0t t0lm (t) (t )

= .

Ejemplo 10. Estudie la continuidad de

r

2 sen(t)t , t, si t 0(t) t

(0,0,0) si t 0

= =

.

Solucin.

r r2t 0 t 0

sen(t)lm (t) lm t , t, (0,0,1) (0)

t = =

,

por lo tanto la funcin no es continua en 0t 0= .

TEOREMA 9. La funcin r es continua en 0t si y slo si sus funciones coordenadas ir son

continuas en 0t .

DERIVADA DE UNA FUNCIN VECTORIAL



1.14. DERIVADA DE UNA FUNCIN VECTORIAL

La derivada se define en forma similar a la de funciones reales de variable real.

Definicin 10. Se define la derivada de r en 0t , denotada por r 0'(t ) o bien por

rd0dt (t ) ,

como el lmite: r r

r

0 0 1 0 1 0 n 0 n 00 h 0 h 0

' '1 0 1 0 n 0 n 01 0 n 0h 0 h 0

(t h) (t ) r (t h) r (t ) r (t h) r (t )'(t ) lm lm ,...,

h h h

r (t h) r (t ) r (t h) r (t )lm ,..., lm (r (t ),...,r (t )).

h h

+ + + = =

+ + = =

Ejemplo 11. Siendo r(t) (2cos(t),2sen(t))= se tiene r '(t) ( 2sen(t),2 cos(t)).=

TEOREMA 10. Sean f(t) y g(t) funciones vectoriales de variable real, derivables, y (t) una

funcin real de variable real, entonces: a. f g f g( (t) (t))' '(t) '(t) = b. f f f( (t) (t))' '(t) (t) (t) '(t) = + c. f g f g f g( (t) (t))' (t) '(t) '(t) (t) = +

d. f g f g f g( (t) (t))' (t) '(t) '(t) (t) = + (para 3R solamente)

1.15. INTERPRETACIN GEOMTRICA Y FSICA DE LA DERIVADA

Se dice que r 0'(t ) es el vector director de la recta tangente a la curva r(t) en el punto

0t . La ecuacin de la recta tangente a r(t) en 0t viene dada por

f r r 0 0( ) (t ) '(t ) , R = + .

Ejemplo 12. Calcula la ecuacin de la recta tangente a la curva r(t) (acos(t),asen(t))= en el

punto r 4( ) .

Solucin.

( ) ( )r r2 2 2 24 2 2 4 2 2( ) a, a y '( ) a, a = = , por lo tanto la recta tangente tiene ecuacin vectorial:

INTEPRETACIN GEOMTRICA Y FSICA DE LA DERIVADA



( ) ( )f 2 2 2 22 2 2 2( ) a, a a, a , R. = +

Si el parmetro t es el tiempo y r(t) es la posicin instantnea de un cuerpo entonces: La velocidad instantnea es v r(t) '(t)= . La rapidez instantnea es vv(t) (t)= .

La aceleracin instantnea es a r(t) ''(t).=

1.16. INTEGRAL DE UNA FUNCIN VECTORIAL

Definicin 11. Sea r 1 n(t) (r (t),...,r (t)).= Se define la integral de r(t) sobre [a,b] como

rb b b

1 na a a

(t)dt r (t)dt,..., r (t)dt . =

Ejemplo 13. El vector posicin de una partcula viene dado por r(t) (sen(t),3cos(t),2).=

a. Elimine el parmetro t, d una ecuacin en coordenadas cartesianas que relacione las

componentes de r e identifique la curva obtenida.

Solucin.

2 29x y 9 , z 2+ = = elipse.

b. Calcule

c r/2

0

( (t))dt

donde c (1,0,3)= .

Solucin.

/2/2

00

(6 sen(t))dt 6t cos(t) 1 3

+ = = + .

1.17. LONGITUD DE ARCO

Definicin 12. Sea C la curva definida por r(t) en un intervalo abierto I, tal que r '(t) existe y

sea continua en I. Si la curva C satisface las hiptesis anteriores entonces la longitud de

curva comprendida entre r(a) y r(t) est dada por

LONGITUD DE ARCO Funciones Vectoriales



rt

a

s(t) '( ) d= .

Ejemplo 14. Calcule la longitud de una circunferencia de radio a.

Solucin. Una parametrizacin para la circunferencia es r(t) (acos(t),asen(t))= con 0 t 2 . Luego r '(t) ( asen(t),acos(t))= y su longitud ser:

r2 2 2

2 2

0 0 0

s '(t) dt ( asen(t)) (acos(t)) dt a dt 2 a

= = + = = .

Definicin 13. Dada una curva r(t), se puede reparametrizar usando s como parmetro; se

llama a sta la parametrizacin intrnseca de la curva.

Ejemplo 15. La curva r(t) (3cos(t),3sen(t),4t)= es una hlice, reparametrizarla en funcin

de la longitud de arco.

Solucin.

rt t t

2 2

0 0 0

s(t) '( ) d 9sen ( ) 9cos ( ) 16d 5 d 5t= = + + = = , de modo que t s /5= . Por lo tanto en funcin de la longitud de arco se tiene la funcin

vectorial

rs s 4

(s) 3cos ,3sen , s5 5 5

=

.

TEOREMA 11. Si r(s) es la parametrizacin intrnseca de una curva C entonces r '(s) 1= .

Demostracin. Sea 1s (t) h(t) = . Si r r(s) (h(t))= , entonces

r r'(s) '(h(t))h'(t).=

Se sabe que 1s(s (t)) t = , entonces 1 1s '(s (t))(s (t))' 1 = ,

se obtiene en consecuencia

r1

1

1 1h'(t) (s (t))'

'(h(t))s '(s (t))

= = = .

Por lo tanto r

r rr'(h(t))

'(s) '(s) 1'(h(t))

= = .





1. Sean a 0 , a b a c = y a b a c = . Se puede concluir que b c= ?

Solucin. Sean a b c1 2 3 1 2 3 1 2 3(a ,a ,a ) , (b ,b ,b ) , (c ,c , c ).= = =

a b a c

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

a b a b a b a c a c a c

a (b c ) a (b c ) a (b c ) 0

= + + = + + + + =

a b a c

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 3 2 2 3 1 1 1 3 3 1 2 2 2 1 1

(a b a b ,a b a b ,a b a b ) (a c a c ,a c a c ,a c a c )

(a (b c ) a (b c ),a (b c ) a (b c ),a (b c ) a (b c ))

(0,0,0)

= = =

Sea el sistema de ecuaciones

1 1 1 2 2 2 3 3 3

2 3 3 3 2 2

3 1 1 1 3 3

1 2 2 2 1 1

a (b c ) a (b c ) a (b c ) 0

a (b c ) a (b c ) 0

a (b c ) a (b c ) 0

a (b c ) a (b c ) 0

+ + = = = =

.

Si se suman todas las ecuaciones se tiene

1 2 3 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3(a a a )(b c ) (a a a )(b c ) ( a a a )(b c ) 0 + + + + + + = .

Esta ecuacin se satisface si b c= o si se cumple que

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a 0

a a a 0

a a a 0

+ = + = + + =

.

Como el determinante de la matriz del sistema es (4 0) la nica solucin es a 0= .

Como por hiptesis a 0 , se puede concluir que b c= .

2. En qu puntos la recta tangente a la curva r 3 2 2(t) (3t t ,3t ,3t t )= + es paralela al plano

x y z 2 0+ + + = ?

Solucin.

r 2'(t) (3 3t ,6t,3 2t)= + y el vector normal del plano es N (1,1,1)= . Para que se verifique la relacin de paralelismo se debe tener que r N'(t) 0 = . De modo que

2 2 2(3 3t ,6t,3 2t) (1,1,1) 0 3 3t 6t 3 2t 0 3t 8t 6 0 + = + + + = = .

Aplicando resolvente: 8 64 4.3.6 8 136 8 2 34 4 34

t .6 6 6 3

+ = = = =

De modo que

1 24 34 4 34

t , t .3 3

+ = =




Los puntos son r 1(t ) y r 2(t ).

3. Demuestre que si r(t) es constante entonces r(t) y r '(t) son ortogonales.

Solucin.

Sea r(t) k= , entonces r r r2 2 2(t) k (t) (t) k= = . Si se deriva se tiene que

r r r r r r(t) '(t) '(t) (t) 0 (t) '(t) 0 + = = y de acuerdo a lo visto en puntos anteriores los vectores r(t) y r '(t) son ortogonales.

4. Sea el arco

2 2

2 2t(t) 1,

t 1 t 1 = + +

c , 0 t 1 .

Calcule su longitud.

Solucin.

c c2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2t 4t 2(t 1) 2t2t 4t 2 2t(t) 1, (t) ; ;

t 1 t 1 (t 1) (t 1) (t 1) (t 1)

+ = = = + + + + + +

c2 2 4 4 2 2 2 2 2

2 4 2 4 2 4 2 4 2

11

c 020

16t 4 8t 4t 4t 8t 4 (2t 2) (t 1) 2(t) 2

(t 1) (t 1) (t 1) (t 1) (t 1)

2l dt 2arctg(t)

2(t 1)

+ + + + + + = = = = =+ + + + +

= = =+

5. Dada la curva definida por r 3 2(t) (t 3t,3t )= , calcule: a. Los valores de t para los cuales r(t) se autointersecta, es decir, r r1 2(t ) (t )= siendo

1 2t t .

Solucin. Sean 1A t= y 2B t= . Se tiene que

3 3 3 3A 3A B 3B A B 3(A B) 0 = = .

Entonces se obtiene

2 2 2 2(A B)(A AB B 3) 0 A B o A AB B 3 0 + + = = + + = .

Por otro lado se tiene que 2 23A 3B A B o A B= = = .

Sustituyendo: 2 2 2A A A 3 0 A 3 + = = .

De modo que los valores de t son 1t 3= y 2t 3= . b. La longitud del lazo entre r 1(t ) y r 2(t ) .

Solucin. Si r 2'(t) (3t 3,6t)= entonces




3 3 32 2 2 4 2 2 2

3 3 0

L (3t 3) 36t dt 9t 18t 9 36t dt 6 (t 1)dt 12 3.

= + = + + = + =

6. Halle la longitud de arco de la hlice cnica C de ecuaciones paramtricas dadas por tx(t) ae cos(t)= , ty(t) ae sen(t)= , tz(t) ae= , (a 0)>

desde el punto (0,0,0) hasta el punto (a,0,a).

Solucin. t t t

t t t

(t) (ae cos(t),ae sen(t),ae ), t 0

(t) (ae (cos(t) sen(t)),ae (cos(t) sen(t)),ae ), t 0

=

= +

r

r'

2 2t 2 2 2t 2 2 2t

t 2 2

t 2 2 2 2 t

(t) a e (cos(t) sen(t)) a e (cos(t) sen(t)) a e

ae (cos(t) sen(t)) (cos(t) sen(t)) 1

ae cos t 2cos(t)sen(t) sen (t) cos (t) 2cos(t)sen(t) sen (t) 1 3ae

= + + +

= + + +

= + + + + + =

r'

r' t(t) dt 3ae dt= .

0 00

t t t b

b b bbb

3ae dt lm 3ae dt lm 3ae 3a lm (1 e ) 3a

= = = = .

7. Una parametrizacin en sentido antihorario para la curva C definida por

2 22

y cos(x) x ,4 2

2 2y x x 0,

4

x y y ,04 16 4

=

= + =

,

viene dada por la funcin vectorial

r

2 4

2 24 4 4 2 2 4 4 4

5 5 34 4 4 4 4 4 4

( t, cos(t)) t

(t) ( (t ), (t )) t 1

( cos(t 1 ), sen(t 1 )) 1 t 1

= + + + + + +

.

Usando la funcin vectorial r(t) , construya la funcin r' r''(t) (t) .

Solucin. Paso 1. Clculo de r'(t) .

r'

2 4

24 2 4 45 5 3

4 4 4 4 4 4

( 1, sen(t)) t

(t) ( , ) t 1

( sen(t 1 ), cos(t 1 )) 1 t 1

= < + + < +




Paso 2. Clculo de r''(t) .

r''2 4

4 45 5 3

4 4 4 4 4 4

(0, cos(t)) t

(t) (0,0) t 1

( cos(t 1 ), sen(t 1 )) 1 t 1

= < + + < +

Paso 3. Clculo de r' r''(t) (t) .

r' r''2 4

4 43

4 4

sen(t)cos(t) t

(t) (t) 0 t 1

0 1 t 1

= +

8. Una partcula se mueve con vector posicin

r A B A B3/2

2 2(t) t t 2 t3 = + +

donde A y B son dos vectores unitarios fijos que forman un ngulo de / 3 . Calcule el

tiempo empleado para desplazarse una distancia de 12 unidades de longitud de arco desde la posicin inicial r(0) .

Solucin.

Paso 1. Clculo de r' r'2

(t) y (t) .

r' A B A B1/2

2(t) 2t 2 t

3 = + +

.

r' r' r' A B A B A B A B

A A A B A A B B A B B

B A B A B A

1/2 1/22

1/22

1/2 1/2

2 2(t) (t) (t) 2t 2 t 2t 2 t

3 3

22t( ) 2 t ( ( )) 2t( ) 4t ( )

3

2 24t t ( ( )) 2 t (( ) )

3 3

= = + + + +

= + + + +

+ +

A B B

A B A B

1/22

4t t (( ) )3

24 t ( ) ( )

3

+

+

Paso 2. Uso de propiedades para el clculo de r'(t) .

Propiedades a usar:

A A A B B B A B B A A B A B

A B A B A B A B A B

A A B A B A B A B A B B

2 2 13 2

23 33 2 4

1 , 1 , , cos( )

sen( ) , ( ) ( )

( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0

= = = = = = =

= = = =

= = = =

De manera que




r' 0 0 0 0

1/2 1/2 1/2 1/22 21 1

2 2

34

2 2 2 2(t) 1 2t. 2 t 2t. 4t .1 4t t 2 t 4t t

3 3 3 3

24 t .

3

= + + + + + + +

+

.

r' r'2 2 2 231 1 2

2 2 3 4(t) 1 2t. 2t. 4t .1 4. t. 4t 4t 1 (2t 1) (t) 2t 1= + + + + = + + = + = + .

Paso 3. Clculo de s(t) .

r

r't t

t2 2

0(0) 0

s(t) (t) dt (2 1)d ( ) t t 12= = + = + = + = . Por lo tanto 2 2t t 12 t t 12 0 (t 4)(t 3) t 4 t 3+ = + = + = = .

Como t debe ser mayor o igual a cero, entonces se toma t 3= .

9. Sea r(s), s I , una parametrizacin por longitud de arco de una curva C. Pruebe que los vectores r '(s) y r ''(s) son ortogonales.

Solucin. Si r(s) es una parametrizacin por longitud de arco, se tiene que r '(s) 1= . Como la

norma de este vector es constante, entonces es ortogonal con r ''(s).

10. Sea a un vector unitario y constante y r(t) una curva tal que r a 2t(t) e = . Sabiendo que el

ngulo entre r'(t) y a es constante, con 20< < , pruebe que

r' r''r a

r' r'(n) n 1 2t (t) (t)(t) 2 e , n 1

(t) (t) =

.

Solucin. 2t 1 2t 2 2t 3 2t

(n) n 2t

(t) e (t) 2 e (t) 2 e (t) 2 e

... (t) 2 e

= = = =

=

r a r' a r'' a r''' a

r a

2t 2t 2t

2 4t 2

(t) 2e (t) cos( ) 2e (t) 2e sec( )

(t) (t) (t) 4e sec ( )

= = =

= =

r' a r' r'

r' r' r'

r' r' r' r'' r' r''4t 2 4t 2 4t 2(t) (t) 4e sec ( ) 2 (t) (t) 16e sec ( ) (t) (t) 8e sec ( ) = = =

r' r''r' r'

4t 2

4t 2

(t) (t) 8e sec ( )2

(t) (t) 4e sec ( )

= =

.

Por lo tanto

r' r''

r ar' r'

n 2t n 1 2t

(t) (t)(n)(t)(t) (t)

2 e 2 e . 2

= .

GRFICAS DE CURVAS PARAMTRICAS EN R2



1.19. GRFICAS DE CURVAS PARAMTRICAS EN R2

Para construir curvas definidas mediante una funcin vectorial se estudian, siguiendo

los delineamientos de funciones de una variable, las funciones coordenadas x(t), y(t). El

esquema a seguir, contiene ciertos detalles:

I. Informacin de r(t):

a. Dominio de r(t) denotado como D(r).

b. Corte con los ejes: Eje x: Encuentre rt D( ) tal que y(t) 0= Eje y: Encuentre rt D( ) tal que x(t) 0=

c. Signo. Tome en cuenta los valores de t donde hay cortes con algn eje as como los

valores de t para los cuales r(t) no es continua.

d. Simetras: Si rD( ) es simtrico y r( t) ( x(t), y(t)) = , la curva es simtrica respecto del

origen. Si rD( ) es simtrico y r( t) ( x(t), y(t)) = , la curva es simtrica respecto del eje y. Si rD( ) es simtrico y r( t) (x(t), y(t)) = , la curva es simtrica respecto del eje x.

e. Asntotas y puntos asintticos: Si 0t = (si est dentro del dominio de la funcin vectorial) entonces:

Si t t0l m x(t) k

= y t t0l m y(t)

= , x k= es una asntota vertical.

Si t t0l m x(t)

= y t t0l m y(t) k

= , y k= es una asntota horizontal.

Si t t0l m x(t)

= , t t0l m y(t)

= , t t0

y(t)l m m

x(t)= y

t t0l m[y(t) mx(t)] b

= con m

y b finitos entonces y mx b= + es una asntota oblicua. Si

t t0l m x(t) a

= y t t0l m y(t) b

= , (a,b) es un punto asinttico.

Si r(t) no es continua en 0t entonces: Si

t t0

l m x(t) k

= y t t0

l m y(t)

= o t t0

l m x(t) k+

= y t t0

l m y(t)+

= , x k= es una

asntota vertical. Si

t t0

l m x(t)

= y t t0

l m y(t) k

= o t t0

l m x(t)+

= y t t0

l m y(t) k+

= , y k= es una

asntota horizontal.




Si

t t0l m x(t)

= , t t0l m y(t)

= , t t0

y(t)l m m

x(t)= y

t t0l m[y(t) mx(t)] b

= con m

y b finitos entonces y mx b= + es una asntota oblcua. Si

t t0l m x(t) a

= y t t0l m y(t) b

= , (a,b) es un punto asinttico.

Si r(t) no es continua en 0t entonces: Si

t t0

l m x(t) k

= y t t0

l m y(t)

= o t t0

l m x(t) k+

= y t t0

l m y(t)+

= , x k= es una

asntota vertical. Si

t t0

l m x(t)

= y t t0

l m y(t) k

= o t t0

l m x(t)+

= y t t0

l m y(t) k+

= , y k= es una

asntota horizontal.

Si t t0

l m x(t)

= , t t0

l m y(t)

= , t t0

y(t)l m m

x(t)= y

t t0

l m[y(t) mx(t)] b

= o

t t0

l m x(t)+

= , t t0

l m y(t)+

= , t t0

y(t)l m m

x(t)+= y

t t0

l m[y(t) mx(t)] b+

= con m y b

finitos entonces y mx b= + es una asntota oblcua. Si

t t0

l m x(t) a

= y t t0

l m y(t) b

= o t t0

l m x(t) a+

= y t t0

l m y(t) b+

= , (a,b) es un

punto asinttico.

II. Informacin de r'(t):

a. Clculo de r'(t) .

b. Dominio de r'(t) denotado como D(r).

c. Tangentes y puntos cuspidales Si 0x '(t ) 0= , r'0t D( ) , con 0y '(t ) 0 , entonces se tiene una tangente vertical

de ecuacin 0x x(t )= al grfico en r 0(t ) . Si 0y '(t ) 0= , r'0t D( ) , con 0x '(t ) 0 , entonces se tiene una tangente

horizontal de ecuacin 0y y(t )= al grfico en r 0(t ) . Si r 0'(t ) (0,0)= , r'0t D( ) , entonces se tiene un punto cuspidal (pico) al grfico

en 0t .

d. Crecimiento y decrecimiento de r(t). Tome en cuenta los valores de t donde

x '(t) 0= o y '(t) 0= as como los valores de t para los cuales r(t) no es continua. e. Valores mximos y mnimos. Tome en cuenta los valores de t, ( r't D( ) ), para los

cuales x '(t) 0= y x '(t ).x '(t ) 0 + < as como los valores de t para los cuales y '(t) 0=

y y '(t ).y '(t ) 0 + < , donde t es un nmero cercano a t y menor que t y t+ es un

nmero cercano a t y mayor que t.




III. Informacin de la concavidad de r(t)

a. Clculo de la segunda derivada

b. Concavidad de r(t) . Tome en cuenta los valores de t donde 2

2

d y(t) 0

dx= as como los

valores de t para los cuales 2

2

d y(t)

dx no es continua.

c. Puntos de inflexin. Tome en cuenta los valores de t para los cuales 2

2

d y(t) 0

dx= y

2 2

2 2

d y d y(t ). (t ) 0

dx dx + < , donde t es un nmero cercano a t y menor que t y t+ es un

nmero cercano a t y mayor que t.

IV. Grfico de r(t)

Ejemplo 16. Estudie en forma detallada y grafique la curva

r2 2

2

t t(t) ,

1 t1 t

=

,

indicando el sentido del recorrido.

Solucin. I. Informacin de r(t) :

a. Dominio: R { 1,1} .

b. Corte con los ejes: Eje x: y 0 t 0= = . Eje y: rx 0 t 0 , (0) (0,0)= = = . Pasa por el origen.

c. Signo:

t -1 0 1

x - + + -

y + + + -

Cuadrante II I I III

d. Simetras:

r2 2 2 2

2 2

( t) ( t) t t( t) , ,

1 ( t) 1 t1 ( t) 1 t

= = + .

La curva no presenta ningn tipo de simetra.

e. Asntotas y puntos asintticos:

Verticales:

2 2

2t t

t tlm 1 , lm

1 t1 t = = +

.

2 2

2t t

t tlm 1 , lm

1 t1 t+ += =

.

Por tanto x 1= es asntota vertical de la curva cuando t y cuando t + .




Horizontales:

2 2 2 2

2 2t 1 t 1 t 1 t 1

t t 1 t t 1lm , lm , lm , lm

1 t 2 1 t 21 t 1 t + + = = = + =

.

Por lo tanto 12y = es una asntota horizontal de la curva cuando t 1 .

Oblicuas:

2 2

2t 1 t 1

t tlm , lm

1 t1 t = + = +

.

2 2

2t 1 t 1

t tlm , lm

1 t1 t+ + = =

2t 2 21 t

2 2t 1 t 1 t 1t21 t

t (1 t )m lm lm lm(1 t) 2

t (1 t)

= = = + =

.

2 2 2 2 2 3 2 2 3 2

2 2 2 2t 1 t 1 t 1 t 1

3 2 3 2 2 2 2

2 2 2t 1 t 1 t 1 t 1 t 1

t t t (1 t) 2t t t 2t t t 2tb lm 2 lm lm lm

1 t 1 t 1 t 1 t 1 t

t t t t t (t 1) t (1 t) t 1lm lm lm lm lm .

(1 t)(1 t) (1 t) 21 t 1 t 1 t

+ + + = = = = = = = = = =

+ +

Por lo tanto 12y 2x= es una asntota oblcua de la curva cuando t 1 .


a. Clculo de r'(t): 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

2t(1 t ) t .2t 2t 2t 2t 2tx '(t) .

(1 t ) (1 t ) (1 t )

+ += = =

2 2 2 2

2 2 2 2

2t(1 t) t 2t 2t t 2t t t(2 t)y '(t) .

(1 t) (1 t) (1 t) (1 t)

+ + = = = =

Por lo tanto,

r2 2 2

2t t(2 t)'(t) ,

(1 t ) (1 t)

= .

b. Dominio: R { 1,1}

c. Tangentes y puntos cuspidales: Verticales: x '(t) 0 t 0 , y '(0) 0= = = . La curva no tiene tangentes verticales.

Horizontales: 49y '(t) 0 t 0 t 2 , x '(2)= = = = .

La curva tiene una tangente horizontal en ( )r 43(2) , 4= de ecuacin y 4= . Puntos cuspidales: r '(0) (0,0)= .

d. Crecimiento y decrecimiento de r(t) :

t -1 0 1 2

x - - + + +

y - - + + - e. Valores mximos y mnimos: x(0) 0= es un valor mnimo para la funcin x.

y(0) 0= es un valor mnimo e y(2) 4= es un valor mximo para la funcin y.




III.Informacin de la concavidad de r(t) :

a. Clculo de la segunda derivada:

( )

dyd 232 2 3dt dx 2

2 dx 2tdt 2 2(1 t )

(1 t )d y 3(1 t ), t 0 , t 1

4tdx

= = =

b. Concavidad de r(t):

t -1 0 1 2 2d y dx + - + -

c. Puntos de inflexin: No tiene. IV. Grfico de r(t): (ver figura 24)


Ejemplo 17. Estudie en forma detallada y grafique la curva

r2

2

2t 1 t(t) ,

t 1t 1

= ,




b. Corte con los ejes: Eje x: ry 0 t 0 , (0) (1,0)= = = Eje y: r1 1 12 2 2x 0 t , ( ) (0, )= = =




c. Signo:

t -1 0 1/2 1

x - + + - +

y - - - - +

Cuadrante III IV IV III I

d. Simetras:

r2 2

2 2

2( t) 1 ( t) 2t 1 t( t) , ,

( t) 1 t 1( t) 1 t 1

= = .



Verticales:

2

2t t

2t 1 tlm 0 , lm

t 1t 1 = =

.

2

2t t

2t 1 tlm 0 , lm

t 1t 1+ + = = +

.

Por lo tanto x 0= es una asntota vertical de la curva cuando t y cuando t + .

Horizontales:

2 2

2 2t 1 t 1 t 1 t 1

2t 1 t 1 2t 1 t 1lm , lm , lm , lm

t 1 2 t 1 2t 1 t 1 + +

= = = + =

.


Oblicuas:

2

2t 1 t 1

2t 1 tlm , lm

t 1t 1

= =

. 2

2t 1 t 1

2t 1 tlm , lm

t 1t 1+ +

= + = +

2t 2 2 2 2t 12t 1t 1 t 1 t 1 t 12t 1

t (t 1) t (t 1)(t 1) t (t 1)m lm lm lm lm 2.

(2t 1)(t 1) (2t 1)(t 1) 2t 1

+ += = = = =

2 2 3 2

2 2 2t 1 t 1 t 1

2 2

t 1 t 1

t 2t 1 t (t 1) 2(2t 1) t t 4t 2b lm 2 lm lm

t 1 t 1 t 1 t 1

(t 1)(t 2t 2) t 2t 2 1lm lm .

(t 1)(t 1) t 1 2

+ + += = = + + = = =

+ +

Por lo tanto 12y 2x= + es una asntota oblicua de la curva cuando t 1 .

II. Informacin de r'(t): a. Clculo de r'(t):

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2(t 1) (2t 1)2t 2t 2 4t 2t 2t 2t 2 2(t t 1)x '(t) .

(t 1) (t 1) (t 1) (t 1)

+ + += = = =

2 2 2 2

2 2 2 2

2t(t 1) t 2t 2t t t 2t t(t 2)y '(t) .

(t 1) (t 1) (t 1) (t 1)

= = = =

Por lo tanto,




r2

2 2 2

2(t t 1) t(t 2)'(t) ,

(t 1) (t 1)

+ = .

b. Dominio: R { 1,1}

c. Tangentes y puntos cuspidales: Verticales: rx '(t) 0 t D( ).< La curva no tiene tangentes verticales.

Horizontales: 23y '(t) 0 t 0 t 2 , x '(0) 2 , x '(2)= = = = = . La curva tiene

una tangente horizontal en ( )r(0) 1,0= de ecuacin y 0= y otra en ( )r(2) 1,4= de ecuacin y 4= .

Puntos cuspidales: No tiene. d. Crecimiento y decrecimiento de r(t) :

t -1 0 1 2

x - - - - -

y + + - - +

e. Valores mximos y mnimos: y(0) 0= es un valor mximo e y(2) 4= es un valor mnimo para la funcin y.

III.Grfico de r(t): (ver figura 25)






4. Estudie en forma detallada y grafique la curva

r2

4 4

4t 4t(t) ,

1 t 1 t

=

,




b. Corte con los ejes: Eje x: y 0 t 0= = . Eje y: rx 0 t 0 , (0) (0,0)= = = . Pasa por el origen.

c. Signo:

t -1 0 1

x + - + -

y - + + -

Cuadrante IV II I III

d. Simetras:

r2 2

4 4 4 4

4( t) 4( t) 4t 4t( t) , , ( x(t), y(t))

1 ( t) 1 ( t) 1 t 1 t

= = = .

La curva es simtrica respecto del eje y. Intervalo de estudio [0, ) .


2

4 4t t

4t 4tlm 0 , lm 0 ,

1 t 1 t+ += =

2

4 4t t

4t 4tlm 0 , lm 0

1 t 1 t = =

(0,0) es un punto asinttico.

2 2

4 4 4 4t 1 t 1 t 1 t 1

4t 4t 4t 4tlm , lm , lm , lm

1 t 1 t 1 t 1 t + + = + = + = =

Oblicuas: 24t 2 441 t

4t 4t 1 t 1 t 141 t

4t (1 t )m lm lm lm t 1.

4t(1 t )

= = = =

2 2

4 4 4 2t 1 t 1 t 1

2t 1

4t 4t 4t 4t 4t(1 t)b lm lm lm

1 t 1 t 1 t (1 t)(1 t)(1 t )

4tlm 1.

(t 1)(1 t )

= = = + + = =

+ +

Por lo tanto y x 1= es una asntota oblicua de la curva cuando t 1 .





a. Clculo de r'(t): 4 3 4 4 4 4

4 2 4 2 4 2 4 2

4(1 t ) 4t.4t 4 4t 16t 4 12t 4(1 3t )x '(t) .

(1 t ) (1 t ) (1 t ) (1 t )

+ + + += = = =

4 2 3 5 5 5 4

4 2 4 2 4 2 4 2

8t(1 t ) 4t .4t 8t 8t 16t 8t 8t 8t(1 t )y '(t) .

(1 t ) (1 t ) (1 t ) (1 t )

+ + + += = = =

Por lo tanto,

r4 4

4 2 4 2

4(1 3t ) 8t(1 t )'(t) ,

(1 t ) (1 t )

+ += .

b. Crecimiento y decrecimiento de r(t) :

t 0 1

x + +

y + + dy dx + +

c. Valores mximos y mnimos: y(0) 0= es un valor mnimo para la funcin y.

III. Grfico de r(t): (ver figura 26)






r2

2

t t(t) ,

1 t t 1

=

,




b. Corte con los ejes: Eje x: y(t) 0 t 0= = . Eje y: x(t) 0 t 0= = . La curva pasa por el origen.

c. Signo:

t -1 0 1

x + + + -

y - + - +

Cuadrante IV I IV II

d. Simetras:

r2 2

2 2

( t) ( t) t t( t) , ,

1 ( t) 1 t( t) 1 t 1

= = + .

La curva no presenta ningn tipo de simetra. e. Asntotas y puntos asintticos:

Horizontales:

2 2

2 2t t t t

t t t tlm , lm 0 , lm , lm 0

1 t 1 tt 1 t 1 + += + = = =

Por tanto y 0= es asntota horizontal de la curva cuando t y t + .

Verticales:

2 2

2 2t 1 t 1 t 1 t 1

t 1 t t 1 tlm , lm , lm , lm

1 t 2 1 t 2t 1 t 1 + + = = = = +

.

Por lo tanto 12x = es una asntota vertical de la curva cuando t 1

Oblicuas:

2 2

2 2t 1 t 1 t 1 t 1

t t t tlm lm lm lm

1 t 1 tt 1 t 1 + + = + = = = +

t2t 12 2 2t 1 t 1 t 1t

1 t

t(1 t) 1 1m lm lm lm .

t(1 t) 2t (t 1)

= = = = +

2 2 2 3

2 2 2t 1 t 1 t 1

2

2t 1 t 1 t 1

t t 2t t (1 t) 2t t tb l m l m l m

2(1 t)t 1 2(t 1) 2(t 1)

t(t t 2) t(t 2)(t 1) t(t 2) 3l m l m l m

2(t 1)(t 1) 2(t 1) 42(t 1)

+ = + = = + + += = = =

+ +

.




Por lo tanto 1 3

y x2 4 = +

es una asntota oblicua de la curva.

II. Informacin de r'(t) :

a. Clculo de r'(t) : 2 2 2 2

2 2 2 2

2t(1 t) t 2t 2t t 2t t t(2 t)x '(t)

(1 t) (1 t) (1 t) (1 t)

+ + = = = =

.

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

(t 1) t.2t t 1 2t t 1 t 1y '(t)

(t 1) (t 1) (t 1) (t 1)

+= = = =

.

Por lo tanto,

r2

2 2 2

t(2 t) t 1'(t) ,

(1 t) (t 1)

+= .

b. Dominio:R { 1,1} .

c. Tangentes y puntos cuspidales: Verticales: 59x '(t) 0 t 0 t 2 , y '(0) 1 , y '(2)= = = = = . La curva tiene una

tangente vertical en r(0) (0,0)= de ecuacin x 0= y otra en r 23(2) ( 4, )= de

ecuacin x 4= . Horizontales: ry '(t) 0 t D( )< . No tiene tangentes horizontales.


t -1 0 1 2

x - - + + -

y - - - - - dy dx + + - - +

e. Valores mximos y mnimos: x(0) 0= es un valor mnimo y x(2) 4= es un valor mximo para la funcin x.

III. Grfico de r(t) : (ver figura 27)


r2

2

t t(t) ,

1 t1 t

=

,


Solucin.

I. Informacin de r(t): a. Dominio: R { 1,1} .

b. Corte con los ejes: Eje x: y(t) 0 t 0= = . Eje y: x(t) 0 t 0= = . La curva pasa por el origen.





c. Signo:

t -1 0 1

x + - + -

y + + + -

Cuadrante I II I III

d. Simetras:

r2 2

2 2

( t) ( t) t t( t) , ,

1 ( t) 1 t1 ( t) 1 t

= = + .


e. Asntotas: Verticales:

2 2

2 2t t t t

t t t tlm 0 , lm , lm 0 , lm

1 t 1 t1 t 1 t + += = + = =

.

Por lo tanto x 0= es una asntota vertical de la curva cuando t y cuando t + .

Horizontales:

2 2

2 2t 1 t 1 t 1 t 1

t t 1 t t 1lm , lm , lm , lm

1 t 2 1 t 21 t 1 t + + = + = = =

.

Por lo tanto 1

y2

= es una asntota horizontal de la curva cuando t 1 .

Oblicuas:

2 2

2 2t 1 t 1 t 1 t 1

t t t tlm , lm , lm , lm

1 t 1 tt 1 t 1 + + = = + = + =




2t 2

1 ttt 1 t 1 t 121 t

t (1 t)(1 t)m lm lm lm t(1 t) 2.

t(1 t)

+= = = + =

2 2 2 3

2 2 2t 1 t 1 t 1

2

t 1 t 1 t 1

t 2t t (1 t) 2t t t 2tb lm lm lim

1 t 1 t 1 t 1 t

t(t t 2) t(t 2)(t 1) t(t 2) 3lm lm lm

(1 t)(1 t) (t 1)(t 1) t 1 2

+ + = = = + + += = = =

+ + +

.

Por lo tanto 3

y 2x2

= es una asntota oblicua de la curva cuando t 1 .

II. Informacin de r(t): a. Clculo de r(t):

2 2 2

2 2 2 2

1 t 2t t 1x '(t)

(1 t ) (1 t )

+ += =

,

2 2 2 2

2 2 2 2

2t(1 t) t 2t 2t t 2t t t(2 t)y '(t)

(1 t) (1 t) (1 t) (1 t)

+ + = = = =

.

Por lo tanto,

r2

2 2 2

t 1 t(2 t)'(t) ,

(1 t ) (1 t)

+ = .

b. Dominio: R { 1,1} .

c. Tangentes y puntos cuspidales: Verticales: rx '(t) 0 t D( )> . La curva no tiene tangentes verticales.

Horizontales: 59y '(t) 0 t 0 t 2 , x '(0) 1 , x '(2)= = = = = . La curva tiene

una tangente horizontal en r(0) (0,0)= de ecuacin y 0= y otra en

r 23(2) ( , 4)= de ecuacin y 4= .

Puntos cuspidales: No tiene. d. Crecimiento y decrecimiento de r(t):

t -1 0 1 2

x + + + + +

y - - + + - dy dx - - + + -

e. Valores mximos y mnimos: y(0) 0= es un valor mnimo y y(2) 4= es un valor mximo para la funcin y.

III. Grfico de r(t) : (ver figura 28)






r2 2

t 1 t 1(t) ,

t t 4

+ = ,


Solucin. I. Informacin de r(t):

a. Dominio: R { 2,0,2}

b. Corte con los ejes: Eje x: ry 0 t 1 , ( 1) ( 2,0)= = = Eje y: rx 0 t 1 , (1) (0, 2 /3)= = =

c. Signo:

t -2 -1 0 1 2

x - - - - + +

y - + - - - +

Cuadrante III II III III IV I

d. Simetras:

r2 2 2 2

( t) 1 ( t) 1 t 1 1 t( t) , ,

( t) ( t) 4 t t 4

+ + = = .

La curva no presenta ningn tipo de simetra. e. Asntotas y puntos asintticos:

Puntos asintticos:

2 2t t

t 1 t 1lm 0 , lm 0

t t 4 += =

.

2 2t t

t 1 t 1lm 0 , lm 0

t t 4+ + += =

.

(0,0) es un punto asinttico.




2 2

t 2 t 2

t 1 3 t 1lm , lm

4t t 4

+= =

. 2 2

t 2 t 2

t 1 3 t 1lm , lm

4t t 4+ +

+= = +

.

Por lo tanto 34x = es una asntota vertical de la curva cuando t 2 .

2 2

t 2 t 2

t 1 1 t 1lm , lm

4t t 4

+= =

. 2 2

t 2 t 2

t 1 1 t 1lm , lm

4t t 4+ +

+= = +

.

Por lo tanto 14x = es una asntota vertical de la curva cuando t 2 .

Horizontales:

2 2

t 0 t 0

t 1 t 1 1lm , lm

4t t 4

+= =

. 2 2

t 0 t 0

t 1 t 1 1lm , lm

4t t 4+ +

+= =

.


II. Informacin de r'(t): a. Clculo de r'(t):

r2

3 2 2

2 t t 2t 4'(t) ,

t (t 4)

+ += .

b. Dominio: R { 2,0,2} .

c. Tangentes y puntos cuspidales: Verticales: x '(t) 0 t 2= = . La curva no tiene tangentes verticales. Horizontales: y '(t) 0 t< . La curva no tiene tangentes horizontales.


t -2 0 2

x - - + -

y - - - -

e. Valores mximos y mnimos: No tiene valores mximos ni mnimos.

III. Grfico de r(t): (ver figura 29)






rt2e t

(t) ,t 1 t 1

=

,


Solucin. I. Informacin de r(t):

a. Dominio: R {1}

b. Corte con los ejes: Eje x: ry 0 t 0 , (0) ( 2,0)= = = Eje y: no existe t R / x 0 =

c. Signo:

t 0 1

x - - +

y + - +

Cuadrante II III I

d. Simetras: Como rD( ) no es simtrico entonces la curva no presenta ningn tipo de simetra.


Puntos asintticos:

t

t t

2e tlm 0 , lm 1

t 1 t 1 = =

.

Por lo tanto (0,1) es un punto asinttico. Horizontal:

t

t t

2e tlm , lm 1

t 1 t 1+ += + =

.

Por lo tanto y 1= es una asntota horizontal de la curva cuando t + .

Oblicua:

t

t 1 t 1

2e tlm , lm

t 1 t 1 = =

.

t

t 1 t 1

2e tlm , lm

t 1 t 1+ + = + = +

Por lo tanto 34x = es una asntota vertical de la curva cuando t 2 . t

t 1t tt 1 t 12e

t 1

t 1m lm lm .

2e2e

= = =

t t t t

t 1 t 1 t 1 t 1

t 1 2e 2et 2e 1 et e 1 e eb lm lm lm lm 0

t 1 2e t 1 2e(t 1) e t 1 e 1

= = = = = .

Por lo tanto x

y2e

= es una asntota oblicua de la curva cuando t 1 .


de V

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