Estructuras Discretas IActividad N° 2

Rodny Moros

Autor: Rodny MorosC.I.: V-24.165.640

Funciones Proposicionales

Son las expresiones que se obtiene a partir de variables proposicionales: p., q, r. entre otras, mediante aplicaciones de los conectivos lógicos, se llaman formas proposicionales, esta se denotará con letras mayúsculas A, B, C,… en caso de que se quiera enfatizar las variables que intervienen en las funciones proposicionales se escribirá así: A(p, q); B(p1,p2,p3), etc.

Ejemplo

Son formas preposicionales las siguientes expresiones 1. A ( p ,q )= [ p→ ( q ) ] 2. B ( p ,q ,r )=p∧ (q∧r )

3. C ( p1 , p2 , p3 )=p1→ [ p2↔ ( p3∧ (∼ p1 )) ]

Para ser precisos, se define forma proposicional como una expresión que se obtiene siguiendo las siguientes reglas:

1. Todas las variables proposicionales son formas proposicionales. A estas las llamaremos formas proposicionales atómicas.

2. Si A y B son formas proposicionales, entonces también lo son:

∼ A , A∧B , A∨B , A∨B , A→B y A↔B

Signos de agrupación

Los signos de agrupación, paréntesis, corchetes, etc., son usados en la construcción de formas proposicionales para evitar las ambigüedades. Asi, los paréntesis permiten diferenciar las dos formas:

( p∨q )∧ r y p∨(q∧r )

Que tiene significaciones distintas. En ( p∨q )∧ r, la conectiva principal es ∧. En cambio, en la formap∨(q∧r ) la conectiva principal es ∨.

Se llama conectiva principal de un forma proposicional (no atómica) a la última conectiva que se usó para construir dicha forma proposicional. Así, en p→(q∧t ) la conectiva principal es →. En cambio, en ( p→q )∧ t es ∧ y en ∼( p↔q) es ∼.

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Con el objeto de aligerar la escritura, se adoptan las siguientes convenciones que permiten eliminar algunos signos de agrupación sin caer en ambigüedades.

Convención 1: asignamos el siguiente rango a cada conectiva ↔ Rango 4→ Rango 3∧ ,∨ ,∨Rango 2∼ Rango 1

Además, se establece que el rango de una forma proposicional atómica es 0 y que el rango de una forma proposicional no atómica es el rango de su conectiva principal.

Así, p∧(q↔r ) es de rango 2, ( p→q) es de rango 1 y , p↔(q∨r ) es de rango 4.

Convención 2: Se escribirá, ∼∼ p en lugar de , ∼(∼ p)

Convención 3: Si una forma proposicional es de la forma (A) α B, donde α representa a una de las conectivas ↔,→,∧ ,∨ó∨, y si el rango α es mayor que el rango de A, entonces se escribe AαB en lugar de (A) α B.

Similarmente, si se tiene A α (B) y el rango de α es mayor que B, entonces se escribe A α B en lugar de A α (B).

Ejemplo

a. ( p∧q )↔r se puede escribir así: p∧q↔rEn efecto, como el rango de ↔ es mayor que el de p∧q, los paréntesis pueden suprimirse.

b. ¿ puede escribirse así: p→ q En efecto, como el rango → es mayor que el de p y el de q , los dos juegos de paréntesis pueden ser suprimidos.

c. [ ( p∨q )∨t ]↔ [ ( p)∧ s] se puede escribir así: ( p∨q)∨t↔ p∧ sEn efecto, como el rango de ↔ es mayor que el rango de las preposiciones de ambos extremos, los dos pares de corchetes pueden ser eliminados.

Ejemplo

Colocar los signos de agrupación a la siguiente forma proposicional

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p→q↔ t∨ ( p∨ t)Solución

El conectivo de mayor rango es↔, entonces agrupamos del modo siguiente

[ p→q ]↔[ t∨ ( p∨t )]

Además, como el conectivo de mayor rango en t∨ (p∨t ),esta última expresión se agrupa así:

( t)∨( (p∨ t ))

Finalmente se tiene [ p→q ]↔[ ( t )∨ ( ( p∨t ) )]

Tabla de la Verdad de Formas Proposicionales

Como cada forma proposicional está definida únicamente mediante operaciones veritativas, el valor lógico de una forma proposicional depende únicamente de los valores lógicos que se asigne a sus variables proposicionales. Para el cálculo de este valor se usan las tablas de la verdad.

Ejemplo

Construir la tabla de la verdad de la proposición ( p∧ q)↔q

SoluciónExisten dos métodos: el acumulativo y el abreviado

Método Acumulativo

Se asigna una columna para cada variable proposicional y una columna para cada operación indicada, conservando el orden en que estas se llevaron a cabo.

En el caso ( p∧ q)↔q, la primera operación que se llevó a cabo fue la negación, siguió la disyunción y luego el bicondicional.

p q q p∧∼q ( p∧ q)↔q1 1 0 0 11 0 1 1 0

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0 1 0 0 00 0 1 1 0

El orden en que se asignan los valores lógicos a las variables proposicionales p y q es arbitrario. Sin embargo, conviene en mantener el orden en que aparecen en las dos primeras columnas.

Método Abreviado

Este es el método que más se usa, ya que permite ahorrar tiempo y espacio, como primer paso se escribe directamente la forma proposicional asignando inmediatamente valores lógicos a las variables proposicionales (nivel 1) y a las negaciones de éstas (nivel 2). Luego se asignan los valores a las conectivas conservando el orden en que éstas se usaron para construir la forma proposicional. Así:

p q ( p∧ q)↔q1 1 1 0 11 0 1 1 00 1 0 0 00 0 1 1 01 1 3 2 4

Tautologías y Contradicciones

Tautología: es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales. En otras palabras, una forma proposicional es una tautología si en su tabla de verdad, la columna bajo su conectiva principal está formada solo por “unos”.

Contradicción: es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales, o sea, si la columna bajo su conectiva principal está formada solo por “ceros”.

Ejemplo

( p∧q)→p es una tautología. En efecto: p q ( p∧q)→p1 1 1 11 0 0 10 1 0 1

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0 0 0 11 1 2 3

Es claro que ¿ ], por ser la negación de la tautología anterior, es una contradicción.

Ejemplo

p∨∼ p , es una tautología y p∧∼ p es una contradicción

p ∼ p p∨∼ p1 0 10 1 1

p ∼ p p∧∼ p0 1 01 0 0

A las tautologías se les llama también leyes de la lógica.