tema 1 - usalfnl.usal.es/diez/tema1.pdf · 2007. 6. 20. · mecánica newtoniana l principio de...
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TEMA 1
MECÁNICA NEWTONIANA
Leyes de Newton
1a y 2a ley : Definición de fuerza yconservación del momento lineal 00
)(
=⇔=
==
=
dt
vmdt
d
dt
vmp
rr
rr
r
rr
Tercera Ley: completa la definición de fuerza al poder definir la masa.Sólo es válida para fuerzas centrales.
2
1
1
2
2211
2211
21
)()(
a
a
m
m
amam
vmdt
dvm
dt
d
FF
−=
−=
−=
−=rr
rr
Mecánica newtonianal Principio de equivalencia: la masa inercial que acabamos de definir es
exactamente igual a la masa gravitatoria.
New Research on Old Gravitation: Are the observed physica l constants independent of theposition, epoch, and velocity of the laboratory? R. H. Dicke
Science 6 March 1959: 621-624.
Mejora los experimentos de Eötvos a finales del siglo XIX y eleva la precisión de la igualdad de ambas masas a 10- 11.
It has been suggested occasionally that the fine structure "constant" may not be a fixed number, but that it may be determined, in a manner not yet understood, by thedistribution of mass in the universe. A simple point-particle picture is used to indicate the significance of this idea for the motion of free test particles. The possiblegenerally covariant equations of motion for a point particle are considered, and it is shown that one can find a suitable model which is consistent with the observedstructure independence of gravitational acceleration. However, it is indicated that such a model is not consistent with the precise observations, made by Hughes et al. andDrever, of the local isotropy of space. That is, with the observed structure independence of gravitational acceleration and local isotropy of space, and assuming general covariance, it seems to be necessary to rule out any appreciable variation with position in the value of the fine structure constant.
P. J. Peebles and R. H. Dicke
Palmer Physical Laboratory, Princeton University, Princeton, New Jersey
Phys. Rev. 127, 629–631 (1962)
Sistema de referencia inercial
l Invariancia de Galileo: Como en solo interviene la segunda derivada respecto al tiempo cualquier cambio de coordenadas con velocidad constante no altera esta
fórmula.
rmF &&=
Por tanto un sistema acelerado es un sistema no inc ercial. Un casoparticular de sistema acelerado en un sistema de r eferencia en rotaciónuniforme.
Cuando se cumplen las leyes de newton y en particul ar la conservacióndel momento. Es un espacio homogeneo e isotrópico. El tiempo ha de ser homogeno.
TRANSFORMACIONES DE GALILEO
tt
aa
Vvv
tVrr
==
−=
⋅−=
'
'
'
'
rr
rrr
rrr
Energía Cinética
2
2
1
2
2
2
1
.)(2
)(2
2
1
2
1
2
1
2
1
mvT
Tvvm
vvdm
vdvmdtdt
rd
dt
vdmrdFW
v
v
v
v
r
r
r
r
=
∆=−=⋅=
=⋅=⋅⋅=⋅=
∫
∫∫∫
rr
rrrr
rrr
r
r
r
El valor absoluto de la energía cinética no tiene s entido físico porquedepende del sistema de coordenadas. Sólo los increm entos de energía tienen sentido físico.
Energía Potenciall Fuerzas conservativas
VVVdVrdVrdFW
rdFrdVdVVF
V
V
r
r
r
r
∆−=−=−=⋅∇==
⋅−=⋅∇=⇒∇−=
∫∫∫ 21
2
1
2
1
2
1
·rrrr
rrrrrr
Donde V es la Energía potencial
Al igual que en la energía cinética solo tienen sen tido físico los incrementos. Fijaros que si sumáis una constante a V al calcular el gradiente se obtiene la misma expresión ….
Es interesante calcular también la potencia:
VT ∆−=∆
vFdtvFdt
ddt
dt
rdF
dt
drdF
dt
d
dt
dWP
ttr
r
rrrrr
rrr⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅== ∫∫∫ )()()(
00
2
1
Conservación de la Energía
0
2
1 2
=⋅−⋅=
⋅∇+⋅=+=
=
rFFrdt
dE
rVrrmdt
dV
dt
dT
dt
dE
rmT
&rrr
&r
&rr
&&r&r
&r
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR
FrL
rrmrrmL
rrmprL
rr&r
&r&r&&rr&r
&rrrrr
×=
×+×=
×=×=
En el caso de fuerzas centrales, fuerzas dirigidas en la dirección radial, el momento angular es una constante del mov imiento.
FUERZAS CENTRALES
drrFrdF
jrdjdrsenjdrrd
jrFF
r
r
)(
)(
=⋅
⋅+⋅+⋅=
⋅=
rr
rrrr
rr
θϕ θϕθ
rdFrdVdVVFrrrrrr
⋅−=⋅∇=⇒∇−=
Vamos a demostrar que toda fuerza central es conserv ativa.Lo contrario no es cierto, es decir hay fuerzas con servativas que no son centrales.
Ya vimos antes que una fuerza conservativa implica q ue:
Una fuerza central puede definirse en coordenadas e sféricas como:
Por tanto vemos que siempre podemos definir V simpl emente como
∫ ⋅−= drrFrV )()(
POTENCIAL EFECTIVOrrmprL &rrrrr
×=×=Recordemos que
La conservación de implica que el plano formado por es constante y por tanto el movimiento bajo fuerzas centrales se desarrolla en e se plano.
Podemos pues siempre elegir un sistema de referenci a con el eje z en la dirección de de esta manera que el movimiento se realice en el plano XY.
Las coordenadas más adecuadas para un movimiento de estas características son las coordenadas cilíndricas desarrollandose el movimient o en el plano z=0. En estas coordenadas el momento angular se escribe como sigue:
Lr
Lr
ryr &rr
Lr
2222|| ϕ
ϕ ϕ
&&&r
r&
r&&r
rr
rrr
jrjrr
jrr
r
r
+=
+=
=
)()(2
1 222
2
2
rVrrmE
mrL
jLjmrrrmL zz
++=
=
==×=
ϕ
ϕϕ
&&
&
r&&rrr
POTENCIAL EFECTIVO
++= )(
22
12
22 rV
mr
LrmE &
Utilizando el momento angular podemos escribir la e nergía como:
Fijaros que para un problema dado L y E son constantes y por tanto esta expresión solo depende de r. Es por tanto formalmente idéntica a la ecuación de conservación de la energía en una dimensión para un potencial efectivo de la forma:
).(2
1
)(2
)(
2
2
2
rUrmE
rVmr
LrU
+=
+=
&
En consecuencia las leyes de conservación de L y E nos han permitido reducir un problema 3D a un probl ema 1D que estudia el movimiento de una partícula en el po tencial U(r) con la restricción adicional de que r solo puede tomar valores positivos.
Puntos de retroceso
( ))(2rUE
mr −=&
ErU ≤)(
)(rUE =
Puesto que la velocidad radial es:
El movimiento sólo podrá existir para aquellos valo res de r para los cuales
Los puntos en los cuales se llaman puntos de retroceso. En ellos la velocidad radial es cero y por tanto la velocidad está dirigida en la dirección jϕ por lo que la posición y la velocidad son perpendiculares.
011
111
11
1
1
=⋅
=
=
vr
jrv
jrr r
rr
r&
r
rr
ϕϕ
Los estados para los cuales la energía y el momento y/o las condiciones iniciales son tales que la partícula permanece confinada entre dos puntos de retroceso se denominan estados ligados . En este caso conviene tomar las condiciones iniciales en uno de los puntos de retroceso.
Por el contrario si la partícula puede alcanzar valores de r indefinidamente grandes se trata de un estado de difusión o scattering. En este caso conviene tomar las condici ones iniciales en el infinito.
Oscilador armónico tridimensional isótropo
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2)(
).(2
1),(
2)(
2
1)()(
)(
krmr
LrU
rUrmErVmr
LrU
krdrrkdrrFrV
jrFjrkrkF rr
+=
+=+=
==−=
=−=−=
∫ ∫
&
rrrr
Notamos que la fuerza es central y calculamos el potencial efectivo.
Oscilador armónico tridimensional isótropo
LRU
m
k
m
LR
dr
dU
krmr
LrU
ω
ωω
=
≡=⇒=
+=
)(
,0
2
1
2)( 2
2
2
−+=
−−=
=+=
2
22
2
2
22
1
2
22
11
11
)(,22
1
mE
kL
k
Er
mE
kL
k
Er
ErUmr
LkrE
Primero calculamos el mínimo del potencial.
Calculamos los puntos de retroceso : velocidad radial = 0
( ))(2rUE
mr −=&
Oscilador armónico 3DVamos a escribir las constantes del movimiento en función de lospuntos de retroceso:
21
2
2
2
1
21
2
2
2
1
2
22
2
2
22
1
),(2
,,2
11
11
rrmLrrk
E
m
Lrr
k
Err
mE
kL
k
Er
mE
kL
k
Er
ω
ω
=+=
==+
−+=
−−=
Oscilador armónico en 3D
Las ecuaciones del movimiento son:
4222
2
2
1
22
2
2
1
22
2
21
2
2
2
1
2
2
22
21
2
)(
)(2
,2
1
22
1
,
2 rrrrrrrr
r
rr
rrk
Ekrmr
LrmE
rrmLmrL
ωωω
ωϕ
ωϕ
−++−=
=
+=++=
==
&
&
&
&
Oscilador armónico en 3D
'
22
2
112
)(
1)(
ppd
dp
prr
ptr
ϕϕ
ϕ
ϕ
&&& −=−=
=
4222
2
2
1
22
2
2
1
22
2
21
)(2 rrrrrrrr
r
rr
ωωω
ωϕ
−++−=
=
&
&
Orbita: Para calcular la órbita, tenemos que eliminar el tiempo. Para elloutilizamos la parametrización:
Utilizando:
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
122'
22
2
2
1
222
2
2
1
22'2
2
2
1
2
444
4)(44
rrp
rr
rrpp
prrprrprr
−++−=
−++−= ωωωω
Oscilador armónico 3D
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
12'
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
12'
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
122'
24
4
24
24
444
−+
+−−=
−
++
+−−=
−++−=
rr
rr
rr
rrpp
rrrr
rr
rr
rrpp
rrp
rr
rrpp
completo cuadrados
+−
−−
−=2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
22'
2
21
rr
rrp
rr
rr
rr
rrp
Oscilador armónico 3D
'
2
1
2
2
2
2
2
1'
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
22'
2,
2
2
2
21
prr
rr
d
dqq
rr
rrp
rr
rrq
rr
rrp
rr
rr
rr
rrp
−==
+−
−≡
+−
−−
−=
ϕ
Cambio de variable:
2
22
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
22
2
2
2
2
1
2
1
2
2
12'
)1(4'
)1(2
4'2
)1('2
qrr
rrq
rr
rr
qrr
rrq
rr
rr
−=
−=
−
−=
−
−
−=
−
Oscilador armónico 3DIntegrando
)2(
2)(
12'
0
0
2
αϕ
αϕ
+=
+=−=
senq
qarcsen
2
2
2
1
2
2
2
102
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2)2sin(
2
22
rr
rr
rr
rrp
rr
rrq
rr
rrp
+++−=
++
−=
αϕ
Oscilador armónico 3D
)2sin()()(
2
1)(
2)2sin(
2
0
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
12
2
2
2
2
1
2
2
2
102
2
2
1
2
1
2
2
αϕ
ϕ
αϕ
+−++=
≡
+++−=
rrrr
rrr
rp
rr
rr
rr
rrp
Deshacemos el primer cambio de variable:
Oscilador armónico 3D
)2cos(22
1
22sin)()(
2
21)sin(,)0(0
)2sin()()(
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
12
001
0
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
12
ϕ
πϕ
πααϕ
αϕ
rr
rr
rr
rr
r
rrrr
rrr
rr
rrrr
rrr
−++=
+−++=
=⇒==⇒=
+−++=
Oscilador armónico 3D
)2cos(22
12
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2ϕ
rr
rr
rr
rr
r
−++=
m
kLE
mE
kL
k
Er
mE
kL
k
Er
=≥
−+=
−−=
ωω
2
22
2
2
22
1
11
11
Órbita del oscilador 3D isótropo
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
NiFFrm i
i
e
iii Krr
&&r 1:,)()( +=
)(e
iFr
)(i
ijFr
Extendemos los resultados de una partícula aislada a un sistemaformado por N partículas.
Leyes de Newton:
Fuerzas internas:
Fuerzas externas: Es la fuerza externa que actúa sobre la partícula i , de masa m i.
∑=
=N
j
i
ij
i
i FF1
)()(rr Es la suma de la fuerzas ejercidas sobre la partícu la i, por el resto de
las partículas, siendo la fuerza ejercida por la partícula j sobre la partícula i. .
Principio de acción y reacción: )()( i
ji
i
ij FFrr
−=Impondremos además que las fuerzas internas están dirigidas según la línea que une a las dos partículas y son, por tanto, centrales . Es conocido como la versión fuerte de la 3ª ley de Newton. Esto implica que:
ijjijiji rrrFrrrrrr −==× ;0
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
∑=
=n
i
imM1
Masa total del sistema:
Centro de Masa: Se define el centro de masa de un sistema de partículas como el punto cuya posición viene dada por:
i
N
i
irmM
Rrr
∑=
=1
1
2ª Ley de Newton para el CM:
)(
1 1
)()(
1
)(
1
)(
12
2
)()(
2
2
)()(
)(
)(
1:,
e
N
i
N
j
i
ji
eN
i
i
i
N
i
e
i
N
i
ii
i
i
e
iii
i
i
e
iii
FRM
FFFFrmdt
d
FFrmdt
d
NiFFrm
r&&r
rrrrr
rrr
Krr
&&r
=
+=+=
+=
+=
∑∑∑∑∑= ====
∑=
≡N
j
i
ij
i
i FF1
)()(rr
)()( i
ji
i
ij FFrr
−=
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Conservación del momento lineal:
∑
∑
∑
=
=
=
===
==
=
N
i
e
i
e
i
N
i
i
i
N
i
i
FFRMP
RMrmP
M
rm
R
1
)()(
1
1
rr&&r&r
&r&rr
&r
&r
1. El momento lineal del sistema depende solo del movimiento del centro de masa.
2. El centro de masa se mueve como lo haría una partícula ficticia de masa M sobre la que actuase la resultante de las fuerzas externas.
3. Si la resultante de las fuerzas externas es cero, el centro de masa define un sistema inercial.
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
)(
1 1
)(
1
)()(
111
)(
11
)(
)( i
ji
N
i
N
j
i
e
i
N
i
i
i
i
e
i
N
i
iii
N
i
iii
N
i
i
T
ii
N
i
i
N
i
i
T
FrFrFFrrmrrrmL
rrmLL
rrrrrrr&&rr&&rr&r
&rrrr
×+×=+×=×=×=
×==
∑∑∑∑∑∑
∑∑
= =====
==
Conservación del momento angular:
El último término se anula si las fuerzas interiores son centrales . Para cada pareja de partículas i,j hay dos términos que se cancelan mutuamente si las fuerzas interiores son centrales y por tanto están dirigidas según la línea que une las dos partículas (versión fuerte de la 3ª ley de newton.
0)( )()()()( =×=×−=×+× i
jiij
i
jiji
i
ijj
i
jii FrFrrFrFrrrrrrrrrr
ijjijiji rrrFrrrrrr −==× ;0
Por tanto la variación del momento angular es sólo debida a las fuerzas externas y sin son centrales será conservado.
)(
1
)( e
i
N
i
i
T FrLrr&r ×=∑
=
SISTEMAS DE PARTÍCULASEnergía cinética:
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑
∑
= ==
= === ==
===
=
⋅+⋅=
⋅+⋅=⋅−+⋅
=+⋅=⋅=⋅=
=
N
i
N
j
i
jiij
e
ii
N
i
T
N
i
N
j
i
jiij
e
ii
N
i
N
i
N
j
i
jiji
e
ii
N
i
i
i
e
ii
N
i
iii
N
i
ii
N
i
i
T
i
N
i
i
T
FrFrT
FrFrFrrFr
FFrrmrrrmT
rmT
1 1
)()(
1
)(
1 1
)()(
11 1
)()(
1
)()(
111
)(
2
1
)(
)(
)()(
2
1
r&r
r&r&
r&r
r&r
r&r&r
r&r
rr&r&&r&r&&r&r&
&r
0=⇔= ijij rcter &rr
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
0=⇔= ijij rcter &rr
∑∑∑= ==
⋅+⋅=N
i
N
j
i
jiij
e
ii
N
i
T FrFrT1 1
)()(
1
)(r
&rr
&r&
Sólido rígidoUn sólido rígido es un caso particular de sistema de partículas donde las distancias entre dos partículas cualesquiera son constantes.
Por tanto en el caso de un sólido rígido , la variación de la energía cinética se debe sólo a las fuerzas externas.
)(
1
)( e
ii
N
i
T FrTr
&r& ⋅=∑=
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Energía potencial
Antes impusimos la versión fuerte del principio de acción y reacción que implica que las fuerzas internas son centrales y por tanto conserva tivas. Si las fuerzas externas son también conservativas podemos definir una función potencial de la forma:
ij
ij
i
ij
ji
N
ee
i
j
N
i
N
i
jiN
e
N
dr
rdVF
rrVF
rrVrrVrrV
)(
),,(
),,(),,(),,(
)(
1
)()(
1
1 1
1
)(
1
)(
1
−=
∇−=
+= ∑∑−
= =
r
rK
rrr
rK
rrK
rrK
r
SISTEMAS DE PARTÍCULAS
*
ii rRrrrr +=
0*rr
=R
0*
1
=∑=
i
N
i
irmr
Sistema de referencia en el centro de masa
Es evidente que en este sistemas de coordenadas:
De forma que:
•Momento lineal Momento angular Energía cinética
RMP&rr
= *
1
*)(
i
N
i
ii
T rrmRRML &rr&rrr×+×= ∑
=
2*
1
2
2
1
2
1ii
N
i
rmRMT &r&r ∑=
+=
Ligaduras
∑∑= =
+=N
i
N
j
i
ji
e
iii FFrm1 1
)()(rr
&&r
El sólido rígido es un caso particular de ligaduras . Existen numerosos casos de ligaduras: las partícu las de un gas encerrado en una caja, una bola deslizándo se por un alambre, una partícula moviéndose sobre la superficie de una esfera…
Holónomas: 0),,,( 32,1 =trrrf Krrr
Las ecuaciones de Newton tienen una sencillez aparen te pero hay que recordar que en numerosos problemas de la mecánica aparecen ligaduras, es dec ir restricciones adicionales a las fuerzas externas.
Las clasifica de acuerdo a su expresión matemática. Se habla de ligaduras holónomas cuando admiten ecuaciones algebraicas. Por ejemplo una ar tícula obligada a moverse sobre una superficie o una curva. Sin embargo en otras ocasio nes cuando se trata de restricciones, como partículas Encerradas en una caja, que pueden expr esarse en forma de inecuaciones hablamos de Ligaduras no holónomas.
Reónomas: Dependencia explícita del tiempo.
Esclerónomas: Sin dependencia explícita del tiempo
Ligaduras
•Las ligaduras aparecen en descripciones macroscópic as cuandono tenemos expresiones explícitas de las fuerzas im plicadas.
•Es útil por tanto buscar una descripción de la Mecá nica en la que desaparezcan los términos de las ligaduras.
Mecánica Lagrangiana y Hamiltoniana.
Leer: Mecánica Clásica – H. Goldstein pgs. 14-19.
Limitaciones de la mecánica de Newton
•Ligaduras
•Electrogmagnetismo
•Sistemas de Muchas PartículasMore is different! P. W. AndersonScience, New Series, Vol. 177, No. 4047 (Aug. 4, 1972), pp. 393-396
•Relatividad especial y general
• Mecánica Cuántica
•Dimensionalidad (0D,1D,2D)
•NanocienciaPlenty of Room at the BottomRichard P. FeynmanDecember 1959 http://www.its.caltech.edu/~feynman/plenty.html
Imagen AFM de unaSuperficie epitaxial de Si sometida a un
Proceso de nano-oxidación.
La imagen ha sido tomada con el nuevo AFM del Grupo de Óptica de la USAL (6-X-2006)
Nanociencia
Imagen AFM de una muestra de Si epitaxial crecido po r MBE y posteriormente sometida a un proceso de
nano-oxidación, mediante la aplicación de alto-volt aje en la punta de AFM que provoca la condensación de una nano-gota de agua que genera la estructura de
Oxido de Si. La altura del óxido es de ~6nm por tant o para este proceso el substrato inicial tiene que se r una
superficie de extraordinaria calidad.
La imagen ha sido tomada durante la instalación del nuevo microscopio AFM del
Grupo de Óptica de la Universidad de Salamanca(6-X-2006)
Imagen AFM de una muestra de Si epitaxial crecido po r MBE y posteriormente sometida a un proceso de
nano-oxidación, mediante la aplicación de alto-volt aje en la punta de AFM que provoca la condensación de una nano-gota de agua que genera la estructura de
Oxido de Si. La altura del óxido es de ~6nm por tant o para este proceso el substrato inicial tiene que se r una
superficie de extraordinaria calidad.
La imagen ha sido tomada durante la instalación del nuevo microscopio AFM del
Grupo de Óptica de la Universidad de Salamanca(6-X-2006)
Problema:
( ) ( )
( )22
2
22
2
)(2
)(2
)(2
rm
LrVE
m
drdt
rm
LrVE
mrUE
mdt
drr
−−=
−−=−==&
ϕ∆1. Calcular el entre dos puntos de retorno.
Utilizando la conservación del momento angular: ctemrL == ϕ&2
( )
( )∫
−−=∆
−−=
=
==
2
1
2
22
2
22
2
2
)(2
)(2
;
r
r
r
LrVEmr
drL
r
LrVEmr
drLd
dL
mrdt
mr
L
dt
d
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ&
n
mπϕ =∆
Condición de órbitacerrada
Sólo se cumple para:
V(r) =1/r
V(r)=1/r2