Introducción a las matemáticassuperioresTarea: Lógica

1. En cada inciso, indica si la oración es una proposición. Justifica tu respuesta.

a) Entreguen esta tarea el próximo miércoles.

b) ¿Ya acabaron la tarea, verdad?

c) Las galletas Oreo son las mejores galletas del mundo.

d) La solución de la función x2 − 2x + 1 es 1.

e) Si esta proposición es verdadera, entonces Santa Claus existe.

2. Determina el valor de verdad de las proposiciones compuestas dadas a continuación.

a) (3−√

16 = −1) ∨ (10/√

25 = 3).

b) (10/√

25 = 3)→ (3−√

16 = −1).

3. Utiliza tablas de verdad para demostrar las siguientes equivalencias. En tus propiaspalabras, explica que dicen las equivalencias.

a) Leyes de De Morgan: ¬(P ∧Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q y ¬(P ∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q.

b) Distributividad: P ∧ (Q∨R) ≡ (P ∧Q)∨ (P ∧R) y P ∨ (Q∧R) ≡ (P ∨Q)∧ (P ∨R).

c) Absorción: P ∨ (P ∧Q) ≡ P y P ∧ (P ∨Q) ≡ P .

d) Equivalencias de la condicional: P → Q ≡ ¬Q→ ¬P y P → Q ≡ ¬P ∨Q.

e) Negación de condicional: ¬(P → Q) ≡ P ∧ ¬Q.

f) Equivalencia de la bicondicional: P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (Q→ P )

4. Determina la hipótesis y la conclusión en las siguientes implicaciones. Escribe su recíprocay su contra-recíproca.

a) Si la función es diferenciable en el intervalo, entonces es continua en el intervalo.

b) Es necesario que esté nublado para que esté lloviendo.

c) Es suficiente aprobar el examen final y que el promedio sea al menos 6 para aprobarla material.

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d) Si un número es divisible entre 5 entonces su última cifra es 5 o 0.

5. Da ejemplos de lo siguiente:

a) Una proposición condicional verdadera cuya recíproca sea falsa.

b) Una proposición condicional verdadera cuya recíproca sea verdadera.

c) Una proposición condicional verdadera cuya hipótesis sea falsa.

d) Una proposición condicional verdadera cuya conclusión sea falsa.

6. Considera la siguiente proposición condicional verdadera.

Si el animal es un tigre, entonces tiene rayas y es un felino.

Para cada inciso, supón que la proposición indicada es verdadera. Indica si podemos concluiralgo dada la condicional. Si no tenemos suficiente información para concluir algo, da ejemplosque lo justifiquen.

a) El animal es un tigre.

b) El animal tiene rayas y es un felino.

c) El animal no tiene rayas.

d) El animal no es un tigre.

7. Niega las siguientes proposiciones o predicados.

a) 5 ≤ x ≤ 10. (Pista: Esto es sólo una conjunción)

b) z < −10 ∨ z > 10.

c) Si la función es diferenciable en el intervalo, entonces es continua en el intervalo.

d) Si el alumno aprueba el examen final y su promedio es al menos 6, entonces apruebala materia.

e) Es necesario presentar el acta de nacimiento o la credencial de elector para registrarseen el sistema.

f) Un número es par si y sólo si su última cifra es par. (Pista: Usa las equivalenciasejercicio 3 para determinar la negación de una bicondicional.)

8. El o exclusivo de dos proposiciones se denota como “P ⊕Q” y se lee “P o Q, pero noambas”. Es verdadera sólo si una proposición es falsa y la otra es verdadera.

a) Haz la tabla de verdad de P ⊕Q.

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b) Utiliza tablas de verdad para verificar que P ⊕Q equivale a ¬(P ↔ Q).

c) Muestra, usando el inciso anterior y las equivalencias del ejercicio 3, que P ⊕ Qequivale a

(P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬P ),(P ∨Q) ∧ ¬(P ∧Q).

Evita utilizar tablas de verdad en este inciso.

9. Tenemos una colección de cartas que tienen letras en un lado, y números en el otro lado.Las cartas deben cumplir la siguiente regla:

Si una carta tiene una vocal en un lado, debe de tener un número par en el otro lado.

En una mesa tenemos la siguientes cartas boca arriba:

A K 2 7

a) ¿Qué cartas debemos de voltear para determinar si la regla ha sido seguida o no?Justifica tu respuesta.

b) ¿Qué cartas no importan para decidir si la regla ha sido seguida o no? Justifica turespuesta.

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