27/02/201111Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezTrigonometra TrigonometraEs la rama de la matemtica queestudia la relacin entre los ngulosy los lados de un tringulo.ActividadGrficas funciones trigonomtricasTrabajar los ejerciciosde las pginas 1 - 62Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez27/02/20112El modelo de la grfica de la funcin seno del ngulo se obtiene evaluandola funcin para algunos valores de que pertenecen al dominio. Luego se haceuna tabla para la variable y la variable que es igual a . Finalmente selocalizan los puntos y se unen formando la grfica.Grfica de la funcin Grfica de la funcin 0 = 02 2= 1 2 2= 1 Evaluar algunos puntos Caractersticas:Dominio: , Alcance: 1, 1Intercepto:0, 0Periodo: 3Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez011Grfica de la funcin Grfica de la funcinEl modelo de la grfica de la funcin coseno del ngulo se obtieneevaluando la funcin para algunos valores de que pertenecen al dominio.Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a.Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la grfica. 0 -1 0 1 0 = 1 Evaluar algunos puntos2 2= 0 2 2= 0Caractersticas:Dominio: , Alcance: 1, 1Intercepto:0, 0Periodo: 4Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez01127/02/20113Grfica de la funcin Grfica de la funcinEl modelo de la grfica de la funcin tangente del ngulo se obtieneevaluando la funcin para algunos valores de que pertenecen al dominio.Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a.Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la grfica. --0 -1 0 1 0 = 0Evaluar algunos puntos4 4= 1 = indefinido 4 4= 10 = indefinido5Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezGrfica de la funcin Grfica de la funcinEl modelo de la grfica de la funcin cosecante del ngulo se obtieneevaluando la funcin para algunos valores de que pertenecen al dominio.Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a.Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la grfica. Evaluar algunos puntos = 1 inuefiniuo = 10 6Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez27/02/20114Grfica de la funcin Grfica de la funcinEl modelo de la grfica de la funcin secante del ngulo se obtieneevaluando la funcin para algunos valores de que pertenecen al dominio.Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a.Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la grfica.0 1 1 0 = 1Evaluar algunos puntos2 2 2 2 0 2 2 7Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezGrfica de la funcin Grfica de la funcinEl modelo de la grfica de la funcin cotangente del ngulo se obtieneevaluando la funcin para algunos valores de que pertenecen al dominio.Luego se hace una tabla para la variable y la variable que es igual a.Finalmente se localizan los puntos y se unen formando la grfica. 1 0 1 Evaluar algunos puntos4 4= 12 2= 02 4= 108Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez27/02/20115Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricas9Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezLas caractersticas de las grficas de la ecuaciones y son similares. Por ejemplo estas funciones tienen elmismo dominio, el mismo alcance el mismo perodo.La grfica del las funciones representalas transformaciones de las grficas de las ecuaciones Las caractersticas a estudiar son: Amplitud Perodo Desfase Translacin Vertical AlcanceTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasAmplitud de las funciones seno y coseno del nguloSean y las funciones trigonomtricas del seno del ngulo y coseno delngulo entonces,la amplitud es la mitad de la distancia entre elvalor mximo y el valor mnimo.10Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez011amplitudamplitudamplitudamplitud 01127/02/20116Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasAmplitud de las funciones seno y coseno del nguloEjemplo:Determine la amplitud de y dibuje su grfica.11Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezSolucin: 3 amplitud0 33amplitudInicialmente se identifica queel tres representa .Despus se busca la amplitud dela funcin.Luego se dibuja la grfica delmodelo de la funcin seno delnguloindicando que el valor msalto es 3 y el valor ms bajo es -3.Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasAmplitud de las funciones seno y coseno del nguloEjemplo:Determine la amplitud de y dibuje su grfica.12Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezSolucin: 4 amplitud0 44amplitudInicialmente se identifica queel cuatro representa .Despus se busca la amplitud dela funcin.Luego se dibuja la grfica delmodelo de la funcin seno delnguloindicando que el valor msalto es 4 y el valor ms bajo es -4.27/02/20117Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasPerodo de las funciones seno y coseno del nguloSean y las funciones trigonomtricas del seno del ngulo y coseno delngulo entonces, el perodo es la duracin o tamao de un ciclocompleto. Tambin se dice que es el mnimo lapso que separa dosinstantes en los que el sistema se encuentra exactamente en elmismo estado.13Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez011Perodo perodo 011perodoTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricas14Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezPerodo de las funciones seno y coseno del nguloEjemplo:Determine el perodo de y dibuje su grfica.Solucin: perodo = T =perodo = T =peiiouo T Inicialmente se identifica queel uno representa .Despus se busca el perodo dela funcin.Luego se dibuja la grfica delmodelo de la funcin coseno delngulo indicando que el periodo es.011perodo27/02/20118Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricas15Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezEjemplo:Determine las transformaciones de y dibuje su grfica.Solucin:A = 2 y 2 = 2i = Inicialmente se identifica que es igual a dos y es igual a dos.Despus se busca el perodode la funcin y la amplitud.Luego se dibuja la grfica delmodelo de la funcin coseno delngulo indicando que el periodoes y la amplitud es 2.022amplitudamplitudperodoTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasDesfase de las funciones seno y coseno del nguloSean y lasfunciones trigonomtricas del seno del ngulo y coseno del nguloentonces, la desfase (traslacin horizontal) es elcambio deposicin horizontal.La grfica se desplaza a la derecha o ala izquierda h unidades.16Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez011Desface = desfasedesfase01127/02/20119Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricas17Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezDesfase de las funciones seno y coseno del nguloEjemplo:Determine la desfase de ) y dibuje su grfica.Solucin: = desfase= Inicialmente se identifica queel medio representa .Despus se busca la desfase.Luego se dibuja la grfica delmodelo de la funcin seno delngulo indicando que la desfase es a la izquierda.011desfaseTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricas18Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezEjemplo:Determine las transformaciones de y dibuje su grfica.Solucin:A = 2, y = 2 = 2i = desfase = = cos 2 ]Inicialmente se factoriza elargumento para identificar , ycorrectamente.Despus se busca el perodo, laamplitud y la desfase de la funcin.Luego se dibuja la grfica delmodelo de la funcin cosenodelngulo indicando que la desfase es , el periodo es y la amplitud es 2.022amplitudamplitudperodo desfase27/02/201110Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTraslacin vertical de las funciones seno y coseno del nguloSean y lasfunciones trigonomtricas del seno del ngulo y coseno del nguloentonces, la traslacin vertical es el cambio de posicin vertical. Lagrfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo k unidades.19Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez011Traslacin vertical TraslacinverticalTraslacinvertical011Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricas20Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezTraslacin vertical de las funciones seno y coseno del nguloEjemplo:Determine la traslacin vertical de y dibuje su grfica.Solucin: traslacion vertical = 1Inicialmente se identifica queel uno representa .Despus se busca la traslacinvertical.Luego se dibuja la grfica delmodelo de la funcin seno delngulo indicando que la traslacinvertical es uno hacia arriba.0112Traslacinvertical27/02/201111Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasAlcance de las funciones seno y coseno del nguloSean y lasfunciones trigonomtricas del seno del ngulo y coseno del nguloentonces,el alcance es el conjunto de nmeros que son imagen dela funcin. Se utilizar la representacin de intervalos.21Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez011Alcance = alcancealcance011Transformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricasTransformaciones de lasgrficas de las funciones trigonomtricas22Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes RodrguezAlcance de las funciones seno y coseno del nguloEjemplo:Determine las transformaciones de y dibuje su grfica.Solucin: y amplitud = 2 = 2traslacion vertical = k = 1 Inicialmente se identifica que eldos es la y el uno representa .Despus se busca la amplitud,traslacin vertical y el alcance.Luego se dibuja la grfica delmodelo de la funcin seno del nguloindicando que la amplitud es dos, latraslacin vertical es uno haciaarriba y el alcance es de menos uno atres.011327/02/201112Resumen de las Transformacionesde las funciones seno y coseno del nguloResumen de las Transformacionesde las funciones seno y coseno del nguloLa grafica del las funciones representa lastransformaciones de las graficas de las ecuaciones Transformaciones:AmplitudEs la mitad de la distancia entre el valormximo y el valor mnimo.PeriodoDuracin o tamao de un ciclo completo.DesfaseEs el cambio en posicin horizontal.Traslacin verticalEs el cambio en posicin verticalAlcanceEs el conjunto de nmeros que son imagende la funcin.23Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez011alcanceTraslacinverticaldesfaseperodoamplitudTransformaciones de lagrfica de la funcin seno del nguloTransformaciones de lagrfica de la funcin seno del nguloEjemplo:Trace la grfica de la funcin + 1Transformaciones:Amplitud = 2 = 2Periodo = Desfase = = ( a la izquierda)Traslacin vertical Alcance = 1, 3Datos :Se obtienen de la funcin , , = y 24Prof. Miguel L. ColnProfa. Fredes Rodrguez 0 131Nota:La solucin de la desigualdad representa lasposiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamentalde la grfica de la funcin seno del ngulo.27/02/201113Transformaciones de lagrfica de la funcin coseno del nguloTransformaciones de lagrfica de la funcin coseno del nguloEjemplo:Trace la grfica de la funcin 1Transformaciones:Amplitud = 2 = 2Periodo = Desfase = = a la derechaTraslacin vertical Alcance = 3, 1Datos :Se obtienen de la funcin , , = y 0 3125Prof. Miguel L. ColnProfa. Fredes RodrguezNota:La solucin de la desigualdad representa lasposiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamentalde la grfica de la funcin coseno del ngulo.Transformaciones de lagrfica de una funcin trigonomtricaTransformaciones de lagrfica de una funcin trigonomtricaEjemplo:Escribe una funcin que represente la siguiente grfica.Informacin que se obtienen de la grfica 0 31desfaseperodo Traslacin verticalalcanceEcuacin: amplitudAlcance = 3, 326Prof. Miguel L. ColnProfa. Fredes RodrguezAmplitud = Desfase = = a la derechaPeriodo Traslacin vertical 3 227/02/201114Transformaciones de lagrfica de la funcin secante del nguloTransformaciones de lagrfica de la funcin secante del nguloEjemplo:Trace la grfica de la funcin Transformaciones:Asntotas = Periodo = Traslacin horizontal = Traslacin vertical = 0Alcance = (,2] [2,)Datos :Se obtienen de la funcin , , = y 0 2227Prof. Miguel L. ColnProfa. Fredes RodrguezNota:La solucin de la desigualdad representa lasposiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamentalde la grfica de la funcin secante del ngulo.PrcticaBuscar el Manual de prcticaTrabajar los ejerciciosde la pgina 728Prof. Miguel L. ColnProfra. Fredes Rodrguez