tarea final mop115

Alumnos :

Cardoza Rodríguez, Jorge Alberto cr05074 GT01 - GL01

Henríquez Henríquez, Edwin Esaú hh05045 GT01 - GL02

Ramos Urquilla, Denis francisco ru05010 GT01 - GL02

Docente :

Ing. Andrés Omar Aguilar

Universidad de El SalvadorFacultad de Ingeniería y ArquitecturaEscuela de Ingeniería IndustrialMétodos de Optimización Ciclo I - 2009

Tarea Final“Modelos de Transporte, Método de

Russell, aplicaciones e implementación del software MPL”

Ciudad Universitaria, Junio 2009

I. Índice.

Contenido

I. Índice.....................................................................................................................................2

II. Introducción........................................................................................................................3

III. Objetivos..............................................................................................................................4

A. General.................................................................................................................................4

B. Específicos...........................................................................................................................4

IV. Marco Teórico.....................................................................................................................5

A. Modelos de Transporte, Método de Aproximación de Russell...........................5

B. Aplicación de Modelos de Transporte en la Herramienta de Software MPL for Windows (v4.2 student).........................................................................................12

1. Manual de Usuario (Uso de MPL)..........................................................................12

2. Ejercicios.......................................................................................................................27

V. Conclusiones.....................................................................................................................62

VI. Recomendaciones...........................................................................................................63

VII. Bibliografía.........................................................................................................................64

II. Introducción.

En el siguiente documento como grupo de trabajo definiremos de

forma explicita y clara un método de solución de modelos de transporte

desde un enfoque diferente pero preciso el cual será por medio de la

aproximación del método de Russel para la solución de problemas de

Transporte. Así también tras la necesidad del dinamismo y efectividad en

la solución de problemas de optimización (para nuestro caso modelos de

transporte) también implementaremos, el uso de un programa

denominado MPL, para el cual hemos diseñado un manual y que el usuario

(en la búsqueda de soluciones de problemas de optimización que para

nuestro caso son los problemas de modelos de transporte) no tenga

ningún problema a la hora de implementarlo ya que implementaremos un

lenguaje sencillo para el uso de principiantes y avanzados en dicha rama.

Se programará en MPL de manera que facilite al empresario la solución de

sus problemas. Se resolverán una serie de problemas de Transporte con el

Método de aproximación de Russell y su respectiva implementación en

MPL (con algunos de sus Solvers como lo es CPLEX, Gurobi, CoinMP,

Conopt, entre otros).

III.Objetivos.

A. General.

Implementar el Método de aproximación de Russell para

resolver un problema de transporte así como también

aplicar el lenguaje MPL para el modelado y búsqueda de

dichas soluciones.

B. Específicos

Resolver problemas de una manera mucho más fácil y

eficiente con MPL conociendo su estructura base en la

programación del mismo.

Describir y ejemplificar El Método de aproximación de

Russell para problemas de transporte.

Representar las actividades, comandos y operaciones

principales de MPL en un manual de Usuario.

IV. Marco Teórico.

A. Modelos de Transporte, Método de Aproximación de Russell.

MODELOS DE TRANSPORTE

Específicamente, el problema general de transporte se interesa en la distribución de cualquier artículo desde cualquier grupo de centros de suministro, llamados FUENTES, hacia cualquier grupo de centros receptores, llamados DESTINOS, de modo que se minimicen los costos totales de distribución. Así entonces, en general, la fuente i (i=1,2,.....,m) tiene un suministro de Si unidades para distribuir a los destinos, y el destino j (j = 1,2,......,n) tiene una demanda de dj unidades para ser recibidas de las fuentes i al destino j es directamente proporcional al número distribuido, donde Cij denota el costo por unidad distribuida. El planteamiento de programación lineal de esta problema queda como sigue: m n

Minimizar Z = CijXij i1

j1 Sujeta a n Xij Si , para i = 1,2,...,m j 1

m Xij dj j 1

, para j = 1,2,....,n Xij 0 , para todo i y j

MPL ha sido específicamente diseñado para enseñar modelado de optimización como

está siendo aplicado actualmente en el mundo. Incluye un curso completo, con las

características de MPL, y todas las herramientas necesarias para la enseñanza de Modelado

de Optimización directamente desde internet. Esta incluye una versión estudiante (300

restricciones y variables) de MPL para Windows con el solver CPLEX y la Librería de

Componentes OptiMax 2000.

El Sistema de Modelado de MPL tiene un alto y avanzado ambiente integrado de

desarrollo de modelos, el cual permite al usuario formular y resolver modelos rápidamente.

Dentro de ese sistema está el lenguaje de Modelado de MPL el cual tiene las características

completas del lenguaje algebraico para la formulación de modelos de optimización. Creemos

sinceramente que MPL tiene algunas características únicas que lo hacen la elección ideal

para la enseñanza de modelado de optimización, tal como el uso fácil de la interface gráfica

de usuario, una correcta sintaxis fácil de aprender, y capacidades poderosas para la

administración de datos.

Hoy en día los Solvers avanzados comerciales, tales como CPLEX, pueden ser vistos

como una caja negra donde el usuario puede enviar modelos en gran escala, con cientos de

miles de variables, y estar razonablemente seguros que el paquete producirá una solución,

sin interacción especial alguna por parte del usuario.

El tamaño de problemas que las corporaciones están tratando con el incremento y la

velocidad de paquetes comerciales de optimización han crecido dramáticamente para

satisfacer esta demanda. Esto significa que los usuarios necesitan herramientas más

avanzadas para recopilar y administrar los datos, formular modelos y enviarlos al solver. Aquí

es donde un sistema de modelado avanzado como MPL, es muy valioso.

Con el importante incremento del Modelado de Optimización en el mundo de los

negocios, el software que los estudiantes necesitamos aprender hoy en día es simplemente

diferente al de algunos años atrás. Cuando los problemas eran pequeños, y los paquetes de

software de optimización no eran muy avanzados, la familiarización con los métodos de

solución, tal como el algoritmo Simplex, fueron suficientes para hacer proyectos de

optimización. Hoy día, la experiencia y el entendimiento del software involucrado en el

proceso de modelado, es más importante que el estudio de cómo trabajan internamente los

métodos de solución. Para alcanzar ese objetivo, este Tutor ha sido diseñado para dar a los

estudiantes una oportunidad de aprender el software que está siendo utilizado por grandes

corporaciones de todo el mundo.

Enseñanza de Modelado de Optimización en la actualidad

Una de las razones, que los instructores de Investigación de Operaciones no han sido capaces para asignar modelos grandes a sus estudiantes, parecidos a los modelos del "mundo real"; es porque el software los limitaba. Muchos de los libros sobre programación lineal y optimización hoy día, enseñan a los estudiantes principalmente métodos y algoritmos, y formulación de modelos muy pequeños, típicamente involucran menos de 10 variables y restricciones. El software generalmente disponible con esos libros pueden usualmente tratar con variables y restricciones simples, y además; formular esos modelos grandes requerirá que los estudiantes ingresen muchas páginas de texto. Esto no da como resultado necesariamente que los estudiantes aprendan algo adicional y el interés de sus estudios sobre modelado de optimización se pierda.

Otra razón por la que el modelado de optimización no está siendo ampliamente enseñado, es porque, hasta ahora, no hay un curso con material disponible que efectivamente cubra esta materia

METODO DE APROXIMACION DE RUSSELL (Solución Inicial Básica para la solución de problemas de transporte)

Consiste en que Para cada renglón de origen que queda bajo consideración debe determinarse ui , su mayor costo unitario (Cij) de los que quedan en ese renglón. Para cada columna de destino que todavía está bajo consideración, determínese su vj , el mayor costo unitario de los que hay en esa columna. Para cada variable Xij que no haya sido seleccionada en estos renglones o columnas. Para cada variable Xij que no haya sido seleccionada en estos renglones o columnas, seguidamente se debe calcular

ij = Cij - ui

- vj . Selecciónese la variable con el mayor valor negativo (en términos absolutos) de ij

Solución básica factible inicial a partir del método de aproximación de Vogel.

Selecciónese X44 = 30 Elimínese la columna 4 50-30=20

B. Aplicación de Modelos de Transporte en la Herramienta de Software MPL for Windows (v4.2 student).

1. Manual de Usuario (Uso de MPL).

Para este manual de usuario explicaremos primero el uso de

algunas operaciones básicas del software MPL (abrir, guardar, utilización

de la ayuda, solución de un problema sencillo de Programación lineal y

aprender a analizar dichas soluciones presentadas por el programa) para

luego enfocarnos en la resolución de los modelos de transporte en el

mismo.

Inicializando la Aplicación MPL for Windows (Versión 4.2).

Si se tiene el ambiente clásico de

Windows (Win95, 98, 2000, milenium)

clicar en el botón de Inicio, Programas,

MPL for Windows 4.2

Si se tiene el S. O.

Windows XP clicar en Inicio, Todos

los programas, MPL for Windows 4.2

Student.

Ilustración 1. Inicio de MPL en ambiente clásico de Windows

Luego nos da como resultado la siguiente ventana:

Así también especificamos que se utilizará el solver de CPLEX y

CPLEX 300, pero además aclaramos que eso depende del solver de

preferencia y del grado de dificultad de algunos problemas que el mismo

soporta (entre otros solver’s tenemos: Gurobi, CoinMP, LPSolve, Conopt y

LGO).

Cargar un archivo MPL.

Ilustración 2. Inicio de MPL en ambiente de Windows XP

Ilustración 3. Ventana principal de la aplicación MPL for Windows 4.2 student

Después de haber iniciado MPL, se aprenderá a cargar un archivo

del modelo en el editor de modelo. La aplicación MPL viene con varios

modelos de prueba que son instalados en el directorio Mplwin4. Los

modelos MPL son almacenados como archivos texto estándar y

típicamente tienen la extensión '.mpl'. El modelo que estamos usando en

esta sesión es llamado Model1.mpl y es almacenado en una carpeta

separada llamada Tutorial.

1. Elija Open (Abrir) del menú File (Archivo) para visualizar el cuadro

de diálogo Open (Abrir).

2. Haga doble clic en la Carpeta Tutorial y baje hasta el archivo

llamado ' Model1.mpl ' que está almacenado como se muestra abajo.

3. El cuadro de diálogo Abrir (Open) muestra la lista de todos los

archivos de modelos prueba de MPL en la carpeta Tutorial. Haga clic sobre

el archivo 'Model1.mpl' para seleccionar el archivo y luego presione Abrir

(Open) para abrir el archivo. Alternativamente, usted puede abrir el

Ilustración 4. Cuadro de dialogo abrir (Open) para cargar un archivo con extensión mpl

archivo haciendo clic directamente en el nombre de archivo de la lista de

archivos.

Este abrirá una ventana editor del nuevo modelo conteniendo la

formulación para ese modelo.

Resolver un modelo cargado en el editor del modelo

Ilustración 6. Editor del modelo con el model1.mpl

Ilustración 5. Editor del Modelo mostrando el Model1.mpl

1. Elegir el Solver CPLEX del menú Run para resolver el modelo

'Model1'.

2. Mientras resuelve el modelo, la ventana Status Window (ventana

de estado) es visualizada y le proporciona información acerca del

avance de la solución.

La ventana Status Window

(ventana de estado) proporciona

información respecto al número

de líneas leídas, número de

variables y restricciones

encontradas, cuánta memoria

ha sido usada, número de

iteraciones y el valor actual

de la función objetivo.

Analizando una Solución en MPL.

Al obtener una solución óptima en MPL, éste envía la solución

a un archivo con el mismo nombre del modelo, pero con la extensión

‘.sol’'. Para ver ese archivo es necesario seguir los siguientes pasos.

Ilustración 7.muestra la ventana Status Window (ventana de estado) después que el problema ha sido resuelto.

1. Presionar el botón View (Ver) en la parte inferior de la ventana

Status Window (Ventana de Estado), el cual aparece sobre la

pantalla durante el proceso de solución. Esta abrirá una ventana

View Window (Ventana Ver) conteniendo el archivo de la solución

como se muestra en la Ilustración 8.

2. De esta manera

podemos observar

rápidamente la solución

usando la barra de

desplazamiento de la

derecha. Notar que los

detalles de la solución

son

proporcionadas incluyendo el valor de la solución óptima para la

función objetivo, valores para las variables de decisión y para las

restricciones.

Cuando se haya terminado de mirar a través de la solución

presione el botón (X) que aparece en la esquina superior derecho, para

cerrar la ventana View Window (ventana Ver).

También podemos observar la estructura de nuestro modelo

usando el árbol de definición del modelo que muestra todos los ítems

definidos en el modelo desde su definición. Para abrir el árbol de definición

del modelo se tiene que clicar en el

menú view (ver) y posteriormente

elegir la opción Model Definitions

(Definición del modelo).

Ilustración 8. Ventana View (Ver) con el archivo de la Solución 'Model1.sol'

Bajo el título VARIABLES en el árbol, usted verá tres nombres de variables:

Producto, Inventario, Ventas, los cuales son las variables para el modelo. En frente de

cada título de sección, hay un pequeño recuadro conteniendo el signo más o el signo

menos. Este recuadro le permite rápidamente expandir y plegar cada rama del árbol.

Ahora si se selecciona la variable Produce y presione el botón View (Ver) en la parte inferior

de la ventana. Este abrirá una nueva ventana View (Ver) con los valores de la solución para la

variable Producto.

Sintaxis Básica de MPL.

Ilustración 9. Ventana Árbol de Definiciones del Modelo

Ilustración 10. Ventana View (Ver) con los Valores de la Solución de la Variable Produce

A diferencia de otros optimizadores MPL es claro en cuanto al

orden en la colocación de las variables, restricciones, función objetivo para

una mayor comprensión y además, cada definición ya sea tanto de

variables como función objetivo, restricciones, entre otras son colocadas

en una sección específica, a continuación la sintaxis básica de MPL (nota:

si el problema es mucho más complicado la codificación varía en cuanto al

número de secciones, esto se explicará más adelante):

Ahora explicaremos la definición de la función Objetivo, ésta

puede ser de maximización (MAX) o de minimización (MIN). Además para

definir las variables, solo basta con colocarlas (X1 y X2 para nuestro

ejemplo)

Ilustración 10. Ventana del editor del modelo con un código básico y su respectiva explicación de cada una de sus partes

VariablesTipo de la FO

Para compilar el programa en MPLPara correr el programa en MPLPara abrir un archivo “.mpl”Para guardar un archivo “.mpl”

Para ver el archivo de solución “.sol”Para imprimir

Para restringir la FO (FO sujeta a, o restricciones de la FO) solo

añadimos los siguientes símbolos de relación: > (para mayor que), < (para

menor que), >= (para mayor o igual que), <= (para menor o igual que).

Además tenemos lo siguiente (algunas funciones básicas de la

barra de herramientas principal de MPL):

Variables

Símbolo de Relación

Luego si por alguna causa hubiera un error de sintaxis del

programa tras la compilación del mismo (así como no poner punto y coma

al final de la línea de texto, mal uso de los signos de relación, etc.)

aparecerá la siguiente ventana (Ilustración 11), con la opción de corregirlo.

Resolución de Modelos de Transporte con MPL for Windows 4.2 student.

Para la resolución de modelos de transporte en la herramienta

MPL, podemos afirmar que esta basada en la utilización de constantes de

Demandas, ofertas, costos de envío y variables que determinen cuanto

producto se transportará desde un origen (una planta contenedora por

ejemplo) hacia un destino (sucursal de entrega o planta destino por

ejemplo).

Ilustración 11. Ventana Error Message (Mensaje de Error) donde Indica tanto la línea en que se cometió el error como el tipo error que se produjo.

En MPL, la estructura base en la solución de problemas de

transporte es la siguiente:

{Pruebita1}

TITLEPruebita

DATADemand1 := 200;Demand2 := 240;Demand3 := 280;Demand4 := 340;

Oferta1 := 300;Oferta2 := 100;Oferta3 := 500;Oferta4 := 160;CE11 := 7;CE12 := 9;CE13 := 9;CE14 := 6;CE21 := 6;CE22 := 10;CE23 := 12;CE24 := 8;CE31 := 9;CE32:= 8;CE33:= 10;CE34:= 14;CE41:= 0;CE42:= 0;CE43:= 0;CE44:= 0;

MODELMIN Z = CE1 X1 + CE2 X2 + CE3 X3 + CE4 X4 + CE5 X5 + CE6 X6 + CE7 X7 + CE8 X8 +

CE9 X9 + CE10 X10 + CE11 X11 + CE12 X12 + CE13 + CE14 + CE15 + CE16;

SUBJECT TOX1 + X2 + X3 + X4 = Oferta1;X5 + X6 + X7 + X8 = Oferta2;X9 + X10 + X11 + X12 = Oferta3;X13 + X14 + X15 + X16= Ofeta4;X1 + X5 + X9 + X13= Demand1;X2 + X6 + X10 + X14 = Demand2;X3 + X7 + X11 + X15= Demand3;X4 + X8 + X12 + X16= Demand4;Oferta1 + Oferta2 + Oferta3 + Oferta4 = Demand1 + Demand2 + Demand3 + Demand4;X1 >= 0;X2 >= 0;X3 >= 0;X4 >= 0;X5 >= 0;X6 >= 0;X7 >= 0;X8 >= 0;X9 >= 0;X10 >= 0;X11 >= 0;

Título

Aquí se definen las demandas, ofertas y

costos de envío

Definición de la función objetivo

Definición de las restricciones

X12 >= 0;END

Donde CEij: Costo de envío desde i hasta j,

Xij : Cantidad de productos a entregar o distribuir desde i hasta

j.

Demand: Demandas,

Ofertas: Ofertas para el transporte

Así para las siguientes sentencias se tiene una explicación en

un cuadro, enfatizando las funciones de dichas instrucciones en el

programa generado en MPL para las constantes declaradas: Demand,

Oferta, CE respectivamente:

Encontrando la solución de nuestro modelo y analizando el resultado

Para obtener la solución de nuestro modelo en MPL es

necesario especificar el tipo de solver para la búsqueda de dicha solución,

MPL por default tiene configurado como solver, y para nuestra versión, el

CPLEX 3000, aunque también se puede elegir entre los siguientes solver

instalados por default: Gurobi, CoinMP, LPSolve, Conopt y LGO, así mismo

i

jCE

aclarando que existen muchos más compatibles con MPL tal como Lingo,

Lindo, entre otros.

Primero elegimos el solver seleccionando el solver deseado de

la opción solver en run de la barra de herramientas. Luego

automáticamente el solver compilara y ejecutará nuestro programa.

Ilustración 12. Como elegir el solver para resolver nuestro problema de transporte

Luego en la ventana resultante (la que muestra los procesos en

tiempo real de nuestra operación en ejecución) presionar el botón view

para visualizar el resultado…

Apareciendo

dicha solución de la siguiente

manera (se representará por

Presionar botón view

Tipo de FO y su valor optimo

Valores Óptimo de las variables de decisión. Para nuestro caso son los productos X del origen i hasta el destino j. según la tabla inicial del problema de transporte

partes para explicar paso a paso lo que representa el archivo solución

generado por MPL):

Ilustración 13. Presionar view

Aquí se encuentran datos básicos tales como el nombre del

problema, el archivo, el solver utilizado, último valor o valor optimo de

la función objetivo, tiempo de ejecución,

número de

Ilustración 14. Archivo solución (a)

Ilustración 15. Archivo solución (b)

Información básica de nuestro modelo, tales como el nombre de nuestro modelo, el

numero de iteraciones, valor óptimo de la FO, solver Utilizado, Fecha,

Así termina nuestro manual de usuario, pero será de utilidad

aclarar que si desea resolver otro problema de transporte (es decir con

otros datos, más demandas, más ofertas), solo se tienen que cambiar los

valores de costo de envío y/o añadir más variables de ofertas, demandas y

costos de envío. También hay que añadir y cambiar los datos en las

restricciones de la FO y además actualizar dicha FO. Luego ¿Qué significan

las restricciones?

SUBJECT TOX1 + X2 + X3 + X4 = Oferta1;X5 + X6 + X7 + X8 = Oferta2;X9 + X10 + X11 + X12 = Oferta3;X13 + X14 + X15 + X16= Ofeta4;X1 + X5 + X9 + X13= Demand1;X2 + X6 + X10 + X14 = Demand2;X3 + X7 + X11 + X15= Demand3;X4 + X8 + X12 + X16= Demand4;Oferta1 + Oferta2 + Oferta3 + Oferta4 = Demand1 + Demand2 + Demand3 + Demand4;X1 >= 0;X2 >= 0;X3 >= 0;X4 >= 0;X5 >= 0;X6 >= 0;X7 >= 0;X8 >= 0;X9 >= 0;X10 >= 0;X11 >= 0;X12 >= 0;

Las ofertas tienen que ser iguales que las

demandas. Ninguna oferta será mayor que

una determinada

Y no hay que olvidar las restricciones de NO

negatividad

2. Ejercicios.

EJERCICIO #6 DE GUÍA DE DISCUSIÓN No. 6

Para el siguiente modelo de Transporte.

Utilice los distintos métodos para encontrar la solución básica inicial (Método de

Russell).

Encuentre la solución óptima utilizando la mejor solución de inicio

(Multiplicadores).

1 2 3 4 51 2 4 6 5 7 42 7 6 3 M 4 63 8 7 5 2 5 6

4 4 2 5 5 16

20

La demanda y la oferta no son iguales, ya que la demanda es mayor que la

oferta se agregara un origen ficticio con costos iguales a 0, quedara de la

siguiente forma.

1 2 3 4 51 2 4 6 5 7 42 7 6 3 M 4 63 8 7 5 2 5 64 0 0 0 0 0 4

4 4 2 5 5 20

20

SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL POR MÉTODO DE RUSSELL.

1 2 3 4 5 OFERTA 1 2 3 3 4 5 6

1 2 4

6 5 7 4/0U1=

7 7 7N/A

N/A

N/A

N/A

4 0 2 7 6 3 M 4

6|4U2=

M 7 6 6 6 6 6 2 4

3 8 7 5 2 5 6\1/0

U3=

8 8 7 7 7 7N/A 1 5

4 0 0 0 0 0

4U4=

0 0 0 0 0 0 0 3 1

DEMANDA 4/0 4|3 2/0 5/0 5

V1= V2= V3= V4=

V5=

ITER

AC

ION

ES 1 8 7 6 M 7

2 8 7 6 M 73 N/A 7 6 N/A 74 N/A 7 5 N/A 55 N/A 7 N/A N/A 56 N/A 6 N/A N/A 4

ITERACIÓN 1: Xij= Cij - Ui - Vj

X11= 2-7-8=-13X21= 7 - M - 8 = -1-M X31= 8-8-8=-8 X41= 0-0-8=-8

X12= 4 -7 -7 = -10X22= 6-M -7= -1-M X32= 7-8-7=-8 X42= 0-0-7=-7

X13= 6 - 7 - 6 = -7X23= 3-M-6 = -3-M X33= 5-8-6=-9 X43= 0-0-6=-6

X14= 5 - 7 - M= -2-MX24= M - M - M = -M

X34= 2-8-M=-6-M X44= 0-0-M=-M

X15= 7 - 7 - 7= -7X25= 4 - M - 7 = -3-M X35= 5-8-7=-10 X45= 0-0-7=-7


X11= 2-7-8=-13X21= 7 - 7 - 8 = -8 X31= 8-8-8=-8 X41= 0-0-8=-8

X12= 4 -7 -7 = -10 X22= 6-7 -7= -8 X32= 7-8-7=-8 X42= 0-0-7=-7

X13= 6 - 7 - 6 = -7X23= 3-7-6 = -10 X33= 5-8-6=-9 X43= 0-0-6=-6

X15= 7 - 7 - 7= -7X25= 4 - 7 - 7 = -10 X35= 5-8-7=-10 X45= 0-0-7=-7


X12= 4 -7 -7 = -10 X22= 6-6 -7= -7 X32= 7-7-7=-7 X42= 0-0-7=-7X13= 6 - 7 - 6 = -7 X23= 3-6-6 = -9 X33= 5-7-6=-8 X43= 0-0-6=-6

X15= 7 - 7 - 7= -7X25= 4 - 6 - 7 = -9 X35= 5-7-7=-9 X45= 0-0-7=-7


X22= 6-6 -7= -7 X32= 7-7-7=-7 X42= 0-0-7=-7X23= 3-6-5 = -8 X33= 5-7-5=-7 X43= 0-0-5=-5X25= 4 - 6 - 5 = -7 X35= 5-7-5=-7 X45= 0-0-5=-5


X22= 6-6 -7= -7 X32= 7-7-7=-7 X42= 0-0-7=-7X25= 4 - 6 - 5 = -7 X35= 5-7-5=-7 X45= 0-0-5=-5


X22= 6-6 -6= -6 X42= 0-0-6=-6X25= 4 - 6 - 4 = -6 X45= 0-0-4=-4


1 2 3 4 5OFERTA

1 2 4 6 5 7 4

4 0

2 7 6 3 M 4

6 2 4

3 8 7 5 2 5

6 1 5

4 0 0 0 0 0

4 3 1

DEMANDA 4 4 2 5 5

SOLUCIÓN ÓPTIMA POR MULTIPLICADORES.1 2 3 4 5 OFERTA

1 2 4 6 5 7

4U1=

44 0 3 6 3

2 7 6 3 M 4

6U2=

4 2 4 5 2 M+1

3 8 (-) 7 5 2 (+) 5

6U3=

7 1 5 3 -1 -2

4 0 (+) 0 0 0 (-) 0

4U4=

0 3 12 1 5

DEMANDA 4 4 2 5 5

V1= -2 V2= 0 V3= -1 V4= -5 V5= 0

Cij=Ui + Vj

Cij=Cij - Ui – Vj

2=U1 + V1

7=U3 + V2 C13=6-4-(-1)=3 C22=6-4-0=2 C35=5-7-0=-2

4=U1 + V2 2=U3+V4 C14=5-4-(-5)=6

C24=M-4-(-5)=M+1

C41=0-0-(-2)=2

3=U2 + V3 0=U4+V2 C15=7-4-0=3 C31=8-7-(-2)=3

C43=0-0-(-1)=1

4=U2 + V5 0=U4+V5 C21=7-4-(-2)=5 C33=5-7-(-1)=-1

C44=0-0-(-5)=5

ITERACIÓN 1: V.E: X35, V.S: X32

1 2 3 4 5 OFERTA

1 2 4 6 5 7

4U1=

44 0 3 4 3

2 7 6 3 M 46

U2= 4 2 4

5 2 M-1

3 8 7 5 2 5

6U3=

5 5 1 5 2 1

4 0 0 0 0 04

U4= 0 4 0

2 1 3 DEMANDA 4 4 2 5 5

V1= -2 V2= 0 V3= -1 V4= -3 V5= 0Cij=Ui + Vj

Cij=Cij - Ui – Vj

2=U1 + V1

2=U3 + V4

C13=6-4-(-1)=3 C22=6-4-0=2 C33=5-5-(-1)=1

4=U1 + V2 5=U3+V5

C14=5-4-(-3)=4

C24=M-4-(-3)=M-1 C41=0-0-(-2)=2

3=U2 + V3 0=U4+V2 C15=7-4-0=3 C31=8-5-(-2)=5 C43=0-0-(-1)=14=U2 + V5 0=U4+V5

C21=7-4-(-2)=5 C32=7-5-0=2 C44=0-0-(-3)=3

Z= 4*2 + 0*4 + 2*3 + 4*4+5*2 + 1*5 + 4*0 + 0*0

Z=45

SOLUCIÓN ÓPTIMAX11=4 COSTO= 8X12=0 COSTO= 0X23=2 COSTO= 6X25=4 COSTO= 10X34=5 COSTO= 5X35=1 COSTO= 0

SOLUCION CON MPL

El modelado en MPL:

Se explicará el las siguientes líneas de código en MPL por ser primer ejercicio:

COSTO TOTAL= 45

TITLEEJERCICIO_6_GUIA_6

DATADemand1 := 4;Demand2 := 4;Demand3 := 2;Demand4 := 5;Demand5 := 5;

Oferta1 := 4;Oferta2 := 6;Oferta3 := 6;Oferta4 := 4;CE11 := 2;CE12 := 4;CE13 := 6;CE14 := 5;CE15 := 7;CE21 := 7;CE22 := 6;CE23 := 3;CE24 := 100;CE25 := 4;CE31 := 8;CE32 := 7;CE33 := 5;CE34 := 2;CE35 := 5;CE41 := 0;CE42 := 0;CE43 := 0;CE44 := 0;CE45 := 0;

MODEL

MIN Z = CE11 X11 + CE12 X12 + CE13 X13 + CE14 X14 + CE15 X15 + CE21 X21 + CE22 X22 + CE23 X23 + CE24 X24 + CE25 X25 + CE31 X31 + CE32 X32 + CE33 X33 + CE34 X34 + CE35 X35 + CE41 X41 + CE42 X42 + CE43 X43 + CE44 X44 + CE45 X45;

SUBJECT TOX11 + X12 + X13 + X14 + X15 = Oferta1;X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = Oferta2;X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = Oferta3;X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = Oferta4;X11 + X21 + X31 + X41 = Demand1;X12 + X22 + X32 + X42 = Demand2;X13 + X23 + X33 + X43 = Demand3;X14 + X24 + X34 + X44 = Demand4;X15 + X25 + X35 + X45 = Demand5;

Titulo del Programa

Asignación de Demandas

Asignación de Ofertas

Costos de Envío desde i

FO

Restricciones de

Restricciones de

Oferta1 + Oferta2 + Oferta3 + Oferta4 = Demand1 + Demand2 + Demand3 + Demand4 + Demand5;

X11 >= 0;X12 >= 0;X13 >= 0;X14 >= 0;X15 >= 0;X21 >= 0;X22 >= 0;X23 >= 0;X24 >= 0;X25 >= 0;X31 >= 0;X32 >= 0;X33 >= 0;X34 >= 0;X35 >= 0;X41 >= 0;X42 >= 0;X43 >= 0;X44 >= 0;X45 >= 0;

END

Al ejecutar el programa, MPL muestra la solución de la siguiente forma:

Ilustración 16. Status Window

Y el archivo solución es el siguiente:

Restricción de

Restricciones de No Negatividad

Valor Óptimo de la FO (Costo Mínimo)

Si presionamos este botón veremos de forma detallada el

archivo solución para nuestro Problema

MODEL STATISTICS

Problem name: EJERCICIO_6_GUIA_6

Filename: Pruebita.mplDate: June 23, 2009Time: 23:19Parsing time: 0.20 sec

Solver name: CPLEX (11.2.1)Objective value: 45.0000000000Iterations: 0Solution time: 0.02 secResult code: 1

Constraints: 29Variables: 20Nonzeros: 60Density: 10 %

SOLUTION RESULT

Optimal solution found

MIN Z = 45.0000

DECISION VARIABLES

PLAIN VARIABLES

Variable Name Activity Reduced Cost ------------------------------------------------------ X11 4.0000 0.0000 X12 0.0000 0.0000 X13 0.0000 0.0000 X14 0.0000 0.0000 X15 0.0000 0.0000 X21 0.0000 0.0000 X22 0.0000 0.0000

Información general del problema

Valor óptimo de la FO

Aquí muestra la asignación de

productos desde un origen i hasta un

X23 2.0000 0.0000 X24 0.0000 0.0000 X25 4.0000 0.0000 X31 0.0000 0.0000 X32 0.0000 0.0000 X33 0.0000 0.0000 X34 5.0000 0.0000 X35 1.0000 0.0000 X41 0.0000 0.0000 X42 4.0000 0.0000 X43 0.0000 0.0000 X44 0.0000 0.0000 X45 0.0000 0.0000 ------------------------------------------------------


Obtenga la solución inicial del siguiente modelo de transporte a

través de los métodos Esquina noroeste, Costo Mínimo y Vogel, Obtenga la

solución optima mediante el uso de la mejor solución inicial. Nosotros

usaremos el Método de Russell y Multiplicadores.

SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL POR MÉTODO DE RUSSELL.ITERACIONES

1 2 3 4OFERTA 1

2 34 5 6

1 10 20 5 7 10/0

U1=

20

20

20 N/A N/AN/A

10

2 13 9 12 8 20

U2=

13

13

13 13 13 12 20

3 4 15 7 9 30/0

U3=

15

15

15 15 N/AN/A

30

4 14 7 1 0 40/30/

0U4=

14

14

N/A

N/A N/AN/A 30 10

5 3 12 5

19 50/30

U5=

19

12

12 12 12 1230 10 10

DEMANDA 60/30 60/30 20 10/0

V1=

V2

= V3= V4=

ITER

AC

ION

ES 1 14 20 12 19

2 14 20 12 N/A3 13 20 12 N/A4 13 15 12 N/A5 13 12 12 N/A6 N/A 12 12 N/A


X11=10-20-14=-24

X21=13-13-14=-1

X31=4-15-14=-25

X41=14-14-14=-14

X51=3-19-14=-30

X12=20-20-20=-20

X22=9-13-20=-24

X32=15-15-20=-20

X42=7-14-20=-27

X52=12-19-20=-27

X13=5-20-12=-27

X23=12-13-12=-13

X33=7-15-12=-20

X43=1-14-12=-25

X53=5-19-12=-26

X14=7-20-19=-32

X24=8-13-19=-24

X34=9-15-19=-25

X44=0-14-19=-33

X54=19-19-19=-19


X11=10-20-14=-24

X21=13-13-14=-1

X31=4-15-14=-25

X41=14-14-14=-14

X51=3-12-14=-23

X12=20-20-20=-20

X22=9-13-20=-24

X32=15-15-20=-20

X42=7-14-20=-27

X52=12-12-20=-20

X13=5-20-12=-27

X23=12-13-12=-13

X33=7-15-12=-20

X43=1-14-12=-25

X53=5-12-12=-19


X11=10-20-13=-23

X21=13-13-13=-13

X31=4-15-13=-24

X51=3-12-13=-22

X12=20-20-20=-20

X22=9-13-20=-24

X32=15-15-20=-20

X52=12-12-20=-20

X13=5-20-12=-27

X23=12-13-12=-13

X33=7-15-12=-20

X53=5-12-12=-19


X21=13-13-13=-13

X31=4-15-13=-24

X51=3-12-13=-22

X22=9-13-15=-19

X32=15-15-15=-15

X52=12-12-15=-15

X23=12-13-12=-13

X33=7-15-12=-20

X53=5-12-12=-19


X21=13-13-13=-13

X51=3-12-13=-22

X22=9-13-12=-17

X52=12-12-12=-12

X23=12-13-12=-13

X53=5-12-12=-19


X22=9-12-12=-16

X52=12-12-12=-12

X23=12-12-12=-12

X53=5-12-12=-19


1 2 3 4OFERTA

1 10 20 5 7

10 10

2 13 9 12 8

20 20

3 4 15 7 9

3030

4 14 7 1 0

40 30 10

5 3 12 5 19

5030 10 10

DEMANDA 60 60 20 10

SOLUCIÓN ÓPTIMA POR MULTIPLICADORES.

1 2 3 4OFERTA

1 10 20 5 7

10U1=

0 10 7 8 7

2 13 9 12 8

20U2= -

3 20 13 10 10

3 4 15 7 9

30U3=

1 30 2 1 3

4 14 7 1 0

40U4= -

5 30 1016 1

5 3 12 5 19

50U5=

0 30 10 10 14

DEMANDA 60 60 20 10

V1= 3 V2= 12 V3= 5 V4= 5Cij=Ui + Vj

Cij=Cij - Ui - VJ

5=U1+V3 0=U4+V4 X11=10-0-3=7

X23=12-(-3)-5=10 X34=9-1-5=3

9= 3=U5+V1 X12=20-0- X24=8-(-3)-5=10 X41=14-(-5)-

U2+V2 12=8 3=164=U3+V1

12=U5+V2 X14=7-0-5=7 X32=15-1-12=2

X43=1-(-5)-5=1

7=U4+V2 5=U5+V3

X21=13-(-3)-3=13 X33=7-1-5=1

X54=19-0-5=14

Z=10*5 + 20*9 + 30*4 + 30*7 + 10*0 + 30*3 + 10*12 + 10*5Z=820

SOLUCIÓN ÓPTIMAX13=10 COSTO= 50X22=20 COSTO= 180X31=30 COSTO= 120X42=30 COSTO= 210X44=10 COSTO= 0X51=30 COSTO= 90X32=10 COSTO= 120X53=10 COSTO= 50

SOLUCIÓN CON MPL

{EJ7}

TITLEEjercicio_7

DATADemand1 := 60;Demand2 := 60;Demand3 := 20;Demand4 := 10;

Oferta1 := 10;Oferta2 := 20;Oferta3 := 30;Oferta4 := 40;Oferta5 := 50;CE11 := 10;CE12 := 20;CE13 := 5;CE14 := 7;CE21 := 13;CE22 := 9;CE23 := 12;CE24 := 8;CE31 := 4;CE32 := 15;CE33 := 7;CE34 := 9;CE41 := 14;

COSTO TOTAL= 820

CE42 := 7;CE43 := 1;CE44 := 0;CE51 := 3;CE52 := 12;CE53 := 5;CE54 := 19;

MODELMIN Z = CE11 X11 + CE12 X12 + CE13 X13 + CE14 X14 + CE21 X21 +

CE22 X22 + CE23 X23 + CE24 X24 + CE31 X31 + CE32 X32 + CE33 X33 + CE34 X34 + CE41 X41 + CE42 X42 + CE43 X43 + CE44 X44 + CE51 X51 + CE52 X52 + CE53 X53 + CE54 X54;

SUBJECT TOX11 + X12 + X13 + X14 = Oferta1;X21 + X22 + X23 + X24 = Oferta2;X31 + X32 + X33 + X34 = Oferta3;X41 + X42 + X43 + X44 = Oferta4;X51 + X52 + X53 + X54 = Oferta5;X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = Demand1;X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = Demand2;X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = Demand3;X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = Demand4;X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = Demand5;Oferta1 + Oferta2 + Oferta3 + Oferta4 + Oferta5 = Demand1 + Demand2

+ Demand3 + Demand4;X11 >= 0;X12 >= 0;X13 >= 0;X14 >= 0;X21 >= 0;X22 >= 0;X23 >= 0;X24 >= 0;X31 >= 0;X32 >= 0;X33 >= 0;X34 >= 0;X41 >= 0;X42 >= 0;X43 >= 0;X44 >= 0;X51 >= 0;X52 >= 0;X53 >= 0;X54 >= 0;

END

Y el archivo solución es el siguiente:

MODEL STATISTICS

Problem name: Ejercicio_7

Filename: ejrcicio2.mplDate: June 24, 2009Time: 20:29Parsing time: 0.21 sec

Solver name: CPLEX (11.2.1)Objective value: 820.000000000Iterations: 5Solution time: 0.18 secResult code: 1


SOLUTION RESULT

Optimal solution found

MIN Z = 820.0000

DECISION VARIABLES

PLAIN VARIABLES

Variable Name Activity Reduced Cost ------------------------------------------------------ X11 0.0000 0.0000 X12 0.0000 0.0000 X13 10.0000 0.0000 X14 0.0000 0.0000 X21 0.0000 0.0000 X22 20.0000 0.0000 X23 0.0000 0.0000 X24 0.0000 0.0000 X31 30.0000 0.0000 X32 0.0000 0.0000 X33 0.0000 0.0000 X34 0.0000 0.0000 X41 0.0000 0.0000 X42 30.0000 0.0000

X43 0.0000 0.0000 X44 10.0000 0.0000 X51 30.0000 0.0000 X52 10.0000 0.0000 X53 10.0000 0.0000 X54 0.0000 0.0000 X15 0.0000 0.0000 X25 0.0000 0.0000 X35 0.0000 0.0000 X45 0.0000 0.0000 X55 0.0000 0.0000 Demand5 0.0000 0.0000 ------------------------------------------------------


Tres refinerías con capacidades diarias máximas de 6, 5 y 8 millones de

galones de gasolina reparten a tres áreas de distribución con demandas

diarias de 4, 8 y 7 millones de galones de combustible. La gasolina se

transporta a las tres áreas de distribución a través de una red de tubería.

El costo de transporte se calcula con base en la longitud de la tubería

aproximadamente a 1 centavo por 100 galones por milla recorrida. La

tabla de distancia que aquí se resume muestra que la refinería 1 no está

conectada al área de distribución 3. Formule el problema como un modelo

de transporte y encuentre la solución óptima.

OFERTA1 2 3

REFINERÍA

1 120 180 M6x1

06

2 300 100 805x1

06

3 200 250 1208x1

06

DEMANDA 4x106

8x106

7x106

Primero hay que encontrar los costos de transportes de todo el cuadro de distancias.

Usando la regla de 3.0.01 → 100 galones. 0.02X → 1000000 galones.0.01

X= 100

1000000

X=1000000∗0.01100

X=100

Multiplicando 100 x las distancias, queda de la siguiente manera.

OFERTA1 2 3

REFINERÍA

1 120001800

0 M6x1

06

2 300001000

0 80005x1

06

3 200002500

01200

08x1

06

DEMANDA 4x106

8x106

7x106

SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL POR MÉTODO DE RUSSELL.ITERACIÓN

1 2OFERT

A1 2 3

112 18 M

6/2U1=

M M 184 2

230 10 8

5U2=

30

N/A N/A5

320 25 12

8/6U3=

25

25 256 2

DEMANDA 4/0 8 7/2/0V1= v2= V3=

ITERACIÓN

1 30 25 M2 20 25 M3 20 25 N/A

ITERACIÓN 1: Xij= Cij

- Ui - Vj

X11=12-M-30=-18-MX21=30-30-30=-30

X31=20-25-30=-35

X12=18-M-25=-7-MX22=10-30-25=-45

X32=25-25-25=-25

X13=M-M-M=-MX23=8-30-M=-22-M

X33=12-25-M=-13-M


- Ui - Vj

X11=12-M-20=-8-MX31=20-25-20=-25

X12=18-M-25=-7-MX32=25-25-25=-25

X13=M-M-M=-MX33=12-25-M=-13-M


- Ui - Vj

X11=12-18-20=-26X31=20-25-20=-25

X12=18-18-25=-25X32=25-25-25=-25


1 2 3OFERTA

1 12 18 M

64 2

2 30 10 8

5 5

3 20 25 12

8 6 2

DEMANDA 4 8 7

SOLUCIÓN ÓPTIMA POR MULTIPLICADORES.

1 2 3OFERTA

1 12 18 M

6 U1= 04 2 -5+M

2 30 (+) 10 (-) 8

5 U2= 8 5 10 -16

3 20 (-) 25 (+)12

8 U3=7 6 2

1 DEMANDA 4 8 7

V1= 12 V2= 18 V3= 5Cij=Ui + Vj

Cij=Cij - Ui - Vi

12=U1+V1 25=U3+V2 X13=M-0-5=-5+M X31=20-7-12=118=U1+V2 12=U3+V3 X21=30-8-12=10 8=U2+V3 X22=10-8-18=-16


1 2 3 OFERTA

1 12 18 M

6 U1= 04 2 M-5

2 30 10 8

5 U2= -8 5 26 11

3 20 25 12 8 U3= 7 1 7

1 DEMANDA 4 8 7

V1= 12 V2= 18 V3= 5Cij=Ui + Vj

Cij=Cij - Ui - Vi

12=U1+V1 25=U3+V2 X13=M-0-5=-5+M X31=20-7-12=118=U1+V2 12=U3+V3 X21=30-(-8)-12=26 10=U2+V2 X23=8-(-8)-5=11

SOLUCIÓN ÓPTIMAX11=4 COSTO= 4*12*1000 = 48000X22=20 COSTO= 2*18*1000 = 36000X31=30 COSTO= 5*10*1000 = 50000X42=30 COSTO= 1*25*1000 = 25000X44=10 COSTO= 7*12*1000 = 84000

SOLUCION CON MPL

{EJ9}

TITLEEjercicio_9

DATADemand1 := 4;Demand2 := 8;Demand3 := 7;

Oferta1 := 6;Oferta2 := 5;Oferta3 := 8;CE11 := 12;CE12 := 18;

COSTO TOTAL= 243,000

CE13 := 10000;CE21 := 30;CE22 := 10;CE23 := 8;CE31 := 20;CE32 := 25;CE33 := 12;

MODELMIN Z = CE11 X11 *1000 + CE12 X12 *1000 + CE13 X13 *1000 + CE21 X21 *1000 + CE22 X22

*1000 + CE23 X23 *1000 + CE31 X31 *1000 + CE32 X32 *1000 + CE33 X33 *1000;

SUBJECT TOX11 + X12 + X13 = Oferta1;X21 + X22 + X23 = Oferta2;X31 + X32 + X33 = Oferta3;X11 + X21 + X31 = Demand1;X12 + X22 + X32 = Demand2;X13 + X23 + X33 = Demand3;Oferta1 + Oferta2 + Oferta3 = Demand1 + Demand2 + Demand3;X11 >= 0;X12 >= 0;X13 >= 0;X21 >= 0;X22 >= 0;X23 >= 0;X31 >= 0;X32 >= 0;X33 >= 0;

END

Y el archivo solución generado es el siguiente:

MODEL STATISTICS

Problem name: Ejercicio_9Filename: ejrcicio3.mplDate: June 24, 2009Time: 21:40Parsing time: 0.09 secSolver name: CPLEX (11.2.1)Objective value: 243000.000000Iterations: 2Solution time: 0.03 secResult code: 1


SOLUTION RESULT

Optimal solution found MIN Z = 243000.0000

DECISION VARIABLES

PLAIN VARIABLES

Variable Name Activity Reduced Cost ------------------------------------------------------ X11 4.0000 0.0000 X12 2.0000 0.0000 X13 0.0000 0.0000 X21 0.0000 0.0000 X22 5.0000 0.0000 X23 0.0000 0.0000 X31 0.0000 0.0000 X32 1.0000 0.0000 X33 7.0000 0.0000 ------------------------------------------------------

EJERCICIO DE APLICACIÓN #1

Una empresa que tiene 3 fábricas: A, B y C y 4 depósitos distribuidores: 1, 2, 3 y 4. Halle el

programa óptimo de distribución y su costo asociado. Los costos unitarios, oferta y demanda

mensual son:

SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL MÉTODO DE RUSSELLITERACIONES

1 2 3 4 OFERTA 1 2 3 4 5

17 9 9 6

300 U1=9 9 9 9 N/A60 240

2 6 10 12 8 100 U2= 12 N/A N/A N/A N/A

100

39 8 10 14

500 U3= 14 14 10 10 10140 240 120

40 0 0 0

160 U4= 0 0 0 0 0160

DEMANDA 200 240 280 340 110110

V1= V2= V3= V4=

ITER

ACIO

NES 1 9 10 12 14

2 9 9 10 143 9 9 10 N/A4 9 N/A 10 N/A5 9 N/A 10 N/A


X11= 7-9-9=-11 X21= 6 - 12 - 9 = -15 X31= 9 -14-9=-14 X41= 0-0-9=-9

X12= 9 -9 -10 = -10 X22= 10 - 12 -10= -12 X32= 8-14-10=-16X42= 0-0-10=-10

X13= 9 - 9 - 12 = -12 X23= 12 - 12 - 12 = -12 X33= 10-14-12=-16X43= 0-0-12=-12

X14= 6 - 9 - 14= -17 X24= 8 - 12 - 14 = -18 X34= 14-14-14=-14X44= 0-0-14=-14

ITERACIÓN 2: : Xij= Cij - Ui - Vj

X11= 7-9-9=-11 X31= 9 -14-9=-14 X41= 0-0-9=-9X12= 9 -9 -9 =- 9 X32= 8-14-9=-15 X42= 0-0-9=-9

X13= 9 - 9 - 10 = -10 X33= 10-14-10=-14X43= 0-0-10=-10

X14= 6 - 9 - 14= -17 X34= 14-14-14=-14X44= 0-0-14=-14


X11= 7-9-9=-11 X31= 9 -10-9=-10 X41= 0-0-9=-9X12= 9 -9 -9 = -9 X32= 8-10-9=-11 X42= 0-0-9=-9

X13= 9 - 9 - 10 = -10 X33= 10-10-10=-10X43= 0-0-10=-10


X11= 7-9-9=-11 X31= 9 -10-9=-10 X41= 0-0-9=-9

X13= 9-9-10=-10 X33= 10 -10-10=-10X43= 0-0-10=-10


X31= 9 -10-9=-10 X41= 0-0-9=-9

X33= 10 -10-10=-10X43= 0-0-10=-10

SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL POR MÉTODO DE RUSSELL1 2 3 4 OFERTA

1 7 9 9 6

30060 240

2 6 10 12 8 100

100

3 9 8 10 14

500140 240 120

4 0 0 0 0

160 160

DEMANDA 200 240 280 340

SOLUCIÓN OPTIMA POR MULTIPLICADORES1 2 3 4 OFERTA

1(-) 7 9 9 (+) 6 300

U1= -260 240

3 1

26 10 12 (-) 8 100

U2= 0 100-3 2 2

3 9 8 10 14 500

U3= 0140 240 120 6

4 0 0 0 0 160 U4= -

10 160 1 2 2

DEMANDA 200 240 280 340V1= 9 V2= 8 V3= 10 V4= 8

Cij=Ui + Vj Cij=Cij - Ui - Vi

7=U1 + V1 8=U3 + V2 C12=9-(-2)-8=3 C23=12-0-10=2 C44=0-(-10)-8=2

6=U1 + V4 10=U3 + V3

C13=9-(-2)-10=1 C34=14-0-8=6

8=U2 + V4 0=U4 + V3 C21=6-0-9=-3 C41=0-(-10)-9=19=U3 + V1 C22=10-0-8=2 C42=0-(-10)-8=2


1 2 3 4 OFERTA

1 7 9 9 6

300 U1= -5 3003 6 4

2 6 10 12 8

100 U2= -360 40 5 5

3 9 8 10 14

500 U3= 0140 240 120 3

4 0 0 0 0

160 U4= -10 160 1 2 2

DEMANDA 200 240 280 340V1= 9 V2= 8 V3= 10 V4= 11


6=U2 + V1 8=U3 + V2 C11=7-(-5)-9=3 C23=12-(-3)-10=5 C44=0-(-10)-8=26=U1 + V4 10=U3 + V3 C12=9-(-5)-8=6 C34=14-0-11=38=U2 + V4 0=U4 + V3 C13=9-(-5)-10=4 C41=0-(-10)-9=19=U3 + V1 C22=10-(-3)-8=5 C42=0-(-10)-8=2 SOLUCIÓN OPTIMA

Z= 300X6 + 60X6 + 40X8 + 140X9 + 240*8 + 120X10 + 160X0 Z=6860

SOLUCIÓN

X14= 300 → Distribuir 300 de la Planta A al depósito 4 con un costo de $1800

X21= 60 → Distribuir 60 de la Planta B al depósito 1 con un costo de $360

X14= 40 → Distribuir 40 de la Planta B al depósito 4 con un costo de $320

X21= 140 → Distribuir 140 de la Planta C al depósito 1 con un costo de $1260



SOLUCION CON MPL

{APLICACION 1}

TITLEAplicacion_1

DATAOferta1 := 300;Oferta2 := 100;Oferta3 := 500;Oferta4 := 160;

Demand1 := 200;Demand2 := 240;Demand3 := 280;Demand4 := 340;CE11 := 7;CE12 := 9;CE13 := 9;CE14 := 6;CE21 := 6;CE22 := 10;CE23 := 12;CE24 := 8;CE31 := 9;CE32 := 8;CE33 := 10;CE34 := 14;CE41 := 0;CE42 := 0;CE43 := 0;CE44 := 0;

MODELMIN Z = CE11 X11 + CE12 X12 + CE13 X13 + CE14 X14 + CE21 X21

+ CE22 X22 + CE23 X23 + CE24 X24 + CE31 X31 + CE32 X32 + CE33 X33 + CE34 X34 + CE41 X41 + CE42 X42 + CE43 X43 + CE44 X44;

SUBJECT TOX11 + X12 + X13 + X14 = Oferta1;X21 + X22 + X23 + X24 = Oferta2;X31 + X32 + X33 + X34 = Oferta3;X41 + X42 + X43 + X44 = Oferta4;

X11 + X21 + X31 + X41 = Demand1;X12 + X22 + X32 + X42 = Demand2;X13 + X23 + X33 + X43 = Demand3;X14 + X24 + X34 + X44 = Demand4;Oferta1 + Oferta2 + Oferta3 + Oferta4 = Demand1 + Demand2 +

Demand3 + Demand4;X11 >= 0;X12 >= 0;X13 >= 0;X14 >= 0;X21 >= 0;X22 >= 0;X23 >= 0;X24 >= 0;X31 >= 0;X32 >= 0;X33 >= 0;X34 >= 0;X41 >= 0;X42 >= 0;X43 >= 0;X44 >= 0;

END

Y el archivo Solución es el siguiente:

MODEL STATISTICS

Problem name: Aplicacion_1Filename: aplicacion1.mplDate: June 24, 2009Time: 23:36Parsing time: 0.12 secSolver name: CPLEX (11.2.1)Objective value: 6820.00000000Iterations: 1Solution time: 0.02 secResult code: 1Constraints: 24Variables: 16Nonzeros: 48Density: 13 %

SOLUTION RESULT


DECISION VARIABLES

PLAIN VARIABLES

Variable Name Activity Reduced Cost ------------------------------------------------------ X11 0.0000 0.0000 X12 0.0000 0.0000 X13 0.0000 0.0000 X14 300.0000 0.0000 X21 100.0000 0.0000 X22 0.0000 0.0000 X23 0.0000 0.0000 X24 0.0000 0.0000 X31 100.0000 0.0000 X32 240.0000 0.0000 X33 160.0000 0.0000 X34 0.0000 0.0000 X41 0.0000 0.0000 X42 0.0000 0.0000 X43 120.0000 0.0000 X44 40.0000 0.0000 ------------------------------------------------------


Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de [kWh] respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] depende de la distancia que deba recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envió unitario desde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programación lineal que permita minimizar los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.

SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL MÉTODO DE RUSSELLITERACIONES

1 2 3 4 OFERTA1 2 3 4

1

8 6 10 9 35/25 U1= 10 10 10 10 10 25

2 9 12 13 7

50/5 U2= 13 13 13 1345 5

3 14 9 16 5

40/10/0 U3= 16 16 N/A N/A10 30

DEMANDA 45/0 20/0 30 30/0V1= V2= V3= V4=

ITER

ACIO

NES 1 14 12 16 9

2 14 12 16 N/A

3 9 12 13 N/A

4 9 N/A 13 N/A


X11= 8-10-14=-16 X21= 9 - 13 -14 = -18 X31= 14 -16-14=-16X12= 6 -10 -12 = -16 X22= 12 - 13 -12= -13 X32= 9-16-12=-19X13= 10 - 10 - 16 = -16 X23= 13 - 13 - 16 = -16 X33= 16-16-16=-16X14= 9 - 10 - 9 = -10 X24= 7 - 13 - 9 = -15 X34= 5-16-9=-20ITERACIÓN 2: Xij= Cij - Ui - Vj

X11= 8-10-14=-16 X21= 9 - 13 -14 = -18 X31= 14 -16-14=-16X12= 6 -10 -12 = -16 X22= 12 - 13 -12= -13 X32= 9-16-12=-19X13= 10 - 10 - 16 = -16 X23= 13 - 13 - 16 = -16 X33= 16-16-16=-16


X11= 8-10-9=-11 X21= 9 - 13 -9 = -13X12= 6 -10 -12 = -16 X22= 12 - 13 -12= -13X13= 10 - 10 - 13 = -13 X23= 13 - 13 - 13 = -13ITERACIÓN 4: Xij= Cij - Ui - Vj

X11= 8-10-9=-11 X21= 9 - 13 -9 = -13

X13= 10 - 10 - 13 = -13 X23= 13 - 13 - 13 = -13

SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL MÉTODO DE RUSSELL1 2 3 4 OFERTA

1 8 6 10 9

35 10 25

2 9 12 13 7

5045 5

3 14 9 16 5

40 10 30

DEMANDA 45 20 30 30

SOLUCIÓN POR MULTIPLICADORES1 2 3 4 OFERTA

1 8 6 10 9

35 U1= 0 10 25 2 8

2 9 12 13 7

50 U2= 3 45 5 3 3

3 14 9 16 5

40 U3= 4 10 304 2

DEMANDA 45 20 30 30

V1= 6 V2= 6 V3= 10V4= 1


6=U1 + V2 10=U3 + V2 C11=8-0-6=2 C31=14-4-6=410=U1 + V3 5=U3 + V4 C14=9-0-1=8 C33=16-4-10=29=U2 + V1 C22=12-3-6=3 13=U2 + V3 C24=7-3-1=3

Z= 10*6 + 25*10 + 45*9 + 13*5 + 10*9 + 16*9 Z = 1020

SOLUCIÓN

X12= 10 → Enviar 10x106 [kWh] de la Planta 1 a la Ciudad 2






SOLUCION CON MPL

{APLICACION 1}

TITLEAplicacion_1

DATAOferta1 := 35;Oferta2 := 50;Oferta3 := 40;

Demand1 := 45;Demand2 := 20;Demand3 := 30;Demand4 := 30;CE11 := 8;CE12 := 6;CE13 := 10;CE14 := 9;CE21 := 9;CE22 := 12;CE23 := 13;CE24 := 7;CE31 := 14;CE32 := 9;CE33 := 16;CE34 := 5;


CE22 X22 + CE23 X23 + CE24 X24 + CE31 X31 + CE32 X32 + CE33 X33 + CE34 X34;

SUBJECT TOX11 + X12 + X13 + X14 = Oferta1;X21 + X22 + X23 + X24 = Oferta2;X31 + X32 + X33 + X34 = Oferta3;X11 + X21 + X31 + X41 = Demand1;X12 + X22 + X32 + X42 = Demand2;X13 + X23 + X33 + X43 = Demand3;X14 + X24 + X34 + X44 = Demand4;

Oferta1 + Oferta2 + Oferta3 = Demand1 + Demand2 + Demand3 + Demand4;

X11 >= 0;X12 >= 0;X13 >= 0;X14 >= 0;X21 >= 0;X22 >= 0;X23 >= 0;X24 >= 0;X31 >= 0;X32 >= 0;X33 >= 0;X34 >= 0;

END


MODEL STATISTICS


SOLUTION RESULT


DECISION VARIABLES

PLAIN VARIABLES

Variable Name Activity Reduced Cost ------------------------------------------------------

X11 0.0000 0.0000 X12 10.0000 0.0000 X13 25.0000 0.0000 X14 0.0000 0.0000 X21 45.0000 0.0000 X22 0.0000 0.0000 X23 5.0000 0.0000 X24 0.0000 0.0000 X31 0.0000 0.0000 X32 10.0000 0.0000 X33 0.0000 0.0000 X34 30.0000 0.0000 X41 0.0000 0.0000 X42 0.0000 0.0000 X43 0.0000 0.0000 X44 0.0000 0.0000 ------------------------------------------------------


El problema a resolver consiste en encontrar el número optimo de lotes de bicicletas que

cada distribuidor debe de suplir a cada uno de los comerciantes, de tal manera que se

minimice la distancia total recorrida entre distribuidores y comerciantes.

DISTRIBUIDORESCOMERCIANTES

DISPONIBILIDAD1 2 31 2 5 6 352 5 10 7 553 9 6 4 20

DEMANDA EN LOTES DE BIC. 30 45 35 110

OLUCIÓN BÁSICA INICIAL MÉTODO DE RUSSELL ITERACIONES

1 2 3OFERTA 1 2 3

1 2 5 635/0 U

1= 6 6 N/A

35

2 5 10

7 55/25/15

U2=

10

10

10

30 10 15

3 9 6 420 U

3= 9 6 6

20

DEMANDA 30/0 45/10/0

35/25/0 110

V1= V2= V3=

ITER

ACIO

NES 1 9 10 7

2 N/A 10 7

3 N/A 10 7ITERACIÓN 1: Xij= Cij - Ui - Vj

X11=2-6-9=-13 X21=5-10-9=-14 X31=9-9-9=-9X12=5-6-10=-11 X22=10-10-10=-10 X32=6-9-10=-13X13=6-6-7=-7 X23=7-10-7=-10 X33=4-9-7=-12


X12=5-6-10=-11 X22=10-10-10=-10 X32=6-6-10=-10X13=6-6-7=-7 X23=7-10-7=-10 X33=4-6-7=-9


X22=10-10-10=-10 X32=6-6-10=-10X23=7-10-7=-10 X33=4-6-7=-9

SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL MÉTODO DE RUSSELL1 2 3 OFERTA

1 2 5 635

35 2 5 10 7

55 30 10 153 9 6 4

20 20

DEMANDA 30 45 35 110

SOLUCIÓN POR MULTIPLICADORES1 2 3 OFERTA

1 2 5 635 U1= -5 35

2 5

(-)10 (+) 7

55 U2= 0 30 10 15 3 9 (+) 6 (-) 4

20 U3= -3 20

DEMANDA 30 45 35 110V1= 5 V2= 10 V3= 7


5=U1+V2 7=U2+V3 X11=2-(-5)-5=2 X32=6-(-3)-10=-1 5=U2+V1 4=U3+V3 X13=6-(-5)-7=4 10=U2+V2 X31=9-(-3)-5=7


1 2 3 OFERTA1 2 5 6

35 U1= -4 35 1 1 2 5 10 7

55 U2= 0 30 25 1 3 9 6 4

20 U3=-3 10 10 7

DEMANDA 30 45 35 110V1= 5 V2= 9 V3= 7


5=U1+V2 6=U3+V2 X11=2-(-4)-5=1 X31=9-(-3)-5=75=U2+V1 4=U3+V3 X13=6-(-4)-9=1 7=U2+V3 X22=10-0-9=1

Z= 5*35 + 30*5 + 25*7 + 10*6 + 10*4Z = 600

SOLUCIÓN

X12= 35 → El distribuidor 1 debe proveer 35 lotes de bicicletas al comerciante 2





DISTANCIA TOTAL; 600

SOLUCION CON MPL

{APLICACION 3}

TITLEAplicacion_3

DATAOferta1 := 35;Oferta2 := 55;Oferta3 := 20;

Demand1 := 30;Demand2 := 45;Demand3 := 35;CE11 := 2;CE12 := 5;CE13 := 6;CE21 := 5;CE22 := 10;CE23 := 7;CE31 := 9;CE32 := 6;CE33 := 4;


CE23 X23 + CE31 X31 + CE32 X32 + CE33 X33;

SUBJECT TOX11 + X12 + X13 = Oferta1;X21 + X22 + X23 = Oferta2;X31 + X32 + X33 = Oferta3;X11 + X21 + X31 = Demand1;X12 + X22 + X32 = Demand2;X13 + X23 + X33 = Demand3;Oferta1 + Oferta2 + Oferta3 = Demand1 + Demand2 + Demand3;X11 >= 0;X12 >= 0;X13 >= 0;X21 >= 0;X22 >= 0;X23 >= 0;X31 >= 0;X32 >= 0;X33 >= 0;

END


MODEL STATISTICS


SOLUTION RESULT


DECISION VARIABLES

PLAIN VARIABLES

Variable Name Activity Reduced Cost ------------------------------------------------------ X11 0.0000 0.0000 X12 35.0000 0.0000 X13 0.0000 0.0000 X21 30.0000 0.0000 X22 0.0000 0.0000 X23 25.0000 0.0000 X31 0.0000 0.0000 X32 10.0000 0.0000 X33 10.0000 0.0000 ------------------------------------------------------

V. Conclusiones

Para el modelado de un problema del tipo transporte en MPL es

necesario tener una visión de cuantas variables de demanda y

oferta se deberán declarar y además de que sus sumatoria sea

la misma cantidad.

MPL es una herramienta – software que permite la eficiencia en

la solución de problemas de optimización y gracias a sus Solvers

compatibles puede resolver modelos de muchas variables

acomodándose y adaptándose a la inmensa cantidad de

problemas de negocios que existen en la actualidad.

El Modelo de aproximación de Russell para problemas de

transporte permite obtener una solución inicial básica que,

puede minimizar el número de iteraciones para su solución

mediante multiplicadores y a veces puede llegar a ser una

solución óptima.

VI. Recomendaciones

Al definir variables como el costo de envió desde un origen

hasta un destino, es necesario el uso de nombres adecuados

tales como su símbolo y un numero que indique el origen y el

destino del mismo (es recomendable también usarlo lo anterior

para las variables de distribución o transportación de

productos).

VII. Bibliografía.

“Modelo de transporte”, Universidad Arturo Prat, Guía del

Departamento de Ingeniería Industrial.

[1] T. Coleman, M. A. Branch, and A. Grace. Optimization Toolbox

User Guide. Math-Works Inc., 1999.

[2] Rios Insua S. et al. Programación Lineal y Aplicaciones. Ra-

Ma Textos Universitarios, Madrid, 1997.

[3] Hillier F.S. and Lieberman G.J. Introducción a la Investigaci

ón de Operaciones. McGraw-Hill, Mexico, 1991.

[4] C.R. Houck, J.A. Joines, and M.G. Kay. A genetic algorithm for

function optimizatio: A matlab implementation, 1996.

[5] Prawda J. Métodos y Modelos de Investigación Operativa.

Ed. Limusa, Mexico, 1987.

http://www.maximalsoftware.com

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tarea final mop115

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