1

Trabajo y energía En resumen, la mecánica de Newton explica el movimiento de masas (o materia) en el espacio-tiempo con el resultado (acción) de interacciones entre la materia misma = fuerzas La segunda ley de Newton:

(1) 2

2

dv d xF ma m m

dt dt= = =

r rr r(Fuerza)

Si la aceleración es constante, integrando una y otra vez:

(2) 0

dxv v at

dt= + =

rr r r (Velocidad)

(3) 20 0

12

x x v t at= + +r r r r

(Trayectoria)

Esto forma un sistema de ecuación diferenciales de segundo orden – donde el tiempo es un parámetro è describe evolución de un estado dinámico a otro Del otro lado este modelo es lejos de ser completo:

• El espacio y el tiempo no tiene definición física • La masa entra en las ecuaciones de manera ambigú: como factor de acoplamiento

de la fuerza ( g gF m a=r r

) y relacionada con la inercia ( iF m a=r r

) • A la masa se relaciona una energía de movimiento universal (no local), la

cantidad de movimiento o momento lineal p mv=r r , pero sugiere que las

interacciones son instantánea dp

Fdt

=rr

La solución a todos estos problemas se encuentra en la relatividad especial y general (teoría de la gravedad) de Einstein

• La velocidad de la luz es la velocidad máxima de interacción entre la materia

è Intervalo espacio-tiempo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2s c t x y z∆ = − ∆ + ∆ + ∆ + ∆

• La masa inercial varia con la velocidad del objeto 0

2

21

mm

vc

=

−

, donde 0m es la

masa al reposo

• La masa misma es una forma de energía 20E m c=

2

Los otros problemas con la mecánica clásica de Newton son:

• La materia es extremamente compleja e no es posible identificar todas las fuerzas entre átomos y moléculas y calcular las resultantes (la resolución de algunos problemas de tareas ilustran esta complejidad) – (soluciones = mecánica canónica + mecánica estadística + termodinámica)

• Al nivel atómico y moleculares, la acción de las fuerzas no tiene un comportamiento continuo (espacio-tiempo no son continuo) – la energía es cuantificada (mecánica cuántica)

En base de la mecánica canónica se extendió el modelo de Newton basando se sobre la noción de energía – los conceptos desarrollados de esta manera son general y se aplica también a la mecánica cuántica y se extiende en la termodinámica NOTAS: la mecánica cuántica y la termodinámica forman la base de la física usada en química El trabajo mecánico y la energía cinética La relación entre fuerzas y energía pasa por el concepto de trabajo mecánico – describe la acción de una fuerza F ejercida sobre una distancia s (forma escalar porque energía es escalar) – el trabajo mecánico es definido como (4) W Fs= Unidad: 1Joule 1N m= ⋅

Pero como la fuerza y desplazamiento son vectores el trabajo es el resultado de una operación vectorial = el producto escalar (5) W F s= ⋅

r r

(6) cosW Fs φ= Donde φ es el ángulo entre las direcciones de la fuerza y desplazamiento

3

Tiene dos posibilidades W±

• Positiva è fuerza actúa en la dirección del movimiento = aumenta la velocidad • Negativa è fuerza actúa en la dirección inversa del movimiento = baja la

velocidad (o cambia su dirección) Consideramos un movimiento en 1D – y la acción de una fuerza constante sobre un objeto de masa m sobre una distancia s∆

• Desplazamiento 2 1s x x∆ = − • Se produce un cambio de velocidad 2 1v v v∆ = −

• Relacionada a una aceleración 2 22 1

2v v

as

−= , producida por la fuerza F ma=

• El trabajo 2 2

2 22 12 1

1 12 2 2

v vW Fs mas m s mv mv

s −

= = = = −

El trabajo corresponde a la variación de una cantidad = energía cinética (7) 2 1totW K K K= − = ∆ Donde

(8) 212

K mv=

Por definición siempre positiva – con unidad [ ]2

2

mkg N m Joule (J)

sK = ⋅ = ⋅ =

4

La definición del trabajo mecánico sugiere que el cambio del movimiento de una partícula de masa m implica un cambio en energía è si 0 0v = entonces totW K=

• Esto es el trabajo hecho para aumentar la velocidad de la partícula • O al inverso puede ser el trabajo necesario para parar la partícula

Caso más general = diagrama de fuerza por distancia

Por definición del trabajo

(9) 2

1

x

x

W Fdx= ∫

Esto corresponde al área abajo de la curva de la fuerza Si la magnitud de la fuerza es constante

(10) ( )2 2

1 1

2 1

x x

x x

W Fdx F dx F x x Fs= = = − =∫ ∫

También se aplica la misma definición cuando la magnitud de la fuerza no es constante Un ejemplo importante = ley de Hooke (1678) para un resorte (pero también aproximación de fuerza molecular) (11) F kx= Donde x es la elongación elástica producida por la fuerza sobre el resorte y k es la

constante de acoplamiento (constante de resorte con unidad [ ] 2

kgs

k = )

5

El trabajo será igual a

(12) 2

2

0 0

12

xx

W Fdx k xdx kx= = =∫ ∫

De nuevo se verifica que corresponde a la área abajo de la

fuerza – triangulo 12

kX X⋅

• Esto es la energía que debo invertir para estirar el resorte por x • O también es la energía (potencial) en el resorte estirado por x

Teorema trabajo-energía Por definición, la aceleración es igual a

(13) dv dv dx dv

a vdt dx dt dx

= = =

Por lo tanto, el trabajo será igual a

(14) 2 2 2 2

1 1 1 1

2 22 1

1 12 2

x x x v

totx x x v

dvW Fdx madx m v dx m vdv mv mv K

dx= = = = = − = ∆∫ ∫ ∫ ∫

El trabajo es igual a la diferencia de energía cinética del sistema Consideramos ahora una trayectoria cualquiera en el espacio – el trabajo hecho por una fuerza sobre una masa siguiendo esta trayectoria será (15) // cosdW F dl F dl F dlφ= ⋅ = =

rr r

Solamente la componte de la fuerza en la dirección paralela a la trayectoria FP hace un trabajo El trabajo es una integral de línea

(1.1.16) 2 2

1 1

cosP P

P P

W F dl F dlφ= ⋅ =∫ ∫rr

En general, el trabajo depende del camino

6

Concepto de poder mecánico Saber cual energía (trabajo) se requiere para cambiar el movimiento es muy útil, pero también se necesita saber si el cambio fue rápido o lento porque el movimiento se hace en espacio-tiempo; incluyendo el tiempo è concepto de poder Por definición, el poder es igual a la taja de cambio del trabajo En promedio

(17) av

WP

t∆

=∆

Pero también de manera instantánea

(18) 0

limt

W dWP

t dt∆ →

∆= =

∆

Con unidad [ ] ( ) J W

sP Watt= =

Otras unidades útiles:

Potencia de cabalo (hp): lb lb

550ft 33000f 746Ws min

t⋅ = ⋅ =3

1hp kW4

⇒ ∼

NOTA el kWh es unidad de energía no de poder:

Kilowatt por hora (kWh): 3 6J1kWh 10 3600s 3.6 10 J 3.6MJ

s= ⋅ = × =

British Thermal Unit (BTU): 1BTU 1.06kJ= = cantidad de energía para aumentar la temperatura de 1lb de agua de 1F (de 60 a 61F a 1atm) En mecánica se tiene una importante relación para el poder - si FP es la componente de la fuerza paralela a la trayectoria – por definición del poder promedio

(19) //// //av av

F s sP F F v

t t∆ ∆

= = = ∆∆ ∆

Donde avv∆ es la velocidad promedio – también se aplica si tomamos el límite

(20) // //0lim

t

sP F F v F v

t∆ →

∆= = = ⋅

∆

r r

7

Ejemplo de utilidad del concepto de poder Consideramos un coche – dos fuerzas se oponen al movimiento

• Fricción rodante • Resistencia del aire

Consideramos el Porsche 911 Carrera con un peso 12260Nw =

• Fricción rodante 0.015 180r rF w Nµ η= = = , independiente de la velocidad

• La resistencia del aire 2

2 22

1 m0.4 N

2 saireF CA v vρ

= ≈

Donde usamos

• La densidad del aire 3

kg1.2

mρ = (al nivel del mare)

• 2area frontal silhouette 1.77mA = = = • coefficiente de arrastre 0.38C = = (típicamente entre 0.35-0.50)

En una zona residencial, la velocidad permitida

10 36 22 40aire r

m km miv F N F

s h h= = = ⇒ = <

Pero en la autopista, 30 110 67 360aire r

m km miv F N F

s h h= = = ⇒ = ? que muestra la

importancia de un perfil aerodinámico para los coches Solamente para guardar una velocidad constante: motor aire rF F F= + La potencia necesaria: ( )motor aire rP F v F F v= = +

A partir de este resultado podemos determinar la consumación de petróleo necesario considerando que 1L de gasolina da 73.5 10 J⇒ × de energía

• 65% va en calor y gas de escapo • 20% se pierde en fricción mecánica + ruido

• Solamente 15% se transforma en movimiento 6 J5.3 10

L⇒ ×

Para andar am J

15 4100s s

⇒ de potencia segunda la tabla

En una hora se viaja sobre una distancia 54km

8

Se usa para esto 6

4100J s 3600s2.8L

5.3 10 J L⋅

=×

de petróleo que corresponde a una consumación

total dist km mi

19 45L L gal

= = = , no muy eficiente

Comparamos con la caminada a pie: 1 persona de 70kg necesita 52.0 10 J× de energía para caminar 1km a la velocidad de

km5

h; Con la energía en un litro de gazolina è

7

5

3.5 10 J170km

2.0 10 J km×

=×

El coche solamente se viaja 19 km para la misma cantidad de energía Pero se viaja mucho más rápido, 10 veces más rápido También se necesita poder para acelerar – el fabricante dice que puede acelerar a

mi m60 (27 )

h sen solamente 6.1s

La diferencia en energía cinética 2 514.6 10

2K mv J= = ×

Que corresponde a una potencia promedio 47.5 10 W 75kW 100hpav

KP

t= = × = =

∆

Esto es 18 veces más poder que para guardar el coche en movimiento a velocidad constante; No hay problema, porque el fabricante dice que cuando el motor gira a 5900rpm (muy alto) el motor puedes generar una potencia de hasta 214hp, más que necesario Consideramos ahora una subida con pendiente de 5% grado (subamos 5m a cada 100m) a

la velocidad constante dem

30s

⇒ la taja de elevación m m

0.05 30 1.5s selevacionv = × =

⇒ la potencia de elevación 4 J1.8 10 24hp

selevacionP Fv wv= = = × =

El poder total para subir m

(30 ) 18kW 16kW=34kW=46hpstotalP = +

⇒ La velocidad y comodidad (más de una persona + maletas) del automóvil implica un costo (inversión) muy alto en energía = ligación moleculares del petróleo

9

Energía potencial y ley de conservación de la energía Vimos que para estirar un resorte por un valor x tengo que hacer un trabajo igual a

(21) 212

W kx=

Pero también puedo recuperar esta energía una vez que para de aplicar esta fuerza

Modelo de ligación moleculares

Deformación de una bala de tenis

Esto pasa porque las fuerzas que ligan los átomos en una molécula son elásticas è no se pierde la energía Por lo tanto vemos que la energía puede en un sistema acumular (guardar) se en relación a una posición o estado especial = concepto de energía potencial Diferentes tipos de energía potencial:

• Gravitacional • Elástico (deformación de materia) • Eléctrico (distribución no homogénea de carga)

En términos termodinámico, la energía potencial puede ver se con una energía que puede ser usada por hacer un trabajo útil = capacidad de hacer trabajo

10

Potencial gravitacional El potencial gravitacional es un ejemplo extremamente importante – es una fuente natural enorme de energía – la acreción de materia sobre un objeto compacto (agurejo negro) es el fenómeno más energético que existe – produce el equivalente en materia-energía 20.1E mc= , comparando con 20.007E mc= para la reacción termonuclear Cuando una masa cae en la superficie de la tierra, la gravedad hace un trabajo (22) ( )1 2 1 2gW Fs w y y mgy mgy= = − = − Donde definimos la energía potencial gravitacional como (23) U mgy=

Nota que el potencial inicial, 1 1U mgy= y el potencial final es 2 2U mgy= , por lo tanto la diferencia de energía potencial gravitacional es 2 1U U U∆ = − y el trabajo hecho por la gravedad: (24) 1 2gW U U U= − =−∆ La masa pierde energía potencial gravitacional cuando cae – pero esta energía no es perdida - se transforma en energía cinética (25) gW U K= − ∆ = ∆ Esta definición sigue la definición de trabajo mecánico

• Cuando la masa sube 0gW < , y 0U∆ > , 0K∆ < baja la velocidad , la fuerza trabaja en el sentido inverso del movimiento

• Cuando la masa cae 0gW > , y 0U∆ < , 0K∆ > aumenta la velocidad, la fuerza trabaja en el sentido del movimiento

La tendencia natural es 0U∆ < è tendencia a energía potencial mínima

11

Conservación de energía mecánica Para la fuerza gravitacional, la relación 2 1 1 2K K K U U U∆ = − = − ∆ = − ⇒ (26) 1 1 2 2K U K U+ = + o

(27) 2 21 1 2 2

1 12 2

mv mgy mv mgy+ = +

La suma de la energía cinética y potencial gravitacional es una constante – la energía mecánica es conservada (28) E K U= + Se dice que La Gravedad = una fuerza conservativa En general, cuando otras fuerzas se aplican al sistema no tiene conservación de la energía mecánica (29) 2 1 1 2tot g other otherW W W K K U U W= + = − ⇒ − + Por lo tanto tenemos un cambio de energía (30) 2 1otherW E E E= − = ∆ En particular 0otherW < ⇒ implica perdida de energía, por ejemplo por efecto de fricción (el energía se cambia en calor) è las fuerzas de fricción son fuerzas de disipación de energía mecánica NOTA: Cuando deja caer al suelo un objeto no hay conservación de energía, la energía cinética es disipada en calor + ruido y el potencial gravitacional disminuye (más negativa) è la energía de ligación gravitacional ( )U−∆ aumenta; el potencial gravitacional es equivalente al trabajo hecho por la gravedad para formar el objeto = colapso gravitacional El mismo concepto se aplica para formar las moléculas – se necesita hacer un trabajo igual a U−∆ = el potencial de ligación

12

En general, el trabajo es una integral de línea è depende de la trayectoria Consideramos ahora el trabajo de la fuerza gravitacional al largo de una trayectoria en 2D cualquiera

La componente de la fuerza gravitacional solamente esta en la dirección j : ˆw mgj= −r El camino sobre la trayectoria es ˆ ˆs xi yj∆ = ∆ + ∆r Por definición del trabajo (31) ( ) 1 2

ˆ ˆ ˆgW w s mgj xi yj mg y U U= ⋅∆ = − ⋅ ∆ + ∆ = − ∆ = −

r r

El trabajo no depende del camino = integral exacta Afirmaciones equivalentes:

• Para cualquier fuerza conservativa, el trabajo no depende del camino • La conservación de energía mecánica es equivalente a un trabajo independiente

del camino • El trabajo es un integral exacta

NOTA: el potencial U no es definido de manera absoluta, solamente es la diferencia de potencial U∆ que es físicamente significativa

13

Ejemplo: Electrón con trayectoria cerrada

Un electrón se mueve en sentido ante horario alrededor de un cuadro en el plano x-y

Cuando aplicamos una fuerza ˆF Cxj=r

¿es conservativa esta fuerza?

Por definición, el trabajo es un integral de línea 2

1

p

pW F dl= ⋅∫

rr

De (0,0) a (L,0) y de (L,L) a (0,L) la fuerza es perpendicular a la trayectoria y por tanto

1 2 0W W= =

Sobre el tramo 2:

ˆF CLj=r

e ˆdl dyj=r

22 0

ˆ ˆ LF dl CLj dyj CLdy W CL dy CL⇒ ⋅ = ⋅ = ⇒ = =∫

rr

Sobre el tramo final, 0x = y, por tanto, 0F =

21 2 3 4 2W W W W W W CL⇒ = + + + = =

La fuerza no es conservativa

Nota: sobre el camino inverso, 2W CL= − è esta fuerza no es una fuerza de fricción (porque a este momento 22totalW CL= )

14

Potencial elástico Este potenc ial esta relacionada por la deformación mecánica de las moléculas – hasta un punto (en primera aproximación porque siempre tiene disipación) estas deformación son elásticas è la energía es conservada El potencial elástico

(32) 212

U kx=

Cuando el objeto regresa a su forma original, el resorte hace un trabajo Ej. El resorte ideal (no hay disipación) – también un bueno modelo para describir las fuerzas intermoleculares Importante pongamos posición en equilibrio a 0x = El trabajo hecho sobre el resorte (para estirar lo)

(33) ( )2 22 1

12

W k x x= −

El trabajo hecho por el resorte

(34) ( )2 21 2

12elW k x x W= − = −

Entonces (35) 1 2elW U U U= − ∆ = −

Para un resorte ideal = no hay disipación (36) 1 2 2 1 1 1 2 2tot elW W U U K K U K U K= = − = − ⇒ + = + Si el resorte no es ideal o tiene otras fuerzas se aplicando (37) otherW K U E= ∆ + ∆ = ∆ Por ejemplo, un resorte vertical è agregamos fuerza gravitacional (38) 1 1 1 2 2 2g el other g elU U K W U U K+ + + = + + Y con 0otherW = è conservación de energía mecánica

15

Características de las fuerzas conservativas La característica más importante = el trabajo es reversible

• Si un partícula se mueve en un trayectoria cerrada el trabajo total es cero

(39) 2 1

1

0P P

P

W F dl F dl=

= ⋅ = ⋅ =∫ ∫r rr rÑ

• El trabajo es una integral exacta = la diferencia entre la valor de una función (el potencial ) al punto final y inicial è no depende del camino

• La fuerza es relacionada con un potencial

En 1D el trabajo x x

UW U F x F

x∆

= − ∆ = ∆ ⇒ = −∆

y tomando el límite

(40) x

dUF

dx= −

• Las fuerzas conservativas apuntan en una posición del sistema que tiene energía potencial mínima

Ejemplo de resorte: ( ) 212

dUU x kx kx

dx= ⇒ − = −

• Energía potencial minina a 0x = , y la fuerza tiende a regresar el objeto a este estado

16

Otro ejemplo = potencial eléctrico

( ) CU x

x=

2 2x

dU C CF

dx x x ⇒ = − = − − =

(Siempre positiva è repulsión)

• ( )U x → ∞ cuando 0x →

• 0xF > se aleja de 0x = y alcanza cero cuando x → ∞

El trabajo para traer dos cargas eléctrica del infinito a una distancia x r=

( )2

r r C CW Fdx dx U r

x r∞ ∞= = = − = −∫ ∫

NOTA ( ) 0U r > para carga de mismo

signa (repulsión) y ( ) 0U r < para carga de diferente signa (atracción)

En general, si las cargas q son en Coulomb y la distancia en la carga es r el potencial

eléctrico es dado por la expresión 9 1 28.9876 10 Jq q

Ur

= ×

17

En 3D, la relación entre fuerza conservativa y potencial

(41) ˆˆ ˆU U UF i j k U

x y x ∂ ∂ ∂

= − + + =−∇ ∂ ∂ ∂

r r

Donde ˆˆ ˆi j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂

r es el operador gradiente

La fuerza es el gradiente del potencial – el gradiente de una función da la dirección donde su cambió es máxima; Aplicado al potencial è tendencia a energía potencial mínima Ejemplo la gravedad

(42) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ ˆg

y y yF mgy mg i j k mgj

x y x∂ ∂ ∂

= − ∇ = − + + = − ∂ ∂ ∂

r r

La fuerza apunta hasta al centro (negativo) de la Tierra donde el potencial gravitacional es mínima

Teorema: Una fuerza Fr

es conservativa si 0F∇× =r r

Esto es porque F U= −∇r r

y 0U∇×∇ =r r

Otra manera de verificar:

ˆˆ ˆ

0

x y z

i j kF x y z

F F F

∇× = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =

r r

ˆˆ ˆ 0y yx xz zF FF FF F

i j ky z x z x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⇒ − − − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Que implica 3 condiciones: yzFF

y z

∂∂=

∂ ∂, xz FF

x z∂∂

=∂ ∂

, y xF Fx y

∂ ∂=

∂ ∂

Cambiando la fuerza por el potencial:

U Uy z z y∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

, U U

x z z x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

, U U

y x x y∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

18

Diagrama de energía Una herramienta extremamente útil para los estudios en mecánica su estudio permite deducir a simple vista el comportamiento dinámico de un sistema Ejemplo – deslizador de masa m sin fricción La energía es constante E K U= + è cambio continuo de energía potencial máxima en los punto A y A− donde E U= ( )0K = La energía es finita è limita el movimiento (oscilación) entre las limitas A y A− En 0x = , E K= ( )0U = Pozo de potencial = región delimitada por el valor del potencial

19

Diagrama más general para fuerzas conservativas

A cada punto la fuerza dU

Fdx

= −

Puntos 1x y 3x son puntos de energía mínima = equilibrio estable – la fuerza regresa las masas en estos puntos Puntos 2x y 4x tiene energía máxima (local) = son puntos de equilibrio instable – la fuerza aleja las masas de estos puntos El movimiento limitado por valor de E U= :

• 0E = equilibre estable - determinado • 1E oscilación en torno de 1x - determinado • 2E oscilación entre puntos cx y dx - determinado • 3E la masa a llegar al punto 4x o regresa 4x x< o pasa este punto 4x x> ; NOTA

basado sobre energía no se puede predecir que va hacer la masa en este punto = equilibrio instable – no determinado

Punto 2x equivalente a barrera de potencial entre dos estados de equilibrio en 1x y 3x

20

Interacción de van der Waals

La energía potencial de dos átomos en una molécula diatómica tiene la forma aproximativa:

(43) ( ) 12 6

a bU r

r r= −

Donde a y b son constantes positivas Por definición, la fuerza esta dada por

(44) ( ) 13 7 13 7

12 6 12 6dU a b a bF r

dr r r r r− = − = − + = −

Al equilibrio ( )0 0dU

F rdr

= − = esto implica 1 6

013 70 0

12 6 2a b ar

r r b = ⇒ =

Para 0r r< la fuerza es positiva y para 0r r> la fuerza es negativa è equilibrio estable La energía de disociación = la energía para separar los átomos de 0r al infinito

(45) ( ) ( ) ( )0

0 0 12 60 0

r

a bW Fdx U U r U U r

r r

∞= = − ∆ = − ∞ = = −∫

Entonces ( )0U r− seré el inverso = la energía de ligación de la molécula Para la molécula 2O , 10

0 1.21 10 mr −= × y se necesita 198.27 10 JW −= × para disociar la

Pero se sabe que 6012 6 6

0 0 0

a b aW b Wr

r r r= − ⇒ − = del otro lado tenemos 6

0 60

22

a a br

b r= ⇒ =

Reemplazamos 6

6 6 12 1200 0 0 0 0 02 2

2br

b W r U r a Wr U r= − = ⇒ = = − =

Por lo tanto el potencial esta igual a

(46) ( )12 6

0 0012 6 2

r ra bU r U

r r r r

= − = −

Esto es el potencial de van der Waals

21

Ejemplo = fuerzas de ligación de moléculas Los átomos de la mayoría de las moléculas son ligados por – ligación covalente = los átomos tiene una o mas pares de electrones en común Molécula más sencilla = molécula hidrogena iónica 2H + - dos protones y 1 electrón La figura muestra la función de distribución (probabilidad espacial) del electrón è electrón ocupa todo el espacio Probabilidad más alta separada por 1.06Å La atracción electroestática balanza la repulsión de los dos protones Energía de interacción (potencia ) en función de distancia ABr en unidad 0.530Å Energía de ligación = -1255kJ moleU− = Energía para separar 2H H H+ +→ + NOTA – el tratamiento es quántico

Los dos protones descritos por función de ondas 1s è aH + y bH + Tres posibilidades

• Aproxima bH + a aH o aH + a bH è repulsión (curva trazos)

• Combinación ( ) ( ) a b a bH H H H+ +⋅ + ⋅ è función simétrica ( ) ( )1 1s a s b+ curva S

• Combinación no simétrica ( ) ( )1 1s a s b− curva A El electrón esta en un estado de resonancia con los dos núcleos è función de ondas = hibrida è energía de ligación = energía de resonancia