tarea 2 matematica iii
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Tarea de análisis matemático 3TRANSCRIPT
El Profesor
4.1) a) ∭D
❑
x y2 z2dxdydz
D sólido limitado por la superficie z=xy y los planos y=x, x=1, z=0
∭D
❑
x y2 z2dxdydz=∫0
1
∫0
x
∫0
xy
x y2 z2dzdydx=¿
13∫0
1
∫0
x
x y2 x3 y3dydx= 118
∫0
1
x4 y6dx= 1198
[ x11] 10= 1198
b) ∭D
❑
(1+x+ y+z )−3dxdydz
D sólido limitado por el plano x+y+z=1 y los planos coordenados.
∭D
❑
(1+x+ y+z )−3dxdydz=∫0
1
∫0
1− x
∫0
1− x− y
(1+x+ y+ z)−3dzdydx=¿
−12∫0
1
∫0
1−x
[ (1+x+ y+z )−2 ]1−x− y0
dydx=¿−12∫0
1
∫0
1−x
[ 14−(1+x+ y )−2]dydx=¿¿¿
−12∫0
1
[ 14 y+(1+x+ y )−1]1−x0 dx=−12∫0
1
[ 34− x4− 11+x ]dx=¿
¿−12 ( 34−1
4−ln 2)= ln22 − 5
16
c)∭D
❑
dxdydz
D sólido limitado por el plano z=x^2+y^2 , el plano x+y=1 y los planos coordenados.
∭D
❑
dxdydz=∫0
1
∫0
1−x
∫0
x2+ y2
dzdydx=∫0
1
∫0
1−x
(x2+ y2 )dydx=¿
∫0
1
[x2 (1−x )+ 13
(1−x )3]dx=[ x23 −
x4
4−(1−x )4
12 ]10=13−14+ 112
=16
4.2
a) ∭D
❑
xyz dxdydz
D= {( x , y , z)∈R3/x2+ y2+z2≤1 , x ≥0 , z ≥0 }
∭D
❑
xyz dxdydz=∫0
1
∫0
√1− x2
∫0
√1− x2− y2
xyzdzdydx=¿
¿ 12∫0
1
∫0
√1−x2
xy (1−x2− y2 )dydx=12∫0
1 [ (x−x3 ) (1−x2 )2
−x (1−x2 )2
4 ]dx=18∫01
(x−2 x3+ x5 )dx= 148
b) ∭D
❑
√ x2+ y2dxdydz
D= {( x , y , z)∈R3/x2+ y2≤z2 ,0≤ z≤1}
∭D
❑
√ x2+ y2dxdydz=∫−1
1
∫−√1−x2
√1− x2
∫√ x2+ y2
1
√ x2+ y2dzdydx=¿
¿4∫0
1
∫0
√1− x2
∫√x2+ y2
1
√ x2+ y2dzdydx=4∫0
1
∫0
√1− x2
(√ x2+ y2−(x2+ y2 ))dydx
Aplicando coordenadas polares:
x=rcosθ , y=rsenθ J (r ,θ )=r 0≤θ≤ π2;0≤r≤1
4∫0
π2
∫0
1
(r−r2)rdrdθ=2π [ r33 − r4
4 ]10=π64.3)
a) ∭D
❑
(x¿¿2+ y2)dxdydz ¿
D solido limitado por las superficies z=2 y x2+ y2=2 z
Aplicando coordenadas cilíndricas
x=rcosθ , y=rsenθ z=z J (r , θ , z )=r 0≤θ≤2π ;0≤ r ≤2 ; r2
2≤ z≤2
∭D
❑
(x¿¿2+ y2)dxdydz=∫0
2π
∫0
2
∫r2
2
2
r2 rdzdrdθ=2π∫0
2
r 2(2− r22 )dr=¿¿
¿2π [ r 42 − r6
12 ]20=16 π3
b) ∭D
❑
z dxdydz
D esfera de centro el origen y radio a.
x=rsen∅ cosθ , y=rsen∅ senθ z=rcos∅ J (r ,∅ , θ )=r 2 sen∅
0≤θ≤2 π; 0≤r ≤a ;0≤∅ ≤π
∭D
❑
z dxdydz=∫0
2 π
∫0
π
∫0
a
r2 cos∅ rsen∅ drd∅ dθ=∫0
2π
dθ∫0
π
c os∅ rsen∅ d∅∫0
a
r3dr=0
c) ∭D
❑
dxdydz
D solido limitado entre dos esferas concéntricas de radios respectivos a y b (b>a>0)
Aplicando coordenadas esfericas
x=rsen∅ cosθ , y=rsen∅ senθ z=rcos∅ J (r ,∅ , θ )=r 2 sen∅
0≤θ≤2 π; a≤r ≤b ;0≤∅ ≤π
∭D
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
π
∫a
b
r2 sen∅ drd∅ dθ=¿∫0
2π
dθ∫0
π
sen∅ d∅∫a
b
r2dr ¿
¿2π .2 . 13. (b3−a3 )=4 π
3(b3−a3 )
4.4) Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro x2+ y2=4 y los planos z=0, z=4.
x=rcosθ , y=rsenθ z=z J (r , θ , z )=r 0≤θ≤2π ;0≤r ≤2 ;0≤ z≤4
Volumen=∭D
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
2
∫0
4
rdzd r dθ=¿∫0
2π
dθ∫0
2
rdr∫0
4
dz=16 π ¿
4.5) Calcular el volumen del sólido limitado por el cilindro x2+ y2=1y los planos z=2-x,z=0
x=rcosθ , y=rsenθ z=z J (r , θ , z )=r 0≤θ≤2π ;0≤r ≤2 ;0≤ z≤4
Volumen=∭D
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
1
∫0
2−rcosθ
rdzd r dθ=¿∫0
2 π
∫0
2
r (2−rcosθ )drdθ=¿¿
∫0
2π
∫0
2
(2 r−r2 cosθ )drdθ=∫0
2π
(1−13 cosθ )dθ=[θ−13 senθ]2 π0 =2π
4.6
Aplicando coordenadas cilíndricas
x=rcosθ , y=senθ , z=z ;J (r ,θ , z )=r
0≤θ≤2 π; 0≤r ≤1;0≤ z≤2−r (cosθ+senθ )
Volumen=∭D
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
1
∫0
2−r (cosθ+senθ)
rdzdrd θ=¿
¿∫0
2π
∫0
1
[2 r−r2 (cosθ+senθ ) ]drdθ=∫0
2π
[1−13 [ (cosθ+senθ ) ]]dθ=2π
4.7
Aplicando coordenadas cilíndricas
x=rcosθ , y=senθ , z=z ;J (r ,θ , z )=r
0≤θ≤2 π; 0≤r ≤√ 32 ; 12 ≤ z≤2−r 2
Volumen=∭D
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
(32 )12
∫12
2−r2
rdzdrd θ=2π ∫12
(32 )12
r (2−r2−12 )dr=2 π [ 34 r2−14 r4 ](32 )
12
0
=98π
4.8
Z=x^2+y^2 ….(i)
X^2+y^2+z^2=2
Z+z^2=2 ==> x^2+y^2=1
Aplicando coordenadas cilindricas :
x=rcosθ , y=senθ , z=z ;J (r ,θ , z )=r
0≤θ≤2 π ; 0≤ r ≤1;12≤ z≤+√2−r 2
Volumen=∭D
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
1
∫r 2
√2−r2
rdzdrd θ
¿2π∫0
1
[r √2−r 2−r3 ]dr=2 π [−12 (2−r2 )32
32
− r4
4 ]10= (8√2−7 )6
π
4.9)
Aplicando coordenadas cilíndricas:
x=rcosθ , y=rsenθ, z=z ;J (r , θ , z )=r
0≤θ≤2 π; 0≤r ≤1;r2≤z ≤2−r
Volumen=∭D
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
1
∫r2
2−r
rdzdrd θ=2π∫0
1
r [2−r−r2 ] dr=56π
4.10
Aplicando coordenadas esféricas:
x=rsen∅ cosθ , y=rsen∅ senθ , z=zsen∅ ; J (r , θ , z )=r2 sen∅
0≤θ≤2 π; 0≤∅ ≤ π4;0≤r≤4
Volumen=∭D
❑
dxdydz=∫0
2π
∫0
π /4
∫0
4
r2 sen∅ drd∅ d θ=∫0
2π
dθ∫0
π /4
sen∅ d∅∫0
4
r2dr=64 (2−√2 )
3π