tarea 2 final

ME711-otoo 2015 Transferencia de Calor y Masa

Tarea 2

Gabriel Cortes, Valbort Hernndez, Nicols Miranda.

P1.- Transferencia de calor y masa simultneos: Poza solar.

El problema se plantea segn las siguientes condiciones: Existen 3 capas de agua en la poza:

Convectiva Superior, con bajo contenido de sales, aproximable a 0% en peso y 0,7 m de espesor y T=25C.

No convectiva Intermedia, con 1,1 m de espesor y con gradiente de salinidad que establece un gradiente de densidad que impide la conveccin natural trmica. Es una zona de reposo del fluido, por lo cual se establecen perfiles lineales de temperatura y salinidad.

Convectiva Inferior, con alto contenido de sales (25% en peso y 1,3 m de espesor, y T=90C).

La densidad aumenta con la concentracin de sales, por lo tanto el calor recibido en las capas

inferiores no puede ser liberado a la superficie por conveccin natural trmica.

Adems se considera que la capa inferior tiene una inercia trmica alta con respecto a las otras

por lo que no pierde su temperatura de 90C.

Para resolver este problema se utiliz el software Comsol, realizando un modelo en 1 dimensin

dada la simetra del problema.

El primer paso fue establecer un modelo dependiente del tiempo de una dimensin, con

transferencia de calor y transporte de una especie diluida (sal), luego se procede a realizar la

geometra del problema como un elemento de lnea con un largo equivalente a la zona no

convectiva intermedia [ ]. Posteriormente se establecen las propiedades del fluido

(agua) utilizando la librera de materiales incluida en el software.

Para la transferencia de calor se considera la ecuacin, condicin inicial y condiciones de borde:

( )


( ) [ ] [

]

( )

( ) [ ]

Para la transferencia de masa se considera la ecuacin, condicin inicial y condiciones de borde:

( )

( ) [

]

( ) [

]

Para el clculo de la concentracin en el extremo se consideraron las siguientes constantes

( ) [

]

( ) [

]

Se establece el elemento de malla fino, controlado por el software, entregando 28 nodos y 27

elementos equiespaciados en el dominio.

Finalmente se procede a buscar la solucin desde [ ], hasta dos tiempos finales [ ]

y [ ], con dos espacios de tiempo respectivamente

[ ] y [ ], con el

fin de mostrar la convergencia de ambos transportes.

Los resultados obtenidos se puede observar en las figuras 1, 2, 3 y 4.


Figura 1: Temperatura en funcin de la distancia para distintos tiempos ( ).

Figura 2: Concentracin en funcin de la distancia para distintos tiempos ( ).


Figura 3: Temperatura en funcin de la distancia para distintos tiempos ( )..

Figura 4: Concentracin en funcin de la distancia para distintos tiempos ( ).

ME711-otoo 2015 Transferencia de Calor y Masa En las figuras 1 y 3 podemos observar como aumenta la temperatura al avanzar el tiempo, en la

figura 1 se ilustra de manera ms suave el aumento de temperatura, esto se debe a que el tiempo

final de iteracin es levemente superior al tiempo necesario para homogenizar completamente la

temperatura, por el otro lado la figura 3 muestra una convergencia rpida porque el paso de

tiempo utilizado es mayor, en ambas figuras el inicio es con una distribucin lineal de la

temperatura.

En las figuras 2 y 4 podemos observar como aumenta la concentracin al avanzar el tiempo, en la

figura 2 se observa un aumento de la concentracin, pero no alcanza a homogenizarse porque el

tiempo final de iteracin es menor al tiempo necesario para homogenizar completamente la

concentracin, por el otro lado en la figura 4 se observa que se homogeniza de manera completa

la concentracin, en ambas figuras el inicio es con una distribucin lineal de la concentracin.

Se observa que ambas transferencias se comportan de la misma manera, slo se diferencian por

los tiempos caractersticos de cada uno de los fenmenos. Esta situacin se debe a la similitud que

poseen las ecuaciones de transferencia de calor y transferencia de masa, donde la diferencia se

produce por el valor de sus propiedades, conduccin de calor en el agua y difusin de sal en agua.

Los tiempos necesarios para homogenizar completamente la mezcla fueron estimados en:

[ ]

[ ]

Es importante mencionar que los tiempos estimados son una aproximacin que puede ser

bastante diferente a la realidad, porque para su solucin se hicieron aproximaciones y no fue

considerado el efecto de la conveccin.


P2.- Intercambiador subterrneo de un solo tubo. Conduccin

unidireccional transciente.

El problema se plantea segn las siguientes condiciones:

Se quiere extraer calor de un recinto hacia el suelo que est a menor temperatura.

Suponemos que un tubo de 20 cm de dimetro exterior est enterrado horizontalmente

en un suelo de propiedades conocidas, (k=1,0 W/m K, Cp=1840 J/Kg K, densidad: 2500

kg/m3), inicialmente a 288 K y su temperatura superficial es 298 K.

El primer paso fue establecer un modelo dependiente del tiempo de 1 dimensin con simetra

axial, y con transferencia de calor, luego se procede a realizar la geometra del problema como un

elemento de lnea con un largo equivalente al elegido como regin de anlisis (se parte con un

valor radial exageradamente grande para no interferir el anlisis fsico) que parte no desde el

origen de la geometra equiaxial, sino que desde la posicin [ ] para simular el tubo

enterrado en la tierra. Posteriormente se establecen las propiedades de la tierra de manera

manual utilizando las constantes entregadas en el enunciado.

Cabe mencionar que la geometra global escogida fue circular para evitar problemas con los

elementos definidos en la malla.

Las condiciones utilizadas son:

Temperatura de pared del tubo como condicin de borde [ ]

Temperatura de la tierra como condicin inicial [ ]

Tiempo de simulacin [ ]

Con esto se obtienen los resultados mostrados en las figuras 5, 6, 7 y 8.

Una vez obtenidos los resultados, se estudia cual es la regin de anlisis suficiente y necesaria para

obtener los resultados, sin incurrir en gastos computacional innecesarios.


Figura 5: Flujo de calor desde el tubo hacia la tierra en funcin del tiempo

Figura 6: Temperatura en funcin del radio para distintos pasos de tiempo, vista general.


Figura 7: Temperatura en funcin del radio para distintos pasos de tiempo, acercamiento primeros paso.

Figura 8: Temperatura en funcin del radio para distintos pasos de tiempo, acercamiento lmite de la regin escogida.

ME711-otoo 2015 Transferencia de Calor y Masa En la figura 5 podemos observar los flujos de calor desde el tubo hacia la tierra en funcin del

tiempo, en donde se nota claramente como este disminuye primero rpidamente y luego se

atena. Esto puede explicarse por el delta de temperatura que existe entre el tubo y la tierra, que

parte siendo alto pero a medida que el tubo le entrega calor a la tierra esta diferencia va

disminuyendo buscando el equilibrio trmico, concluimos que el flujo de calor disminuye con el

tiempo, pero de manera logartmica, o sea, disminuye cada vez menos con el tiempo.

Las figuras 6, 7 y 8 representan la temperatura en funcin de la distancia de un punto en la tierra

hacia el tubo, este se expresa de manera radial por la geometra elegida en un principio para

modelar el problema, cada curva de distinto color grafica el paso del tiempo en el problema

estudiado. En la figura 6 podemos observar que a medida que pasa el tiempo la curva de

temperatura se hace menos drstica y muestra que la diferencia de temperatura entre el tubo y la

tierra es cada vez menor, justificando lo que ocurre en la figura 5. Por otro lado la figura 7 muestra

lo que ocurre con los primeros pasos del tiempo, en donde en particular al inicio existe una cada

abrupta de la temperatura. Finalmente la figura 8 muestra un acercamiento en el cual podemos

observar que a los [ ] de distancia ya no existe aumento de temperatura en la tierra para el

tiempo de estudio planteado, lo que justifica que el tamao de la regin de estudio es el

adecuado, sin embargo es probable que si se aumenta el tiempo de estudio esta regin tenga que

ser aumentada.


P3.- Arreglo de tubos enterrados. Espaciados recomendados e

interferencia entre tubos.

Este problema plantea que existe el mismo tubo del problema anterior pero formando parte de un

arreglo de cinco tubos iguales y paralelos, y las propiedades del medio son las de ese problema.

Los tubos estn espaciados por 1 metro (distancia entre centros).

El primer paso fue establecer un modelo dependiente del tiempo de dos dimensiones, con

transferencia de calor, luego se procede a realizar la geometra del problema como un crculo muy

grande, que representa la regin de la tierra a analizar y en el centro de esta se dibuja el arreglo

de cinco tubos definido anteriormente. Utilizando la herramienta diferencia del software se

identifica como espacio vaco el interior de cada tubo en el arreglo. Posteriormente se

establecen las propiedades de la tierra de manera manual utilizando las constantes entregadas en

el enunciado.

Las condiciones utilizadas son:

Temperatura de pared del tubo como condicin de borde [ ].

Temperatura de la tierra como condicin inicial [ ].

Con esto se realiza una simulacin considerando desde [ ], hasta t [ ] con el espacio

de tiempo [ ] y se obtienen los resultados mostrados en las figuras 9, 10, 11 y 12.


Figura 9: Isotermas en el dominio completo.

Figura 10: acercamiento de Isotermas en zona cercana a los tubos.


Figura 11: Flujo de calor normal total en tres de los cinco tubos en funcin del tiempo.

Figura 12: Flujo de calor normal total en tres de los cinco tubos en un tiempo [ ].

ME711-otoo 2015 Transferencia de Calor y Masa En las figura 9 se encuentran las isotermas sobre todo el dominio, podemos observar que la

temperatura alejada de los tubos no vara, por lo tanto validamos que los bordes del dominio no

afectan el resultado de la simulacin.

En la figura 10 tenemos un acercamiento de las isotermas en una zona cercana a los tubos

podemos observar que en los tubos de los extremos hay una isoterma rodendolos, en cambio en

los cilindros del centro la isoterma rodea a los tres tubos, esto significa que los tubos del centro se

producen interferencia entre ellos, al menos de manera ms importante que los tubos de los

extremos (todos los tubos se generan interferencia entre ellos). Adems podemos observar que

las isotermas se encuentran ms juntas en los tubos de los extremos, y ms separadas en los tubos

del centro, esto genera que exista un mayor gradiente de temperatura en los tubos de los

extremos, en otras palabras para observar una temperatura especfica los tubos del centro

requieren una distancia mayor que la que requieren los tubos de los extremos, donde el tubo ms

perjudicado es el que se encuentra en el centro.

En la figura 11 tenemos el flujo de calor normal que hay en la superficie de los tubos, donde el

color azul representa al primer tubo en el extremo izquierdo, el color negro representa al tubo que

est inmediatamente al lado del anterior y el color rojo al tubo que est en el centro, se omiten los

dos tubos restantes ya que el problema es simtrico y estos pueden ser representados por los

tubos antes mencionados. Podemos observar en esta figura que el flujo de calor entregado por los

tubos decrece en funcin del tiempo, esto ocurre porque al inicio el gradiente de temperatura era

importante en la zona cercana a cada uno de los tubos y al ir ocurriendo una transferencia de calor

el gradiente de temperatura disminuye y por lo tanto baja la transferencia de calor.

En la figura 12 tenemos un acercamiento de lo que ocurre en los ltimos tiempos de la simulacin

con el flujo de calor normal total en los distintos tubos. Debido a como se construye la simulacin,

los flujo aparecen con signo negativo donde la magnitud representa el flujo de calor neto

entregado por el tubo hacia el medio. En esta figura se observan dos puntos por cada uno de los

tubos, el punto superior seala el flujo mnimo entregado por una de los lados del tubo y el punto

inferior seala el flujo mximo entregado por uno de los lados del tubo. Podemos notar una clara

diferencia entre los flujos entregados por los tubos, donde el tubo del extremo (de color azul) es el

que tiene un mayor flujo de calor, y el tubo del centro (de color rojo) es el que tiene un menor

flujo de calor, este efecto ocurre porque los tubos se generan una interferencia entre ellos, ya que

aumentan la temperatura de la zona cercana, donde el tubo del centro es el ms perjudicado y el

tubo del extremo el menos perjudicado.


P4.- Evaporacin desde una poza de agua

Tasa de evaporacin desde una superficie de agua con flujo de aire: considerar una poza de

agua de ancho [ ] y largo sobre la cual incide aire en forma paralela a la superficie con

una velocidad de [ ]. Se considera el problema como bidimensional.

Todo el sistema est a [ ]. Considerando una humedad relativa de aire dada, evale la

tasa de evaporacin desde la superficie del agua, considerada como un cuerpo rgido (lo cual

es una simplificacin). Considere vlida la analoga de transferencia de calor y masa, lo que

permite aplicar correlaciones de transferencia de calor para predecir la transferencia de

masa.

Se indican las tasas de evaporacin totales para los siguientes casos:

L, [m] HR, % HR, % HR, % 0,5 30 50 70 2 30 50 70

Primero, como la velocidad es constante en direccin del largo de la poza de agua, el problema

puede verse como 1D donde no importa el ancho de sta. Con esta consideracin, la solucin

contina as:

Analoga entre la transferencia de calor y la de masa:

Tabla 1: Analoga

Transferencia de Calor Transferencia de Masa

Ecuacin 1: Numero de Reynolds

Dada la ecuacin 1 y sabiendo que:


Tabla 2: Propiedades del flujo de aire

V 1 m/s

1.177 Kg/m3

L 0.5 23 m

1.85x10-5

Kg/(ms)

Dagua-aire 2.5x10-5

m2/s

El nmero de Reynolds es: Re = 31810,81 (caso 1 L=0.5 [m])

Re = 127243,24 (caso 2 L=2[m])

El nmero de Schmidt es: Sc = 0,62871708 (Para todos los casos)

Se sabe que el nmero de Nusselt en flujo paralelo laminar externo a una placa plana de

temperatura superficial constante es:

Se puede aseverar que esta correlacin es aplicable ya que en problemas aeronuticos (flujo de

aire incidiendo sobre placas planas) el Re se considera laminar para Re < 5*105.

Por lo tanto como el anlogo a Pr es Sc y este es menor a 1, se puede realizar la analoga a

transferencia de masa:

Sh = 101,455096 (caso 1)

Sh = 202,910193 (caso 2)

Luego como

, se puede obtener Km para ambos casos:

Km = 0,00507275 [m/s] (caso 1)

Km = 0,00253638 [m/s] (caso 2)

Finalmente la tasa de transferencia de masa es anloga a la de transferencia de calor:

( )

Ecuacin 2: Transferencia de masa


Sabemos que la humedad relativa se escribe:

( )

Ecuacin 3: Humedad relativa

Y como en la superficie existe agua lquida, significa que estamos en zona de condensado, por lo

que HR=100% en la superficie. Esto implica que la presin absoluta en la superficie es la presin de

saturacin a 20C.

Luego, utilizando la ecuacin 3 se puede obtener la presin absoluta del medio para cada

humedad relativa:

Tabla 3: Presiones absolutas del medio

Pa (HR=30%) 701,7 Pa

Pa (HR=50%) 1169,5 Pa

Pa (HR=70%) 1637,3 Pa

Pa (HR=100%) o Psat 2339 Pa

Asumiendo que el vapor de agua es un gas ideal, se puede aseverar que:

Ecuacin 3: Ley de gas ideal

Por definicin de humedad relativa, se sabe que es el cociente entre la presin absoluta y la

presin de saturacin. Utilizando la ecuacin 3 se puede concluir que la HR tambin es el cociente

entre la densidad del medio (medio) y la densidad de la superficie (superficie), ya que R, T y M son

constantes:

Ecuacin 4: Nueva formulacin de humedad relativa

Finalmente la ecuacin 2 puede reescribirse como:


( )

(

)

( )

Ecuacin 5: Nueva formulacin de transferencia de masa

Adems la densidad de la superficie segn la ecuacin 3 es:

Con: R=8.314 [J/mol K] constante de gases ideales

M=18x10-3 [kg/mol] masa molar del agua

T=293 [K] temperatura (20C)

superficie= 0,01728324 [kg/m3]

Finalmente la transferencia de masa es:

Tabla 4: Resumen de la transferencia de masa (n agua [kg/m2s])

HR [%] 0,5 [m] 2 [m]

30 6,13715E-05 3,06858E-05

50 4,38368E-05 2,19184E-05

70 2,63021E-05 1,31510E-05

Grafico 1: Representacin de la transferencia de masa.

Notemos que la transferencia de masa graficada es por unidad de rea.

0E+00

1E-05

2E-05

3E-05

4E-05

5E-05

6E-05

7E-05

000% 020% 040% 060% 080%

n [

Kg/

m2s]

HR

Representacin de la transferencia de masa

L=0,5 [m]

L=2 [m]

tarea 2 final

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