Tarea 3

Facultad de Ingeniería; Escuela de Ingeniería MecánicaMatemáticas Especiales; Ingeniería de Materiales

Universidad del Valle; Cali, Marzo de 2015

Jhonny Pastrana 1324919Camilo Silva 1227051Jefferson Murillo 1329774

Solución

1) Encuentre la matriz del tensor T que transforma cualquier vector a en un vector b ¿m(a ∙n) , donde :

m=√22

(e1+e2) Y n=√22

(−e1+e3)

Debido a que la trasformación se aplica a cualquier vector, con los vectores canónicos e1 ,e2 ,e3 puedo obtener todo el conjunto de la siguiente manera:

Para e1

a⃗ ∙ n⃗= (1,0,0 ) ∙(−√22

,0 , √22 )=−√2

2 Que al multiplicarlo por m⃗ se tiene:

−√22 (√22 ,0 , √2

2 )=(−12 ,−12,0)=T [e1 ]

Para e2:

a⃗ ∙ n⃗= (0,1,0 ) ∙ (−√22

,0 , √22 )=0, que al multiplicarlo por m⃗ se tiene:

0(√22 , √22,0)=(0,0,0 )=T [e2 ]

Para e3:

a⃗ ∙ n⃗= (0,0,1 ) ∙(−√22

,0 , √22 )=√2

2 Que al multiplicarlo por m⃗ se tiene:

√22 (√22 , √2

2,0)=( 12 , 12 ,0)=T [e3 ]

La matriz del tensor T es:

[T ]=[−12 012

−12

012

0 0 0]

2) muestre que : a) si T ij=−T ji , entonces T ijaia j=0

T 11a1a1+T12a1a2+T 13a1a3

T 21a2a1+T 22a2a2+T 23a2a3

T 31a3a1+T 32a3a2+T 33a3a3=3

Debido a que T ij=−T ji, su diagonal es cero, entonces igual a cero.

b) si T ij=−T ji y Sij=S ji entonces T ijS ij=0

T ijS ij=−T ji S ji=T mnSmn=−T ij S ij

T ijS ij=−T ijS ij

2T ij S ij=0

2≠0→T ijS ij=0

3) si definimos las siguientes matrices como:

T ij=12(Sij+S ji ) Y Rij=

12(S ij−S ji )

muestre que:

a) T ij=T ji b) Rij=−R ji c) Sij=T ij+R ij

a) T ij=12

(S ij+S ji )=12

(S ji+Sij )=T ji

b) Rij=12

(Sij+S ji)12

(−S ji+Sij )=−12

(S ji+S ij)=−R ji

c) T ij+Rij=12

(S ij+S ji)+12(S ij−S ji)

T ij+Rij=12

[ Sij+S ji+Sij−S ji ]

T ij+Rij=12

[2 Sij ]T ij+Rij=S ij

4) Encuentre los valores y vectores propios del siguiente tensor de esfuerzos:

[T ]=[ 25 −30 β−30 40 αβ α −10 ]

Los valores de α y β están dados de la siguiente forma: α= (suma de os últimos dígitos del código de cada estudiante) x10, si la suma es cero, toma el valor de 45β= (suma de los penúltimos dígitos de cada código de estudiante) x10, si la suma es cero, toma el valor de 35 α= (4+9+1) x10=140β= (1+5+7) x10=130

[T ]=[ 25 −30 130−30 40 140130 140 −10 ]

Se calcula el polinomio característico, el cual es igual a:

P [μ ]=[25−μ −30 130−30 40−μ 140130 140 −10−μ ]

Después de hacer operaciones matemáticas y simplificar se obtiene

P(μ)=μ3−55μ2−37400μ+2259000

5) Considere una rotación de coordenadas realizada sucesivamente alrededor de cada uno de los ejes coordenados en el orden siguiente: primero una rotación levógira

alrededor del eje X1 un ángulo de θx=30 °, luego alrededor del nuevo eje x ' 2 una rotación dextrógira de θ y=45 ° y finalmente otra rotación dextrógira alrededor del nuevo eje X ' ' 3 θ z=60 °. Determine la matriz resultante de las rotaciones y calcule las componentes del vector A (2,1,3) en el nuevo sistema de coordenadas

Movimiento Levógiro ángulo 30

T 1e1=e⃗1’

T 1e2=cos30 e⃗1 ’+sin 30 e⃗3 '

T 1e3=sin 30 e⃗1'+cos 30 e⃗2 ’

T 1=[1 0 0

0 √32

12

012

√32

]Movimiento dextrógiro ángulo 45ͦ

T 2e '1=cos 45 e⃗2’+sin 45 e⃗3 '

T 2e '2=e⃗2’

T 2e '3=−sin 45 e⃗1'+cos 45 e⃗2 ’

T 2=[ √22 0−√22

0 1 0√22

0 √22

]Movimiento dextrógiro ángulo 45ͦ

T 3e ' '1=cos 60 e⃗1 ’'−sin 60 e⃗2 '

T 3e ' '2=sin 60 e⃗1'+cos60 e⃗2’

T 3e ' '3= e⃗3 ’

T 3=[ 12 √32

0

√32

12

0

0 0 1]

T . V⃗=T 3(T 2 . T 1)

T 2 . T1=[ √22 0−√22

0 1 0√22

0 √22

] .[1 0 0

0 √32

12

012

√32

]=[√22

−√24

√64

0 √32

12

√22

√24

√64

]T 3 (T 2 .T 1 )=[ 12 √3

20

√32

12

0

0 0 1] .[

√22

−√24

√64

0 √32

12

√22

√24

√64

]=[ 0.3535 0.573 0.739−0.6123 0.7391 −0.28030.707 0.3535 −0.6123]

Teniendo la matriz de la transformada final, procederemos a multiplicarla por el vector V y obtener así las componentes de este.

[T ] . V⃗=T 3 (T 2 .T 1 ) .V⃗=[ 0.3535 0.573 0.739−0.6123 0.7391 −0.28030.707 0.3535 −0.6123] .(

213)

[T ] . V⃗=T 3 (T 2 .T 1 ) .V⃗=(3.497 i⃗ ,−1.325 j⃗ ,−0.063 k⃗ )