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DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN TECNOLÓGICA AGROPECUARIACENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO AGROPECUARIO No. 232

Lic. “Andrés Molina Enriquez”

MATEMÁTICAS APLICADASPolinomios de Lagrange

NOMBRE DEL ALUMNO

CARRERA GRADO Y GRUPO

Supongamos que medimos la temperatura en el instante 0, cuando sacamos el agua del microondas y está a 75ºC. Al cabo de 30 segundos, está a 70ºC y los 60 segundos está a 60ºC, a los 90 a 45ºC y a los 120 segundos a 25ºC. Podemos representar en el plano estos datos, dibujando los puntos (0,75), (30, 70), (60, 60), (90, 45) y(120,25). 

 Conseguimos una curva que pase por todos los puntos amarillos, por ejemplo un polinomio que son las funciones más sencillas…

Podríamos intuir cuál era la temperatura  a los 45 segundos, viendo qué valor de la curva corresponde a 45

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Como son 5 puntos buscamos un polinomio de grado 4 (o menos) o menor con las siguientes pistas:

Lo podemos resolver con el método de Gauss-Jordan, pero es un sistema muy complejo así que usaremos el método de interpolación de polinomio de Lagrange sobre un ejemplo más sencillo, con 3 puntos, no con 5.

 Vamos a etiquetar las coordenadas de estos 3 puntos con x1, x2, x3, y1, y2 e y3, así:

Para construir el polinomio que pasa por estos 3 puntos, vamos a construir primero 3 polinomios más pequeñitos, los polinomios de Lagrange, uno por cada punto.

Al polinomio correspondiente al primer punto, le llamamos L1 y se calcula como el producto de (x-x2) por (x-x3). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x1) porque estamos con el polinomio L1. Y ahora dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x1. así:

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 Vamos a sustituir x1, x2, x3 por sus valores, 0,3 y 6 –propuso ella –, a ver que nos queda:

Para calcular el segundo polinomio,  L2, ponemos en el numerador el  producto de (x-x1) por(x-x3). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc. Todos los (x-xk) posibles menos (x-x2) porque estamos con el polinomio L2.  Y en este caso  dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x2. Vamos a ver que nos queda:

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Para calcular el tercer polinomio de Lagrange,  L3 –anunció Mati –, ponemos en el numerador el  producto de (x-x1) por (x-x2). Si hubiera más puntos, multiplicaríamos también por (x-x4), por (x-x5), etc… Todos los (x-xk) posibles menos (x-x3) porque estamos con el polinomio L3.  Y para este polinomio,   dividimos por la misma expresión que tenemos en el numerador, pero sustituyendo x por x3. Nos quedará:

Ahora vamos a construir el polinomio interpolador que pasa por los 3 puntos usando L1, L2 y L3 así: multiplicando L1 por y1, L2 por y2 y L3 por y3, y sumando los resultados:

Sustituimos y1, y2 e y3 por sus valores 7, 7 y 6:

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Y por último, sustituimos los polinomios de Lagrange por los que hemos calculado antes:

Al graficar se determina lo siguiente: