PROGRAMA: 1. Fundamentos de la mecánica newtoniana. Sistemas inerciales y principio de relatividad de Galileo. Leyes de Newton. Ecuaciones de la dinámica newtoniana en sistemas no inerciales. Movimiento de una partícula sobre la superficie terrestre. El péndulo de Foucault. 2. Mecánica lagrangiana: Ligaduras, coordenadas generalizadas y espacio de configuración. Principio de D'Alembert. Ecuaciones de Lagrange para sistemas con ligaduras holónomas y cinemáticas lineales. Formulación lagrangiana del movimiento relativo a sistemas no inerciales. 3. Leyes de conservación en mecánica lagrangiana. Cálculo variacional. Principio de Hamilton. Integración de las ecuaciones del momiento. Constantes del movimiento.Teorema de Noether. 4. Introducción a la mecánica hamiltoniana: Espacio de fases. Ecuaciones canónicas de Hamilton. Paréntesis de Poisson. 5. El problema de los dos cuerpos. Reducción al problema equivalente de un solo cuerpo. Campo de fuerzas central. El problema de Kepler. Dispersión en un campo de fuerzas central. Fórmula de Rutherford. 6. Fundamentos de la teoría de la relatividad especial: Incompatibilidad de la mecánica newtoniana y el electromagnetismo. Hechos experimentales. Postulados de Einstein. El espacio-tiempo en la relatividad especial. 7. Cinemática relativista: Transformaciones de Lorentz. Ley de composición de velocidades. Formulación cuadridimensional. 8. Dinámica relativista: La energía y el momento relativistas. Conservación del cuadrimomento. La equivalencia entre masa y energía. Colisiones relativistas. Sistemas de laboratorio y de centro de masas. Formulación lagrangiana de la mecánica relativista.

Apuntes de: Pablo M. García Corzo

A partir de las clases de E. Maciá Barber

Teorema de Coriolis:

punto material

SDRNI

SDRI

Posición del P.M. respecto al SDRI. Posición del P.M. respecto al SDRNI. Posición del SDRNI respecto al SDRI.

AwdtAd

dtAd

SDRNISDRI

rrrr

×+

=

[ ]∑ ×+××+×+−=⋅ rwrwwvwRmFam NINIr&rrrrrr&&rrr )(2

&&r Donde:

CoriolisvwCentrífugaComprww

Azimutalrw

ArrastreR

NI →×→××

→×

→

rr

rrr

r&r

2.)(

SISTEMAS DISIPATIVOS

Los consideraremos sólo si actúan en la dirección del sistema (y en oposición de sentidos). F(v) => sólo depende de la velocidad del sistema.

2210)( vavaavF ++=

a0 , Rozamiento Coulombiano

Dinámico: g

vxxgtvvmg

dtdv

µµµ

2

20

00 +=⇒−=−⇒−=m

a1 , Disipación de Stokes

Tiempocteevvdtma

vdvvavR

dtdvm

t

.6 10

11

−−

=⇒−=⇒=−= τπη τ a

ττ τ0000 1 vxxevxx t

t

+= →

−+= ∞∞→

−

¡v sólo llega a 0 en un tiempo infinito! Sin embargo no recorre un espacio infinito.

a2 , Newton

-Froude:

++=⇒

+

=⇒−= tm

vmxxt

mv

vvv

dtdvm

ββ

ββ

00

0

02 1log1

Péndulo de Foucault:

Básicamente, se trata de demostrar que la tierra gira, y que no es, por tanto, un sistema de referencia inercial. Para ello, se monta un péndulo de grandes dimensiones que describirá, además de las oscilaciones normales de todo péndulo, un movimiento lento de giro como se muestra en el dibujo.

λ

λλλ

cos2

2)cos(2

0

0

0

xmwmgFzm

senxmwFymsenyzmwFxm

z

y

x

&&&

&&&

&&&&

+−=

−=−−=

ctezzlmlTF

yml

TF

xml

TF

z

y

x

≈→−=

−=

−=

)(

λcos2 00 xwgmT

&−=

λλ

λλ

cos2

2

cos2

2

00

00

xylw

senxwylgy

xxlw

senywxlgx

&&&&

&&&&

++−=

++−=

xyyyxx&&&

&&&

α

α

22

2

2

−Ω−=

+Ω−=

λα senwlg

0=

=Ω

)(2)(2 yxiiyixyxi &&&&&& +++Ω−=+ α

PROYECTIL DE TARTAGLIA:

Rozamientos Velocidades Peso Trayectoria real Trayectoria parabólica

20

1

0

00

2210

tan

)cos(

coslog

1log

)(

y

x

vm

A

A

tmgA

myy

tm

vmxx

vavaavF

β

β

β

ββ

−=

−

+=

++=

++=

Ligaduras

Definición

Condicionantes del movimiento de un Stma mecánico

Ligaduras: ESTRUCTURALES:

Cuerda del péndulo (l=cte) Superficie sobre la que nos movemos Eje de rotación

MODO DE ACTIVACIÓN

Fuerzas de ligadura Las responsables de las ecuaciones de ligadura.

Ecuaciones de ligadura

Describen el resultado de la acción de las fuerzas de ligadura.

Clasificación de las ecuaciones de ligadura:

Bilaterales ∑ = 0F

0.

0)(0),(

0),,(

=∂∂

+⋅∆→

=→=→=→

tfrfsIntegrableCinem

rfiasEstacionartrfsGeométrica

trrfsCinemática

&rr

r

r&rr

Unilaterales ∑ ≥ 0F

Fase activa: F=0 Fase inactiva: F>0

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

Holónomo: Todas las ligaduras son:

-geométricas -cinemáticas integrables -estacionarias

Holónomo…

-Esclerónomo: Ligaduras cinemáticas integrables o ligaduras estacionarias. -Reónomo: Ligaduras geométricas.

No Holónomo: Al menos una ligadura es cinemática no integrable.

Grados de libertad:

Nº de variables independientes en un sistema.

nº de partículas

Sistema de partículas:

grados de libertad

n ecs. de ligadura

º deKNg −= 3

Sistema con sólidos rígidos:

KNM −+= 36

nº de ecs. de ligadura

nº de partículas

nº de sólidos rígidos

ggrados de libertad

PRINCIPIO DE D’ALAMBERT (1743)

Desplazamientos y velocidades posibles:

Efectos de las ligaduras ∑ =+⋅

ikiki ara 00,,

&→rr (donde k son ligaduras e i coordenadas)

Desplazamiento virtual ( rrδ )

∑∑

=+⋅

=+⋅

0'

0

0,,

0,,

dtarda

dtarda

kiki

kikirr

rr

0)'( ,, =⋅=− ∑∑ rardrda kiiikirrrrr δ

Ppio de los trabajos virtuales

Ligadura ideal:

El trabajo realizado por las fuerzas de ligadura asociadas al desplazamiento es nulo para todo desplazamiento virtual.

0=⋅℘ ii rrv

δ La condición necesaria y suficiente para un stma. esté en equilibrio es que la suma de los trabajos realizados por la resultante de las fuerzas se anule para todo trabajo virtual.

ii rrFEquilibrioStma ra

rrrδδ∑ ∀=⋅℘+⇔ 0)(.

Ppio de D’Alambert(1743)

∑ =⋅℘+Ρ−

=℘+

0)( iiii

ii

rF

Frr&rr

r

δ

ρ

∑ ⋅Ρ− iii rF rrrδ)´(

ECUACIONES DE LAGRANGE:

(antes de Lagrange) vectores de posición. ir

Ni ,,1L= partículas en el sistema.

Vía ecuaciones de ligadura → Grados de libertad K

KNMgnj

pSR −+==

36,,1L

Coordenadas generalizadas jq Ecuaciones de transformación →

),,,( 1 tqqrr nii Lrr

=

( )∑ ∑ ∑∑

∑∑

=

∂

−∂

=∂∂

−

∂=⇒

∂∂

+∂∂

=

i jj

j

i

j

iij

jii

jj j

ii

jj

j

ii

qqrrm

qrFq

qrPF

qqrr

trq

qrr

0δδ

δδ

r&&r

r&rr

rr

rr&r

Fuerza generalizada:

∑= ∂

∂≡

n

i j

iij q

rFQ1

rr

UTL

QqT

qT

dtd

jjj

−=

=∂∂

−

∂∂&

Ecuaciones de Lagrange

0=∂∂

−

∂∂

jj qL

qL

dtd

&

TEORÍA DEL POTENCIAL

x

y m M

z F Newton (1687)

)ˆ()(

ˆ

23222

2

ixzyx

MmGF

rr

MmGF

x++

−=

−=

r

r

Lagrange (1777) “Substancia”

∂∂

−=

++=

∂∂

+++

−=

xVmF

xzyx

GMxV

Czyx

MGV

x

zyx

r

23222

21222

),,(

)(

)()(

∂∂

xV

m es afectada por un campo

generado por M y descrito por

Laplace (1782)

2532

2

3 xr

GMr

GMxV

−=∂∂

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zV

yV

xV

Pasando a Energías…

)( ABB

A VVmW

mdVdzzVdy

yVdx

xVmdW

−−=

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= ),,(),,( zyxzyx mVU =

Energía Potencial

Campo conservativo 0

0

=×∇

=⋅∫F

sdFrr

rr

Teorema de Stokes

Potenciales en 1-D

(interpretación de gráficas de energías o esquemas energéticos)

V

E total

E potencial

E cinética x

Ejemplo de aplicación: Problema 14:

Si partimos de una energía mayor que uno, la energía potencial descenderá hacia la izquierda, por tanto, el sistema se acelerará en dicha dirección con una aceleración que irá disminuyendo hasta una velocidad constante. Si partimos de una energía menor que uno, la energía potencial disminuirá bruscamente hacia el punto asintótico en x=4, lanzándose a velocidades desmesuradas

MECÁNICA LAGRANGIANA 1.- Grados de libertad.

N = nº partículas K = nº ecuaciones de ligadura

KNng −⋅=≡ 3 2.- Elección de coordenadas generalizadas.

)(tqq jj ≡

3.- Explicitar las ecuaciones de transformación.

),( tqrr jii =

4.- Transformación de las coordenadas energéticas.

),,()(21 22

1

2 tqqTzyxmT jjii

N

iii &&&& ⇒++= ∑

=

),(),,( tqUzyxU j⇒

5.- Expresión del Lagrangiano y ecuaciones de Lagrange.

=∂∂

−

∂∂

−=

jj qL

qL

dtd

UTtqqL

&

& ),,(

0 (conservativo) Qj (no conservativo)

Ejemplo 1 :

Aro con bola deslizante: (estudio Newtoniano)

La bola estaría perforada e incrustada en el aro que gira de modo que pudiera desplazarse por su perímetro. wr

θe

prϕe

re

θe es tangente al aro.

re sigue la dirección radial.

ϕe va en la dirección tangente al

giro descrito por wr

.

ϕϕθ θθ eFeFseneemgF rrr ˆˆ)ˆcosˆ( ++−=∑r

Peso ligaduras coriolis

Centrifuga (i)Peso Centrífuga (ii)Ligaduras:

θθθ 2222

cos senmRwR

RmmgFr −−−=&r

θθ

θθθθ

ϕ cos2

cos2

&

&&

mwRF

senwsenRg

−=

+−=

Aro con bola deslizante: (estudio Lagrangiano) Ligaduras: Coordenadas generalizadas:

wtRr

==

ϕ

2132 −⋅=≡⇒= ngK

Ecs. de transformación: ===

zyx

Coordenadas energéticas:

(21

)cos1(21)(

21

22

222

+=−=

−==

=++=

θ

θ

wmRUTL

mgRmgzU

zyxmT

&

&&&

Ecuación de Lagrange:

θθθ

θθ

mgRsenwmRL

mRL

−=∂∂

=∂∂

cos22

2 &&

θ

θ

ϕ

m

R

)cos1(

cos

θθθ

−RsenwtRsen

wtRsen

θθ

θθθ2222

22222222 cossenRz

senwRRyx&&

&&&

=

+=+

)1(cos)

)(

22

22222

−+

+

θθ

θθ

mgRsen

senwRRm &

θsen

0cos2 =−+ θθθθ senwsenRg&&

Ejemplo 2:

Péndulo con hilo extensibe (Hooke): Donde d es la longitud natural del hilo,

η es la elongación, k la constante de elasticidad del hilo, m es la masa que pende, θ es el ángulo respecto a la vertical. Ligaduras:

θ

m

η

d k

1130

21 2

−⋅=≡=

=→−=

ngz

kUkF e ηη),( ηθ

Ecuaciones de transformación:

ηθηθη

θηθηθη

dydydsenxsendx

&&

&&&

(coscos)(c)()(

++−=⇒+−=

++=⇒+=

Coordenadas energéticas:

[ ]

[ ]222

22

222222

21cos)()(

21

21cos)(

21

)(21)(

21

ηθηθηη

ηθηη

θηη

kdmgdmUTL

kdmgkmghUUU

dmzyxmT

eg

++−++=−=

++−=+=+=

++=++=

&&

&&&&&

Ecuaciones de Lagrange:

ηθθηη

ηη

θηθ

θηθ

kmgdmL

mL

sendmgL

dmL

−++=∂∂

=∂∂

+−=∂∂

+=∂∂

cos)(

)(

)(

2

2

&&

&&

)(

2)(

2+−

++

θηη

θηθη

d

d

&&&

&&&

θθ

θ

sen&)os

2

0cos

0

=+−

=+

ηθ

θ

mkg

gsen&

MÁQUINA DE ATWOOD R

U=0

-h

h

M

m2

m1

Ecuaciones de ligadura:

21

21

21 ;

yyctezz

RxRx

−===

=−=

Modo de activación

Geométrica

hg ⇒=−⋅= 1523

Coordenadas generalizadas:

1

21

yh

yyh&& =

−==

Coordenadas energéticas:

( )

)(22

1)(

221

21

21

221

21212

212211

2122

22211

22

mmghmmMhUTL

mmghgymgymU

mmMhymymwMRTTT tr

−−

++=−=

−=+=

++=++=+=

&

&&&

Ecuaciones de Lagrange:

)(

2

21

21

mmghL

mmMhhL

−=∂∂

++=

∂∂ &&

0)(2 2121 =−+

++ mmgmmMh&&

POTENCIALES GENERALIZADOS

Para llegar a las ecuaciones de Lagrange:

0

),(1

=∂∂

−

∂∂

=∂∂

−=∂∂

=

=∂∂

−

∂∂

∑=

jj

N

ij

jj

ij

jjj

qL

qL

dtd

tqUUqU

qr

FQ

QqT

qT

dtd

&

ar

&

Ahora tenemos:

∑+=

=∂∂

−

∂∂

−=

∂∂

+∂∂

=

=

jjjj

jj

jjj

qgtqGtqqG

qL

qL

dtd

GTL

qG

dtd

qGQ

tqqGG

&&

&

&

),(),,(

0

),,(

0

Ver paralelismo de notación en sistemas naturales

SISTEMAS NATURALES: (Gantmájer pg 60 y 92) Aquellos Sistemas clásicos en los que el potencial de la fuerzas es el potencial ordinario o bien el generalizado, serán denominados sistemas naturales.

i) Pongámonos en el caso en que tengamos un potencial ordinario:

),( tqUU i= Energía cinética:

∑

∑

∑

∑∑∑ ∑ ∑

∂∂

=

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=

++=

∂∂

+⋅∂∂

==

++=

==

2

0

,

011,

,

22

012

21

21

21

21

trma

tr

qrma

qr

qrma

aqaqqatrq

qrmrmT

TTTT

ii

kiki

n

iiiki

n

kikii

i

&&&&&

UTLTLTL

LLLUTL

−===

++=−=

00

11

22

012

ii) En el caso de un potencial generalizado:

VVVqVU

tqqUUn

iii

ii

+=+=

=

∑=

11

),,(

&

&

(Ver paralelismo de notaciónen potenciales generalizados)

VTLVTL

TLLLLUTL

−=−=

=++=−=

00

111

22

012

Función de disipación de Rayleigh:

10);,...,1(0 GGTGTLnjqL

qL

dtd

jj

−−=−===∂∂

−

∂∂

a&

Para fuerzas disipativas con forma de ley de Stokes:

iiii

v

n

iiziyix

zixi

Fkz

jy

ix

zkykxk

krjrirrrkF

r

&&&

&&&

rrr

=

∂∂℘

+∂∂℘

+∂∂℘

−=℘∇−

++≡℘

++=−=

∑=

ˆˆˆ

)(21

)ˆˆˆ();(

222

1

222

jjj

QqL

qL

dtd

=∂∂

−

∂∂&

∑∑

∑

∑ ∑

∂∂℘

−=∂∂

∂∂℘

−

∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

==

∂℘∇−=

∂=

=

=

kj jk

k

ji

j

i

j

i

n

j

ij

j

iii

n

i j

iiv

j

iij

qqv

v

qr

qv

tr

qqr

vr

qr

qr

FQ

,

1

1,

&

r

&

r

r

&

rr&r

rrr

0=∂∂℘

+∂∂

−

∂∂

jjj qqL

qL

dtd

&&

Ecuación de la energía:

)),(),((; ttqtqLdtdL

&

tLq

qLq

qL

dtdL

j

n

j j

n

jj

j ∂∂

+∂∂

+∂∂

= ∑∑==

&&&

&11

∑=

∂∂

−

∂∂n

jj

jj

qqL

dtd

qL

dtd

1

&&&

tLq

qL

dtd

qLq

qLL

dtd

jjj

jj ∂

∂−

∂∂

+∂∂

−=

∂∂

+− ∑∑ &&

&&

Función de la energía:

),,( tqqhhLqqLh

jj

j

&&&

=→−∂∂

=∑

⇒∂∂

−∂∂℘

−= ∑ tL

qdtdh

& Cuando cteh

Lt=

⊄=℘ 0

Integral de Jacobi

Si la función es homogénea:

∑ =∂∂ nFxxF

ii

·

tL

dtdh

∂∂

−℘−= 2

Ecuación de la energía (caso general)

002 GTTh +−=

i) Si el sistema es conservativo:

tLh∂∂

−=⇒=℘ &0

ii) Si 00 =⇒=∂∂

⇒⊄ htLLt &

002 GTTcteh +−==a

iii) Si 00.. 0 =⇒=∂∂

⇒⊄ tt

FTransEcst i

r

02 GTcteh +==a

Conservación energía “estándar”:

mghmv +2

21

(Gantmájer pg72) En un sistema esclerónomo en el que la velocidad no dependa explícitamente del tiempo:

El doble de la función de Rayleigh es igual a la velocidad de decrecimiento de la energía. dt

dE21

−=℘

LEYES DE CONSERVACIÓN Y SIMETRÍAS

Noción de Simetría:

-Aplicamos una transformación (Heráclito) -Buscamos invariantes (Parménides)

4π

xxxxxfxfxx

xxxf

cos)cos()()()'('

cos)(

22

2

=−−=−=

−==

Simetría asociada a las ecuaciones de Lagrange:

Transformación:

444 3444 21&&

&

iantein

qL

qL

dtd

qL

qL

dtd

dtdqq

dtdq

tdtdqqLL

tt

var

1 00''

''

,'

,

0;'

=∂∂

−

∂

∂⇒=

∂∂

−

∂∂

==

→

−ℜ∈=

−λλ

λ

λλ

¡Atención!

Si tt −→⇒−= 1λ ¡¡¿¿Futuro = Pasado??!!

COORDENADAS CÍCLICAS E INTEGRALES PRIMERAS

Definición 1.- Momento conjugado:

jj q

LP&∂∂

≡

Tma: Si una coordenada es cíclica, su momento se conserva.

=⇒=

=∂∂

→

∂∂

−

∂∂

=

ctePdt

dPqL

qL

qL

dtd

jj

j

jj 0

0)2(0

a&

Definición 2.- Coordenada cíclica:Lqcíclicaq jj ⊄⇒

Definición 3.- Una función Φ es ),,( tqq & ∫ ª1 si mantiene su valor constante al sustituir sus variables por valores particulares. Definición 4.- Un Stma es integrable si todas sus qj pueden ser expresadas en términos de funciones elementales o de integrales primeras.

Integral de acción. Espacio de configuraciones.

q2

q1

Construimos un espacio con las coordenadas generalizadas. ¿Qué trayectoria sigue un sistema en el ede configuraciones?

spacio

Integral de acción:

∫= dttqqLS ),,( &

PRINCIPIO DE HAMILTON: De todas las trayectorias posibles entre dos puntos en el espacio de configuraciones, nuestro sistema seguirá aquel que haga extrema (Max, min o P.I.) su integral de acción.

SIMETRÍA CANTIDAD CONSERVADA

HOMOGENEIDAD Espacio Momento lineal (no puntos distintos) Tiempo Energía

ISOTROPÍA (no direcciones preferentes)

Espacio Momento angular

BÚSQUEDA DE SIMETRÍAS

[ ]∫=B

A

T

T

dtttqtqLS ),(),( &

Teorema de Noether: Si la integral de acción de un sistema permanece invariante ante una transformación paramétrica:

∑

∑∑

=

==

−Φ=

∂∂

−Φ

−

∂∂

=

Φ+=

+=

+=

n

jjj

conservadacantidad

n

jj

j

n

jj

jj

jjjj

jjjj

PhJ

qLLq

qLJ

tqtt

tqtqtq

tqtqtq

1

)(

11),('

),()()('

),()()('

ψ

ψ

ε

ψε

εψ

444444 3444444 21&

&&

&&&

i. Si qi es cíclica ( Lqi ⊄→ )

LLtetrivialmen

ttqq

qq

qq

nn

ii =⇒

==

+=

=

')(

''

'

' 11

M

M

ε.

0

)var('''

ctePPhJ

ianteinSLdtdtLS

jjjijj =−=−Φ=

=Φ

=

===

∑

∫ ∫ψ

δψ

ii. Si (trivial) LLLt =⇒⊄ '

∑ ==−Φ=

=Φ

=

=

=⇒

+==

=

.10

)var('

')(

''

' 11

ctehPhJ

ianteinSS

LLtetrivialmen

ttqq

qq

jjj

nn

ψψ

ε

M

PRINCIPIO DE HAMILTON

PRINCIPIO DE HAMILTON: De todas las trayectorias posibles entre dos puntos en el espacio de configuraciones, nuestro sistema seguirá aquel que haga extrema (Max, min o P.I.) su integral de acción.

∫∑

∫∑

∫∑

∫

=

=

∂∂

∂

∂∂

+∂∂

=

=

∂

∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

=

∂∂

==

⋅

∂∂

=

+=

+=

=≡

αη

αη

αααα

ηη

αα

δαηα

αηα

δ

ddtLagrangeEcs

dtt

qqL

qL

dtq

qLq

qLSd

tt

dSSttqtq

ttqtq

dttqqLSS

j

j

jj

j

j

j

j

j

BjAj

nnn

.

0)()()()0,(),(

)()0,(),(

),,(,0

2

111

&

&

&

M

&

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (Modo de obtener fuerzas de ligadura con Lagrange) Ppio de Hamilton

[ ] ∑∫

∫≡∂=∂→+=

=∂⇒=

⇓

jjdtqLgEcsSttqtq

SLdtS

0..)()0,(),(

0min

αηα

Sistema HOLÓNOMOLigadura integrable.

Sistema NO HOLÓNOMO Ligadura no integrable.

∑ =∂∂

+∇j

j tfqf 0&

r ∑ =+

jljlj dtadqa 00

∑ =∂j

jlj qa 0

TEMA 6

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD

ESPECIAL (o restringida).

1.- Precedentes de la teoría. (1895-1905)

1895.- J.J. Thomson descubre el electrón: -Partícula. -Masa. -Carga. rr

( )( )BvEm

qa

BvEqFrrr

321

r

rr

××

=

××=

)1(

m

F

(1)

a -Kauffmann: mm )(v= -Transición de fuerzas a energías:

mrdEe

vvWm

mvvdvmWdtvdtvdmrdamrdFdw

Lorentz

A

OAA

AO

A

OAAO

≡⋅⋅==

⇒==⇒===

∫

∫

−

−

4434421

rra

rr

rrrr

)2(

22

2

2

21

Masa electromagnética = Masa inercial -Concepciones del electrón: 1902.- Abraham:

Esfera sólida con carga en su superficie. Concepción clásica de radio electrónico.

1904.- Bucherer: Volumen constante. “Deformable” 1904.- Lorente:

- -

- - -

- -

-

-

Volumen≠ cte.

4434421)(

2

20

1

luzca

av

mm

≡

−

=

2m0

m

m0

v/a

2.- Motivaciones conceptuales. -ARISTÓTELES: “El cuerpo en movimiento se detiene cuando la fuerza que lo empuja deja de actuar.” -GALILEO: “Toda velocidad, una vez impartida a un cuerpo, se conservará sin alteración mientras no existan causas externas de aceleración o frenado […] de esto se infiere que el movimiento sobre un plano horizontal es perpetuo.” -NEWTON: “Un cuerpo en reposo, o en movimiento, se mantendrá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que sobre él actúen fuerzas exteriores que lo obliguen a modificar dichos estados.” (Ley de inercia.) -Sistema de coordenadas inercial o de Galileo: Un sistema de coordenadas cuyo estado de movimiento sea tal que con relación a él se cumple la ley de inercia lo llamaremos sistema de coordenadas de Galileo. -Teorema de adición de velocidades (Galileo-Newton):

tttvrr

=−=′

'

rrr

Invariantes frente a

rmrrqqKfCOULOMB

rmrr

mmGfNEWTON

&&rrr

&&rrr

=−=→

=−=→

3

3

'

'

De donde se deduce que para todos los sistemas de coordenadas de Galileo, tanto las leyes de gravitación como las leyes de la electrostática son invariantes. -Ecuaciones de Maxwell:

-Sí invariantes ante transformaciones de Lorentz:

012

2

22 =

∂∂

−∇tE

cE j

=∇

=∇

=∂∂

−×∇

=∂∂

+×∇

0·

·

0

0

000

B

E

JtEB

tBE

ερ

µεµ¡¡¡NO INVARIANTES!!! ante Galileo.

−

−=

−

±=

2

2

2

2

2

1'

1'

cv

xcvt

t

cvvtxx

PRIMER POSTULADO“Las leyes de la física han de ser inva

DE LA RELATIVIDAD riantes para todo observador inercial”

-1888.- emisión y recepción de una onda de radio.