Tarea 1

Fundamentos de

Procesos

Mineralúrgicos “Análisis y modelación de distribución de tamaños en material particulado”

Nombre: Fabian Rebolledo

Profesor: Aldo Casali

Fecha 06 de Abril 2015

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Resumen

El presente informe muestra lo desarrollado durante la tarea1 de Procesos Mineralúrgicos y

sus principales resultados.

En primer lugar se plantean los objetivos principales, tales como llegar a un modelo

confiable y presentar los resultados en tabla.

Luego se desarrolla el marco teórico en el cual se basan los cálculos durante el proceso de

obtención de resultados.

Se explican los conceptos claves y las fórmulas de los modelos R-R y G-S, y los errores.

Se muestran los resultados obtenidos los cuales demuestran principalmente que el modelo

que mejor se ajusta a los resultados de fracción bajo tamaño corresponde al G-S, todo esto

basado en el hecho de que según el método del error de ajuste se obtiene que R-R se le

asocia un error de ajuste de 3,839, mientras que a G-S se le asocia un error de ajuste de

1,191, así como el mínimo error de ajuste lo presenta G-S se toma la decisión de basarse en

este modelo y decir que es el que mejor se ajusta.

Así es que se logra en definitiva obtener resultados concretos de que modelos se ajustan

mejor a resultados obtenidos de análisis granulométricos y se logran internalizar conceptos

necesarios para el desarrollo del curso y de cursos más adelante.

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Índice

1. Introducción .................................................................................................................... 4

1.1 Objetivos .................................................................................................................. 4

1.1.1 Objetivos Generales .......................................................................................... 4

1.1.2 Objetivos específicos ........................................................................................ 4

2. Antecedentes ................................................................................................................... 5

3. Marco teórico .................................................................................................................. 6

3.1 Función fracción retenida fi(x) [%] .......................................................................... 6

3.2 Función distribución acumulada bajo tamaño Fu(x) [%] ........................................ 6

3.3 Distribución Gaudin-Schuhmann ............................................................................ 7

3.4 Distribución Rosin-Rammler ................................................................................... 7

3.5 Mínimos cuadrados .................................................................................................. 7

3.6 Solver ....................................................................................................................... 8

4. Resultados ....................................................................................................................... 9

5. Análisis de resultados ................................................................................................... 12

6. Conclusiones ................................................................................................................. 13

7. Referencias ................................................................................................................... 14

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Índice de ilustraciones

Ilustración 1"Tabla de porcentajes retenidos" ........................................................................ 5

Ilustración 2"Tabla de material acumulado y retenido" ......................................................... 9

Ilustración 3"Tabla de valores de coeficientes de modelos" ¡Error! Marcador no definido.

Ilustración 4"Tabla de aproximaciones de modelo" ............. ¡Error! Marcador no definido.

Ilustración 5"Tabla de coeficientes de correlación R^2"...................................................... 10

Ilustración 6”Grafico comparativa entre acumulado experimental y modelado" ................ 11

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1. Introducción

Granulometría se refiere al tamaño de las partículas presente en cualquier mezcla,

principalmente en el presente informe se refiere al tamaño de partícula o grano en muestras

de suelo o roca. Así se hace imperante en la minería entender, modelar y analizar las

distribuciones granulométricas de muestras de suelo, roca, muestras de procesos, etc., dado

que este análisis y modelamiento podrían significar aproximaciones a distribuciones de

grano en las cercanías físicas de la muestras, vale decir, se podría caracterizar la

distribución granulométrica de procesos en los cuales el tamaño del grano cobra gran

importancia para la liberación del mineral en etapas posteriores del proceso minero.

Para la modelación y caracterización de este material particulado existen diferentes

modelos que aproximan el tamaño y distribución de grano, estos modelos son el Rosin-

Rammler y Gaudin-Schuhmann, entre otro, con los cuales se trabajara en el informe y a lo

largo del curso. A estos modelos se la asocian errores, los cuales poseen cotas y en base a

estos se toman las decisiones. Previa modelación la muestra de material debería haber sido

pasada por tamices para así calcular los porcentajes retenidos y pasados en ellos.

Ante esto se plantean los principales objetivos del presente informe.

1.1 Objetivos

Los principales objetivos del informe se presentan a continuación.

1.1.1 Objetivos Generales

Lograr obtener un modelo apropiado para la distribución de tamaño entregada.

Completar la tabla asociada a la tarea.

Justificar de buena manera las decisiones y supuestos en el presente informe.

1.1.2 Objetivos específicos

Aprender y entender el funcionamiento de los modelos de distribución de tamaño.

Saber cómo funcionan las tablas de distribución granulométrica.

Representar gráficamente los resultados obtenidos.

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2. Antecedentes

Inicialmente se contaba con una tabla de porcentajes de mineral retenido en diferentes

tamices con los tamaños indicados en la ilustración 1.

Mineral retenido

Tamaño [m] Peso A [g] Peso B [g]

6300 0 0

4750 63,8 64,1 3350 62,2 62,5 2360 49,1 49,0 1700 47,9 46,4 1180 38,5 38,1 850 30,7 29,4 600 18,1 19,0 425 14,3 14,1 300 11,6 11,2 212 9,3 9,7 150 7,9 7,8 106 6,5 6,4 75 5,8 5,5 -75 18,4 17,8

Peso Inicial (g) 384,6 382,8

Ilustración 1"Tabla de porcentajes retenidos"

Como es posible ver en la ilustración 1 esta es la información proporcionada por el profesor

para el desarrollo del informe y tarea.

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3. Marco teórico

Para la realización de la tarea e informe es necesario tener claro conceptos claves para el

desarrollo de estos mismos.

Material particulado: Corresponde a material de diferentes tamaños, formas, densidad y

superficies a las cuales es posible asociarles distribuciones de tamaño para cuando tienen

un origen en común, este material es obtenido luego de etapas de reducción de tamaño.

Distribución de tamaño de grano: Se relaciona con cómo se distribuye el tamaño de

granos o partículas en muestras provenientes de diferentes procesos mineros.

3.1 Función fracción retenida fi(x) [%]

Corresponde a la fracción de material que queda retenida en algún tamiz. Se denota por la

siguiente fórmula:

𝑓𝑖(𝑥) =𝑚𝑛

∑ 𝑚𝑖

Dónde: fi Función de fracción retenida, mn masa en el tamiz n y ∑ 𝑚𝑖 suma total de las

masas en cada tamiz.

3.2 Función distribución acumulada bajo tamaño Fu(x) [%]

Corresponde a la fracción de material que pasa bajo el tamiz. Se denota por la siguiente

formula:

𝐹𝑢(𝑥) = ∑ 𝑓𝑘

𝑛

𝑘=𝑖+1

Dónde: fk Función de fracción retenida.

7

3.3 Distribución Gaudin-Schuhmann

Esta distribución de tamaño es la as utilizada, por su simpleza, para representa sistemas

particulados en el campo de la mineralurgia, la fórmula que la representa es la siguiente:

𝐹𝑢(𝑥) = (𝑥

𝐾)

𝑚

Dónde: x Tamaño de la partícula, K Módulo del tamaño (corresponde al tamaño máximo) y

m Módulo de la distribución (indicativo de la amplitud de la distribución, pendiente).

3.4 Distribución Rosin-Rammler

Esta distribución de tamaño sigue una línea recta en un gráfico del doble logaritmo del

inverso de Fo(x) versus el logaritmo del tamaño, la fórmula que la representa es la

siguiente:

𝐹𝑢(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥𝑝 [− (𝑥

𝑥𝑜)

𝑛

]

Dónde: x tamaño de partícula, xo tamaño característico con unidades de longitud (xo=d63,2)

y n módulo de la distribución (indicativo de la amplitud de la distribución, pendiente)

3.5 Mínimos cuadrados

Usado para validar modelos, se busca minimizar el error estándar de distribución de la

muestra, el cual tiene la siguiente forma:

�̂� = √∑ [𝐹𝑢𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑥𝑖) − 𝐹𝑢𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜(𝑥𝑖)]2𝑁

𝑖=1

𝑁 − 3

2

8

Y debido a que se desea encontrar la distribución de mínimo error, se deben resolver los

siguientes problemas de optimización:

Distribución Gaudin-Schuhmann:

𝑚í𝑛 �̂�𝐺−𝑆 ∀𝐾, 𝑚 > 0

Distribución Rosin-Rammler:

𝑚í𝑛 �̂�𝑅−𝑅 ∀𝑥0, 𝑛 > 0

3.6 Solver

Herramienta de optimización del programa Excel, que permite dar solución a problemas de

optimización cambiando ciertas variables y entregando restricciones a estas mismas, para el

caso particular de un análisis granulométrico se busca minimizar el error mediante restos

cuadrados, así se encuentra los valores optimizados de las variables asociadas a cada

modelo, en este caso sería K, m, n y xo.

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4. Resultados

Ante lo antes dicho y procesados los datos obtenidos y entregados se llegaron a los

siguientes resultados.

Mineral retenido

Tamaño Peso A Peso B Muestra

A

Muestra

B

Promedio Acumulado

Bajo tamaño

[µm] [g] [g] fi (%) fi (%) fi (%) Fu (%)

6300 - - 0,0 0,0 0,0 100,0

4750 63,8 64,1 16,6 16,8 16,7 83,3

3350 62,2 62,5 16,2 16,4 16,3 67,0

2360 49,1 49 12,8 12,9 12,8 54,2

1700 47,9 46,4 12,5 12,2 12,3 41,8

1180 38,5 38,1 10,0 10,0 10,0 31,8

850 30,7 29,4 8,0 7,7 7,9 24,0

600 18,1 19 4,7 5,0 4,9 19,1

425 14,3 14,1 3,7 3,7 3,7 15,4

300 11,6 11,2 3,0 2,9 3,0 12,4

212 9,3 9,7 2,4 2,5 2,5 9,9

150 7,9 7,8 2,1 2,0 2,1 7,9

106 6,5 6,4 1,7 1,7 1,7 6,2

75 5,8 5,5 1,5 1,4 1,5 4,7

0 18,4 17,8 4,8 4,7 4,7 0,0

Suma = 384,1 381 100,0 100,0 100,0

Peso Inicial (g) 384,6 382,8

Pérdidas (%) 0,1 0,5

Ilustración 2"Tabla de material acumulado y retenido"

K= 6300 Xo= 2795,4341

m= 0,67561467 n= 1,04717002

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Acumulado

Bajo tamaño

Acumulado R-R Resta cuadrados Acumulado G-S Resta cuadrados

Fu (%) Fu(%) R-R Fu(%) G-S

100,0 90,384 92,469 100,000 0,000

83,3 82,487 0,633 82,630 0,426

67,0 70,140 9,966 65,265 2,952

54,2 56,722 6,555 51,511 7,025

41,8 44,790 8,738 41,271 0,317

31,8 33,322 2,247 32,249 0,182

24,0 24,984 1,037 25,839 3,510

19,1 18,095 1,035 20,421 1,712

15,4 12,987 5,825 16,177 0,603

12,4 9,208 10,318 12,785 0,133

9,9 6,495 11,835 10,112 0,031

7,9 4,567 10,995 8,004 0,015

6,2 3,197 8,996 6,330 0,018

4,7 2,237 6,162 5,011 0,085

0,0 0,000 0,000 0,000 0,000

Error de ajuste= 176,811 17,010

3,839 1,191

Coeficiente de correlación R2 G-S = 0,99949568

Coeficiente de correlación R2 R-R = 0,99423559

Ilustración 3"Tabla de coeficientes de correlación R^2"

11

La ilustración 2 muestra los valores obtenidos de partículas retenidas, tanto por muestra

como promedio, las partículas acumuladas bajo tamaño, la suma de pesos, el peso inicial, y

las pérdidas asociadas al proceso de tamizaje para la obtención de los valores iniciales.

La ilustración 3 corresponde a los valores obtenidos de la optimización de los modelos

Rosin-Rammler y Gaudin-Schuhmann, los parámetros azules corresponden a G-S y los

parámetros plomos corresponden a R-R.

La ilustración 4 muestra los valores obtenidos con los modelos, junto con sus diferencias

cuadradas. Al final de la tabla se muestran las sumas de las diferencias cuadráticas y los

errores de ajuste de cada modelo.

La ilustración 5 corresponde a los valores de los coeficientes de correlación R2 de los

modelos con los valores experimentales.

La ilustración 6 representa la tabla que compara los resultados de ambos modelos con los

resultados experimentales del material acumulado bajo tamaño, el eje x corresponde al

tamaño [µm] y el eje y muestra el porcentaje retenido bajo tamaño.

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Fu [

%]

Tamaño [µm]

Tabla comparativa de porcentajes acumulados

Acumulado bajo tamaño Rosin-Rammler Gaudin-Schuhmann

Ilustración 4”Grafico comparativa entre acumulado experimental y modelado"

12

5. Análisis de resultados

Según la ilustración 2 se puede notar que la pérdida de material en ambas muestras es

menor que el 2% permitido, por lo que el tamizaje es válido y se puede seguir trabajando

con las partículas. También para justificar el promedio de fracción retenida obtenido se

utilizó la siguiente fórmula:

𝑓�̅�(𝑥𝑖) =𝑀𝐴 ∙ 𝑓𝐴𝑖(𝑥𝑖) + 𝑀𝐵 ∙ 𝑓𝐵𝑖(𝑥𝑖)

𝑀𝐴 + 𝑀𝐵

La cual se basa en la ponderación de las muestras respecto de su masa. Así se logró llegar

mediante el manejo matemático teórico al porcentaje bajo tamaño.

En la ilustración 3 se ven los valores obtenidos de la optimización mediante el software

Solver, estos valores están dentro de los rangos admisibles y se pueden emplear en los

modelos antes mencionados. Esta optimización busco encontrar la mínima suma de

diferencias cuadráticas en base a las dos variables mostradas en la ilustración 3.

Lo datos obtenidos de los modelos optimizados da cuenta de que estos modelos, a primera

vista, se acoplan muy bien al valor experimental, y según lo obtenido por la suma de

diferencia cuadrática da cuenta que en primera instancia el modelo Gaudin-Schuhmann se

relaciona de mejor manera que el modelo Rosin-Rammler.

El coeficiente de correlación R2 muestra que ambos valores se relacionan con el

experimental en un 0,994 para el R-R y 0,999 para el G-S, si bien G-S muestra el mayor

valor de coeficiente correlación este no es suficiente, dado que el modelo R-R de igual

forma se correlaciona de buena manera a los valores experimentales, ya que, ambos son

mayores al 0,9 exigido. Según esto es que se calculó el error de ajuste para así poder dirimir

de mejor manera cual será el modelo que mejor se asocia a los valores experimentales

encontrados.

Luego es Posible visualizar en el gráfico la comparación entre ambos modelos y los valores

experimentales, a simple vista es fácil notar que en principio el modelo G-S se relaciona

mejor con los valores experimentales que el modelo R-R.

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6. Conclusiones

Así en base a los resultados obtenidos es posible notar que el modelo Gaudin-Schuhmann

se relaciona mejor con la fracción retenida bajo tamaño de la muestra, ya que, posee un

menor valor en el error de ajuste que el modelo Rosin-Rammler, y se cumplieron con los

objetivos planteados al inicio de este informe.

Se logró completar la tabla sin mayores sobresaltos, obteniendo los valores promedio según

las ecuaciones antes mencionadas.

Se obtuvo un resultado bien justificado, en base herramientas de análisis estadístico y

optimización proporcionado por el software Excel.

Si bien ambos métodos cumplían de buena manera lo pedido, las herramientas de análisis

estadístico lograron entregar una solución plausible para tomar en consideración entre un

modelo u otro, estas herramientas entregaron, como se mencionó en un principio, el

resultado de que el modelo Gaudin-Schuhmann se relaciona y modela de mejor forma la

distribución granulométrica bajo tamaño, todo esto basado en las herramientas como se dijo

y en los gráficos y tablas que son una muestra clara de ello.

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7. Referencias

- Apunte de curso Fundamentos de Procesos Mineralúrgicos MI4020, Semestre

Otoño 2015, Prof.: Aldo Casali.

- www.Codelcoeduca.cl