tasa de interes
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economía mineraTRANSCRIPT
-
1
TASAS DE INTERES
-
Alternativa 2
evaluada
Anlisis mediante
un modelo de
ingeniera econmica
Flujos de efectivo
durante algn
periodo de tiempo
Descripcin
e Informacin
Mejoramiento del
equipo antiguo
Alternativa 2
Alternativa 1
evaluada
Anlisis mediante
un modelo de
ingeniera economica
Flujos de efectivo
durante algn
periodo de tiempo
Descripcin
e Informacin
Equipo
Nuevo
Alternativa 1
Problema identificado: objetivo definido
- Valor del dinero en el tiempo
- Tasa de inters
- Medida de valor
- Estimaciones de egresos e ingresos
- Estrategias de financiamiento
- Leyes tributarias
- Clculo de la medida de valor
Atributos no econmicos por considerar
Implementacin
de la alternativa 1
Elijo la alternativa 1
Pasos del proceso de
toma de decisiones Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Paso 6 Figura 1.1
Enfoque de estudio de
Ingeniera econmica.
-
Ejemplo 1.3
Un empleado solicita un prstamo de $10,000 el 1 de Mayo y debe pagar un total
de $ 10,700 exactamente un ao despus. Determine el inters y la tasa de inters
pagado.
Solucin:
Aqu el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud que los
$10,700 pagan un prstamo.
Inters = $10,700 - $10,000 = $700
La ecuacin (1.2) nos permite establecer la tasa de inters pagado durante un ao.
$700Tasa porcentual de inters = x 100% = 7% anual
$10 000
-
Ejemplo 1.4
Se tiene planes de solicitar un prstamo bancario de $20,000 durante un ao al 9% de inters
para adquirir un equipo nuevo de grabacin. a) Calcule el inters y la cantidad total debido
despus de una ao. b) Construya una grfica de barras que muestre las cantidades original y
total debida despus de un ao, utilizadas para calcular la tasa de inters del prstamo del 9%
anual.
Solucin:
a) Calcule el inters total causado resolviendo la ecuacin (1,2) para el inters causado.
Inters = $20,0000* (0.9) = $1 800
La cantidad total a pagar es la suma del principal y el inters.
Total a pagar = $20 000 + $1 800 = $ 21 800
Comentario
Observe que en el inciso a) la cantidad a pagar tambin se calcula de la siguiente manera:
Adeudo total = principal(1 + tasa de inters) = $20 000(1.09) = $21 800
-
Fig. 1.2. Valores utilizados para calcular la tasa de inters del 9% anual (ejemplo 1.4).
Este mtodo se utilizar posteriormente para determinar las cantidades futuras para periodos de tiempo mayores dentro de un periodo de inters.
Cantidad
original del
prstamo
1 ao despus Ahora
El periodo
de inters
es un ao
$
$21 800
$20 000
-
a) Calcule la cantidad depositada hace un ao si ahora se tienen $1 000 a una tasa de inters del 5%
anual.
b) Determine la cantidad por intereses ganados durante este periodo.
Solucin:
a) La cantidad total acumulada es la suma del depsito original y del inters ganado. Si X es el
depsito original.
Total acumulado = original (tasa de inters)
1 000 = X + X(0.05) = X(1 + 0.05) = 1.05X
b) Aplique la ecuacin (1.3) para determinar el inters ganado
Inters = $1 000 952.38 = $47.62
EJEMPLO 1.5
1 000X = = $952.38
1.05
-
EjemPlo 1.7
Se otorg un prstamo a un miembro del personal de ingeniera para que ste adquiriera un avin a escala dirigido por un radio controlador. El prstamo asciende a $1 000 por tres aos con un inters simple de 5% anual Cunto debe pagar el ingeniero al final de los tres aos? Tabule los resultados. Solucin: El inters para cada uno de los tres aos es:
Inters anual = $1 000*(0.05) = $50 El inters total de los tres aos de acuerdo con la ecuacin (1.5) es: Inters total = 1 000(3)(0.05) = $150 El monto adeudado despus de los tres aos es:
Adeudo total = $1 000 + 150 = $1 150 El inters acumulado de $50 en el primer ao y el inters acumulado de $50 en el segundo ao no generan intereses. El inters que se adeuda cada ao se calcula exclusivamente sobre el principal de $1 000.
-
Los detalles de los pagos del prstamo se tabulan en la tabla 1.1 desde el punto de
vista del prestatario. El tiempo cero representa el presente, es decir, cuando se
otorga el prstamo. No se hacen pagos sino hasta que concluya el tercer ao. El
monto que se adeuda cada ao se incrementa uniformemente $50, en virtud de que
el inters simple se calcula slo sobre el principal del prstamo.
Tabla 1.1 Clculos de inters simple
(1) (2) (3) (4) (5)
Final del
ao
Cantidad obtenida
en prstamo Inters Adeudo Suma pagada
0
1
2
3
$1 000
---
---
---
$50
50
50
$1 050
1 100
1 150
$ 0
0
1 150
-
Ejemplo 1.8
Un ingeniero solicita a la cooperativa de crdito de la empresa un prstamo de $1 000 con un inters anual compuesto de 5% Calcule el adeudo total despus de tres aos. Elabore una grfica y compare los resultados de este ejemplo y del anterior. Solucin: El inters y el adeudo total de cada ao se calcula por separado mediante la ecuacin (1.6) Inters del primer ao: $1 000(0.05) = $50.00 Adeudo total despus del primer ao: $1 000 + 50.00 = $1 050.00 Inters del segundo ao: $1 050(0.05) = $52.50 Adeudo total despus del segundo ao: $1 050 + 52.50 = $1 102.50 Inters del tercer ao: $1 102.50(0.05) = $55.13 Adeudo total despus del segundo ao: $1 102.50 + 55.13 = $1 157.63
Tabla 1.1 Clculos de inters simple
(1) (2) (3) (4) (5)
Final del
ao
Cantidad obtenida
en prstamo Inters Adeudo
Suma
pagada
0
1
2
3
$1 000
---
---
---
$50.00
52.50
55.13
$1 050.00
1 102.50
1 157.63
$ 0.00
0.00
1 157.63
-
Los detalles aparecen en la tabla 1.2. El plan de pagos es el mismo que el del ejemplo del inters simple: el pago nico es el principal ms los intereses acumulados al final de los tres aos. La figura 1.4 muestra el adeudo al final de cada uno de los tres aos. En el caso del inters compuesto, se reconoce la diferencia debida al valor del dinero en el tiempo. Aqu se paga un inters adicional de $1 157.63 - $1 150 = $7.63 en comparacin con el inters simple durante el periodo de 3 aos.
$1
05
0
$1
05
0
$1
10
0
$1
10
2.5
$1
15
0
$1
15
7.6
3
Ad
eud
o t
ota
l, $
S C S C S C
Inte
rs
po
r a
o, $
$5
0
$5
0
$5
0
$2
.5
$5
0
$5
5.6
3
S S C S C
Figura 1.4
Comparacin de los clculos del inters simple y del inters compuesto(Ejemplos 1.7 y 1.8)
C
-
(1) (2) (3) (4) (5)
Final
del ao
Intereses a pagar
por el ao
Adeudo total
al fin del ao
Pago de fin
de ao
Adeudo total
despus del pago
Plan 1: Inters simple: pago total al final
0
1
2
3
4
5
Totales
$400.00
400.00
400.00
400.00
400.00
$5 400.00
5 800.00
6 200.00
6 600.00
7 000.00
----
----
----
----
$7 000.00
$7 000.00
$ 5 000.00
5 400.00
5 800.00
6 200.00
6 600.00
Plan 2: Inters compuesto: pago del total al final
0
1
2
3
4
5
Totales
$400.00
432.00
466.56
503.88
544.20
$5 400.00
5 832.00
6 298.56
6 802.44
7 346.64
----
----
----
----
$7 346.64
$7 346.64
$ 5 000.00
5 400.00
5 832.00
6 298.56
6 802.44
Tabla 1.3 Diferentes planes de pago de $5 000 durante 5 aos con un inters del 8%
-
(1) (2) (3) (4) (5)
Final del
ao
Intereses a pagar por
el ao
Adeudo total al fin
del ao
Pago de fin de
ao
Adeudo total despus
del pago
Plan 3: Pago anual del inters simple: reembolso del principal al final
0
1
2
3
4
5
Totales
$ 400.00
400.00
400.00
400.00
400.00
$ 5 400.00
5 400.00
5 400.00
5 400.00
5 400.00
$ 5400.00
400.00
400.00
400.00
5400.00
$ 7 000.00
$ 5 000.00
5 000.00
5 000.00
5 000.00
5 000.00
Plan 4: Pago anual del inters compuesto y de parte del principal
0
1
2
3
4
5
Totales
$ 400.00
320.00
240.00
160.00
80.00
$ 5 400.00
4 320.00
3 240.00
2 160.00
1 080.00
$ 1 400.00
1 320.00
1 240.00
1 160.00
1 080.00
$ 6 200.00
$ 5 000.00
4 000.00
3 000.00
2 000.00
1 000.00
Plan 5: Pagos anuales iguales del inters compuesto y del principal
0
1
2
3
4
5
Totales
$ 400.00
331.82
258.18
178.65
92.76
$ 5 400.00
4 479.54
3 485.43
2 411.80
1 252.28
$ 1 252.28
1 252.28
1 252.28
1 252.28
1 252.28
$ 6 261.41
$ 5 000.00
5 400.00
5 832.00
6 298.56
6 802.44
-
Ejemplo 1.10
Una recin graduada de la universidad tiene planes de solicitar un prstamo de $10 000
ahora para adquirir un automvil. Decide que reembolsar todo el principal ms 8% de
intereses anuales despus de 5 aos. Identifique los smbolos de ingeniera econmica
necesarios para resolver el problema, as como los valores que tienen para el adeudo
total despus de 5 aos.
Solucin:
En este caso, estn involucradas P y F, ya que todas las cantidades son pagos nicos, as
como i y n. El tiempo est expresa en aos.
P = $10 000 i = 8% anual n = 5 aos F = ?
Se desconoce la cantidad futura F.
-
Suponga que obtiene un prstamo de $2 000 ahora al 7% anual durante 10 aos, y debe
reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine los smbolos que se requieren para
resolver el problema y sus valores.
Solucin:
El tiempo est expresa en aos.
P = $2 000
A = ? Anuales durante 5 aos
i = 7% anual
n = 10 aos
EJEMPLO 1.11
-
El 1 de julio de 2002, su nuevo empleador Ford Motor Company, deposita $5 000 en
su cuenta bancaria como parte de su bono de empleo. La cuenta paga un inters del 5%
anual. Usted espera retirar una cantidad anual igual durante los siguientes 10 aos.
Identifique los smbolos y sus valores.
Solucin:
El tiempo est expresa en aos.
P = $5 000
A = ? Anuales
i = 5% anual
n = 10 aos
EJEMPLO 1.12
-
Usted planea hacer un depsito nico de $5 000 ahora en una cuenta de inversin que
paga el 6% anual, y desea retirar una cantidad igual de $1 000 a fin de ao durante 5
aos, comenzando el siguiente ao. Al final del sexto ao, usted piensa cerrar la cuenta
retirando el saldo. Defina los smbolos de ingeniera econmica que implica el
problema.
Solucin:
El tiempo est expresa en aos.
P = $5 000
A = ? 1 000 anuales durante 5 aos
F = ? Al final del ao 6
I = 6% anual
n = 5 aos para la serie A y 6 para el valor F
EJEMPLO 1.13
-
Reconsidere el ejemplo 1.10, donde se solicita un prstamo P = $10 000 al 8% anual y
se pretende determinar F despus de 5 aos. Construya el diagrama de flujo de efectivo.
Solucin:
La figura 1.9 muestra el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del
prestatario. La suma actual P constituye una entrada de efectivo del principal del
prstamo en el ao 0, y la cantidad futura F es la salida de efectivo correspondiente al
pago de la deuda al final del ao 5. La tasa de inters debe indicarse en el diagrama.
EJEMPLO 1.15
P = $10 000 i = 12%
0 1 2 3 4 5 Ao
F = ? Flu
jo d
e ef
ecti
vo
, $
Figura 1.9
Diagrama de flujo de efectivo (Ejemplo 1.15)
-
Cada ao Exxon-Mobil gasta cantidades de dinero importantes en sistemas mecnicos de seguridad en sus
operaciones alrededor del mundo. Carla Ramos, ingeniera industrial para las operaciones que se llevan a
cabo en Mxico y Amrica Central, programa gastos de un milln de dlares ahora y en cada uno de los
siguientes cuatro aos , exclusivamente para el mejoramiento de vlvulas de alivio de presin industriales.
Construya el diagrama de flujo de efectivo para determinar el valor equivalente de dichos gastos al final
del ao 4, utilizando un costo del capital estimado para fondos seguros al 12% anual.
Solucin:
La figura 1.10 muestra la serie de flujos de efectivo negativos y uniformes (gastos) durante 5 periodos, as
como el valor desconocido de F (flujo de efectivo positivo equivalente) exactamente en el mismo
momento que el quinto gasto. Como los gastos comienzan ha hacerse de inmediato, el primer milln de
dlares aparece en el tiempo cero, no en el tiempo 1. Por lo tanto, el ltimo flujo de efectivo negativo
aparece al final del cuarto ao, cuando tambin se presenta F. Para que este diagrama se asemeje al de la
figura 1.9, con cinco aos completos en la escala del tiempo, se agrega el ao -1 antes del ao 0 para
completar el diagrama con 5 aos completos. Esta edicin demuestra que el ao 0 es el punto que
representa el final del periodo del ao -1.
Figura 1.10
Diagrama de flujo de efectivo (Ejemplo 1.16)
A = $10 000
i = 12%
0 1 2 3 4 Ao
F = ?
-1
EJEMPLO 1.16
-
Un padre desea depositar una cantidad nica desconocida en una oportunidad de inversin 2 aos despus de hoy, suficiente como para retirar $4 000 anuales que destinar para pagar la universidad durante 5 aos comenzando dentro de 3 aos. Si se estima que la tasa de rendimiento es de 15.5% anual, construya el diagrama de flujo de efectivo. Solucin: La figura 1.11 muestra los flujos de efectivo desde la perspectiva del padre. El valor presente P es una salida de efectivo dentro de 2 aos por determinar (P = ?). Note que este valor presente no ocurre en el tiempo t = 0, sino en un periodo anterior al primer valor A de $4 000m que constituye la entrada de efectivo del padre.
Figura 1.11 Diagrama de flujo de efectivo (Ejemplo 1.17)
EJEMPLO 1.17
A = $4 000 i = 15%
2 3 4 5 6
Ao
F = ?
1 0 7
-
Ejemplo 1.19
DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO
Una empresa dedicada al alquiler de equipo gasto $2 500 en una nueva compresora de aire hace 7 aos. El
ingreso anual por concepto del alquiler de la compresora fue de $750. Adems, los $100 gastados en
mantenimiento durante el primer ao aumentaron $25 cada ao. La empresa tiene planes de vender la
compresora al final del ao siguiente en $150. Construya el diagrama de flujo desde la perspectiva de la
empresa.
Solucin:
Denote ahora como el tiempo t = 0. Los ingresos y costos para los aos -7 a 1 (prximo ao)aparecen en
la siguiente tabla con los clculos de flujo de efectivo neto efectuados mediante la ecuacin (1.8). Los
flujos de efectivo neto(1 negativo y 8 positivos) aparecen en el diagrama de la figura 1.13.
Final del ao Ingresos Costos Flujo de
efectivo neto
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
$ 0 750 750 750 750 750 750 750
750 + 150
$2 500 100 125 150 175 200 225 250 275
$ -2 500 650 625 600 575 550 525 500 625
-
DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO
Claudia desea depositar una cantidad P de dinero ahora, de tal manera que pueda retirar una cantidad anual igual a A1 = $2 000 durante los primeros 5 aos, empezando un ao despus del depsito, y desea retirar una cantidad anual diferente de A2 = $3 000 los siguientes 3 aos Cmo se vera el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?
Solucin: La figura 1.14 muestra los diagrama de flujo de efectivo. El flujo de efectivo negativo de salida P se presenta ahora. El primer retiro (flujo de efectivo positivo de entrada) para la serie A1, ocurre al final del ao 1, y A2, ocurre en los aos 6 a 8.
EJEMPLO 1.20
P = ?
A2 = $3 000
Ao 0 1 2 3 4 5 6 7 8
i = 8.5%
Figura 1.14
Diagrama de flujo de efectivo con dos diferentes de series A (ejemplo1.20
-
Capitulo 2
-
P = dado
i = dado
F = ?
n 0 1 2 n 2
n - 1
a)
P = ?
i = dado
F = dado
n 0 1 2 n 2
n - 1
b)
-
Factor Encontrar
/dado
Ecuacin en
notacin estndar
Ecuacin con
frmula de
factor
Funciones de
Excel Notacin Nombre
(F/P , i , n)
(P/F , i , n)
Cantidad compuesta
pago nico
Valor presente
Pago nico
F/P
P/F
F = P(F/P , i , n)
P = F(P/F , i , n)
F = P(1 + i)n
P = F[1/(1 + i)n]
FV(i% , n , , P)
PV(i% , n , , F)
Tabla 2.1 Factores F/P y P/F : notacin y ecuaciones
-
Ejemplo 2.1
Un ingeniero industrial recibi un bono de $12 000 que desea invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente
despus de 24 aos, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de
vacaciones en una isla. Suponga una tasa de retorno de 8% anual para cada uno de los 24 aos. a) Determine la
cantidad que puede pagar inicialmente, usando tanto la notacin estndar como la frmula de factor. b) Use una
computadora para encontrar la cantidad antes mencionada.
a) Solucin a mano
Los smbolos y sus valores son
P = $12 000 F = ? i = 8% anual n = 24 aos
El diagrama de flujo de efectivo es el mismo que el de la figura 2.1a.
Notacin estndar: Determine F usando el factor F/P para 8% y 24 aos. La tabla 13 proporciona el
valor del factor.
F = P(F/P, i , n) = 12 000(F/P, 8% , 24)
= 12 000(6.3412)
= $76 094.40
Frmula de factor: Aplique la ecuacin (2.2) para calcular el valor futuro F:
F = P(1 + i)n = 12 000(1 + 0.08)
24
= 12 000(6.341181)
= $76 094.17
-
La ligera diferencia en las respuestas se debe al error de redondeo introducido por los valores de factor tabulados.
Una interpretacin equivalente de este resultado es que los $ 12 000 actuales equivalen a $76 094 despus de 24
aos de crecer al 8% por ao, anualmente compuesto.
b) Solucin por computadora
Para encontrar el valor futuro use la funcin VF que tiene el formato VF(i% , n , A, P). La hoja de clculo se
desplegar como la que se muestra en la figura 1.5a, excepto que la entrada de celda es VF(8% , 24, , 12 000). El
valor F desplegado por Excel aparece como ($76,094.17) en rojo para indicar un flujo de efectivo de salida. La
funcin VF realiza el clculo F = P(1 + i)n = 12,000(1 + 0.08)
24 y presenta la respuesta en la pantalla.
continua EJEMPLO 2.1
-
Ejemplo 2.2
Hewlett Packard realiz un estudio que indica que $50 000 en la reduccin de mantenimiento este ao (es decir, ao cero), en una lnea de procesamiento, fue el resultado del mejoramiento de la tecnologa de fabricacin de circuitos integrados (CI), con base en diseos que cambian rpidamente..
a) Si Hewlett Packard considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado despus de 5 aos.
b) Si el ahorro de $50 000 en mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente 3 aos antes con un inters de 20% anual.
c) Desarrolle una hoja de clculo para responder los dos incisos anteriores a tasas compuestas de 20 y 5% anuales. De manera adicional, elabore una grfica de barras en Excel que indique los valores equivalentes, en los tres diferentes momentos, para ambos valores de la tasa de rendimiento.
Solucin a mano a) El diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1a. Los smbolos y sus valores son
P = $50 000 F = ? i = 20% anual n = 5 aos
Utilice el factor F/P para determinar F despus de 5 aos.
F = P(F/P, i , n) = $50 000(F/P, 20% , 5)
= 50 000(2.4883)
= $124,415.00
La funcin VF(20%,5,50000) proporciona la misma respuesta. Vase la figura 2.2a, celda C4.
-
b) En este caso, el diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1b, con F ubicado en el tiempo
t = 0 y el valor P colocado 3 aos antes en t = -3. Los smbolos y sus valores son
P = ? F = $50 000 i = 20% anual n = 3 aos
Use el factor P/F para determinar P tres aos antes.
P = F(P/F, i , n) = $50 000(P/F, 20% , 3)
= 50 000(0.5787) = $28,935.00
Un enunciado equivalente es que $28,935 de hace 3 aos es lo mismo que $50,000 en la actualidad, que
crecer a $124,415 dentro de cinco aos, considerando una tasa de inters compuesto anual del 20% por cada
ao.
Use la funcin VP(i% , n , A , F) y omita el valor A. La figura 2.2a muestra el resultado de ingresar VP(20% , 3,
50000) en la celda F4, que es lo mismo que utilizar el facto P/F.
Solucin por computadora
c) La fig. 2.2b es una solucin completa en hoja de clculo con una tabla de valores y una grfica de barras. Se
emplean dos columnas para efectuar clculos primero con 20 y 5%, de modo que sea posible tener la grfica
para comparar los valores F y P. La fila 14 muestra los valores F usando la funcin VF con el formato
VF(i%, 5 , 0, -50000), donde los valores i se toman de las celdas C5 y D5. El valor futuro F = $124,416 en
la celda C14 es el mismo (considerando el redondeo) que el calculado lneas arriba. El signo menos para
50,000 asegura que el resultado sea un nmero positivo en la grfica.
La funcin VP se utiliza para encontrar los valores P en al fila 6. Por ejemplo, el valor presente a 20% en el
ao -3 se determina en la celda C6 utilizando la funcin VP. El resultado P = $28,935 es el mismo que el
obtenido previamente al usar el factor P/F. La grfica muestra visualmente la notable diferencia que
generan, sobre el periodo de 8 aos, tasa de 20 y 5%.
continua EJEMPLO 2.2
-
Un conductor independiente en ingeniera examin algunos registros y encontr que el costo de los suministros
de oficina vara como se muestra en la grfica circular de la figura 2.3. Si el ingeniero quiere conocer el valor
equivalente en el ao 10 slo de las cantidades mayores. Cul ser ste a una tasa de inters de 5% anual?
EJEMPLO 2.3
Figura 2.3
Grfica circular de costos, ejemplo 2.3
Ao 0
$600
Ao 5
$400
$175
Ao 1
$300
Ao 4
$250 Ao 3
$135
Ao 2
-
Figura 2.4
Diagrama para un valor futuro en el ao 10, ejemplo 2.3.
Solucin:
Dibuje el diagrama de flujo de efectivo para los valores $600, $300 y $400 desde la perspectiva del ingeniero (figura 2.4). Use
factores F/P para encontrar F en el ao 10.
F = 600(F/P, 5%, 10) + 300(F/P, 5%, 8) + 400(F/P, 5%,5)
= 600(1.6289) + 300(1.4775) + 400(1.2763)
= $1 931.11
El problema tambin puede resolverse encontrando el valor presente en el ao 0 de los costos $300 y $400 con los factores P/F, y
luego determinando el valor futuro del total en el ao 10.
P = 600 + 300(P/F, 5% , 2) + 400(P/F, 5% , 5)
= 600 + 300(0.9070) + 400(0.7835)
= $1 185.50
F = 1 185.50(F/P, 5%, 10) = 1 185.50(1.6289)
= $1 931.06 Comentario
Debe ser evidente que existen diversas maneras de enfrentar el problema, puesto que puede utilizarse cualquier ao para encontrar el total
equivalente de los costos antes de encontrar el valor futuro en el ao 10. Como ejercicio, resuelva el problema usando el ao 5 para el total
equivalente y luego determine la cantidad total en el ao 10. todas las respuestas debern ser iguales, salvo por cierto error de redondeo.
$600
F = ?
i = 5%
$300 $400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-
2.2 FACTORES DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACIN DE CAPITAL EN SERIES
UNIFORMES (P/A Y A/P)
El valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo se muestra en la
figura 2.5a. Puede determinarse una expresin para el valor presente considerando cada valor de A como un valor
futuro F, calculando su valor presente con el factor P/F para luego sumar resultados.
a)
P = ?
i = dado
A = dado
0 1 2 n 2 n 1 n
b)
P = dado
i = dado
A = ?
0 1 2 n 2 n 1 n
Figura 2.5
Diagrama de flujo efectivo para determinar a) P de una serie uniforme y b) A para un valor presente.
1 2 3 n-1 n
1 1 1 1 1 = + + +...+ +
(1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)P A A A A A
Los trminos entre corchetes representan los factores P/F durante los aos 1 hasta n, respectivamente. Si se factoriza A,
(2.4)
1 2 3 n-1 n
1 1 1 1 1 = + + +...+ +
(1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)P A
-
2.5
2 3 4 n n + 1
2 3 n n + 1
1 2
1 1 1 1 1 = + + + ... + +
(1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)
1 1 1 1 1 = + + ... + +
(1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)
1 1 - = + + ..
(1 + i) (1 + i)
PA
P A
P A
n - 1 n1
n + 1 1
n + 1
n
n
1 1. + +
(1 + i) (1 + i)
-1 1 1 = -
1 + 1 (1 + i) (1 + i)
1 = - 1
(1 + i)
(1 + i) 1 =
(1 + i)
P A
AP
i
P An
i 0
(2.6)
-
11(1 + i) =
(1 + i) - 1
n
A P
25
25
1(1 + i) - 1 (1.15) - 1 31.91895( / ,15% , 25) = = = = 6.46415
(1 + i) 0.15(1.15) 4.93784
n
nA P
i
-
Factor Encontrar
/dado
Ecuacin en
notacin
estndar
Ecuacin con
frmula de
factor
Funciones de
Excel Notacin Nombre
(P/A , i , n)
(A/P , i , n)
Series uniformes de
Valor presente
Recuperacin de
capital
P/A
A/P
P = A(P/A, i, n)
A = P(A/P, i, n)
PV(i% , n , , A)
PMT(i% , n , , P)
Tabla 2.2 Factores P/A y A/P : notacin y ecuaciones
(1 + ) - 1
(1 + )
n
n
i
i i
(1 + )
(1 + ) - 1
n
n
i i
i
-
Cunto dinero debera destinarse para pagar ahora por $600 garantizados cada ao durante 9 aos, comenzando
el prximo ao, a una tasa de rendimiento de 16% anual?
Solucin:
El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.6) se ajusta al factor P/A. El valor presente es:
P = 600(P/A, 16%, 9) = 600(4.6065) = $2 263.90
La funcin VP(16%, 9, 600) ingresada en una celda de una hoja de clculo desplegar la respuesta P = $2
763.93.
EJEMPLO 2.4
P = ?
A = $600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
i = 16%
Figura 2.6 Diagrama para encontrar P usando el factor P/A, ejemplo 2.4
Comentario
Otro mtodo de solucin consiste en utilizar los factores P/F para cada uno de los nueve pagos y agregar los valores
presentes resultantes, para obtener la respuesta correcta. Otra forma es calcular el valor futuro F de los pagos de $600 y
luego encontrar el valor presente del valor F. Existen diversas formas de resolver un problema de ingeniera econmica.
Aqu slo se presenta los mtodos ms directos.
-
2.2 DERIVACIN DEL FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIN Y EL FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA
SERIE UNIFORME (A/F Y F/A)
La forma ms simple de derivar el factor A/F consiste en sustituirlo en aquellos ya desarrollados. Por lo tanto, si P de la ecuacin
(2.3) se sustituye en la ecuacin (2.7) resulta la siguiente frmula:.
1 (1 + ) =
(1 + ) (1 + ) 1
(1 + ) 1
n
n n
n
i iA F
i i
iA F
i
La expresin entre corchetes de la ecuacin (2.8) es el factor de fondo de amortizacin o A/F, el cual determina la serie de valor
anual uniforme que sera equivalente a un valor futuro determinado F, lo cual se muestra grficamente en la figura 2.7a.
La serie uniforme A se inicia al final del periodo 1 y continua a lo largo del periodo de la F dada.
La ecuacin (2.8) puede reordenarse para encontrar F para una serie A dada en los periodos 1 a n (Figura 2.7b).
(2.8)
(1 + ) 1niF A
i
(2.9)
El trmino entre corchetes se denomina el factor de cantidad compuesta, serie uniforme (FCCSU), o factor F/A. Cuando se
multiplica por la cantidad anual uniforme A dada, produce el valor futuro de la serie uniforme. Es importante recordar que la
cantidad futura F ocurre durante el mismo periodo que la ltima A.
La notacin estndar sigue la misma forma que la de los otros factores. stas son (F/A, i, n) y (A/F, i, n). La tabla
2.3 resume las notaciones y las ecuaciones, que tambin se encuentran en los forros interiores de este libro. Las tablas 1 al 29
incluyen valores de los factores F/A y A/F.
-
A = ?
a)
i = dado F = dado
0 1 2 n 2 n 1 n
A = dada
b)
i = dado F = ?
0 1 2 n 2 n 1 n
Figura 2.7
Diagrama de flujo de efectivo para a) determinar A dado F, y b) determinar F dado A.
Factor Encontrar
/dado
Frmula
del factor
Ecuacin en
notacin
estndar
Funciones de
Excel Notacin Nombre
(F/A , i , n)
(A/F , i , n)
Cantidad compuesta
serie uniforme
Fondo de
amortizacin
F/A
A/F
F = A(F/A, i, n)
A = F(A/F, i, n)
VF(i% , n , , A)
PAGO(i% , n , , P)
Tabla 2.3 Factores P/A y A/P : notacin y ecuaciones
(1 + ) - 1
(1 + ) - 1
n
n
i
i
i
i
-
Formasa Plastics tiene grandes plantas de fabricacin en Texas y Hon Kong. Su presidente quiere saber el valor
futuro equivalente de una inversin de capital de $1 milln cada ao durante 8 aos, empezando un ao a partir
de ahora. El capital de Formasa gana a una tas del 14% anual.
Solucin:
El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.8) muestra los pagos anuales que inician al final del ao 1 y terminan
en el ao en que se desea calcular el valor futuro. Los flujos de efectivo se indican en unidades de $1 000. El
valor F en 8 aos es:
P = 1 000(F/A, 14%, 8) = 1 000(13.2328) = $13 232.80
El valor futuro real ser $13 232 800. La funcin es VF(14%, 8, 1000000.
EJEMPLO 2.5
F = ?
A = $1 000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
i = 14%
Figura 2.8
Diagrama para calcular F en una serie uniforme, ejemplo 2.5.
-
Cunto dinero necesita depositar Carol cada ao, empezando un ao a partir de ahora, a 5 % por ao, para
que pueda acumular $6 000 en 7 aos?
Solucin:
El diagrama de flujo de efectivo desde la perspectiva de Carol (figura 2.9a) se ajusta al factor A/F.
A = 6 000(A/F, 5.5%, 7) = 6 000(0.12096) = $725.76 por ao
El valor del factor A/F de 0.12096 se calcul utilizando la frmula del factor de la ecuacin(2.8). De manera
alternativa, use la funcin PAGO como se muestra en la figura 2.9b para obtener A = $725.79 por ao.
EJEMPLO 2.6
F = 6 000
A = ?
a)
0 1 2 3 4 5 6 7
i = 5 %
Figura 2.8 Diagrama para calcular F en una serie uniforme, ejemplo 2.5.
-
i o n Factor
tabulado
a
b deseado
tabulado
valor 1
c
no listado d
valor
Tabla 2.4 Arreglo para la interpolacin lineal.
-
Determine el valor del factor A/P para una tasa de inters de 7.3% y n de 10 aos, es decir, (A/P, 7.3%, 10).
Solucin:
Los valores del factor A/P paro tasas de inters de 7 y 8% y n = 10 se indican en las tablas 12 y 13,
respectivamente.
7% 0.14238
a c
b 7.3% X d
8% 0.14903
La variable desconocida X es el valor deseado del factor. De acuerdo con la ecuacin (2.10).
EJEMPLO 2.7
7.3 - 7 0.3 = (0.14903-0.14238 = (0.00665) = 0.00199
8 - 7 1c
Puesto que el valor del factor est aumentando conforme la tasa de inters se incrementa de 7 a 8%, el valor de c
debe agregarse al valor del factor de 7%. As,
X = 0.14238 + 0.00199 = 0.14437
Comentario Se considera una buena prctica verificar lo razonable de la respuesta final comprobando que X se encuentre entre los valores de
los factores conocidos en las proporciones correctas aproximadamente. En este caso, ya que 0.14437 es menor que 0.5 de la
distancia entre 0.14238 y 0.14903, la respuesta parece razonable. Si se aplica la ecuacin (2.7), el valor exacto del factor es
0.144358.