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SISTEMAS

DE

ECUACIONES

16 de Mayo de 2013

Cálculo Numérico José Luis Quintero 1

ECUACIONESDepartamento de Matemática Aplicada

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

1. Sistemas fáciles de resolver

2. Factorizaciones LU

3. Factorización de Cholesky

4. Métodos iterativos

5. Método de Richardson

Puntos a tratar


6. Método de Jacobi

7. Método de Gauss Seidel

8. Método de Newton

9. Métodos Cuasi-Newton

10. Método de Jacobi No Lineal

Suponga que la matriz A de tiene unaestructura diagonal. Esto significa que todoslos componentes distintos de cero de A seencuentran sobre la diagonal principal y elsistema es de la forma:

Sistemas fáciles de resolver

n n×

a 0 0 0 x b …


11 1 1

22 2 2

33 3 3

nn n n

a 0 0 0 x b

0 a 0 0 x b

.0 0 a 0 x b

0 0 0 a x b

=

…

…

…

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮

…

En este caso el sistema se reduce a necuaciones simples y la solución es:


1 11

2 22

3 33

b a

b a

x .b a

=


Si para algún índice i, y también,entonces puede ser cualquier número real.Si y no hay solución alguna.

3 33

n nn

x .b a

b a

=

⋮

iia 0=

ib 0=

ix

iia 0=

ib 0,≠

Suponga que la matriz A de tiene unaestructura triangular inferior. Esto significa quetodos los elementos de A distintos de cero sesitúan sobre la diagonal principal o debajo deella y el sistema es de la forma:


n n×

a 0 0 0 x b …


11 1 1

21 22 2 2

31 32 33 3 3

n1 n2 n3 nn n n

a 0 0 0 x b

a a 0 0 x b

.a a a 0 x b

a a a a x b

=

…

…

…

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮

…

Para resolver el sistema, suponga paratodo i; en tal caso se obtiene a partir de laprimera ecuación. Sustituyendo el valorconocido de en la segunda ecuación,resuélvala para

Procediendo de la misma forma, se obtienen


1x

iia 0≠

1x

2x .


Procediendo de la misma forma, se obtienenlos valores en este orden. En estecaso el pseudocódigo para encontrar lasolución se llama sustitución progresiva:

1 2 nx ,x ,...,x ,


ij i

1 1 11

1

inicio

leer (n,(a ),(b ))

x b a

escribir(x )

desde i 2 hasta n hacer

←

=


i 1

i i ij j ii

j 1

i


x b a x a

escribir(x )

fin_ desde

fin

−

=

=

← −

∑

Suponga que la matriz A de tiene unaestructura triangular superior. Esto significaque todos los elementos de A distintos decero se sitúan sobre la diagonal principal oencima de ella y el sistema es de la forma:


n n×

a a a a x b …


11 12 13 1n 1 1

22 23 2n 2 2

33 3n 3 3

nn n n

a a a a x b

0 a a a x b

.0 0 a a x b

0 0 0 a x b

=

…

…

…

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮

…

Para resolver el sistema, suponga paratodo i; en tal caso se obtiene a partir de laúltima ecuación. Sustituyendo el valorconocido de en la penúltima ecuación,resuélvala para

Procediendo de la misma forma, se obtienen


nx

iia 0≠

nx

n 1x .−


Procediendo de la misma forma, se obtienenlos valores en este orden. En estecaso el pseudocódigo para encontrar lasolución se llama sustitución regresiva:

n n 1 1x ,x ,...,x ,−


ij i

n n nn

n

inicio

leer (n,(a ),(b ))

x b a

escribir(x )

desde i n 1 hasta 1 hacer

←

= −


n

i i ij j ii

j i 1

i

desde i n 1 hasta 1 hacer

x b a x a

escribir(x )

fin_ desde

fin

= +

= −

← −

∑






Puntos a tratar







Suponga que A se puede factorizar como elproducto de una matriz triangular inferior Lcon una matriz triangular superior U: .

En este caso, para resolver el sistema deecuaciones se puede proceder por

Factorizaciones LU

A LU=

Ax b=


ecuaciones se puede proceder poretapas como sigue:

Resolver para zResolver para x.

Ax b=

Lz b=Ux z=

El análisis previo muestra lo simple que esresolver estos dos sistemas triangulares.

Se verá como se puede llevar a cabo lafactorización con el supuesto de queen el cálculo no aparecen divisores iguales a

Factorizaciones LU

A LU=


en el cálculo no aparecen divisores iguales acero.

No toda matriz tiene una factorización de estaíndole, por lo que se debe investigar estadificultad. Se comenzará con una matriz A dey se buscarán matrices

tales que . Cuando esto es posible, se

Factorizaciones LU

A LU=

=

=

nn

n333

n22322

n1131211

nn3n2n1n

333231

2221

11

u000

uu00

uuu0

uuuu

U

llll

0lll

00ll

000l

L

⋯

⋮⋱⋮⋮⋮

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮⋱⋮⋮⋮

⋯

⋯

⋯


tales que . Cuando esto es posible, sedice que A tiene una factorización LU. Esposible que L y U no se puedan determinar enforma única.

De hecho, para cada i, se puede asignar unvalor distinto de cero a o a (más no aambos).

A LU=

iil

iiu

Por ejemplo, una elección simple consiste enfijar para y de este modo Lqueda convertida en una matriz triangularinferior unitaria (Factorización de Doolittle).Otra elección obvia es hacer de U una matriztriangular superior unitaria ( para cada

Factorizaciones LU

iil 1= i 1,2,...,n,=

iiu 1=


triangular superior unitaria ( para cadai) (Factorización de Crout). Estos casosespeciales tienen una particular importancia.

Cuando de modo que parael algoritmo se llama factorización

de Cholesky.

iiu 1=

tU L=ii iil u=

1 i n,≤ ≤

Factorización LU

ij ii

11 11 11

1j 1j 11

j1 j1 11

kk kk ks s

inicio

leer (n,(a ),(l ))

u a l

desde j 2 hasta n hacer

u a l

l a u

fin _ desde

desde k 2 hasta n hacer

u a l u

←=

←

←

=

← −

k-1

k kk

s 1

k-1

l

desde j k 1 hasta n hacer

u a l u l

=

= + ← −

∑

∑


kj kj ks sj kk

s 1

u a l u l

fin _ desde

desde i k 1 hasta n hacer

=

← −

= +

∑

k-1

ik ik is sk kk

s 1

l a l u u

fin _ desde

fin_ desde


desde i j hasta n hacer

=

← −

==

∑

ij jiescribir(l ,u )

fin _ desde

fin_ desde

fin

Factorización de Doolittle

Ejemplo numérico 1

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2x 4x 6x 18

4x 5x 6x 24

3x x 2x 4

+ + = + + = + − =


Factorización de Doolittle

3 52 3

2 4 6 1 0 0 2 4 6

A 4 5 6 2 1 0 0 3 6 LU

3 1 2 1 0 0 1

= = − − = − −

Sistemas a resolver

Ejemplo numérico 1

1 1

2 2

3 52 3 3 3

1 0 0 z 18 z 18

2 1 0 z 24 z 12

1 z 4 z 3

= ⇒ = − −


2 3 3 3

1 1

2 2

3 3

2 4 6 x 18 x 4

0 3 6 x 12 x 2

0 0 1 x 3 x 3

− − = − ⇒ = − − −






Puntos a tratar







Como ya se mencionó, hay una factorizaciónde matrices que resulta muy útil en algunassituaciones. A esta factorización se le hadado el nombre del matemático André LouisCholesky, quien demostró el siguienteresultado:

Factorización de Cholesky


resultado:

TEOREMA 1. Si A es una matriz real, simétrica ydefinida positiva, entonces tiene unafactorización única en donde L es una matriztriangular inferior con diagonal positiva.

El algoritmo para la factorización de Choleskyes un caso especial del algoritmo generalpara la factorización LU. Si A es real, simétricay definida positiva, entonces, por el teorema



y definida positiva, entonces, por el teorema1, tiene una factorización única de la formadada por en donde L es triangularinferior y tiene una diagonal principal positiva

tA LL ,=


( )

ij

1 2

11 11

j1 j1 11

1 2k-1

2kk kk ks

s 1

inicio

leer (n,(a ))

l a


l a l

fin_ desde

desde k 2 hasta n hacer

l a l

=

←

=←

=

← −

∑ desde i k 1 hasta n hacer= +


k-1

ik ik is ks kk

s 1

desde i k 1 hasta n hacer

l a l l l

fin_ desde

fin_ desde


desde j 1 hasta

=

= + ← −

==

∑

ij

n hacer

escribir(l )

fin_ desde

fin_ desde

fin


Ejemplo numérico 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 2

x 5x x 12

x x 3x 12

− + =− + + = + + =



t

1 1 1 1 0 0 1 1 1

A 1 5 1 1 2 0 0 2 1 LL

1 1 3 1 1 1 0 0 1

− − = − = − =

Sistemas a resolver

Ejemplo numérico 2

1 1

2 2

3 3

1 0 0 z 2 z 2

1 2 0 z 12 z 7

1 1 1 z 12 z 3

− = ⇒ =


3 3

1 1

2 2

3 3

1 1 1 x 2 x 1

0 2 1 x 7 x 2

0 0 1 x 3 x 3

− = ⇒ =






Puntos a tratar







Entre otros, la factorización LU y sus variantesson conocidos como métodos directos pararesolver el problema matricial Seejecutan a través de un número finito depasos y generan una solución x que sería

Métodos iterativos

Ax b.=


pasos y generan una solución x que seríaexacta si no fuera por los errores deredondeo.

En contraste, un método indirecto da lugar auna sucesión de vectores que idealmenteconverge a la solución. El cálculo se detienecuando se cuenta con una soluciónaproximada con cierto grado de precisión

Métodos iterativos


aproximada con cierto grado de precisiónespecificado de antemano o después decierto número de iteraciones.

Los métodos indirectos son casi siempreiterativos por naturaleza: para obtener lasucesión mencionada se utilizarepetidamente un proceso sencillo. Otraventaja de los métodos iterativos es que

Métodos iterativos


ventaja de los métodos iterativos es queusualmente son estables y de hechoamortiguan errores (debidos al redondeo o aerrores pequeños) conforme el proceso selleva a cabo.






Puntos a tratar







Sea

donde es el vector residual definidomediante

Método de Richardson

(k) (k 1) (k 1) (k 1)x (I A)x b x r ,− − −= − + = +

(k 1)r −

(k 1) (k 1)r b Ax .− −= −


La iteración de Richardson dará lugar a unasolución de (en el límite) sipara alguna norma matricial subordinada.

El siguiente pseudocódigo ejecuta la iteraciónde Richardson:

Ax b= I A 1− <

Método de Richardson

ij i i

n

i i ij j

j 1

inicio

leer (n,(a ),(b ),(x ),M,cot anorma)

cuadrado 0

desde k 1 hasta M hacer


r b a x

=

←=

=

← −∑

2icuadrado cuadrado r← +


i

1 2

i i

fin_ desde

norma (cuadrado)

escribir(k,norma)


x x r

←

=← +

i

i iescribir(x ,r)

fin_ desde

si norma cot anorma entonces stop

fin_ desde

fin

<

Ejemplo numérico 3

1 1 112 3 181

1 1 113 2 182

1 1 112 3 183

1 x

1 x

1 x

=

(0) t

(1) t

x (0.000000, 0.000000, 0.000000)

x (0.611111, 0.611111, 0.611111)

==


(10) t

(40)

x (0.279498, 0.279498, 0.279498)

x (0.333107, 0.3

=

=

⋮

⋮

t

(80) t

33107, 0.333107)

x (0.333333, 0.333333, 0.333333)=⋮






Puntos a tratar







TEOREMA 2. Si A es diagonalmentedominante, entonces la sucesión que resultade la iteración de Jacobi converge a lasolución de para cualquier vectorinicial.

Método de Jacobi

Ax b=


inicial.

A continuación se presenta el pseudocódigopara el método de Jacobi:

Método de Jacobi

)u-x(cuadradocuadrado

axabu

hacer n hasta 1i desde

hacer M hasta 1k desde

0cuadrado

)anormacot,M),(x),(b),(a(n, leer

inicio

2ii

ii

n

ij1j

jijii

iiij

+←

−←

==←

∑≠=


fin

fin_desde

stop entonces cotanormanorma si

fin_desde

)r,escribir(x

u x

hacer n hasta 1i desde

norma),escribir(k

(cuadrado)norma

fin_desde

)u-x(cuadradocuadrado

ii

ii

21

ii

<

←=

←

+←

Ejemplo numérico 4

1

2

x7 6 3

x8 9 4

− = − −

(k) (k 1)6 37 71 2

(k) (k 1)8 49 92 1

x x

x x

−

−

= += −


9 92 1






Puntos a tratar







Método de Gauss Seidel

1

2

x7 6 3

x8 9 4

− = − −

(k) (k 1)6 37 71 2

(k) (k)8 49 92 1

x x

x x

−= += −







Puntos a tratar







Método de Newton







Puntos a tratar







Métodos Cuasi-Newton







Puntos a tratar







Método de Jacobi No Lineal


Pensamiento de hoy

“Solo tengo una luz por la que seguían mis pasos, y esta luz es la de laexperiencia. No conozco otra manerade juzgar el futuro que rodea el


de juzgar el futuro que rodea elpasado”.

Patric Henry

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