TEMA 2: Dinámica I

Capítulo 1: Leyes de Newton

Índ

ice

TEMA 1: Dinámica

• Capítulo I: Leyes de Newton.

• Principia Mathematica • Isaac Newton • Ideas Principales. Conceptos

necesarios. • Leyes de Newton. • Corolarios. • Los cuerpos que caen: Ley de la

Gravitación Universal.

Intr

od

ucc

ión

¿Por qué los objetos se ponen en movimiento? ¿Cuáles son las causas que hacen que un cuerpo en movimiento gane velocidad o cambie dirección? La mecánica clásica describe los fenómenos utilizando las tres leyes del movimiento de Newton.

• En 1665 Newton (35 años

después de la publicación de las Dos ciencias nuevas) se vuelve a Lincolnshire y da los últimos retoques a la mecánica.

Casa natal de Newton en Woolsthorpe

Intr

od

ucc

ión

• La teoría completa del movimiento fue expuesta por Newton en su principal obra, compuesta por tres libros, “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” en 1686.

• El problema central de la mecánica es el de cambio de estado del movimiento, o sea, desviación respecto al comportamiento descrito en el principio de inercia. • Esta desviación solo puede producirse por la acción recíproca de dos objetos, donde es alterado el movimiento de ambos.

Ideas principales

• La aceleración medida cuantitativa del cambio de estado del

movimiento.

• La fuerza, que es la medida del agente que causa el cambio.

• La masa, que fue en gran parte un descubrimiento suyo, que

es el índice de capacidad que tiene un cuerpo de resistir al

cambio de su estado de movimiento.

• La cantidad de movimiento momento, según Descartes

(Cartesius).

Para tratar el problema Newton necesitaba tres

conceptos:

p mv

Primera Ley de Newton (ley de inercia)

Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a menos

que sobre él actúe una fuerza. Un cuerpo en

movimiento continua moviéndose con velocidad

constante a menos que sobre él actúe una fuerza

externa.

(Principia, traducción de Eloy Rada)

Segunda Ley de Newton (ley de la cantidad de movimiento)

La aceleración de un cuerpo tiene la misma

dirección que la fuerza externa que actúa sobre él.

Es proporcional a la fuerza externa neta según

Fneta=ma, donde m es la masa del cuerpo. La

fuerza neta que actúa sobre un cuerpo, también

llamada fuerza resultante, es el vector suma de

todas las fuerzas que sobre él actúan:

aFF mneta

Ley

es d

e N

ewto

n

Tercera Ley de Newton (ley de acción y reacción)

Las fuerzas siempre actúan por pares iguales y

opuestos. Si el cuerpo A ejerce una fuerza FA,B

sobre el cuerpo B, éste ejerce una fuerza igual,

pero opuesta FB,A, sobre el cuerpo A:

ABBA ,, FF

Ley I (ley de inercia)

“ Todo cuerpo persevera en su estado

de reposo o de movimiento uniforme y

rectilíneo a no ser en tanto que sea

obligado por fuerzas impresas a cambiar

su estado”.

“ El cambio de movimiento es

proporcional a la fuerza motriz impresa y

ocurre según la línea recta a lo largo de

la cual aquella fuerza se imprime”.

Ley II (ley de la cantidad de movimiento)

“ Con toda acción ocurre siempre una

reacción igual y contraria. O sea, las

acciones mutuas de dos cuerpos siempre

son iguales y dirigidas en direcciones

opuestas”.

Ley III (ley de acción y reacción)

Corolarios

• Un cuerpo sobre el que actúen dos fuerzas simultáneamente recorrerá la diagonal de un paralelogramo en el mismo tiempo en que hubiera recorrido los lados si las fuerzas hubiesen actuado separadamente (composición de fuerzas)

• Los movimientos relativos de varios cuerpos confinados en un espacio son los mismos, tanto si el espacio está en reposo como si se mueve uniformemente en línea recta sin ningún movimiento circular (sistema inercial).

Sistemas de referencias inerciales (1/2)

Si sobre un objeto no actúa ninguna fuerza, cualquier

sistema de referencia con respecto al cual la

aceleración del objeto es cero es un sistema de

referencia inercial.

Cualquier sistema de referencia que se mueve a

velocidad constante con respecto a un sistema inercial

también es un sistema de referencia inercial.

El concepto de sistema de referencia inercial es

crucial porque las leyes de Newton son únicamente

validas en sistemas de referencia inerciales.

Sistemas de referencias inerciales (2/2)

Un sistema de referencia ligado a la superficie de la

Tierra no es totalmente un sistema de referencia inercial

por la pequeña aceleración de la superficie de la Tierra

debida a la rotación terrestre y a la pequeña aceleración

de la propia Tierra debido a su revolución alrededor del

Sol.

Sin embargo, como estas aceleraciones son del orden de

0.01 m/s2, podemos considerar que aproximadamente

que un sistema de referencia ligado a la superficie

terrestre es un sistema inercial.

Sistemas de referencias no inerciales

En mecánica newtoniana se dice que un sistema de referencia es no inercial cuando en él no se cumplen las leyes del movimiento de Newton. Dado un sistema de referencia inercial, un segundo sistema de referencia será no inercial cuando describa un movimiento acelerado respecto al primero. La aceleración del sistema no inercial puede deberse a:

•Un cambio en el módulo de su velocidad de traslación •Un cambio en la dirección de su velocidad de traslación •Un movimiento de rotación sobre si mismo •Una combinación de algunos de los anteriores.

Notas

• Ley I. Supongamos que estamos patinando en un lago y nos empujan desde la orilla. Seguiremos patinando hasta que coloquemos el patín de forma transversal y paremos.

Ley

es d

e N

ewto

n

Hendrick Avercamp, Sobre el hielo

Notas

• Ley II. Lo que dijo Newton se puede expresar así:

vdt

dmF

vmdt

dF

F ma

Es decir

2s

mkgN

Unidades:

Notas

• Ley III. Esta ley es la culminación del estudio del problema de la transmisión del movimiento entre cuerpos que chocan. La fuerza queda definida como la interacción entre los participantes.

Ley

es d

e N

ewto

n

ba FF

• Resumen de las tres leyes de Newton.

Ley

es d

e N

ewto

n

Los cuerpos cadentes según Newton

• Newton con su trabajo tenía que explicar la caída de los cuerpos de Galileo, en función de sus leyes.

• Como el cuerpo que cae tiene un movimiento acelerado; luego alguna fuerza debía obrar.

• Esa fuerza tenía que ser constante ya que la aceleración era constante y como era además igual para todos los cuerpos, esta fuerza tendría que ser proporcional a la masa (peso=mg).

• Pero ateniéndonos a su tercera ley. Necesitamos encontrar un cuerpo con el que interaccione el móvil.

Ley de la Gravitación Universal 2211-

2

21 / 106.673G ; kgmNr

mmGF

Fuerza debida a la gravedad: el peso (w)

Si dejamos caer un objeto y despreciamos la resistencia del aire, todos los objetos poseen la misma aceleración : La fuerza que causa esta aceleración es la fuerza de gravedad sobre el objeto y se llama peso del mismo: El vector g se denomina campo gravitatorio terrestre y es la fuerza por unidad de masa ejercida por la Tierra sobre cualquier objeto. El peso (w), a diferencia de la masa no es una propiedad intrínseca del cuerpo, ya que g varia con el lugar.

2/ 81.9/ 81.9 smkgNg

gmw

Constante de gravedad en los planetas

La masa de un cuerpo es igual en todos los planetas pero su

peso es distinto ya que depende del valor de g.

Body Multiple of

Earth gravity m/s2

Time to fall 100 m and

maximum speed reached

Sun 27.90 274.1 0.85 s 843 km/h (524 mph)

Mercury 0.3770 3.703 7.4 s 98 km/h (61 mph)

Venus 0.9032 8.872 4.8 s 152 km/h (94 mph)

Earth 1 9.8067 4.5 s 159 km/h (99 mph)

Moon 0.1655 1.625 11.1 s 65 km/h (40 mph)

Mars 0.3895 3.728 7.3 s 98 km/h (61 mph)

Jupiter 2.640 25.93 2.8 s 259 km/h (161 mph)

EJEMPLO 4.3 (Tippler & Mosca)

Una partícula de masa 0.4 kg está sometida simultáneamente a dos

fuerzas F1=-2N i-4N j y F2=-2.6N i+5N j. Si la partícula está en el origen

y parte del reposo para t=0, calcular (a) su vector posición r y (b) su

velocidad v para t=1.6 s.

jir ˆ 20.3ˆ 7.14 mm

jiv ˆ / 00.4 ̂/ 4.18 smsm

(a)

(b)

EJEMPLO 4.5 (Tippler & Mosca)

Un jugador de baloncesto de 110 kg se cuelga del aro del cesto

después de un mate espectacular. Antes de dejarse caer, se queda

colgado en reposo, con el anillo doblado hacia abajo una distancia de

15 cm. Suponiendo que el aro se comporta como un muelle elástico,

calcular su constante de fuerza k.

xkFx

Cuando un muelle se comprime o se alarga una pequeña cantidad x, la fuerza que ejerce, según se demuestra experimentalmente es:

LEY DE HOOKE

mNk / 1019.7 3